BOGDAN SAPIŃSKI, JACEK SNAMINA, MATEUSZ ROMASZKO WYNIKI BADAŃ DOŚWIADCZALNYCH DRGAŃ WYMUSZONYCH BELKI Z CIECZĄ MAGNETOREOLOGICZNĄ EXPERIMENTAL RESULTS OF FORCED VIBRATIONS OF THE BEAM WITH MAGNETORHEOLOGICAL FLUID S t r e s z c z e n i e A b s t r a c t W artykule przedstawiono wyniki badań drgań wymuszonych trójwarstwowej belki wspornikowej z cieczą magnetoreologiczną (MR). Ruch belki wywoływano sinusoidalnie zmiennym przemieszczeniem uchwytu mocującego jeden koniec belki. Rejestrowano wymuszenie (przemieszczenie utwierdzenia) i odpowiedź (przemieszczenie swobodnego końca belki). Na podstawie otrzymanych wyników wyznaczono charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe. Słowa kluczowe: drgania, belka, ciecz MR, charakterystyki częstotliwościowe The study covers the identification of model parameters of a three-layered cantilever beam with a magnetorheological (MR) fluid. The beam s motion was induced by applying sinusoidal variable displacements of the beam s fixture on one end. The excitation signal (displacement of the fixture) and the response signal (displacement of the beam s free end) were registered. The results were utilised to obtain the time and frequency characteristics of the investigated plant. Keywords: vibration, beam, MR fluid, frequency characteristics Prof. dr hab. inż. Bogdan Sapiński, dr hab. inż. Jacek Snamina, mgr inż. Mateusz Romaszko, Katedra Automatyzacji Procesów, Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki, AGH Akademia Górniczo-Hutnicza.
216 1. Wstęp Ciecze MR należą do grupy materiałów inteligentnych, które pod działaniem pola magnetycznego wykazują zmianę swoich właściwości reologicznych. Najważniejszą z nich jest możliwość zmiany lepkości. W związku z tym zmianie ulegają charakterystyki sztywności i tłumienia. Ponieważ zmiany te następują w bardzo krótkim czasie (rzędu milisekund), ciecze MR nadają się do zastosowania w układach charakteryzujących się dużą dynamiką [3, 4, 5, 6]. Na obecnym etapie projektu realizowanego przez autorów pracy, obiektem badań była trójwarstwowa belka wspornikowa, w której pomiędzy dwiema warstwami aluminium znajduje się warstwa cieczy MR [7]. Celem przedstawionych w pracy badań jest redukcja drgań poprzecznych belki przez oddziaływanie polem magnetycznym. W artykule przedstawiono wyniki badań drgań wymuszonych doświadczalnej belki z cieczą MR przy oddziaływaniu pola magnetycznego. 2. Budowa belki Schemat belki przedstawiono na rys. 1. Belkę zbudowano z dwu warstw aluminium o wymiarach: długość l = 400 mm, grubość h 1 = 2 mm, szerokość b = 30 mm. Przestrzeń między warstwami uszczelniono gumą silikonową o szerokości g = 1,5 mm i wysokości h 2 = 2 mm. Wnętrze belki wypełniono cieczą MR typu 132DG firmy Lord Corporation [6]. Założono, że wysokość warstwy cieczy MR będzie równa wysokości uszczelnienia gumowego h 2. Belkę zamocowano do elektrodynamicznego wzbudnika drgań. Rys. 1. Budowa belki: a) przekrój wzdłużny, b) przekrój poprzeczny Fig. 1. Structure of the beam: a) longitudinal section, b) cross section Dla tak zaprojektowanej belki wykonano obliczenia częstotliwości i bezwymiarowego współczynnika tłumienia dla pierwszej formy drgań własnych w przypadku obecności pola magnetycznego oraz przy jego braku [1, 2]. 3. Stanowisko badawcze Badania przeprowadzono na stanowisku, którego schemat przedstawiono na rys. 2. Badano drgania wymuszone belki, rejestrując odpowiednio: wymuszenie kinematyczne z 1 i przemieszczenie swobodnego końca belki z 2. Pomiary wykonano, zmieniając położenie elektromagnesu y m (mierzone od punktu utwierdzenia belki do środka rdzenia elektromagnesu) i natężenia prądu I zasilającego elektromagnes.
