Akademia Górniczo-Hutnicza Wstęp do grafiki inżynierskiej Rzuty prostokątne Prokop ŚRODA Marcin KOT Wydawnictwo Naukowe AKAPIT
Recenzenci: prof. dr hab. inż. Wiesław Rakowski dr hab. inż. Jerzy Zych Rozdziały 1-6, 9 i 11 opracowanie: dr inż. Prokop Środa, dr inż. Marcin Kot Rozdziały 7, 8 i 10 opracowanie: dr inż. Prokop Środa Copyright by Wydawnictwo Naukowe AKAPIT, Kraków 2009 Printed in Poland Książkę można zamówić drogą elektroniczną: wn@akapit.krakow.pl Wydanie publikacji dofinansowane przez Wydział Odlewnictwa Akademii Górniczo-Hutniczej ISBN 978-83-60958-48-3 Wydawnictwo Naukowe Akapit, Kraków tel./fax (012) 280-71-51; www.akapit.krakow.pl e-mail: wn@akapit.krakow.pl Nakład: 200 egz.
SPIS TREŚCI Wykaz oznaczeń... 9 Słowo wstępne... 13 Rozdział 1. Przestrzenie: Euklidesa E 3, rzutowa E3 i kreatywna K... 15 1.1. Geometria w przestrzeni Euklidesa E 3... 15 1.2. Kartezjańskie układy odniesienia... 22 1.3. Przestrzeń rzutowa E3... 24 1.4. Geometryczne transformacje utworów w przestrzeni E 3... 25 1.5. Współrzędne jednorodne... 27 1.6. Macierzowy zapis transformacji izometrycznych... 27 1.7. Macierzowy zapis transformacji afinicznych... 31 1.8. Przestrzeń kreatywna K... 32 Rozdział 2. Rzuty Monge a... 35 2.1. Rodzaje rzutów... 35 2.1.1. Rzut środkowy... 35 2.1.2. Rzut równoległy... 36 2.1.3. Rzut prostokątny... 40 2.2. Rzuty Monge a podstawowych elementów geometrycznych (punktu, prostej, płaszczyzny)... 40 2.2.1. Układ rzutni i rzuty punktu... 41 2.2.2. Rzuty prostej... 42 2.2.3. Ślady prostej... 43 2.2.4. Proste szczególne... 44 2.2.5. Odwzorowanie płaszczyzny... 47 2.2.6. Ślady płaszczyzny... 48 2.2.7. Płaszczyzny szczególne... 49 2.3. Elementy przynależne do siebie... 52 2.3.1. Punkt i prosta przynależne do siebie... 52 2.3.2. Prosta i płaszczyzna przynależne do siebie... 53 2.3.3. Punkt i płaszczyzna przynależne do siebie... 58 2.4. Elementy wspólne... 59 2.4.1. Punkt wspólny dwóch prostych... 59 2.4.2. Prosta wspólna dwóch płaszczyzn... 60 2.4.3. Punkt wspólny prostej i płaszczyzny... 64 2.4.4. Punkt wspólny trzech płaszczyzn... 66
6 Wstęp do grafiki inżynierskiej. Rzuty prostokątne 2.5. Elementy równoległe... 67 2.5.1. Proste równoległe... 68 2.5.2. Płaszczyzny równoległe... 69 2.5.3. Równoległość prostej i płaszczyzny... 71 2.6. Elementy prostopadłe... 73 2.6.1 Prostopadłość prostych... 73 2.6.2 Prostopadłość prostej i płaszczyzny... 74 2.6.3 Prostopadłość płaszczyzn... 76 2.7. Zagadnienia miarowe... 77 2.8. Obroty i kłady... 81 2.8.1. Obrót dookoła prostej... 81 2.8.2. Kład punktu... 83 2.8.3. Kład odcinka... 84 2.8.4. Kład płaszczyzny... 85 2.8.5. Kład płaszczyzny rzutującej... 86 2.8.6. Kład płaszczyzny w położeniu ogólnym... 87 2.9. Transformacje układu odniesienia... 90 2.10. Rzut boczny i rzuty uzupełniające... 96 Rozdział 3 Rzuty wielościanów... 103 3.1. Definicja i klasyfikacja wielościanów... 103 3.2. Przekroje i rozwinięcia wielościanów... 108 3.3. Punkty przebicia wielościanu prostą... 111 3.4. Przenikanie wielościanów... 113 Rozdział 4 Powierzchnie obrotowe i bryły obrotowe... 117 4.1. Sfera (powierzchnia kuli)... 118 4.2. Powierzchnia pierścieniowa (torus)... 119 4.3. Powierzchnia walcowa... 120 4.4. Powierzchnia stożkowa... 124 4.5. Przekroje powierzchni stożkowej obrotowej... 125 4.6. Hiperboloida jednopowłokowa obrotowa... 127 Rozdział 5 Krzywe i powierzchnie śrubowe... 129 5.1. Linia śrubowa walcowa... 129 5.2. Linia śrubowa stożkowa... 130 5.3. Powierzchnie śrubowe... 131 Rozdział 6 Przenikanie powierzchni... 135 Rozdział 7 Krzywe i powierzchnie Béziera... 141 7.1. Krzywe Béziera... 141 7.1.1. Sposoby modyfikacji krzywych Béziera... 144
