Matematyka finansowa 2.06.2001 r. 3. Inwe 2!%3'(!!%3 $'!%4&!! &,'! * "! &,-' ryzyko inwestycji odchyleniem standardowym stopy zwrotu ze swojego portfela. Jak *!&! $!%3$! %4 A.,. B. spadnie o 5% C. spadnie o 10% D. spadnie o 7% E. wzro +. 3
Matematyka finansowa 15.06.2002 r. 6. )$4+51006 %$ 120 lub 80! 0 $ $1, ceny akcji wynosi 80%, natomiast spadku 20%. Wolne od ryzyka nat wynosi 8% 3,, $ 0ang. risk-neutral probability), wzrostu ceny akcji do 120. Odp"0$$ % 1# A. 20% B. 45% C. 55% D. 80% E. + 6
Matematyka finansowa 15.06.2002 r. 10. 3" %%$%7-$$ $ % 95 %5.20 (opcja kupna) oraz 2.20 0$ 1 natomiast 9- $ $ % $ % 100 $% 6.20 (opcja kupna) oraz 4.700$1!"0$$ % 1# A. 97.03 B. 96.34 C. 95.43 D. 94.13 E. 93.83 10
Matematyka finansowa 12.10.2002 r. 2. Przyjmijmy nast puj ce oznaczenia: C - P - E - S - n - cena europejskiej opcji Call cena europejskiej opcji Put cena wykonania opcji obecna cena akcji okres do wykonania opcji - nat enie oprocentowania, 0 x - cena akcji w chwili wykonania Które z poni szych stwierdze s prawdziwe: (i) Dla opcji europejskiej je eli C > P to E S exp( ), (ii) (iii) Dla ameryka skiej opcji kupna je eli n ro nie to jej cena te ro nie, Cena opcji ameryka skiej jest zawsze wi ksza od ceny opcji europejskiej, 2 dla x 6 (iv) Wyp at W(x) dan wzorem W ( x ) x 4 dla 6 x 8 mo na otrzyma poprzez 4 dla x 8 nast puj c strategi inwestycyjn : Sprzeda opcji Call przy cenie wykonania 8, Zakup opcji Put przy cenie wykonania 6, Zakup opcji Call przy cenie wykonania 4, Sprzeda opcji Put przy cenie wykonania 4. Odpowied : A. tylko (i), (ii) B. tylko (i), (ii), (iii) C. wszystkie (i), (ii), (iii) oraz (iv) D. tylko (ii), (iii) oraz (iv) E. adna z odpowiedzi A, B, C, D nie jest prawid owa 2
Matematyka finansowa 25.01.2003 r. 8. Przyjmijmy nast puj ce oznaczenia dla opcji europejskich: E - cena wykonania opcji, C E - cena europejskiej opcji call przy cenie wykonania E, P E - cena europejskiej opcji put przy cenie wykonania E. Inwestor zamierza zrealizowa strategi inwestycyjn, która posiada nast puj ca funkcj wyp atyw (x) : W ( x ) x 20 120 20 dla dla dla za pomoc zakupu lub sprzeda y odpowiednich opcji. x 140 100 x 140 x 100 Wyznacz koszt realizacji tej strategii inwestycyjnej, je eli wiadomo, e: (i) dane s ceny odpowiednich opcji put i call wynosz : C 100 C 110 C 120 C 140 37,221 34,436 31,937 27,651 P 100 P 110 P 120 P 140 X 40,979 47,710 X (ii) (iii) parytet kupna sprzeda y jest zachowany, na rynku nie wyst puj koszty transakcji. Odpowied (podaj najbli sz warto ): A. -9 B. -3 C. 3 D. 9 E. 15 Uwaga: Koszt dodatni oznacza, e inwestor sumarycznie p aci, natomiast ujemny oznacza, e inwestor otrzymuje kwot w chwili zakupu lub sprzeda y opcji 8
Matematyka finansowa 17.05.2003 2. Przyjmijmy nast puj ce oznaczenia dla opcji europejskich: S E - obecna cena akcji; - cena wykonania opcji; C E - cena europejskiej opcji call przy cenie wykonania E ; P E - cena europejskiej opcji put przy cenie wykonania E ; n - okres do wykonania opcji. Dla pewnej akcji wiadomo, e: (i) CE P E dla E S oraz ka dego n 0 ; (ii) dla n n oraz E S cena opcji call (równa cenie opcji put) wyznaczona ze wzoru 0 Blacka Sholesa wynosi X. Wyznacz, ile b dzie wynosi cena opcji wyznaczona ze wzoru Blacka Sholesa w przypadku gdy: (i) (ii) (iii) (iv) nat enie oprocentowania wzro nie dwukrotnie; wariancja nat enia oprocentowania zmaleje czterokrotnie; obecna cena akcji i cena wykonania wzrosn dwukrotnie; okres do wykonania opcji wzro nie czterokrotnie. Odpowied : A. X 2 B. X C. 2 X D. 2 X E. adna z odpowiedzi A, B, C oraz D nie jest prawid owa 2