217 Rys. 2. Schemat stanowiska badawczego Fig. 2. Schematic diagram of the experimental set-up Jeden z końców belki zamocowano do rdzenia elektrodynamicznego wzbudnika drgań TIRA S514. Rdzeń wzbudnika wykonywał ruch opisany współrzędną z 1 (t) w kierunku prostopadłym do osi belki. Wzbudnik sterowano przez moduł LMS SCADAS III obsługiwany przez komputer z oprogramowaniem TestLab. Do sterowania wzbudnikiem wykorzystano akcelerometr piezoelektryczny firmy PCB Piezoelectronics M345C03. Sygnał sterujący był wzmacniany przez wzmacniacz TIRA BAA500. Do pomiaru przemieszczenia wymuszenia kinematycznego oraz przemieszczenia swobodnego końca belki posłużyły dwa laserowe przetworniki przemieszczenia SENSOPART FT50RLA. W pomiarze wykorzystano system pomiarowy składający się z komputera przenośnego i karty pomiarowej firmy National Instruments. Akwizycja danych odbywała się przez kartę oraz oprogramowania DasyLab. 4. Wyniki pomiarów Ruch belki wymuszano sygnałem sinusoidalnym o stałej amplitudzie i zmiennej (skokowo) częstotliwości w zakresie od 6 do 12 Hz z krokiem 0,2 Hz, a w otoczeniu częstotliwości rezonansowej z krokiem 0,1 Hz. Zgodnie z [1, 2] częstotliwość rezonansowa zależy od położenia elektromagnesu i natężenia prądu I. Zmiany częstotliwości sygnału wymuszającego następowały w takich odstępach czasu, aby możliwa była rejestracja ustalonych drgań układu z dominującą pierwszą formą drgań własnych. Badania przeprowadzono dla położeń elektromagnesu: y m = 80, 110 i 140 mm oraz prądu o natężeniu: I= 2, 3, 4 i 5 A. Na rysunkach 3 i 4 przedstawiono przykładowe wyniki pomiarów. Na tych rysunkach przyjęto następujące oznaczenia: a) wymuszenie kinematyczne z 1 (t), b) częstotliwość wymuszenia f(t), c) przemieszczenie z 2 (t) swobodnego końca belki, d) powiększenie fragmentu przebiegu z 2 (t). Zarejestrowano również przemieszczenie końca belki z cieczą MR przy braku pola magnetycznego. Na podstawie zarejestrowanych sygnałów z 1 (t) i z 2 (t) wyznaczono charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe.
218 Rys. 3. Wyniki pomiarów: y m = 80 mm, I = 2 A Fig. 3. Measurement results: y m = 80 mm, I = 2 A Rys. 4. Wyniki pomiarów: y m =140 mm, I=5 A Fig. 4. Measurement results: y m =140 mm, I=5 A 5. Model belki Do wyznaczenia charakterystyk amplitudowych w zakresie częstotliwości, w których dominuje pierwsza forma drgań, przyjęto model belki o jednym stopniu swobody. Schemat belki z układem współrzędnych z, y przedstawiono na rys. 5.
