KONIUNKCJA W SZKOLE PODSTAWOWEJ

31 KONIUNKCJA W SZKOLE PODSTAWOWEJ Agnieszka Demby Dyskusja na temat tego, czy uczyć elementów logiki, których oraz w jaki sposób, pojawia się przy okazji kolejnych reform nauczania matematyki w liceum. Skoro jest to temat kontrowersyjny na tym poziomie nauczania skąd pomysł, by zajmować się nim w kontekście nauczania w szkole podstawowej? Trudności przeciętnego ucznia Ucząc matematyki w szkole podstawowej (w klasach 3 4), natrafiałam w podręcznikach na zadania, przy rozwiązaniu których należało spełnić koniunkcję dwóch lub więcej warunków. Były to zadania typu: Które spośród liczb: 215, 301, 98, 730, 674, 551 są większe od 251 i mniejsze od 673? Napisz liczbę czterocyfrową podzielną przez 3. Narysuj pięciokąt, który ma dokładnie jedną parę boków równoległych. Na danym rysunku pokoloruj wielokąty, które mają co najmniej jedną parę boków prostopadłych i co najmniej jedną parę boków równoległych. Choć każdy warunek zadania z osobna wydawał się zrozumiały i nietrudny dla uczniów, w ich rozwiązaniach obserwowałam pewne charakterystyczne błędy. Otóż część uczniów (grupa ta była na ogół tym liczniejsza, im młodsi byli uczniowie) wybierała tylko jeden warunek. Na przykład w trzecim z powyższych zadań rysowali wielokąt z parą boków równoległych, ale nie był to pięciokąt, albo rysowali dwie figury jedną do każdego warunku. Zorientowałam się wówczas, że dając takie zadania uczniom ze szkoły podstawowej, trzeba dobitnie podkreślać, że wymaga się, aby były spełnione równocześnie oba dane warunki. Jak zauważyłam, część nauczycieli nie jest świadoma tych problemów uczniów. Brak tej świadomości również u niektórych autorów podręczników.

32 NAUCZANIE MATEMATYKI Układają oni dla uczniów w tym wieku zadania o trudnej strukturze logicznej, w tym: w postaci koniunkcji kilku warunków, spośród których część jest w dodatku podana w formie negacji. Zadania ze skomplikowanymi koniunkcjami Przyjrzyjmy się, jak zadania wymagające spełnienia koniunkcji kilku warunków rozwiązują uczniowie uzdolnieni matematycznie. Tego typu zadania były zamieszczone jako tzw. zadania dodatkowe, na końcu testu, podczas badania umiejętności uczniów rozpoczynających naukę w klasie czwartej szkoły podstawowej w ramach Sesji z plusem (przeprowadzonych we wrześniu 2007 roku). Poniżej podaję treści zadań z wersji A tego testu. Zadania dodatkowe 1. Napisz taką liczbę czterocyfrową mniejszą od 2000, aby jej cyfra dziesiątek była 8 razy większa od cyfry jej jedności, a jej cyfra setek była o 6 większa od cyfry tysięcy. 2. Gdy 30 listopada Zosia wracała ze szkoły, obliczyła, że w kończącym się miesiącu było 5 niedziel. Napisz datę trzeciej z tych niedziel. Oprócz umiejętności podstawowych 1, niezbędnych do podjęcia nauki w klasach 4 6, badano również umiejętność rozwiązywania zadań niestandardowych, tj. takich, do których rozwiązania wystarczała wprawdzie wiedza z zakresu ówczesnej podstawy programowej dla klas 1 3, ale wymagały one pewnej pomysłowości i rozumowania z jednej strony nietypowego, a z drugiej systematycznego. Przyjrzyjmy się strukturze logicznej powyższych zadań. Uczeń miał w każdym z nich podać obiekt spełniający koniunkcję kilku warunków: w zadaniu 