Prowadzący: najlepszy Wykonawca: mgr Karolina Paradowska Termin zajęć: - Numer grupy ćwiczeniowej: - Data oddania sprawozdania: - Laboratorium Podstaw Fizyki Ćwiczenie 100a Wyznaczanie gęstości ciał stałych 1. Wstęp teoretyczny Celem ćwiczenia było wyznaczenie gęstości ciała stałego, jakim była metalowa tuleja (prawdopodobnie aluminiowa). Gęstość dowolnej substancji (w stanie stałym tudzież nie) opisana jest ogólnym wzorem: ρ = m V gdzie m to masa badanej substancji, a V to jej objętość. Jednostką gęstości w układzie SI jest kilogram na metr sześcienny, czyli [ kg m 3]. W celu wyznaczenia objętości badanej tulei, zostały zmierzone jej wszystkie wymiary: wysokość, średnica zewnętrzna i średnica wewnętrzna. Każdy pomiar został przeprowadzony 10 razy w celu zwiększenia dokładności pomiaru. Dodatkowo zmierzona została (jeden raz) masa tulei. Pomiary te pozwoliły obliczyć gęstość materiału, z jakiego została wykonana tuleja. Pobocznym celem ćwiczenia było zapoznanie się z niepewnościami pomiarowymi oraz sposobami ich obliczania. W sprawozdaniu zostały wykorzystane wszystkie rodzaje poznanych na zajęciach niepewności, co pozwoliło osiągnąć cel poboczny ćwiczenia. Rys. 1. Poglądowy schemat mierzonego elementu tulei.
. Wyniki pomiarów Przeprowadzone zostały pomiary wysokości h, wewnętrznej średnicy d1 oraz zewnętrznej średnicy d metalowej tulei. Pomiary zostały wykonane 10 razy dla każdej wielkości. Ponadto raz zmierzono masę m badanego elementu. Wyniki przedstawione są w Tabeli I. Z wielokrotnych pomiarów wysokości oraz obu średnic wyznaczone zostały wartości średnie wielkości. Przykładowo dla wysokości h (d1 i d policzone w ten sam sposób): 10 h = 1 10 h i = 1 10 i=1 (3,05 +,95 +,95 + + 3,10 + 3,05 +,95) = 1 10 30,05 = 3,005 [mm] Następnie wyznaczona została niepewność standardowa A wysokości h (policzone analogicznie dla d1 i d): u A (h) = 10 i=1 (h i h ) 10(10 1) = (3,05 3,005) + (,95 3,005) + + (3,05 3,005) + (,95 3,005) 90 = 0,0041 0,01[mm] Niepewność standardowa typu B jest różna dla h, d1 i d, ponieważ h i d1 zostały zmierzone z użyciem suwmiarki, której dokładność wynosi Δpx=0.05 mm, natomiast d zmierzono śrubą mikrometryczną z dokładnością Δpx=0.01 mm. Dla wysokości h: u B (h) = Δ ph 3 = 0.05 = 0,0886 0,09 [mm] 3 Ostateczna niepewność standardowa całkowita wynosi: u(h) = u A (h) + u b (h) = 0,01 + 0,09 = 0,0354635 0,036 [mm] Dla pomiaru masy dokładność wynosi Δpm=0.01 g i tylko na podstawie tej wartości liczona jest niepewność całkowita, która równa się niepewności standardowej typu B: u(m) = u b (m) = 0,01 = 0,00577 [g] 3 lecz pomiar masy był pomiarem elektrycznym, w związku z tym niepewność ta zostaje zaokrąglona do rzędu rozdzielczości miernika, czyli u(m)=0,01 g. Ogólny wzór na objętość walca to: V = πr h gdzie r to promień koła, będącego podstawą walca, a h to jego wysokość. Objętość tulei jest różnicą objętości walca o średnicy podstawy d (średnica zewnętrzna tulei) i objętości walca
