2. Wyrażenia algebraiczne

2. Wyrażenia algebraiczne Jeśli liczby r, s są liczbami całkowitymi, to równości od 1) do 5) są prawdziwe dla wszystkich liczb rzeczywistych a, b różnych od zera. Logarytm Logarytmem 10gab liczby dodatniej b przy podstawie a, a> i a '* 1, nazywamy wykładnik c potęgi, do której należy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę b. Jeśli a > 0, a '* 1, b > 0, to 10gab = c wtedy, gdy a" = b. Własności logarytmów: Niech X > O,y > 0, a > 0, a '* 1, r e R. Wtedy prawdziwe są następujące równości: 1) 10gaX + 10g,v;= 10ga(x. y) 2) 10gaX -log,v; = 10ga(x : y) 3) log.x" = r. 10gaX 4) alogax=x Wzory skróconego mnożenia Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b prawdziwe są następujące wzory: (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + bi = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a - bi = a 2-2ab + b 2 (a _. b)3 = a 3-3a 2 b + 3ab 2 - b 3 a 2 _ b 2 = (a - b)(a + b) a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b 3 = (a + b)( a 2 - ab + b 2 ) Średnia arytmetyczna s, d' l' b., X1+x2+X3+",+xn re ma arytmetyczna n lcz : XI, X2, X3,..., X" Jest rowna. n Średnia geometryczna Średnia geometryczna ~Xl'X2'X3'''''Xn. n nieujemnych liczb: XI, X2, X3,..., x; jest równa Zadania testowe l. Liczba (1-~r1 jest równa: 2 1 A.1- B.-1-3 2 3 c.-- 5 2 D.l-. 5 15

Powtórka przed maturą 2. Liczba 2 34 jest równa: A.2 12 B.2 7 D.2 81 3. Liczbę 2 11 + 3. 2 11 można zapisać jako: A 3.2 12 B. 2 13 C.2 14 4. Liczba 0,0000657 zapisana w notacji wykładniczej ma postać: A 657. 10-7 B. 0,657. 10-4 C. 6,57. 10-5 D. 65,7. 10-6. ( -3 2x-2) 5. Wyrażenie x -, gdzie x *- 0, po uproszczeniu ma postać: -I x Ax-4_2x-3 B.-x- 2 C.-x 2 +2x D.x-2_2x-l. 6. Liczba 3~3.J3 jest równa: A 9 B.9.J3 C. 31,75 7. Wskaż zależność prawdziwą: I I - - B.fi=I,4 C..J3 < 1,73 D. -1t < -3,14. 8. Wiadomo, że ~ = 4. Wówczas: Ax=-16 B.x=-2 C.x=2 D.x= 16. 9. Liczbę ~ 4 3 + 53 można zapisać jako: A4 + 5 B.9 9 C.\!189 D.m. 10. LiczbaV-27 2 jest równa: A.9 B.-9 c.m D. -m. 3 11. Wiadomo, że przybliżenie liczby 100-4 jest równe 0,03162278. Wówczas przy- 5 bliżenie liczby 1004 z dokładnością do 0,01 wynosi: A 0,32 B.316,23 C. -0,12 D.31,62. 12 L b 2M - 2fi {;5.., łcz a r;:; - '\/ J po uproszczemu Jest rowna: 2'\/2 A -1 B. c. 2M -1-15 D. 2M - 15. 16

2. Wyrażenia algebraiczne 13 P.,..,.. 'k ł mk J3-1 l' b O usumęciu mewymiemosci z mianowm a u a a ~ otrzymamy lcz ę:,,3 +1 B.2-J3 C. (J3 + 1)(J3-1) 4 D.4-J3. 14. Liczba log 4 + log 25 jest równa: A.I00 B.2 C.O,16 D.log29. 15. Liczba 10gs4-10gs20 jest równa: A. -1 B. -10gs16 C.l 1 D. logs-' 16 16. Liczba 210g32 + 10g320,25 jest równa: A. 81 B.9 C. 16 D.4. 17. Wyrażenie 16-25x 2 po rozłożeniu na czynniki liniowe ma postać: A. (4-5x)(4-5x) B. (4+5x)(4+5x) C. (4+5x)(4-5x) D.2 2 2 2-5 5 x x. 18. Przez jakie wyrażenie należy pomnożyć różnicę x-l, aby otrzymać różnicę x 3-1? A.x 2 +l B.x 2 -x+l C.x 2 +x+l D.x 2-1 19. Wyrażenie (-2x - 1)(-2x - l) po uporządkowaniu jest równe: A. 4x 2 + 4x + 1 B. 4x 2 + l C. 4x 2-4x + 1 D. 4x 2-1. 20. Dla x = - J3 wyrażenie (..Jl- x - x)(..jl- x + x) ma wartość: A. J3 + 2 B. 1 C. 3 D. J3-2. 21. Podwojony kwadrat sumy dwóch liczb a, b można zapisać w postaci: A. (2a + 2b)2 B. 2(a + bi C. 2a 2 + 2b 2 D. (2a)2 + (2b? 22. Jeśli a > b > 0, to iloraz pierwiastka z różnicy liczb a i b przez iloczyn tych liczb można zapisać w postaci: A. a-b -- C. ab..ja-b B.~ (ab) D.. a b..ja-b ab 23. Dla a = 1-.fi wyrażenie (a - 1)2 ma wartość: A. -2 B l + -Ii C. 2 D. 6-4.fi. 17