Spis treści 7 7.2. Powierzchnie Béziera... 150 7.2.1. Modyfikacja powierzchni Béziera... 151 Rozdział 8 Powierzchnie Coonsa i Catalana... 155 8.1. Powierzchnie Coonsa... 155 8.2. Powierzchnie Catalana... 156 Rozdział 9 Rzut aksonometryczny... 159 9.1. Pojęcia podstawowe... 160 9.2. Współczynniki deformacji liniowych... 161 9.3. Układ osi aksonometrycznych... 162 9.4. Podstawowe równanie aksonometrii... 162 9.5. Współrzędne aksonometryczne... 164 9.6. Rodzaje aksonometrii... 168 9.7. Aksonometrie ukośne... 168 9.7.1. Aksonometria kawalerska... 168 9.7.2. Aksonometria wojskowa... 170 9.8. Aksonometria prostokątna... 175 9.8.1. Skrócenia aksonometrii prostokątnej... 175 9.8.2. Podstawowe równanie aksonometrii prostokątnej... 176 9.8.3. Izometria prostokątna... 176 9.8.4. Współczynnik skali... 177 9.8.5. Dimetria prostokątna... 178 9.8.6. Anizometria prostokątna... 180 9.8.7. Aksonometria prostokątna okręgu... 184 Rozdział 10 Rzutowanie w grafice komputerowej... 189 10.1. Określenie obiektu geometrycznego... 189 10.2. Konstruktywna geometria brył... 191 10.3. Rodzaje rzutów i parametry rzutowania... 193 10.4. Obcinanie przez bryłę widzenia... 194 10.5. Rzutowanie prostokątne (ortogonalne) w układzie rzutni Monge a... 197 10.6. Rzutowanie prostokątne na rzutnię dowolną (rzut aksonometryczny prostokątny)... 200 Rozdział 11 Rysunki dodatkowe... 209 Uwaga końcowa... 214 Bibliografia... 216
SŁOWO WSTĘPNE Od zarania dziejów ludzkość dążyła i dąży obecnie do utrwalenia w czasie i przekazania następnym pokoleniom informacji o zaistniałych zdarzeniach, ideach i odkryciach naukowych. Rysunki naskalne w jaskini Lascaux (Francja) 17000 p.n.e., piramidy egipskie 2500 p.n.e., odkopany w roku 1974 grobowiec chińskiego cesarza Qin Shi Huangdi z 7000 terakotowymi żołnierzami (rys. 11.1), a w obecnych czasach wysłanie w przestrzeń międzygwiezdną statku kosmicznego. który ma na swoim pokładzie pozłacaną aluminiową płytkę z wytrawionym rysunkiem przedstawiającym: atom wodoru, planety układu słonecznego, położenie Słońca względem 14 pulsarów oraz postać mężczyzny i kobiety (rys. I), są tylko tego wybranymi przykładami. Potrzeba wzajemnej komunikacji była przyczyną powstania różnych języków i odpowiadającym im pism jak np.: pismo klinowe w Babilonie (rys. II), pismo obrazkowe w Egipcie czy np. zapis węzełkowy na sznurach w Peru (rys. III). Współczesna cywilizacja stosuje odmienne zapisy (języki) w różnych dziedzinach np.: w chemii, fizyce, matematyce zapis symbolowy, w informatyce zapis zerojedynkowy, w geodezji i kartografii rzut cechowany, nauki inżynieryjne rzutowanie prostokątne, w malarstwie rzut środkowy czyli tzw. perspektywa. Oprócz tego istnieją język Morse a, Braila, język znaków drogowych itp. Rys. I
14 Wstęp do grafiki inżynierskiej. Rzuty prostokątne Tak szybki rozwój techniki w XIX, XX i obecnym wieku nie miałby miejsca gdyby nie opracowano zapisu na płaskim arkuszu papieru kształtu i rozmiarów przedmiotów trójwymiarowych. Pierwsze opracowania z tego zakresu pochodzą od francuskiego matematyka G. Monge a (1746-1818). Nauka ta rozwijała się pod nazwą geometria wykreślna co było uzasadnione tym, iż konstrukcje geometryczne kreślono ręcznie przy pomocy cyrkla i liniału. Obecnie konstrukcje te wykonuje się najczęściej przy pomocy komputera dlatego autorzy niniejszego opracowania proponują nową nazwę grafika inżynierska. Rys. II Rys. III W pierwszym rozdziale podane zostały pojęcia przestrzeni Euklidesa, rzutowej i kreatywnej oraz omówiono szczegółowo aksjomaty przestrzeni Euklidesa. W rozdziale drugim omówiono zasady rzutów Monge a podstawowych elementów geometrycznych, ich przynależności do siebie, równoległości i prostopadłości. Następnie przedstawiono zagadnienia miarowe i możliwości ich rozwiązywania metodami: obrotu, kładu i transformacji układu odniesienia. Następne rozdziały 3-6 dotyczą rzutów wielościanów, krzywych przestrzennych, powierzchni oraz przenikania powierzchni i brył obrotowych. Dodatkowo uzupełniono podręcznik rozdziałami 7 i 8 dotyczącymi powierzchni Catalana, Coonsa oraz krzywych i powierzchni Béziera. W rozdziale 9 przedstawiono zasady rzutowania aksonometrycznego. W rozdziale 10 omówiono zasady rzutowania w grafice komputerowej. Podręcznik jest przystosowany do nauczania na studiach technicznych na kierunkach, które mają w programach grafikę inżynierską opartą na rzutowaniu prostokątnym. W szczególności adresowany jest do studentów Wydziału Odlewnictwa AGH w Krakowie.