Zastosowanie metod prognostycznych w planowaniu strategii przedsiębiorstwa

Zastosowanie metod prognostycznych w planowaniu strategii przedsiębiorstwa Dr Adam Kucharski Spis treści 1 Czym jest prognozowanie i jakie pełni funkcje 2 2 Prognozowanie heurystyczne 4 2.1 Burza mózgów..................................... 4 2.2 Metoda delficka..................................... 5 3 Dekompozycja szeregu czasowego 8 4 Metody naiwne 8 5 Metoda średniej ruchomej 11 6 Metody wygładzania wykładniczego 14 6.1 Metoda Browna..................................... 14 6.2 Metoda Holta...................................... 15 6.3 Metoda Wintersa.................................... 16 7 Błędy prognoz ex post 18

1 Czym jest prognozowanie i jakie pełni funkcje Na pytanie Czy korzystasz z prognoz na co dzień? odpowiedź brzmi zapewne Nie. Ewentualnie powstanie skojarzenie z prognozą pogody wieczorem w telewizji, a przecież prognozy dokonujemy np wybierając kierunek studiów czy fundusz emerytalny. Właściwie to w takim momencie wykonuje się czynność zwaną przewidywaniem. Czym się różni ono od prognozowania? Ano tym, że to drugie opiera się na racjonalnych, często naukowych podstawach. Na przykład wróżka nie prognozuje, ale przewiduje ponieważ opiera się na przesłankach, które trudno uznać za racjonalne. Brak jednak jednej, konkretnej definicji prognozowania. Dwie rzeczy są za to pewne: 1. prognozując dokonujemy sądu o przyszłym zajściu określonego zdarzenia, 2. na podstawie dotychczasowej wiedzy próbujemy dowiedzieć się czegoś o przyszłości. Jeśli chodzi o drugi z warunków, prognozując spodziewamy się, że przyszłość będzie podobna do przeszłości. Tak więc prognozując staramy się dociec co kryje się za rogiem, nie wyglądając za ten róg. Nasze wyobrażenie o przyszłości jest z konieczności ułomne, bo obarczone błędem (wnioskujemy ze znanego o nieznanym). PROGNOZA NIE BĘDĄCA OBARCZONA BŁĘDEM NIE JEST PROGNOZĄ LECZ JASNOWIDZTWEM! Prognoza odnosi się do określonego obiektu np. kraju, w którym zachodzą zjawiska np. gospodarcze, dające się opisać za pomocą zmiennych (niekiedy losowych). Dopiero kiedy prognoza wygasa (czyli kiedy poznamy wreszcie faktyczną realizację zmiennej) dowiadujemy się jaką dokładnie wartość miał popełniony błąd. Warto w tym miejscu zwrócić uwagę, że w klasycznej logice wszystkie sądy są prawdziwe lub fałszywe natomiast w prognozowaniu powiemy, że są one trafne lub nietrafne. Kryterium pozwalającym je rozróżnić czynimy rozbieżność wyników predykcji w odniesieniu do zrealizowanej wartości zmiennej. Prognozę uznajemy za chybioną, kiedy wspomniana rozbieżność nie pozwala nam zaakceptować wyników. Na podstawie powyższych uwag powiemy, że prognoza jest sądem o następujących własnościach: formułujemy go z wykorzystaniem dorobku nauki; odnosi się do określonej przyszłości; jest weryfikowalny empirycznie; jest niepewny, ale akceptowalny. Funkcje prognoz: preparacyjna prognoza przygotowuje nas do podjęcia działania. Na jej podstawie podejmujemy decyzje przy czym nie zawsze prognozakie dotyczyć będą zmiennych, na które mamy wpływ (np. pogoda). aktywizująca stają się nimi prognozy preparacyjne, które po opublikowaniu wpływają na prognozowane zjawisko, ponieważ podejmowane są działania sprzyjające lub przeciwdziałające ich realizacji. Wyróżnimy: prognozy samorealizujące kiedy prognoza wywołuje działania wychodzące jej naprzeciw; 2 z 21

prognozy samounicestwiające prognoza, która ostrzega przed niekorzystnym zjawiskiem powoduje, że podejmuje się działania mające na celu zapobieżenie spodziewanym skutkom. Ze względu na horyzont prognozy możemy je podzielić: krótkookresowe średniookresowe długookresowe Co jest jednak krótkim, a co długim okresem to zależy od charakteru prognozowanego zjawiska. Czym innym jest prognoza robiona na miesiąc do przodu dla danych dziennych, a czym innym dla miesięcznych. Metody prognozowania dadzą się pogrupować w następujące kategorie: prognozowanie niestrukturalne prognozujemy zjawisko na podstawie danych o dotychczasowym kształtowaniu się zmiennej. Dane te zazwyczaj zebrane są w postaci szeregu czasowego. prognozowanie strukturalne podstawą jest model przyczynowo-skutkowy, w którym chodzi o prognozowanie zmiennej endogenicznej (jednej lub wielu). Przykładem mogą być jednoi wielorównaniowe modele ekonometryczne. analogowe przewidujemy przyszłość określonej zmiennej na podstawie danych o podobnych zmiennych, co do których istnieją zbyt słabe podstawy by przypuszczać, że są one przyczynowo powiązane ze zmienną prognozowaną. Istota tych zmiennych może być taka sama (np liczba ludności w różnych krajach) bądź różna (np. liczba muszek w słoju i liczba ludności). heurystyczne polegają na wykorzystaniu opinii ekspertów opartej na ich intuicji i doświadczeniu. Mamy zaufanie do tej intuicji, ale zbieramy opinie wielu ekspertów i wtedy np. uśredniamy (metoda delficka) albo wybieramo co się najczęściej powtarza (reguła największego prawdopodobieństwa). przeszłość przyszłość prognozy ex post prognozy ex ante próba dziś Nasze postrzeganie przeszłości i przyszłości może różnić się od tego, do którego okresu sięgają posiadane przez nas dane. Różnice z tym związane prezentuje schemat na rysunku 1. Proces proczas Rysunek 1: Prognozy ex post a prognozy ex ante gnozowania wymaga przejścia przez szereg etapów. Wyróżnimy następujące w takim wypadku kroki postępowania: 3 z 21