Powtórka przed maturą 24. Wyrażenie (x - 2)3 jest równe: A. X 3-8 B. x 3-6x 2 + 12x - 8 D. x 3 + 6x 2-12x - 8. 25. Równanie (x + 1)2= x 2 + 1: A. spełnia każda liczba rzeczywista C. spełnia tylko liczba 1 B. spełnia tylko liczba D. spełniają tylko liczby -1, 0, 1. 26. Zbiorem rozwiązań nierówności.j -2x > jest: A. przedział (-co, O) B. suma przedziałów (-co, O) u (O, +co) C. zbiór pusty D. zbiór liczb rzeczywistych R. 27. Zbiorem rozwiązań nierówności x 2 + 3 > -1 jest: A. zbiór pusty B. zbiór liczb rzeczywistych R C. przedział (-2, +co) D. suma przedziałów (-00, -2) u (2, +co). 28. Równanie 5 x = J' spełnia liczba: A. -1 B..J5 C. 0,6 D. O. 29. Wiadomo, że 10g3x = -1. Zatem: A.x=-3 B.x=-T 1 C.x=3-1 D.x=3. 30. Wiadomo, że 10&2 = 3. Wówczas: A. x = 8 B. x = 0,125 C. x = f3 D.x=V2. 31. Średnia arytmetyczna dziewięciu liczb wynosi 2. Razem z dziesiątą liczbą 12, średnia tych liczb będzie równa: A. 7 B.6 C.5 D.3. 32. Średnia geometryczna liczb 1, 12, 18 jest równa: A. 6 B. 10~ c. 6J6 3 D.15,5. Zadania krótkiej odpowiedzi 1. Oblicz: 300 +2Zi-i28. 4if729 + 5~( _8)2 18

2. Wyrażenia algebraiczne 4. Oblicz: fij4 'V-h.~. 5. Oblicz wartość wyrażenia (1 + a- 1 )2_ (1 - a- 1 )2 dla a = h. Wynik przedstaw w postaci potęgi o podstawie 8. 6. Rozwiąż równanie: 3 13. X - 4. 9 6 = 27 4. (2x - 5). 7. Rozwiąż nierówność.j3x + 4 < 2x + -f0. i zapisz zbiór rozwiązań za pomocą przedziału. 8. Oblicz: (~3-h +~3+hy. 9. Bok kwadratu jest o 2 cm krótszy od przekątnej. Oblicz długość boku tego kwadratu. Wynik przedstaw w postaci a + bfc, gdzie a, b, c E C i c > o. 10. W trójkącie równobocznym wysokość ma długość 3 +.J3. Wykaż, że długość boku tego trójkąta należy do przedziału (5, 6). 11. Wykaż, że liczba 620 + 3.6 19-4.6 18 jest wielokrotnością liczby 5... l' b fi +JS fi -JS. l' b łk. 12 Wyk az, ze ICZ a r; t: + r;::; t: Jest lcz ą ca owitą....;7 -...;5...;7 +...;5 13. Wykaż, nie używając kalkulatora, że ( ~ +~J< 3Ji. 15. Wiedząc, że logs4 = a i logs14 = b, wyznacz za pomocą liczb a, b liczbę log, 7. 16. Oblicz: 36 0,S-log6 3. 17. Rozwiąż równanie O,25log 3 x 2 + 1 = O. 18. Obliczx,jeśli Iog]» -31=-4. 2 19