Matematyka finansowa 11.10.2003 r. 10. Obecna cena akcji wynosi 100. Wiadomo, e: (i) akcja nie wyp aca dywidendy, (ii) odchylenie standardowe zmienno ci ceny akcji wynosi 20.00%, (iii) roczna stopa oprocentowania wolna od ryzyka wynosi r f 12.00% (ang. annual risk free interest rate). Korzystaj c ze wzoru Blacka- Scholesa wyznacz cen 3 - miesi cznej opcji europejskiej typu Put o cenie wykonania równej 93.084. Do oblicze przyjmij przybli one warto ci ( x ) - dystrybuanty standardowego rozk adu normalnego: x 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 ( x ) 0,5000 0,5199 0,5398 0,5596 0,5793 0,5987 0,6179 0,6368 x 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 ( x ) 0,6554 0,6736 0,6915 0,7088 0,7257 0,7422 0,7580 0,7734 x 0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15 ( x ) 0,7881 0,8023 0,8159 0,8289 0,8413 0,8531 0,8643 0,8749 x 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 1,45 1,5 1,55 ( x ) 0,8849 0,8944 0,9032 0,9115 0,9192 0,9265 0,9332 0,9394 Odpowied (podaj najbli sz warto ): A. 0.29 B. 0.79 C. 1.29 D. 1.79 E. 2.29 10
Matematyka finansowa 06.12.2003 roku 9. Cena europejskiej opcji call akcji firmy X zostaje wyznaczona przy zastosowaniu modelu dwumianowego. Oblicz cen europejskiej opcji call firmy X, je li wiadomo, e termin wykonania wynosi 2 lata i e cena wykonania jest równa 95.00. Wiadomo te, e: (i) obecna cena akcji wynosi 100, (ii) w ka dym z 2 lat cena akcji mo e zmieni si o 20% w odniesieniu do jej warto ci z pocz tku roku, a prawdopodobie stwa zmian s takie same w ka dym roku, (iii) cena europejskiej opcji call firmy X o rocznym terminie wykonania i cenie wykonania równej 95.00 wyznaczona przy zastosowaniu modelu dwumianowego wynosi 9.09, (iv) efektywna roczna stopa procentowa (ang. annual effective interest rate) wynosi i 10.00%. Odpowied (podaj najbli sz warto ): A. 6.87 B. 7.37 C. 7.87 D. 8.37 E. 8.87 9
Matematyka finansowa 17.01.2005 r. 2. Cena akcji spó ki X wynosi 50. Przyjmujemy za o enie, e cena akcji za rok ma rozk ad równomierny na przedziale (30;90). Rozwa my dwa portfele: portfel 1 : zawieraj cy w 100% akcje spó ki X, portfel 2 : zawieraj cy w 100% europejskie opcje call (pozycje d ugie) na akcje spó ki X z cen wykonania 50 Cena opcji wynosi 10. Ile wynosi stosunek wariancji rocznej stopy zwrotu z portfela 2 do wariancji rocznej stopy zwrotu z portfela 1 (podaj najbli sz warto )? A) 10,5 B) 11,5 C) 12,5 D) 13,5 E) 14,5 3