o średnicy podstawy d1 (średnica wewnętrzna). Objętość tulei została więc policzona z użyciem poniższego wzoru (jednocześnie zamieniając jednostki na metry): V = πh (( d ) ( d 1 ) ) = πh 4 (d d 1 ) 3,14 3,005 10 3 = ((0,033 10 3 ) (15,75 10 3 ) ) 4 =,7819 10 6 [m 3 ] Mając objętość V oraz masę m, można policzyć gęstość ρ badanego elementu: ρ = m V = 7,49 10 3 = 69,404 [kg,7819 10 6 m 3] Tabela I. Wyniki pomiarów wysokości h, średnicy wewnętrznej d1 oraz średnicy zewnętrznej d wraz z dokładnościami i obliczonymi niepewnościami. Objętość V i gęstość ρ. lp. h d1 d m V ρ x10-3 m x10-3 m x10-3 m x10-3 kg x10-6 m 3 kg/m 3 1 3,05 15,55 0,04,95 14,90 0,03 3,95 15,95 0,04 4 3,00 15,95 0,03 5,90 15,80 0,05 6 3,05 15,85 0,04 7 3,05 15,75 0,01 8 3,10 15,65 0,03 9 3,05 15,95 0,04 10,95 15,90 0,0 xśr 3,005 15,73 0,0330 Δpx 0,05 0,05 0,01 0,01 ua 0,01 0,11 0,0039 ub 0,09 0,09 0,0058 0,0058 u 0,03546 0,10561 0,006934 0,0058 u 0,036 0,11 0,0070 0,01 7,49,78 693 uc 0,0685 61,0747 uc 0,063 6
Niepewność objętości uc(v) to niepewność złożona: u C (V) = ( V h ) u(h) + ( V ) u(d d ) + ( V ) u(d d 1 ) 1 = ( π 4 d π 4 d 1 ) u(h) + ( πh d ) u(d ) + ( πh d 1) u(d 1 ) ( π 4 (0,033 10 3 ) π 4 (15,75 10 3 ) ) (0,036 10 3 ) π 3,005 10 3 = + ( 0,033 10 3 ) (0,0069 10 3 ) π 3,005 10 3 + ( 15,75 10 3 ) (0,11 10 3 ) = 0,06850 10 6 0,063 10 6 [m 3 ] W podobny sposób policzona została niepewność gęstości uc(ρ): u C (ρ) = ( 1 V ) u(m) + ( m V ) u(v) 1 7,49 = (,78 10 6) (0,063 10 6 ) 10 3 + ( (,78 10 6 ) ) 3. Ostateczne wyniki = 61,07474 6 [ kg m 3] Ostateczne wyniki wraz z zaokrągleniami: Wysokość h: (3,005±0,036) 10-3 m Średnica wewnętrzna d1: (15,73±0,11) 10-3 m Średnica zewnętrzna d: (0,0330±0,0070) 10-3 m Masa m: (7,49±0,01) 10-3 kg Objętość V: (,78±0,063) 10-6 m 3 Gęstość : (693±6) kg/m 3 (0,063 10 6 ) 4. Dyskusja i wnioski Celem ćwiczenia było wyznaczenie gęstości metalowego elementu tulei. W tym celu zostały zmierzone wszystkie jego wymiary wysokość h, wewnętrzna średnica d1 oraz zewnętrzna średnica d. Na ich podstawie wyznaczona została objętość V elementu. Został on dodatkowo zważony, dzięki czemu możliwe było obliczenie jego gęstości, wynoszącej 693±6 kg/m 3. Porównując z literaturą, można jednoznacznie stwierdzić, że materiał, z jakiego został wykonany element, to aluminium [1,], którego gęstość wynosi 699 kg/m 3.
Niepewność gęstości u(ρ)=6 kg/m 3 stanowi około.3% obliczonej wartości gęstości elementu, co wskazuje na wysoką dokładność przeprowadzonych pomiarów. Literatura [1] https://physics.nist.gov/cgi-bin/star/compos.pl?matno=013 [] http://www.matweb.com/search/datasheet.aspx?bassnum=ameal00&ckck=1