1 liczbę: (i) czterocyfrową mniejszą od 2000, (ii) z cyfrą dziesiątek 8 razy większą od cyfry jedności, (iii) z cyfrą setek o 6 większą od cyfry tysięcy, w zadaniu 2 datę, przy której: (i) podano dzień miesiąca i nie podano innego miesiąca niż listopad 2, (ii) 30 XI nie wypada w niedzielę, (iii) w listopadzie jest 5 niedziel, (iv) mamy do czynienia z trzecią niedzielą listopada. Zwróćmy uwagę na to, że dodatkową trudność dla ucznia stanowiło wyszukanie wszystkich warunków koniunkcji w treści zadania, zwłaszcza w zadaniu 2, gdzie warunek (ii) nie był dany jawnie; należało go wywnioskować z podanych w zadaniu informacji. Test ten pisało w całej Polsce ok. 70 tys. uczniów. Zespół pod moim kierunkiem szczegółowo analizował rozwiązania uczniów w około 800 pracach; w tym artykule opisuję wyniki tych przeanalizowanych rozwiązań. Przy analizie omawianych tu zadań dodatkowych pracowałam z Karoliną Stachowicz wówczas jeszcze studentką matematyki na Uniwersytecie Gdańskim. Rozwiązania zadań ze skomplikowanymi koniunkcjami W przypadku każdego z tych zadań jakąkolwiek próbę rozwiązania odnotowaliśmy u około 40% uczniów. Wśród tych rozwiązań wyraźnie wyodrębniły się dwa typy. I. Rozwiązanie poprawne lub bliskie poprawnemu Poprawne rozwiązania zadań dodatkowych pojawiły się sporadycznie u około 5% wszystkich uczniów piszących test, zarówno w zadaniu 1, jak i w zadaniu 2

33 (które nie okazało się, wbrew naszym oczekiwaniom, trudniejsze od zadania 1) 3. Oba zadania rozwiązało poprawnie zaledwie 2% uczniów. W przypadku każdego z zadań jeszcze tylko około 6 7% rozwiązań było bliskich poprawnemu. Ci uczniowie nie poradzili sobie tylko z jednym z warunków zadania. W zadaniu 1 były to rozwiązania z błędną cyfrą setek 4 albo z błędną cyfrą dziesiątek szukanej liczby. W zadaniu 2 były to rozwiązania, w których uczniowie nie uwzględnili najbardziej ukrytego warunku (ii). II. Daleko od poprawnego rozwiązania Kolejna kategoria to rozwiązania, które w jakimś stopniu nawiązują do warunków podanych w zadaniu, tzn. spełniają jeden lub dwa spośród najłatwiejszych warunków. W zadaniu 1 takie rozwiązania miało 21% wszystkich uczniów, natomiast w zadaniu 2 13%. Ponadto napotkaliśmy rozwiązania, których związku z warunkami danymi w zadaniu nie udało się nam ustalić (sprawiały wrażenie, jakby popełniono przy nich wiele błędów lub jakby powstały na zasadzie jakiegoś luźnego skojarzenia z danymi z zadania). Na przykład wśród rozwiązań zadania 2 pojawiły się tajemnicze działania z użyciem liczb danych w zadaniu. Takich rozwiązań było 6% dla zadania 1 i 13% dla zadania 2. Typ I, choć obejmujący nikły procent wszystkich uczniów, pozwala na optymistyczne rokowania. Stanowi bowiem sugestię, że część uczniów w tym wieku ma predyspozycje do rozwiązywania zadań niestandardowych, danych w postaci skomplikowanych koniunkcji. Sądzę, że grupa uczniów o takich predyspozycjach jest większa niż ujawnione tu 11 12%. Mogło się bowiem zdarzyć, że uczeń, który był świadom faktu, iż nie potrafi uwzględnić wszystkich warunków danych w zadaniu lub nie potrafi jakiegoś warunku wyodrębnić, rezygnował z zapisywania rozwiązania. Możliwe są też inne przyczyny: niektórzy zdolni uczniowie w klasach 1 3 