1. sformułowanie zadania prognostycznego określamy obiekt, zjawisko, prognozowane zmienne a także cel, horyzont i wymagania odnośnie dopuszczalności prognozy; 2. sformułowanie przesłanek prognostycznych określamy czynniki wpływające na prognozowaną zmienną (np zmienne egzogeniczne) wraz z kierunkiem wpływu oraz gromadzimy dane; 3. wybór metody prognozowania (predyktora) określamy przepis, według którego powstanie prognoza czyli decydujemy, którą z metod (niestrukturalnych, strukturalnych itd.) wybierzemy; 4. wyznaczenie prognozy postępujemy zgodnie ze schematem przewidzianym dla wybranej metody; 5. ocena dokładności prognozy określamy błąd prognoz ex post oraz (jeśli ich wyznaczenie było możliwe) oczekiwanj. przed wygaśnięciem błąd prognoz ex ante przy czym spełnione muszą być. 2 Prognozowanie heurystyczne Heurystyka to umiejętność wykrywania nowych faktów i relacji między nimi oraz dochodzenia w ten sposób do nowych prawd. Metody heurystyczne stosujemy do prognozowania zjawisk, które niekoniecznie da się analizować na podstawie przeszłości. Może brakować wiarygodnych danych (np. zmiana ustroju w Polsce zdewaluowała większość danych ekonomicznych z czasów PRL). Na przeszkodzie może też stać sama natura zjawiska. W heurystycznych metodach prognozowania wykorzystuje się opinie ekspertów oparte na ich intuicji i doświadczeniu 1. Takie podejście daje możliwość dokonywania prognoz zarówno ilościowych jak i jakościowych. Opieranie się na opiniach ekspertów oznacza konieczność określenia kogo nazwiemy ekspertem i dokonania wyboru tychże. Choć nie ma jednej definicji eksperta, za osobę taką można uznać kogoś kto posiada odpowiednią wiedzę, doświadczenie, predyspozycje intelektualne do kogo kompetencji mamy zaufanie. Generalnie w metodach heurystycznych korzysta się z usług większej ilości ekspertów. Czyni się tak wychodząc z założenia, że trafność sądów grupowych jest wyższa niż indywidualnych. Wiedza danego eksperta z jakiejś dziedziny może rekompensować niewiedzę innych ekspertów. Do grupej należy dobierać osoby wszechstronne, reprezentujące zróżnicowane dziedziny. 2.1 Burza mózgów Jest to metoda oparta na dwóch wymaganiach metodycznych: 1. nie krytykować 2. stymulować jak największą liczbę pomysłów W metodzie tej nie ma złych czy bzdurnych pomysłów. Należy je także łączyć, doskonalić a prezentować jasno i zwięźle. Wszystkie pomysły są własnością grupy, nie zaś konkretnych osób. Burza mózgów przechodzi następujące etapy: 1. Przygotowanie 2. Tworzenie 1 Jest to w pewnym sensie wymyślanie przyszłości, które nie stanowi ekstrapolacji dotychczasowego zachowania 4 z 21

3. Ocena Na etapie przygotowania należy sprecyzować problem, zebrać potrzebne informacje i dobrać ekspertów. Zebrane informacje służą do precyzowania i korygowania problemu i raczej nie udostępnia się ich uczestnikom badania. W dalszym postępowaniu ekspertów dzieli się na dwie grupy. Pierwsza ma za zadanie tworzenie prognoz (w jej skład wchodzą przedstawiciele różnych dziedzin). Druga stanowi zespół oceniający, którego celem jest opracowanie ostatecznego wyniku. Tutaj potrzebni są specjaliści od konkretnej dziedziny. Burza mózgów pozwala na wykonywanie prognoz w krótkim czasie, ale prognozowane zjawisko musi dać się łatwo określić, być mało skomplikowane. 2.2 Metoda delficka Metoda ta dotyczy badania opinii ekspertów odnośnie prawdopodobieństwa lub czasu zajścia zdarzenia. Jej celem jest uzyskanie zgodnego sądu osób kompetentnych na danemat. Cechy metody: 1. Niezależność opinii ekspertów 2. Anonimowość 3. Wieloetapowość 4. Uzgadnianie i sumowanie opinii Niezależność uzyskujemy izolując ekspertów od siebie. Nie wiedzą oni kto jeszcze tworzy grupę. Anonimowość zapewnia się wykorzystując ankiety. Pozwala to na wygłaszanie nawet niepopularnych sądów lub opinii sprzecznych z opiniami autorytetów. Wieloetapowość polega na tym, że wielokrotnie powtarza się wysyłanie ankiet za każdym razem uzupełnianych o pewne informacje np. na temat dotychczasowych opinii zbiorczych. Prognozą zwykle jest opinia większości członków badania. Do wad tej metody zaliczymy m.in.: 1. niekiedy długi czas trwania 2. trudności w doborze właściwych ekspertów 3. trudności w zbudowaniu odpowiedniej ankiety 4. wykonywane prognozy są zwykle długookresowe co utrudnia ich weryfikację Etapy badania delfickiego: 1. Zdefiniowane problemu 2. Wybór ekspertów 3. Przygotowanie i rozesłanie ankiety 4. Analiza odpowiedzi z ankiety 5. Czy osiągnięto zgodę? (a) Tak przedstawienie wyników (b) Nie i. Przygotowanie i rozesłanie kolejnej ankiety 5 z 21