Matematyka finansowa 17.01.2005 r. 3. Inwestor przyjmuje nast puj ce za o enia co do kszta towania si kursu akcji spó ki X : obecna cena akcji wynosi 50, w ka dym z dwóch kolejnych okresów cena akcji mo e zmieni si o + 20% (z prawdopodobie stwem 60%) lub -10% w odniesieniu do jej warto ci z pocz tku okresu, a prawdopodobie stwa zmiany s jednakowe w ka dym okresie. Opcja ameryka ska call "po cenie minimalnej" wyp aca w momencie realizacji (realizacja opcji mo liwa jest na koniec zarówno pierwszego jak i drugiego okresu) ró nic pomi dzy cen akcji w chwili realizacji opcji a minimaln cen akcji w okresie do momentu realizacji opcji (z uwzgl dnieniem ceny pocz tkowej), o ile ta ró nica jest dodatnia. Jak maksymaln cen inwestor by by sk onny zap aci za opcj ameryka sk call po cenie minimalnej (podaj najbli sz warto ) na akcj spó ki X je eli wymaga, aby oczekiwana stopa zwrotu z inwestycji w opcj wynios a co najmniej i = 10% w skali jednego okresu (opcja jest wa na od chwili obecnej przez dwa okresy)? A) 8,30 B) 9,10 C) 9,90 D) 10,70 E) 11,50 4
Matematyka finansowa 10.10.2005 r. 7. Bie ce ceny rocznych europejskich opcji na akcje spó ki X s nast puj ce: cena wykonania 50 60 70 cena call 15 9 5 cena put 13 20 28 Inwestor chce naby instrument wyp acaj cy za rok kwot : 0 o ile cena akcji < 50 120 2 * cena akcji za rok, o ile cena akcji b dzie w przedziale [50,60) 4 * cena akcji za rok 240, o ile cena akcji b dzie w przedziale [60,70) 6 * cena akcji za rok 380, o ile cena akcji >= 70 Ile wynosi cena takiego instrumentu przy za o eniu braku kosztów transakcyjnych oraz braku mo liwo ci arbitra u? (podaj najbli sz warto ) A) 48 B) 52 C) 56 D) 60 E) 64 8
Matematyka finansowa 10.10.2005 r. 8. Rozk ad ceny spó ki A za pó roku jest równomierny na przedziale (10 ; 30). Rozk ad ceny tej spó ki za rok jest równomierny na przedziale (0.6 * X ; 1.6 * X), gdzie X oznacza cen akcji za pó roku. Ile wynosi bie ca warto pó rocznej europejskiej opcji call po 4 PLN na europejsk pó roczn opcj call po 20 PLN na 1 akcj spó ki A? Inwestor wymaga z inwestycji w tak opcj na opcj efektywnej rocznej stopy zwrotu i = 21%. A) 1.00 B) 1.15 C) 1.35 D) 1.55 E) 1.65 Uwaga: Europejska opcja na opcj uprawnia do zakupu w terminie jej zapadalno ci (tutaj po 1/2 roku) za 4 PLN europejskiej opcji (tutaj równie pó rocznej) na akcj spó ki A z cen wykonania 20 PLN 9
Matematyka finansowa 05.12.2005 r. 3. Bie ce ceny rocznych europejskich opcji na akcje spó ki X s nast puj ce: cena wykonania 50 60 70 cena call 15 9 5 cena put 13 20 28 Inwestor chce naby instrument wyp acaj cy za rok kwot : 120 2 * cena akcji za rok, o ile cena akcji < 50 220 4 * cena akcji za rok, o ile cena akcji b dzie w przedziale [50,60) 100 2 * cena akcji za rok, o ile cena akcji b dzie w przedziale [60,70) cena akcji za rok 110, o ile cena akcji >= 70 Ile wynosi cena takiego instrumentu przy za o eniu braku kosztów transakcyjnych oraz braku mo liwo ci arbitra u? (podaj najbli sz warto ) A) 19 B) 22 C) 25 D) 28 E) 31 4
Matematyka finansowa 08.01.2007 r. 2. Przyjmujemy za o enie, e cena akcji spó ki X za rok ma rozk ad równomierny na przedziale <30 ; 90>. Ceny rocznych opcji typu europejskiego wynosz : a) opcji kupna z cen wykonania 70-3 PLN b) opcji sprzeda y z cen wykonania 70-12 PLN Inwestor buduje portfel zawieraj cy wy cznie d ugie pozycje na powy szych opcjach. Przy jakim udziale opcji kupna portfel ma najmniejsz wariancj rocznej stopy zwrotu. Podaj najbli sz warto. A) 18% B) 23% C) 28% D) 33% E) 38% 3