praktycznie nie zetknęli się z zadaniami niestandardowymi, stąd mogli nie mieć odwagi, by spróbować rozwiązywać takie zadania (nie wiedzieli, jak się za to zabrać i co napisać). Poza tym, mimo że na ogół uczniom nie brakowało czasu na rozwiązanie wszystkich zadań testu, niektórzy mogli jednak nie zdążyć zająć się tymi ostatnimi zadaniami. Reasumując: zwracam uwagę na znikomy procent uczniów z poprawnymi rozwiązaniami i podkreślam, że rysującą się w świetle powyższych wyników grupę zdolniejszych uczniów trzeba dodatkowo wspierać już

34 NAUCZANIE MATEMATYKI na tym wczesnym etapie nauczania (wśród zadań o podwyższonym stopniu trudności zadania z bardziej skomplikowanymi koniunkcjami mogą tu być przydatne). Z kolei typ II rozwiązań pokazuje, że takie zadania przekraczają zdecydowanie możliwości wielu uczniów, mimo że próbowali je rozwiązać (charakterystyczny jest w tym wieku zapał do rozwiązywania dodatkowych zadań z matematyki). Wyszukiwanie warunków w treści zadania Zasygnalizowane kłopoty uczniów dotyczą nie tylko rozumienia koniunkcji kilku warunków, ale również analizy treści zadania czyli wyszukiwania warunków, które należy spełnić. Takiej analizy zadania trzeba starannie uczyć. Oto kilka pomysłów: organizowanie konkursów polegających na znalezieniu jak największej liczby warunków w treści zadania, jak również na wskazaniu pytania, polecenia lub wszystkich danych liczbowych, przydatne jest podkreślanie na kolorowo kolejnych warunków, jak również staranne ich odczytanie, warto też, zwłaszcza dla uczniów zdolniejszych, organizować konkursy dotyczące rozszyfrowywania ukrytych warunków zadania (takich jak warunek (ii) w zadaniu 2), należy też zwrócić uwagę, że warunki dane w zadaniu czasem warto uwzględniać nie po kolei, lecz na przykład zaczynając od końca. Powyższe pomysły sprawdzają się nie tylko przy rozwiązywaniu zadań z koniunkcją, ale i przy innych rodzajach zadań tekstowych. Elementy logiki w zadaniach dla wszystkich W trakcie nauki matematyki w sposób naturalny nieustannie pojawiają się sformułowania zawierające koniunkcję, więc nierozsądne byłoby unikanie takich zadań, ale: w szkole podstawowej warto przede wszystkim starannie kształtować pojęcie koniunkcji dwóch warunków, z początku wręcz przesadnie akcentując, że mają być spełnione oba te warunki równocześnie, trzeba takie zadania starannie dozować i wprowadzać zgodnie z zasadą stopniowania trudności, zadania powinny polegać zarówno na sprawdzeniu, czy dany obiekt spełnia koniunkcję warunków, jak i na wskazaniu obiektów spełniających podane koniunkcje, należy rozwiązywać takie zadania raczej przy utrwalaniu lub powtarzaniu materiału, a nie przy jego wprowadzaniu (aby nie mnożyć nadmiernie trudności). Ponadto, warto oswajać uczniów z negacją na początku powinna to być pojedyncza negacja w zadaniu. Zadania łączące w sobie koniunkcję i negację są odpowiednie raczej dla uczniów gimnazjum, w szkole podstawowej nadają się głównie dla zdolniejszych uczniów. Początki zaznajamiania uczniów z implikacją w sposób naturalny przypadają na etap gimnazjum przy nauce rozumienia twierdzeń, co powinno być pogłębione w liceum. Zdecydowanie do nauczania w liceum zostawiłabym równoważność i alternatywę.