ii. Analiza odpowiedzi i powrót do pytania 5. Jak widać na podstawie powyższego celem badania delfickiego jest wymuszenie jednolitego stanowiska na wszystkich uczestnikach. Pojawia się jednak problem wypowiedzi radykalnie różniących się od pozostałych opinii. Osoba, która wygłosi tego typu sąd musi uzasadnić swoje stanowisko. Procedura taka pozwala wyodrębnić ekstremistów, którzy sztywno trwają przy swoich opiniach. Kiedy już zbierze się opinie przychodzi czas na ich analizę. Podstawą jest zestawienie wyników ankiet pochodzących od poszczególnych ekspertów w postaci dwuwymiarowej macierzy. Ankiety zwykle konstruuje się tak, że odpowiedzi są podawane w skali nominalnej (np. płeć, miejsce zamieszkania) lub porządkowej (wykształcenie, kolejność dotarcia na metę). Możliwe więc jest użycie np. mechanizmów rangowania. Kiedy odpowiedzi padają w postaci liczb otrzymujemy skalę przedziałową. W zależności od charakteru pomiaru możliwe jest wykonanie rożnego rodzaju analiz m.in. statystycznych (średnie, kwartyle itp.) Stopnień zgodności opinii ekspertów da się scharakteryzować za pomocą miar zmienności. Dla cech badanych na skali nominalnej można zastosować współczynnik dyspersji względnej klasyfikacji: h r = k k 1 f 2 rj k 1 gdzie: k liczba kategorii wyróżnionych w r-tym pytaniu; f rj częstość występowania j -tej kategorii w r-tym pytaniu. Współczynnik dyspersji względnej klasyfikacji h r należy do przedziału < 0, 1 >. Im jest niższym zgodność opinii jest większa. Aby scharakteryzować zgodność poglądów ekspertów przy pomocy skali porządkowej można użyć współczynnika konkordacji: 12S W = n 2 (k 3 k) ( k n ) 2 S = (x ij x gdzie: n liczba ekspertów; k liczba wariantów. Ponadto x jest średnią wartością sumy rang dla wszystkich wariantów: j=1 x = 1 k i=1 k n j=1 i=1 Współczynnik konkordacji przybiera wartości z przedziału (0, 1 > a jego duża wartość świadczy o zgodności opinii ekspertów. Do oceny istotności współczynnika może posłużyć statystyka chi-kwadrat o k-1 stopniach swobody obliczana następująco: χ 2 12S = nk(k + 1) Jeżeli wartość powyższej statystyki przekroczy wartość krytyczną to zbieżność opinii nie jest przypadkowa, a więc zespół ekspertów można uznać za kompetentny. j=1 x ij 6 z 21

Kiedy poglądy wyrażane są w sposób liczbowy, do oceny można wykorzystać rozstęp kwartylowy: = Q 3 Q 1 Eksperci są zgodni w swoich opiniach gdy zachodzi: czyli rozstęp nie przekracza ustalonej przez wykonującego prognozę wartości krytycznej. Im mniejsza wartość krytyczna, tym pełniejsza jest zgoda poglądów. Przykład metody delfickiej w przypadku stosowania skali przedziałowej: 2 Zebrano opinie ekspertów na temat dewaluacji złotówki względem dolara wskazując numer miesiąca: Ekspert 1 2 3 4 5 6 7 Miesiąc 6 10 12 6 10 6 8 Czy eksperci byli zgodni jeżeli założymy, że = 2 miesiące? Szereg należy uporządkować: 6 6 6 8 10 10 12 Na tej podstawie stwierdzamy, że dominanta wynosi 6 (czerwiec), a mediana 8 (sierpień). Kwartyl pierwszy jest równy 6 zaś trzeci 10, stąd: = 10 6 = 4 Jest to wartość wyższa od wartości krytycznej, więc eksperci nie są zgodni w swoich sądach. Przykład metody delfickiej w przypadku stosowania skali porządkowej: Poproszono ekspertów o opinie dotyczące rocznego wzrostu PKB. Przyjęto 5 wariantów wzrostu. Rangi nadane przez ekspertów określające kolejność szans realizacji danego wzrostu znalazły się w poniższej tabeli. Wariant A B C D E Ekspert 0-2 2-4 4-6 6-8 powyżej 8 I 1 3 5 4 2 II 2 3 5 4 1 III 1 3 4 5 2 IV 1 3 5 4 2 Suma rang 5 12 19 17 7 Łączne rangi 1 3 5 4 2 W naszym przypadku n = 4 a k = 5. Przeciętna ranga równa jest: Parametr S: x = 5 + 12 + 19 + 17 + 7 60 5 5 = 12 S = (5 12) 2 + (12 12) 2 + (19 12) 2 + (17 12) 2 + (7 12) 2 = 148 Współczynnik konkordacji: W = 12 148 4 2 (5 3 5) = 0,925 2 Ten i następny przykład pochodzą z książki M. Cieślak Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowania, PWN, Warszawa 1997, s.189-190 7 z 21