Matematyka finansowa 08.01.2007 r. 4. Roczna opcja typu europejskiego oferuje mo liwo zakupu po cenie 50 PLN jednej akcji spó ki A lub spó ki B (wybranej przez inwestora w momencie realizacji opcji). Inwestor przyjmuje nast puj ce za o enia: rozk ad ceny akcji spó ki A za rok jest równomierny < 40 ; 70 > rozk ad ceny akcji spó ki B za rok jest równomierny < X / 2 ; 1,5 * X >, gdzie X cena akcji spó ki A. Jak maksymaln kwot by by sk onny zap aci inwestor za opcj je eli oczekuje rocznej stopy zwrotu i = 15% z tej inwestycji? Podaj najbli sz warto. A) 9,05 B) 9,75 C) 10,45 D) 11,15 E) 11,85 5
Matematyka finansowa 08.01.2007 r. 8. Rozk ad ceny akcji spó ki X za ½ roku jest równomierny <40 ; 80>. Rozk ad ceny akcji za rok jest równomierny < 0,7 * Y; 1,5 * Y > gdzie Y cena akcji za pó roku. Jak maksymaln cen by by sk onny zap aci inwestor, oczekuj cy efektywnej rocznej stopy zwrotu z inwestycji i=21%, za pó roczn europejsk opcj kupna na d ug pozycj na pó rocznym kontrakcie terminowym opiewaj cym na 1 akcj spó ki X z cen rozliczenia kontraktu 60? Podaj najbli sz warto. Uwaga. Opcja uprawnia jej posiadacza do zaj cia za ½ roku d ugiej pozycji na pó rocznym kontrakcie terminowym. Ewentualne straty z tytu u posiadania kontraktu terminowego dyskontujemy równie stop i. A) 5,57 B) 6,48 C) 7,36 D) 8,29 E) 9,11 9
Matematyka finansowa 17.03.2008 r. 4. Inwestor działający na rynku opcji na akcje otrzymał w momencie t = 0 następujące kwotowania: obecna cena akcji A: 42 PLN, nominalna stopa wolna od ryzyka: 10% w skali roku, europejska opcja kupna na 1 akcje A z ceną wykonania 40 PLN, wygasająca za 3 miesiące kosztuje 3 PLN, europejska opcja sprzedaŝy na 1 akcję A z ceną wykonania 40 PLN, wygasająca za 3 miesiące kosztuje 2.25 PLN. Inwestor uwaŝa, Ŝe wykorzystując jedną akcję A istnieje moŝliwość zrealizowania zysku arbitraŝowego. Strategia arbitraŝowa ma opierać się na zajęciu odpowiednich pozycji na rynku opcji oraz na rynku akcji i instrumentów wolnych od ryzyka. Zysk arbitraŝowy na moment t=0 wynosi (do obliczeń przyjmij kapitalizację ciągłą, dopuszczamy moŝliwość krótkiej sprzedaŝy akcji bez kosztów transakcyjnych): A) 1.66 PLN B) 2.24 PLN C) 2.29 PLN D) 3.00 PLN E) Nie ma zysku arbitraŝowego, inwestor poniesie zawsze stratę 5
Matematyka finansowa 06.10.2008 r. 10. RozwaŜmy amerykańską opcję sprzedaŝy na akcję nie płacącą dywidendy. Termin wygaśnięcia dla tej opcji upływa za 3 lata. Obecna cena akcji wynosi 150 a jej cena wykonania 160. Wiadomo, Ŝe w ciągu kaŝdego roku cena akcji rośnie bądź maleje o 25%. Intensywność oprocentowania wynosi 0.07 (kapitalizacja ciągła). Ile wynosi obecna cena tej opcji przy załoŝeniu braku arbitraŝu? Podaj najbliŝszą wartość. A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 11