35 Elementy logiki w zadaniach o podwyższonym stopniu trudności W szkole podstawowej, zwłaszcza w klasie czwartej, nie jest łatwo o zadania dla uczniów zdolniejszych, bo uczniowie albo za mało jeszcze z matematyki wiedzą, albo są niedojrzali (np. do dowodzenia). Zatem wykorzystywanie elementów logiki to pomysł na konstruowanie zadań o podwyższonej trudności; wystarczy próbować podejść nieco inaczej do materiału z lekcji. Poniżej podaję cztery przykłady takich zadań wraz z wariantami ich utrudniania (są to koniunkcje więcej niż dwóch warunków, niektóre warunki mają formę negacji). Zachęcam Państwa do układania podobnych zadań dla swoich uczniów. Wariant III.1. Wypisz wszystkie liczby, w których zapisie występuje dokładnie dwa razy znak X i dokładnie jeden raz znak I. Wariant III.2. Wypisz wszystkie liczby, w których zapisie występuje co najwyżej dwa razy znak X i co najmniej jeden raz znak I. Przykład IV. Podaj przykład liczby dwucyfrowej, która nie jest podzielna przez 2 i nie jest podzielna przez 3. Wariant IV.1. Wypisz wszystkie takie liczby spośród liczb większych od 60. Wariant IV.2. Zapisz dziesięć liczb trzycyfrowych, które są podzielne przez 5, ale nie są podzielne przez 2 i nie są podzielne przez 3. Przykład I. Używając cyfr 1, 2, 3 i 4, zapisz liczbę czterocyfrową, która jest większa od 2314, a mniejsza od 4132. Wariant I.1. Wypisz wszystkie takie liczby. Wariant I.2. Używając cyfr 1, 2, 3 i 4, zapisz liczbę czterocyfrową, która jest większa od 2314, mniejsza od 4132 i nie jest parzysta. Przykład II. Narysuj siedmiokąt, który ma dokładnie jedną parę boków prostopadłych i dokładnie jedną parę boków równoległych. Wariant II.1. Narysuj siedmiokąt, który ma dokładnie jedną parę boków prostopadłych i dokładnie dwie pary boków równoległych. Wariant II.2. Narysuj siedmiokąt, który ma dokładnie dwie pary boków prostopadłych i dokładnie jedną parę boków równoległych. Przykład III. (Uwaga: zajmujemy się tu liczbami, w których zapisie w systemie rzymskim występują tylko następujące znaki: I, V ix). Wypisz wszystkie liczby, które są zbudowane z trzech znaków dwóch znaków X i jednego znaku I. 1 Wyniki badań podstawowych umiejętności uczniów, sprawdzanych za pomocą zasadniczej części testu, zostały opisane przeze mnie oraz E. Mrożek (dawn. Drewczynską), K. Kroplewską i M. Szymańską w następujących numerach Matematyki w Szkole : 48, 49 i 50/2009 oraz 53, 54 i 57/2010. 2 Formułuję ten warunek w taki sposób, bo za poprawne rozwiązanie uznawaliśmy zarówno podanie poprawnego dnia i miesiąca, jak i podanie tylko liczby domyślnie: poprawnego dnia (w poleceniu nie sprecyzowano, jakie elementy powinna zawierać data). 3 Organizatorzy badań ogólnopolskich, tj. Gdańska Fundacja Rozwoju im. A. Mysiora, zbierali od nauczycieli tylko dane o liczbie zadań dodatkowych rozwiązanych przez uczniów, bez precyzowania, czy było to zadanie 1 czy zadanie 2. Wśród wszystkich uczniów piszących test około 5% zadań dodatkowych rozwiązano poprawnie (czyli taki sam procent jak w grupie uczniów, których rozwiązania były przez nas analizowane szczegółowo). 4 Zdarzało się czasami, że uczniowie, próbując spełnić ostatni warunek zadania, stosowali tam porównywanie ilorazowe tak jak w warunku poprzedzającym. O tego rodzaju trudnościach, które jak widać mają też najlepsi uczniowie w tym wieku, pisała w numerach 48/2009 i 53/2010 E. Mrożek (dawn. Drewczynska).