Statystyka chi-kwadrat: χ 2 12 148 = 4 5 6 = 14,8 Dla poziomu istotności 0,05 i 4 stopni swobody wartość krytyczna odczytana z tablic wynosi 9,488. Jest ona mniejsza od wyznaczonej wartości, a więc można uznać, że eksperci byli zgodni. Opinie całej grupy pozwalają uporządkować warianty według szans realizacji. Dokonuje się tego na podstawie łącznych rang przypisanych wariantom. Wynika stąd, że największe szanse realizacji ma wariant A a najniższe wariant C. 3 Dekompozycja szeregu czasowego Podstawą prognozowania, niezależnie od przyjętej metody jest zawsze szereg czasowy. Szeregi takie zawierają obserwacje uporządkowane chronologicznie od najstarszej do najnowszej dostępnej przy czym ostatnia dana zwykle nie pokrywa się z momentem przeprowadzania badania. Niezależnie od tego jakiego zjawiska dotyczy, każdy szereg czasowy składa się z pewnych powtarzających się elementów, które można zdekomponować na: Tendencję rozwojową (trend) długookresową skłonność do jednokierunkowych zmian (wzrostu lub spadku) wartości zmiennej. Jest to efekt działania stałego zestawu czynników. Stały (przeciętny) poziom zmiennej występuje jeśli nie ma w szeregu tendencji rozwojowej, a wartości oscylują wokół pewnego stałego poziomu. Wahania cykliczne długookresowe, rytmiczne wahania wartości zmiennej wokół trendu lub stałego poziomu. Aby je zaobserwować, musimy dysponować długimi szeregami danych. Wahania sezonowe wahania wartości wokół trendu lub stałego poziomu mające skłonność do powtarzania się w określonym czasie nie przekraczającym roku. Mogą one wystąpić w wersji addytywnej lub multiplikatywnej. Wahania przypadkowe losowe zmiany zmiennej o zróżnicowanej sile. Wymienione wyżej elementy mogą dla danego szeregu występować praktycznie w dowolnych konfiguracjach (np. małe wahania losowe, stały poziom zmiennej i wahania sezonowe). Dekompozycja ma bardzo duże znaczenie przy wyborze metody prognozowania gdyż pozwala z góry określić warunki w jakich dana metoda może zostać użyta. Wykres na rysunku 2 ilustruje kilka możliwych wariantów dekompozycji szeregu. Dekompozycji szeregu dokonujemy na podstawie wykresu, który pozwala nie tylko wyodrębnić poszczególne składowe, ale i zauważyć obserwacje nietypowe oraz punkty zwrotne, w których dochodzi do zmiany kierunku trendu. Obecność tych ostatnich wpływa bowiem negatywnie na dokładność prognoz. Wahania przypadkowe można próbować eliminować, zaś trend wyodrębniać z szeregu, używając do tego celu metod, które podzielimy na następujące grupy: 1. metody mechaniczne; 2. metody analityczne (funkcje trendu). 4 Metody naiwne Metode bazują na założeniu, że w przyszłości nie nastąpią zmiany w dotychczasowym oddziaływaniu czynników wpływających na prognozowaną zmienną. Można dokonywać przy ich pomocy jedynie krótkookresowych (zazwyczaj na jeden, dwa okresy do przodu) prognoz. Warunkiem stosowania jest brak dużych wahań prognozowanej zmiennej. 8 z 21

(a) (b) t t (c) (d) t t Rysunek 2: Przykłady dekompozycji szeregu czasowego: (a) Wahania przypadkowe i trend liniowy, (b) Wahania sezonowe addytywne i stały poziom zmiennej, (c) Duże wahania przypadkowe i stały poziom zmiennej, (d) Wahania sezonowe multiplikatywne i stały poziom zmiennej. Najprostszy przypadek stanowi metoda naiwna bez zmian zwana również metodą naiwną prostą. Zakładamy w niej, że przyszłe realizacje zmiennej nie będą zbytnio różnić się od ostatniej wartości. Metoda jest przydatna jeśli w szeregu po dekompozycji występują wyłącznie małe wahania losowe, stały poziom zmiennej a nie stwierdzamy sezonowości. Niech symbol gwiazdki oznacza prognozę ex post zaś litera P prognozę ex ante. Wówczas prognoza zmiennej y na okres t (t = 1,..., n) metodą naiwną prostą jest równa: y t = 1 (1) y P t = y n (2) Przykład zawarty w tabeli 1 pomoże w zrozumieniu istotej metody. W okresach 7 i 8 otrzymujemy już prognozy ex ante. Jak widzimy, powtarza się w nich ostatnia dostępna obserwacja. Jeśli w modelu występuje tendencja rozwojowa (a pozostałe założenia są zgodne z metodą naiwną bez zmian), wówczas sięgamy do metody naiwnej z trendem. Jako prognozę przyjmujemy zmienną na poziomie z okresu poprzedniego powiększoną o ostatni przyrost. Dla przypadku trendu liniowego wyrazimy ją wzorem: y t = 1 + ( 1 2 ) (3) y P t = y n + h(y n y n 1 ) (4) 9 z 21

Tabela 1: Przykład prognozy metodą naiwną bez zmian Okres (t) Dane ( ) Prognoza 1 102 2 101 102 3 103 101 4 102 103 5 101 102 6 103 101 7 103 8 103 Gdzie: h 1. Kiedy zmienna przyrasta (wykładniczo) o stały procent w kolejnych okresach wówczas użyjemy modelu: y t y P t 1 = 1 (5) 2 ( ) h yn = y n (6) y n 1 W tabeli 2 znajduje się przykład prognozy metodą naiwną z poprawką liniową: Tabela 2: Przykład prognozy metodą naiwną z poprawką liniową Okres (t) Dane (y) Przyrost Prognoza 1 101 2 102 1 3 104 2 103 4 104 0 106 5 103-1 104 6 105 2 102 7 108 3 107 8 3 111 9 3 114 Należy zwrócić uwagę na to, że trend, który pojawia się w prognozach ex ante, nie ulegnie już odwróceniu. To argument za używaniem tej metody w prognozach krótkookresowych. Kolejnym przypadkiem z grupy metod naiwnych jest metoda naiwna z sezonowością. Sięgamy po nią jeżeli w szeregu występują: małe wahania przypadkowe, stały poziom zmiennej i sezonowość addytywna. Technicznie rzecz biorąc, jest ona podobna do metody naiwnej prostej, tyle że jako prognozy przyjmuje wartości zaobserwowane sezon wcześniej np. w odpowiednim kwartale roku poprzedniego. W odróżnieniu jednak od prognozy naiwnej prostej, potrzebujemy dłuższego szeregu czasowego, aby upewnić się, że mamy do czynienia z sezonowością a nie na przykład z obserwacjami 10 z 21

