Znaczenie rozkładu wykładniczego 4 51 4. ZNACZENIE ROZKŁADU WYKŁADNICZEGO 4.1. Rozkład wykładniczy Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy, jeżeli funkcja gęstości prawdopodobieństwa f ( x) = λe λx x 0, λ > 0. (4.1) Ruch telefoniczny jest procesem, w którym odstępy między zgłoszeniami do centrali telefonicznej mają rozkład wykładniczy, natomiast potoki ruchu transportowego nie są dobrym przykładem na wykładniczość, ponieważ mają pamięć, to znaczy mają ukryte bezpieczne odstępy między pojazdami. PRZYKŁAD 4.1 (Plucińscy,1990) Niech T oznacza czas trwania rozmowy telefonicznej. Zakładamy, że prawdopodobieństwo tego, że rozmowa, która trwała w momencie t zakończy się w ciągu czasu t jest równe λ t + o( t), niezależnie od tego, ile trwała rozmowa, gdzie λ > 0, a o( t) jest wyrażeniem o własności lim o( t) = 0, gdy t 0. t Wobec tego prawdopodobieństwo niezakończenia rozmowy w czasie t jest równe 1 λ t o( t).
52 Znaczenie rozkładu wykładniczego 4 Wykażemy, że przy wprowadzonych założeniach zmienna losowa T ma rozkład wykładniczy. Niech P( t) oznacza prawdopodobieństwo tego, że rozmowa nie zakończy się do chwili t, wobec tego mamy (na podstawie wzoru na iloczyn zdarzeń niezależnych): P( t + t) = P( t)( 1 λ t o( t)). Po przekształceniu do ilorazu różnicowego mamy: P( t + t) P( t) o( t) = λ P( t). t t Ponieważ w ostatniej równości istnieje granica, gdy t 0 : P'( t) = λ P( t). Rozwiązanie ogólnym jest: P( t) = λe λ t. Wobec tego prawdopodobieństwo F(t) tego, że rozmowa trwa krócej niż t jest F( t) = 1 P( t) = 1 ce λ t, t 0, F(t)=0, t<0. Ponieważ F jest dystrybuantą zmiennej losowej, to F( 0) = 1 c = 0, stąd c = 1. Ostatecznie dystrybuanta F( t) = 1 e λ t, t 0. A gęstość:
Znaczenie rozkładu wykładniczego 4 53 ' f ( t) = F ( t) = λe λ t, t 0, f ( t) = 0, t < 0. PRZYKŁAD 4.2 (Plucińscy, 1990) W praktyce, na podstawie obserwacji statystycznych, okazuje się, że dobrą charakterystyką niezawodności N jest N ( t) = e λ t, t>0. (*) Widać, że N ( t) = 1 F ( t), gdzie F(t) jest dystrybuantą rozkładu wykładniczego. Czasem (*) określa się, jako wykładnicze prawo niezawodności. E( X ) = m = 1 λ, V ( X ) = σ 2 = 1 2. λ PRZYKŁAD 4.3 Rozkład wykładniczy w literaturze nazywany jest czasem rozkładem bez pamięci, wyrażającym najbardziej losowy proces. Można na chwilę założyć, że na przykład tramwaje przyjeżdżają na przystanek tramwajowy w odstępach czasu o rozkładzie wykładniczym średnio co 10 minut, natomiast my przychodzimy w losowej chwili na przystanek. Gdy określimy oczekiwany czas czekania na najbliższy tramwaj, co jest możliwe, gdy znana jest wariancja odstępów, to na ogół wszyscy spodziewamy się, oczekiwania średnio 5 minut na tramwaj. Okazuje się, że w takich okolicznościach będziemy średnio czekać 10 minut. Ponieważ wykładniczy rozkład odstępów gwarantuje nam zawsze 10 minut czekania, bez
54 Znaczenie rozkładu wykładniczego 4 względu na to, jak długo nie pojawił się tramwaj w chwili naszego przyjścia na przystanek. Natomiast połowę średniego odstępu, tak jak na ogół wszyscy spodziewamy się, czekamy tylko wtedy, gdy tramwaje kursują w stałych odstępach! Na nasze szczęście tramwaje kursują w odstępach bardziej zbliżonych do ruchu równoodstępowego, niż w odstępach wykładniczych. Powyższy przykład uświadamia nam istotę dużej losowości wyrażonej rozkładem wykładniczym. Można powiedzieć, że duża losowość odstępów w ruchu tramwajowym prowadzi do dużych czasów czekania na tramwaj. Rys. 4.1 przedstawia wykres funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa, natomiast Rys. 4.2 przedstawia wykres dystrybuanty. Można zauważyć, że wykresy dystrybuant wielu różnych zmiennych losowych są do siebie bardzo podobne, dlatego też chętniej operujemy wykresami funkcji gęstości, które wyrażają charakterystyczne kształty różnych rozkładów. ( ) f x x Rys. 4.1. Wykres funkcji gęstości wykładniczego rozkładu prawdopodobieństwa F ( x) Rys. 4.2. Wykres dystrybuanty wykładniczego rozkładu prawdopodobieństwa x