Matematyka finansowa 15.12.2008 r. 1. Na rynku dostępna jest europejska opcja kupna na akcję spółki A. Bieżąca cena akcji spółki A wynosi S 0 = 200 PLN. Przyjmujemy dwa scenariusze rozwoju rynku finansowego: scenariusz 1: po roku cena akcji spółki A wzrośnie o 10% scenariusz 2: po roku cena akcji spółki A spadnie o 15%. Inwestor zajmuje długą pozycję w europejskiej opcji kupna wystawionej na akcję spółki A o cenie wykonania równej S 0 i okresie do wykonania równym 1 rok. W celu osłony pozycji inwestor stosuje strategie zabezpieczającą delta hedging polegającą na stworzeniu w chwili t=0 portfela, który replikuje wypłatę z opcji w chwili wykonania. Portfel replikujący składa się z: akcji spółki A w ilości 0 (zakładamy idealną podzielność aktywów) instrumentu wolnego od ryzyka o wartości w chwili t=0 równej B 0. Instrument wolny od ryzyka zarabia w skali roku stopę 6%. Zakładamy, że akcja spółki A nie wypłaca dywidendy. Wartość B 0 instrumentu wolnego od ryzyka wynosi (podaj najbliższą wartość): A) 83.02 PLN (krótka pozycja: inwestor pożycza instrument) B) 64.15 PLN (krótka pozycja: inwestor pożycza instrument) C) 64.15 PLN (długa pozycja: inwestor nabywa instrument) D) 80.00 PLN (długa pozycja: inwestor nabywa instrument) E) 83.02 PLN (długa pozycja: inwestor nabywa instrument) Wskazówka: Mówimy, że portfel replikuje wypłatę z opcji, jeśli jego wartość jest równa wypłacie z opcji w dowolnym momencie i dla dowolnego scenariusza rozwoju rynku finansowego. Przyjmujemy założenia rynku doskonałego i zupełnego. 2
Matematyka finansowa 15.12.2008 r. 2. Na rynku dostępne są europejskie opcje kupna i sprzedaży wystawione na ten sam instrument bazowy o cenach wykonania X 1, X 2, X 3 (gdzie X 1 < X 2 < X 3 ) z okresem do wykonania równym T. Poniższa tabela zawiera obecne (t = 0) koszty zajęcia pozycji w opcjach: Koszt opcji Cena wykonania X 1 X 2 X 3 Opcja kupna c 1 c 2 c 3 Opcja sprzedaży p 1 p 2 p 3 Inwestor zajmuje pozycje w opcjach w chwili t=0. Funkcja wypłaty inwestora (uwzględniająca początkowe koszty zajęcia pozycji) w zależności od ceny instrumentu bazowego w momencie wykonania opcji wyraża się wzorem: F S T = X 1 S T + (p 1 2c 2 + 4c 3 ) e 0.06 T gdy S T < X 1 (p 1 2c 2 + 4c 3 ) e 0.06 T gdy X 1 S T < X 2 2 S T X 2 + (p 1 2c 2 + 4c 3 ) e 0.06 T gdy X 2 S T < X 3 2S T 2X 2 + 4X 3 + (p 1 2c 2 + 4c 3 ) e 0.06 T gdy S T X 3 Gdzie S T jest ceną instrumentu bazowego w momencie wykonania opcji. Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 6% (zakładamy kapitalizację ciągłą). Podaj strategie generującą funkcję wypłaty F: A) Dwie długie pozycje w opcji kupna o cenie wykonania X 1, cztery krótkie pozycje w opcji sprzedaży o cenie wykonania X 2, jedna krótka pozycja w opcji sprzedaży o cenie wykonania X 3. B) Długa pozycja w opcji sprzedaży o cenie wykonania X 1, dwie krótkie pozycje w opcji kupna o cenie wykonania X 2, cztery długie pozycje w opcji kupna o cenie wykonania X 3. C) Krótka pozycja w opcji sprzedaży o cenie wykonania X 1, dwie długie pozycje w opcji kupna o cenie wykonania X 2, cztery krótkie pozycje w opcji kupna o cenie wykonania X 3. D) Dwie długie pozycje w opcji kupna o cenie wykonania X 1, dwie krótkie pozycje w opcji sprzedaży o cenie wykonania X 2, dwie długie pozycje w opcji sprzedaży o cenie wykonania X 3. E) Cztery długie pozycje w opcji kupna o cenie wykonania X 1, dwie krótkie pozycje w opcji kupna o cenie wykonania X 2, jedna długa pozycja w opcji sprzedaży o cenie wykonania X 3. 3