nietypowymi. Jeżeli wymienione warunki są spełnione, prognozę wyznaczamy następująco: y t = m (7) y P t = y n m+h (8) Gdzie: h m. W tabeli 3 znalazł się przykład użycia metody naiwnej z sezonowością, w której występują wahania sezonowe kwartalne. Z tego powodu pierwsza prognoza ex post wyznaczona została dla piątego okresu. Tabela 3: Przykład prognozy metodą naiwną z sezonowością Okres (t) Dane (y) Prognoza 1 101 2 108 3 102 4 103 5 102 101 6 109 108 7 101 102 8 102 103 9 102 10 109 11 101 12 102 Metody naiwne są proste, szybkie i tanie. Zadowalają się niewielką liczbą obserwacji. Służą również jako punkt odniesienia dla innych metod. Te z nich, które dają gorsze rezultaty od prognoz naiwnych uważa się za mało użyteczne. W przypadku metod naiwnych nie można jednak określić błędu prognoz ex ante. Tym niemniej jakość prognoz wykonanych z ich pomocą może być zaskakująco dobra w porównaniu z narzędziami bardziej skomplikowanymi. 5 Metoda średniej ruchomej W szeregu czasowym mogą występować zarówno małe jak i duże wahania przypadkowe. W tym drugim wypadku metody naiwne, włączające do prognozy skutki ostatnio zrealizowanego wahania losowego, przestają się sprawdzać. Duże wahania powodują obarczenie prognoz dużym błędem. Średnia ruchoma działa jak filtr, eliminując z szeregu wahania krótkookresowe. Wyróżnione za to zostają (w obrębie próby) wahania długookresowe. W efekcie dane ulegają wygładzeniu. Metodę tę stosujemy w szeregach bez sezonowości i trendu, za to z dowolnymi wahaniami przypadkowymi. Model średniej ruchomej prostej zakłada, że wartość zmiennej w okresie prognozy będzie równa średniej arytmetycznej z jej k poprzednich wartości gdzie k stała wygładzania, określana z góry na początku obliczeń. Prognoza przy pomocy średniej ruchomej prostej da się opisać 11 z 21

wzorem: y t y P t = 1 k = 1 k t 1 i=t k n i=n k+1 y i (9) y i (10) Prognozując dalej niż na jeden okres ex ante wykonujemzw. prognozę dynamiczną czyli do obliczeń włączamy prognozy wykonane dla okresów wcześniejszych. Ze wzrostem k rośnie efekt wygładzenia. Oparcie się na większej liczbie wyrazów wygładza silniej szereg, ale powoduje wolniejszą reakcję na zmiany poziomu prognozowanej zmiennej. Mniej wyrazów oznacza szybsze odzwierciedlanie zmian wartości z ostatnich okresów, ale na prognozę silniej wpływają wahania przypadkowe. Trudno jednoznacznie wskazać obiektywne kryterium, które pomogłoby dobrać stałą wygładzania. W literaturze znajdziemy jedynie sugestie odnośnie wartości tego parametru. Mimo iż dobór stałej jest arbitralny, należy zwrócić uwagę na fakt utraty części informacji z początkowych k okresów. Jest to spowodowane sposobem, w jaki wyznaczamy pierwszą prognozę ex post. Dlatego należy unikać wygładzania zbyt silnego, ograniczającego możliwość zweryfikowania jakości prognoz. Tabela 4: Przykład prognoz metodą średniej ruchomej prostej Stała wygładzania Okres (t) Dane (y) k =2 k =4 1 3 2 5 3 2 4 4 4 3,5 5 6 3 3,5 6 2 5 4,25 7 3 4 3,5 8 3 2,5 3,75 9 4 3 3,5 10 3,5 3 11 3,75 3,25 W tabeli 4 znajdują się przykładowe prognozy otrzymane przy pomocy dwóch średnich ruchomych o stałych wygładzania równych odpowiednio 2 oraz 4. Zwróćmy uwagę na dwie rzeczy: po pierwsze wzrost stałej wygładzania oznacza utratę większej liczby obserwacji z początkowych okresów, po drugie prognozy na okres 11 mają charakter dynamiczny. Na przykład dla stałej k=2 prognoza w tym okresie powstała z wartości rzeczywistej z okresu 9 i prognozy na okres 10. Wykres na rysunku 3 prezentuje w jaki sposób wysokość stałej k wpływa na efekt wygładzenia prognoz na przykładzie danych zawartych w tabeli 4. Przy stałej wygładzania równej 4 wygładzeniu ulegają nawet wysokie wahania przypadkowe, których wpływ wciąż jest widoczny w prognozach dla niższego k. W metodzie średniej ruchomej prostej wszystkie obserwacje wykorzystywane do wyznaczenia prognozy mają takie samo znaczenie, niezależnie od tego, z jak odległej przeszłości pochodzą. 12 z 21

6 5 Dane/Prognozy 4 3 2 dane k=2 k=4 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Okresy Rysunek 3: Efekt wygładzania w średniej ruchomej prostej() Logicznym wydaje się, że na bieżący poziom zjawiska większy wpływ powinny mieć niedawno zaistniałe czynniki. Z kolei te z nich, które zaznaczyły swoją obecność w bardziej odległej przeszłości, w mniejszym stopniu kształtują prognozowaną zmienną. Zakładamy, że obserwacje nowsze powinny mieć większą wagę niż starsze. Nazywamo efektem postarzania informacji. Na tym założeniu bazuje metoda średniej ruchomej ważonej: y t = y P t = t 1 i=t k n i=n k+1 y i w i (11) y i w i (12) Występujące w metodzie wagi w i spełniać muszą następujące założenia: 0 w 1 w 2... w k 1 k w i = 1 Pierwsze z założeń to właśnie efekt postarzania informacji. Im dalej sięgamy w przeszłość, tym wagi stają się niższe. W metodzie średniej ruchomej ważonej należy określić nie tylko stałą wygładzania, ale i poziomy poszczególnych wag. Może to sprawić sporą trudność, ponieważ często brak wartościowych przesłanek pozwalających określić, w jakim stopniu dana pochodząca ze wskazanego okresu ma wpływać na wartość prognozy. Warto również wspomnieć, że w metodzie średniej ruchomej ważonej efekt wygładzenia zależy nie tylko od stałej wygładzania, ale i od wartości samych wag. Wyższe wagi dla starszych obserwacji powodują silniejsze wygładzanie prognoz. W tabeli 5 znalazł się przykład prognoz metodą średniej ruchomej ważonej, w której zastosowano trzy wagi wynoszące odpowiednio: w 1 = 0,05, w 2 = 0,15 i w 3 = 0,8. Wyjściowe dane są te same jak w tabeli 4. Dla okresu 11 wykonać należy prognozę dynamiczną, w której najwyższa waga przypada na prognozę dla okresu 10. 13 z 21 i=1