Powtórka przed maturą 19. Oblicz wartość liczby a, dla której logi, + 510,5 =-1. 20. Rozłóż wyrażenie (x + l? - l na czynniki możliwie naj niższego stopnia. N astępnie podaj liczbę naturalną x, dla której wartość wyrażenia jest równa 3. 21. Rozłóż wyrażenie (2x + 3)2 - (x - l i na czynniki możliwie naj niższego stopnia. Dla jakich liczb rzeczywistych x wartość tego wyrażenia jest równa O? 22. Rozłóż wyrażenie x 4-4x 2 + 4 na czynniki możliwie najniższego stopnia. 23. Różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych wynosi 13. Wyznacz te liczby naturalne. 24. Obwód czworokąta jest równy 36. Wyznacz długości boków tego czworokąta, wiedząc, że są one kolejnymi liczbami parzystymi. 25. Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez 8. 26. Wykaż, że jeśli a jest liczbą naturalną, to liczba a 3 - a jest podzielna przez 6. 27. W klasie IIIa uczy się 10 dziewcząt i 20 chłopców. Średnia ocen dziewcząt na I semestr wynosiła 4,2, zaś średnia ocen chłopców - 3,3. Oblicz średnią ocen klasy IIIa na I semestr. 28. Średnia płaca w zakładzie zatrudniającym 34 osoby była równa 1820 zł. Po zatrudnieniu jeszcze jednego pracownika średnia płaca wzrosła o 2%. Oblicz, jaką płacę otrzymał nowy pracownik. 29. W pewnej firmie zysk wzrastał przez cztery kolejne lata odpowiednio o 20%, o 30%, o 10% i o 5%. Oblicz średni procentowy wzrost zysku w ciągu tych czterech lat. Wynik zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku. Zadania rozszerzonej odpowiedzi 1. (4 pkt) Uprość wyrażenie (2a - b)2 - (~a -1)(~a +l) - (4a 2 + b 2 ) i oblicz jego wartość dla a = 0,2 i b = -0,25. 20

2. Wyrażenia algebraiczne 2. (4 pkt) Wykaż, że dla dowolnej liczby całkowitej x liczba (x + 2)(x 2-2x + 4) - (x - 1)3 jest podzielna przez 3. 3. (4 pkt) Rozwiąż nierówność: x + 1 ~ (x + 5)2 - (x - 3l a) Zapisz zbiór rozwiązań w postaci przedziału liczbowego. b) Podaj przykład ujemnej liczby niewymiemej należącej do zbioru rozwiązań tej nierówności. 4 (4 k)r... r "( 3)2 x 2-3 9 (x-2)(x+2) 12 P t OZWląZmerownosc x - - -- - < + -x. 362 a) Podaj najmniejszą liczbę pierwszą, spełniającą tę nierówność. b) Ze zbioru rozwiązań tej nierówności wybierz taką liczbę różną od 1, aby odwrotność tej liczby też spełniała tę nierówność. 5. (4 pkt) Wyznacz resztę z dzielenia przez 3 sumy kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych, niepodzielnych przez 3. Odpowiedź uzasadnij. 6. (4 pkt) Wyznacz resztę z dzielenia przez 4 sumy kwadratów czterech kolejnych liczb całkowitych. Odpowiedź uzasadnij. 7. (4 pkt) Długości boków czworokąta są kolejnymi liczbami naturalnymi. Wykaż, że jeśli obwód czworokąta jest liczbą podzielną przez 3, to długość najmniejszego boku i długość naj dłuższego boku też są liczbami podzielnymi przez 3. 8. (4 pkt) W trójkącie prostokątnym długość jednej z przyprostokątnych i długość przeciwprostokątnej są kolejnymi liczbami nieparzystymi. Druga przyprostokątna ma długość 8. Oblicz obwód i pole tego trójkąta. 9. (5 pkt) W trójkącie równoramiennym długość ramienia i długość podstawy są kolejnymi liczbami naturalnymi. Obwód tego trójkąta jest liczbą parzystą. Wyznacz najmniejsze możliwe długości boków tego trójkąta. Rozważ dwa przypadki. 10. (4 pkt) Przedstaw wyrażenie ( 7 3)2 a a w postaci potęgi o podstawie a (a *- O). a 5 :a 18 Porównaj wartość danego wyrażenia dla a = 2 z liczbą 7 11 Odpowiedź uzasadnij. 11. (4 pkt) Wykaż, że dla dowolnych dwóch różnych liczb a, b, gdzie a*-o i b *- 0, dzi., "( -2 b-2) (-I b-i)2 a + b praw ziwa jest rownosc: a - : a - = --o b-a 21

Powtórka przed maturą 3~ 12. (4 pkt) Oblicz wartość wyrażenia (a - 0,5b )2, jeśli a = 0,3Iogj2 2 3 s 6 ifi-24 orazb=---- 64 0 12S 13. (5 pkt) Wyznacz wszystkie pary liczb rzeczywistych (a, b) spełniające układ rów-, {IOg4ab=3 nan:. log, a -log2 b =-2 14. (4 pkt) Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych (a, b) spełniające równanie: logsa + logsb = l. 15. (5 pkt) Z miejscowości A do B jednocześnie wyjechały dwie ciężarówki. Pierwsza połowę czasu przeznaczonego na przebycie drogi jechała z prędkością 50 km/h, a drugą połowę czasu - z prędkością 40 km/h. Natomiast druga ciężarówka połowę drogi jechała z prędkością 40 km/h, a pozostałą część - z prędkością 50 km/h. Która z ciężarówek była pierwsza w miejscowości B? Oblicz średnią prędkość każdej ciężarówki. 22