Znaczenie rozkładu wykładniczego 4 55 4.2. Przesunięty rozkład wykładniczy Zmienna losowa X ma przesunięty rozkład wykładniczy, jeżeli gęstość prawdopodobieństwa f λ( x ) ( x) = e λ, x, λ > 0, > 0. (4.2) 1 2 1 E ( X ) = m = +, V ( X ) = σ = 2. (4.3) λ λ Rys. 4.3 przedstawia wykres gęstości przesuniętego rozkładu wykładniczego. Przesunięcie odniesione do wartości średniej można traktować, jako wskaźnik równoodstępowości, to znaczy, małej losowości potoku ruchu. Z uwagi na konieczność utrzymywania bezpiecznych odstępów w potokach transportowych, przesunięty rozkład wykładniczy jest dobrym modelem odstępu potoków ruchu. ( ) f x x Rys. 4..3. Wykres gęstości przesuniętego rozkładu wykładniczego
56 Znaczenie rozkładu wykładniczego 4 Gdy obserwujemy odstępy pojedynczego potoku ruchu, to intensywność zgłoszenia pojazdu ( ) λ t, wyrażająca prawdopodobieństwo zgłoszenia w chwili t, jest nieciągłą funkcją czasu, tak jak to przedstawiono na Rys. 4.4: ( ) λ t Rys. 4.4. Intensywność przybyć pojazdów transportowego potoku ruchu t Natomiast odpowiednia intensywność zgłoszeń do centrali telefonicznej ( ) λ t jest ciągłą funkcją t, tak jak na Rys. 4.5: ( ) λ t Rys. 4.5. Intensywność zgłoszeń telefonicznego potoku ruchu t W potokach ruchu transportowego odstępy czasu między pojazdami, z uwagi na tendencję do zachowania bezpiecznego odstępu, mają przerywaną intensywność przybyć, którą można opisać przesuniętym rozkładem wykładniczym odstępu.
Znaczenie rozkładu wykładniczego 4 57 PRZYKŁAD 4.3 W inżynierii ruchu kolejowego często pojawia się pytanie o przepustowość danego fragmentu sieci kolejowej. Na przykład projektant sieci kolejowej, przy narzuconych warunkach eksploatacyjnych może stawiać takie pytanie. Również projektant organizacji ruchu kolejowego, gdy formułuje założenia do nowego rozkładu jazdy pociągów, stawia czasem pytania o przepustowość poszczególnych fragmentów sieci kolejowej. Inną sytuacją praktyczną, w której pojawiają się pytania o przepustowość sieci kolejowej jest planowanie zamknięć torowych na czas remontów lub na czas usunięcia awarii. Okazuje się, że przepustowość danego fragmentu sieci kolejowej zależy nie tylko od technicznych warunków ruchu kolejowego, ale również od losowości odstępów między pociągami. Dlatego badane są takie odstępy. Na torze szlakowym, po którym odbywa się ruch pociągowy, badanie odstępów między pociągami odbywa się w miejscu pierwszej tarczy wskaźnika W11a, ponieważ jest to miejsce przybyć pociągów do węzła, a więc umowne miejsce początku drogi przez węzeł. Rys. 4.6 przedstawia rozmieszczenie na torze szlakowym: pierwszej tarczy W11a, tarczy ostrzegawczej oraz semafora z typowymi odległościami w metrach. tarcza ostrzegawcza semafor W11a 150 1150m Rys. 4.6. Odległości między urządzeniami sterowania ruchem na torze szlakowym