Tabela 5: Przykład prognoz metodą średniej ruchomej ważonej Okres (t) Dane (y) Prognoza 1 3 2 5 3 2 4 4 2,5 5 6 3,75 6 2 5,5 7 3 2,7 8 3 3 9 4 2,95 10 3,8 11 3,79 Niekiedy (na przykład gdy stwierdzimy występowanie w szeregu trendu liniowego) używa się podwójnej średniej ruchomej. Wygładzony (średnią prostą lub ważoną) szereg wygładza się powtórnie. W obu metodach średnich ruchomych uwzględnia się tylko k ostatnich wartości zmiennej prognozowanej. 6 Metody wygładzania wykładniczego 6.1 Metoda Browna Modele wygładzania wykładniczego można potraktować jako uogólnienie metod naiwnych. Filtruje się w nich zakłócenia, aby zredukować nadmierny wpływ ostatnich obserwacji, a jednocześnie zachować korzyści jakie daje wykorzystanie ostatniej i przedostatniej realizacji zmiennej. 1 Da się udowodnić, że występująca w metodzie Browna waga wynosi k gdzie k to stała wygładzania ze średniej ruchomej. Dlatego metodej używamy do szeregów o takich samych elementach dekompozycji jak w przypadku średniej. Ma ona jednak tę zaletę, że nie tracimy aż tak wielu informacji wyznaczając pierwszą prognozę ex post. W metodzie Browna wprowadzamy tzw. parametr wygładzania α < 0, 1 >. Prognozy za jej pomocą otrzymujemy następująco: y t = α 1 + (1 α)y t 1 (13) y P t = y n + (1 α)y P t 1 (14) Analizując powyższe wzory zauważymy, że prognoza na dany okres jest średnią ważoną ostatniej dostępnej realizacji zmiennej oraz prognozy wyznaczonej na okres poprzedni (wagą jest parametr wygładzania). Wartość (α) dobieramy eksperymentalnie, zazwyczaj minimalizując średnią z popełnianych błędów prognoz ex post. Im α bliższe 0 tym prognoza y t+1 staje się bliższa y t, a co za tym idzie, szereg ulega silniejszemu wygładzeniu. Z tego powodu parametr wygładzania ma bardzo duże znaczenie. Problem stanowi drugi okres ex post, od którego rozpoczynamy proces prognozowania. Jako wartość y 2 przyjmujemy najczęściej początkową wartość zmiennej prognozowanej (y 1) lub średnią arytmetyczną rzeczywistych wartości zmiennej prognozowanej z próbki wstępnej np. z 3 pierwszych wartości. 14 z 21

Poszukując parametru α tak, aby błędy ex post były jak najniższe nie zawsze uzyskujemy w pełni zadowalające wyniki. W praktyce dobiera się α 0,5. Jeżeli okaże się, że parametr ten powinien być jednak większy od 0,5 wtedy najprawdopodobniej w szeregu występuje trend lub sezonowość. W tabeli 6 oraz na wykresie na rysunku 4 znalazły się przykładowe prognozy dla dwóch wariantów modelu Browna różniących się stopniem wygładzenia. Tabela 6: Przykład prognoz metodą Browna Parametr wygładzania Okres (t) Dane (y) α = 0,1 α = 0,4 1 3 2 5 3 3 3 2 3,2 3,8 4 4 3,08 3,08 5 6 3,172 3,448 6 2 3,4548 4,4688 7 3 3,3093 3,4813 8 3 3,2784 3,2888 9 4 3,2505 3,1733 10 3,3255 3,5040 11 3,3929 3,7024 6 5 Dane/Prognozy 4 3 2 dane α = 0,4 α = 0,1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Okresy Rysunek 4: Prognozy i wygładzanie w metodzie Browna 6.2 Metoda Holta Metoda ta może być traktowana jako uogólnienie metody naiwnej z trendem liniowym. Stosuje się ją dla szeregów, w których występują małe wahania przypadkowe i trend liniowy, lecz nie 15 z 21