58 Znaczenie rozkładu wykładniczego 4 Czy badanie odstępów w potokach pociągowych w miejscu przesuniętym nieco daje inny obraz statystyczny? - wbrew przewidywaniom, okazuje się, że - nie. Można przesunąć miejsca obserwacji do innych miejsc między pierwszą tarczą wskaźnika W11a a semaforem i otrzymamy identyczny wynik badań statystycznych. Z punktu widzenia inżynierii ruchu są to bardzo małe zmiany, nieistotne dla naszego celu obserwacyjnego. Gdybyśmy zmienili odstęp szlakowy, to wtedy dopiero pojawiają się inne wyniki badań. Te wnioski czasem zaskakują, jednak gdy zastanowimy się nad specyfiką ruchu kolejowego, to znajdujemy wyjaśnienie naszych obaw statystycznych. Czy odstępy na planistycznym wykresie ruchu pociągów są inne statystycznie? Wbrew przewidywaniom, tu również okazuje się, że - nie! Jest to wniosek z wieloletnich badań statystycznych, jakie prowadzone były w przeszłości. Dzięki takim wnioskom z badań statystycznych możliwe są uproszczenia badań, a więc potanienie badań statystycznych. Tab. 4.1. Tablica obliczeń wyników obserwacji odstępów czasu między pociągami w miejscu pierwszej tarczy W11a na jednokierunkowym torze szlakowym Odstęp w min. Częstość Obliczenia statystyczne x i c i x c 2 i i x c i i 7.5-8.5 100 800 6400 8.5-9.5 9.5-10.5 75 52 675 520 6075 5200 3782 x = = 10. 3 367 10.5-11.5 11.5-12.5 12.5-13.5 13.5-14.5 14.5-15.5 15.5-16.5 16.5-17.5 17.5-18.5 40 34 25 20 10 5 4 2 ------ 367 440 408 325 180 150 80 68 36 --------- 3782 4840 4896 4225 3920 2250 1280 1156 648 --------- 40890 1 C + = λ = 7.5 10. 3 1 10 3 7 5 2 8 λ =.. =. s 1 2 x i = 11142. n 1 = xi x n '2 2 2 = 11142. 106. 09 = 5. 33 s n ' = s = 5. 34 n 1 2 2
Znaczenie rozkładu wykładniczego 4 59 c i 100 10 20 x i Rys. 4.7. Histogram szeregu rozdzielczego z tablicy obliczeń 4.1 Czy to jest przesunięty rozkład wykładniczy - być może jest - ale to jest dopiero hipoteza statystyczna, którą należy udowodnić, to znaczy - przetestować, sprawdzić. Aby sprawdzenie hipotezy było obiektywne należy zebrać nowe dane. Nie wolno pod żadnym pozorem testować prawdziwości hipotezy na tym samym materiale statystycznym, na którym wysunięto hipotezę. To jest niestety bardzo rozpowszechnione oszustwo statystyczne. W badaniach statystycznych chodzi nam o prawdę obiektywną, a nie tylko prawdziwą dla jednej próbki statystycznej. Przerywana intensywność przybyć w ruchu pociągów jest charakterystyczną cechą wszystkich potoków transportowych. Ruch kolejowy ze względu na proces regulacji, podczas konstrukcji wykresu ruchu pociągów, daje często czysty obraz przesuniętego rozkładu wykładniczego. Gdy porównujemy charakterystyki ruchu kolejowego z innymi badaniami dotyczącymi ruchu samochodowego, to widoczna jest duża równomierność ruchu kolejowego, wyrażona dużą wartością minimalnego odstępu między pociągami. Badania statystyczne potoków ruchu pociągowego na jednokierunkowych torach szlakowych dają ten sam obraz statystyczny w różnych miejscach, między kolejnymi posterunkami ruchu. Badania statystyczne ruchu pociągowego planowanego i rzeczywistego dają również ten sam obraz statystyczny.
60 Znaczenie rozkładu wykładniczego 4 Problemy rozdziału 4 1. Rozkład wykładniczy. 2. Przesunięty rozkład wykładniczy. 3. Jaki proces jest dobrze wyrażony przez przesunięty rozkład wykładniczy? 4. Jaki proces jest dobrze wyrażony przez rozkład wykładniczy? 5. Dlaczego niezawodność techniczna jest również dobrze modelowana przez rozkład wykładniczy? 6. Dlaczego niezawodność techniczna jest źle modelowana przez przesunięty rozkład wykładniczy? 7. Wyjaśnić intensywność zgłoszeń telefonicznego potoku ruchu. 8. Wyjaśnić intensywność zgłoszeń transportowego potoku ruchu. 9. Bezpieczny odstęp w transportowych potokach ruchu. 10. Jak odstęp bezpieczny zapewniany jest w ruchu kolejowym? 11. Czy badając strumień zgłoszeń pociągów do węzła można przesuwać miejsce obserwacji? 12. Czy odstępy w ruchu planowanym przez rozkład jazdy pociągów różnią się statystycznie od odstępów w ruchu rzeczywistym? 13. Dlaczego przepustowość skrzyżowania ulic zależy od rodzaju rozkładu odstępów wejściowych potoków ruchu? 14. Dlaczego przepustowość węzła kolejowego zależy od rodzaju rozkładu odstępów wejściowych potoków ruchu?