ma w nich sezonowości. Wygładzenie obejmuje zarówno poziom zmiennej jak i jej przyrost. W metodzie Holta ustalamy dwa parametry: α < 0, 1 > parametr wygładzający wahania losowe; β < 0, 1 > parametr wygładzającrend. W odróżnieniu od poprzednio poznanych metod, w modelu Holta prognozy wyznaczamy w drugim kroku postępowania. Najpierw bowiem wygładzamy szereg za pomocą następujących równań: gdzie: F t równanie usuwające z szeregu wahania przypadkowe; S t równanie usuwające z szeregu trend. Prognozę obliczamy: F t = α + (1 α)(f t 1 + S t 1 ) (15) S t = β(f t F t 1 ) + (1 β)s t 1 (16) y t = F t 1 + S t 1 (17) y P t = F n + hs n (18) Po raz kolejny potrzebujemy wartości startowych (F 1 i S 1 ). Za F 1 można przyjąć y 1 a za S 1 różnicę y 2 y 1. Podobnie jak w przypadku metody Browna, parametry znajdujemy numerycznie minimalizując wybrany błąd prognoz ex post. W tabeli 7 zawarte zostały przykładowe prognozy metodą Holta z parametrami: α = 0,3 i β = 0,4. Tabela 7: Przykład prognozy metodą Holta Okres (t) Dane (y) F t S t Prognoza 1 101 101 1 2 102 102 1 102 3 104 103,3 1,12 103 4 104 104,294 1,0696 104,42 5 103 104,6545 0,7860 105,3636 6 105 105,3083 0,7331 105,4405 7 108 106,6290 0,9681 106,0415 8 109 108,0180 1,1365 107,5972 9 111 109,7081 1,3579 109,1545 10 111,0661 11 112,4240 6.3 Metoda Wintersa W metodzie Wintersa w szeregu mogą wystąpić wahania losowe, trend (liniowy) oraz sezonowość (addytywna lub multiplikatywna). Zakładamy, że efekty sezonowe w skali roku sumują się do zera (lub ich iloczyn równy jest jedności). Wygładzeniu ulegają zatem trzy elementy: poziom zmiennej, przyrost oraz sezonowość. Wystąpią więc trzy parametry (wszystkie przyjmują wartości z przedziału < 0, 1 >). Odpowiednio: 16 z 21

α parametr wygładzający wahania przypadkowe; β parametr wygładzającrend; γ parametr wygładzający sezonowość. Jeśli efekt danego sezonu jest stały w czasie stosujemy model addytywny, a jeśli jest to stały udział efektów sezonowych w wartości zmiennej wersję multiplikatywną. Model Wintera Wariant addytywny: Model Wintera Wariant multiplikatywny: F t = α( C t r ) + (1 α)(f t 1 + S t 1 ) (19) S t = β(f t F t 1 ) + (1 β)s t 1 (20) C t = γ( F t ) + (1 γ)c t r (21) F t = α + (1 α)(f t 1 S t 1 ) C t r (22) S t = β(f t F t 1 ) + (1 β)s t 1 (23) C t = γ F t + (1 γ)c t r (24) gdzie: F t ocena wartości średniej (czyści z wahań losowych); S t ocena przyrostu trendu; C t ocena sezonowości. r długość cyklu sezonowego (dla 1/2 roku r=2, dla 1/4 r=4) Prognoza dla modelu addytywnego: Prognoza dla modelu multiplikatywnego: y t = F t 1 + S t 1 + C t r (25) y P t = F n + hs n + C t+h r (26) y t = (F t 1 + S t 1 )C t r (27) y P t = (F n + hs n )C t+h r (28) Podobnie jak w poprzednio opisanej metodzie Holta, za F 1 przyjmujemy y 1, zaś za S 1 pierwszą dostępną różnicę. Pierwsze wartości równania wygładzającego z wahań sezonowych (C 1,..., C r ) określamy w zależności od rodzaju tych wahań: dla modelu addytywnego: C m = y m ȳ (29) dla modelu multiplikatywnego: C m = y m ȳ (30) ȳ = 1 r r y i (31) W tabeli 8 zaprezentowaliśmy przykład prognoz otrzymanych przy pomocy addytywnego modelu Wintera (sezonowość kwartalna) z parametrami wynoszącymi odpowiednio: α = 0,8, β = 0,9 i γ = 0,4. i=1 17 z 21

Tabela 8: Przykład prognoz metodą Wintersa Okres (t) Dane (y) F t S t C t Prognoza 1 99-4 2 107 4 3 106 3 4 100 99 8-3 5 103 107 8-4 103 6 108 106,2 0,08 3,12 119 7 109 106,056-0,1216 2,9776 109,28 8 101 104,3869-1,5144-3,1548 102,9344 9 102 105,3745 0,7374-3,7498 98,8725 10 110 106,7264 1,2904 3,1814 109,2319 11 111 108,0213 1,2945 2,9780 110,9944 12 103 106,7869-0,9815-3,4076 106,1610 13 102,0557 14 108,0055 7 Błędy prognoz ex post Wykonując prognozę liczymy się z możliwością popełnienia błędu. Potrafimy go zmierzyć dopiero kiedy upłynie okres czasu, na który ustalono prognozę. Z tego powodu ocena jakości dokonywana jest przede wszystkim dla prognoz ex post choć w przypadku niektórych metod (np. modeli ekonometrycznych) istnieje możliwość oszacowania tzw. oczekiwanego błędu prognozy dla okresów ex ante. Podstawową miarą oceny błędów ex post jest reszta z prognozy. Wyznacza się ją jako przyrost bezwzględny: e t = y t (32) lub względny: e t = y t (33) Znak reszty nie jest z góry określony. Dla prognoz przeszacowanych reszty przyjmują wartości ujemne, a dla niedoszacowanych dodatnie. Lepsza z dwóch to ta prognoza, dla której występują mniejsze błędy. Oceniając jakość dłuższych szeregów czasowych, za lepszą uznajemę metodę, dla której mniejsze błędy występują pod koniec próby. Ogólnie rzecz biorąc, błędy prognoz ex post dadzą się podzielić na dwie grupy: 1. systematyczne; 2. różnokierunkowe. W przypadku błędu systematycznego prognozy są permanentnie przeszacowane lub niedoszacowane. Z błędem różnokierunkowym mamy zaś do czynienia jeśli część prognoz znajdzie się powyżej a część poniżej rzeczywistych realizacji zmiennych. Różnice między nimi ilustruje rysunek 5. Pojedyncze reszty nadają się do oceny jakości prognoz w sytuacji gdy analizowane szeregi nie są długie. Tylko wtedy jesteśmy w stanie przeanalizować oddzielnie każdy okres. W praktyce takie postępowanie okazuje się zbyt uciążliwe, dlatego opracowano miary uśredniające otrzymane wyniki. Występują one (podobnie jak same reszty) w dwóch wariantach: absolutnym i 18 z 21

systematyczny różnokierunkowy y t y t Czas (t) Czas (t) Rysunek 5: Błąd systematyczny i różnokierunkowy w prognozie ex post względnym. Poniżej prezentujemy charakterystykę wybranych miar. Występująca we wzorach wartość S oznacza całkowitą liczbę okresów, dla których obliczono prognozy ex post. Nie dla każdej metody jest ona tożsama z ilością obserwacji występujących w szeregu. Przypomnijmy, że na przykład użycie metody średniej ruchomej oznacza poświęcenie części danych z początkowych okresów. Błąd średni ME = 1 S ( yt ) (34) S t=1 Jest to wielkość mianowana i z tego powodu nie nadaje się do porównywania szeregów wyrażonych w różnych jednostkach. Interpretujemy ją jako średnie przeszacowanie lub niedoszacowanie prognozy. Średni błąd absolutny MAE = 1 S yt (35) S Ta miara również ma miano takie samo jak prognozowana zmienna, ale jej znak jest z góry określony (dodatni). Interpretujemy ją jako średni co do modułu błąd prognozy. Błąd średniokwadratowy MSE = 1 S t=1 S ( yt ) 2 (36) t=1 RMSE = MSE (37) Miano MSE jest podniesione do kwadratu. Z tego powodu interpretujemy zazwyczaj jego wartość po wyciągnięciu pierwiastka czyli RMSE. Średni błąd procentowy MP E = 1 S S t=1 y t (38) Pierwsza z grupy miar względnych. Jak wszystkie pozostałe nie ma określonego znaku a sam błąd interpretujemy jako średnie względne (procentowe) przeszacowanie lub niedoszacowanie prognozy. 19 z 21

Średni absolutny błąd procentowy MAP E = 1 S S yt t=1 (39) Interpretuje się go jako średni co do wartości bezwzględnej błąd popełniany podczas prognozy. Przyjęło się traktować jako dobre takie prognozy, dla których MAPE nie przekracza 5%. Procentowy błąd średniokwadratowy MSP E = 1 S S ( yt yt ) 2 (40) t=1 RMSP E = MSP E (41) Wszystkie błędy względne możemy wyrazić w procentach. Nie mają one miana i nadają się do porównywania prognoz dla szeregów występujących w różnych jednostkach. Między miarami błędów prognoz ex post zachodzą pewne związki, które da się wykorzystać w ocenie jakości użytej metody. Ważne jednak, aby pamiętać, że porównania dokonujemylko w obrębie tej samej grupy (bezwzględnych lub względnych) błędów. Błąd średni może przyjmować wartości zarówno dodatnie jak i ujemne co oznacza, że reszty o przeciwnych znakach będą znosić się wzajemnie. Nazywamo zjawisko kompensacją reszt. W praktyce spotykamy się z nim dość powszechnie. Problem pojawia się, kiedy zarówno dodatnie jak i ujemne reszty przyjmują duże wartości. Zaniża to błąd ME (podobnie będzie w przypadku MPE) sugerując dużo lepsze prognozy niż w rzeczywistości (silna kompensacja reszt). Dlatego błąd ten porównuje się z odpowiadającym mu błędem absolutnym. Zbliżone (w skrajnym przypadku identyczne) wartości ME oraz MAE (bądź MPE oraz MAPE) świadczą o systematycznym przeszacowaniu lub niedoszacowaniu prognoz. Różne wartości oznaczają występowanie reszt różnokierunkowych. Szczególnie duża dysproporcja stanowi sygnał o kompensowaniu się dużych reszt dodatnich i ujemnych. W takiej sytuacji należy zrezygnować z oceny jakości za pomocą błędu średniego i oprzeć się tylko na błędzie absolutnym. Tabela 9: Przykład błędów prognoz ex post dla średniej ruchomej Okres (t) Dane (y) Prognoza Reszty (e t ) e t e 2 t 1 3 2 5 3 2 4 4 5 6 3,5 2,50 2,50 6,2500 6 2 4,25-2,25 2,25 5,0625 7 3 3,5-0,50 0,50 0,2500 8 3 3,75-0,75 0,75 0,5625 9 4 3,5 0,50 0,50 0,2500 10 3 ME MAE MSE 11 3,25-0,1 1,3 2,4750 RMSE 1,5732 Inną niekorzystną sytuacją jest pojawianie się reszt z prognozy o nietypowo dużych wartościach przy czym mogą to być nawet pojedyncze (w skali całej prognozy) przypadki. Stanie się 20 z 21

tak na przykład wtedy, kiedy zastosujemy metodę Holta do szeregów zachowujących się wykładniczo. Zestawienie błędu średniego i absolutnego nie pozwoli wychwycić tego faktu. Dlatego sięgamy po błędy średniokwadratowe. Porównujemy je z odpowiednimi błędami absolutnymi. Istotna różnica między nimi oznacza, że w okresie ex post wystąpiły reszty o nietypowej wysokości. W tabeli 9 znalazły się błędy prognoz ex post obliczone dla danych pochodzących z przykładu ilustrującego wykorzystanie średniej ruchomej prostej o stałej wygładzania równej 4. Są to miary bezwzględne, ale podobną analizę da się wykonać również dla mierników wykorzystujących reszty względne. Analiza wyników z tabeli 9 wskazuje, że prognozy są średnio przeszacowane o 0,1 jednostki. Jednak porównanie wartości ME z MAE, które wyraźnie różnią się między sobą, pozwala wysnuć wniosek, że doszło do znaczącej kompensacji reszt dodatnich i ujemnych. Rzeczywiście, w okresach 5 i 6 mieliśmy do czynienia najpierw ze znacznym niedoszacowaniem a później przeszacowaniem prognoz. Z kolei porównanie średniego błędu absolutnego z RMSE sugeruje, że w szeregu reszt z prognoz ex post pojawiły się nietypowe wartości. Ponownie okazuje się, że za stan ten odpowiadają wyniki w okresach 5 i 6. 21 z 21