219 Rys. 5. Schemat belki w układzie współrzędnych Fig. 5. Schematic diagram of the beam in co-ordinate system Przemieszczenie dowolnego przekroju belki w(y, t) jest sumą przemieszczenia utwierdzenia z 1 (t) oraz przemieszczenia związanego ze zginaniem belki. Przemieszczenie związane ze zginaniem belki można opisać, wprowadzając przybliżoną formę drgań wymuszonych ψ(y), tak aby były spełnione warunki kinematyczne: ψ(0) = 0, ψ (0) = 0 i warunek normalizacyjny ψ(l ) = 1. Ostatecznie przemieszczenie dowolnego przekroju belki ma postać: w( y, t) = z ( t) + A( t) ψ ( y) (1) 1 Przemieszczenie swobodnego końca (y = l) belki opisane jest zatem równaniem: z ( t) = z ( t) + A( t) (2) 2 1 Wykorzystując równanie Lagrange a II rodzaju, wyprowadzono równanie opisujące przemieszczenie względne A(t) swobodnego końca belki. Równanie to ma postać: A ɺɺ + 2ξω A ɺ + ω A = ɺɺ z κ (3) 2 0 0 1 gdzie: ω 0 pierwsza częstością drgań własnych, ξ bezwymiarowy współczynnik tłumienia, κ współczynnik kształtu pierwszej formy drgań określony wzorem: κ = 0 l 0 l ψ( y) dy 2 ψ ( y) dy (4) Moduł transmitancji częstotliwościowej (charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa) pomiędzy wejściem z 1 i wyjściem z 2 wyraża się wzorem: η = 2 2 2 2 2 2 0 0 [ ω + ( κ 1) ν ] + 4ω ξ ν 2 2 2 2 2 2 0 + ω0ξ ν ( ω ν ) 4 (5)
220 Jeśli forma drgań wymuszonych ψ(y) byłaby opisana funkcją: πy ψ ( y) = 1 cos, 2l to współczynnik kształtu κ miałby wartość: (6) 2( π 2) 1,6 3π 8 Równanie opisujące charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową wykorzystano do identyfikacji parametrów przyjętego modelu belki: ω 0, ξ, κ. Parametry modelu dobrano, wykorzystując metodę najmniejszych kwadratów błędów. (7) 6. Oszacowanie parametrów drgań belki Do wyznaczenia częstotliwości drgań własnych f o = ωo / 2 π, bezwymiarowego współczynnika tłumienia ξ i współczynnika kształtu κ wykorzystano model belki przedstawiony w punkcie 5. Na rysunku 6 przedstawiono porównawcze charakterystyki uzyskane na podstawie zarejestrowanych przebiegów czasowych (linia przerywana) z charakterystykami wyznaczonymi z modelu obliczeniowego (linia ciągła) dla czterech różnych przypadków. Rys. 6. Charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa belki: a) bez pola magnetycznego, b) y m = 80 mm, I = 2 A, c) y m = 110 mm, I = 3 A i d) y m = 140 mm, I = 5 A Fig. 6. Frequency characteristic of the beam: a) with no magnetic field, b) y m = 80 mm, I = 2 A, c) y m =110 mm, I = 3 A i d) y m = 140 mm, I = 5 A
221 Charakterystyki z rys. 6 pokazują, że zaproponowany model o jednym stopniu swobody z wprowadzonym współczynnikiem kształtu pierwszej formy drgań wymuszonych, dokładnie opisuje ruch końca belki. Różnice między charakterystyką częstotliwościową układu a charakterystyką częstotliwościową wyznaczoną na podstawie obliczeń pojawiają się dla częstotliwości większych od częstotliwości rezonansowej. Spowodowane jest to tym, że w układzie rzeczywistym (ciągłym) uwidacznia się wpływ drugiej formy drgań własnych. W tym przypadku rzeczywista amplituda względem modelu belki jest większa. Na rysunku 7 przedstawiono wyniki identyfikacji parametrów modelu belki wpływ natężenia prądu I na: wartość częstotliwości własnej f o (rys. 7a), wartość bezwymiarowego współczynnika tłumienia ζ (rys. 7a) i wartość współczynnika kształtu κ (rys. 7c) dla różnych położeń elektromagnesu. Linią ciągłą oznaczono wyniki dla położenia elektromagnesu y m = 80 mm, linią kropkowaną y m = 110 mm, a linią kreskowaną y m = 140 mm. Rys. 7. Częstotliwość drgań własnych: a) bezwymiarowy współczynnik tłumienia, b) współczynnik kształtu, c) w funkcji natężenia prądu Fig. 7. Natural frequency: a) dimensionless damping coefficient, b) shape coefficient versus current Przedstawione wykresy (rys. 7a) wskazują, że częstotliwość drgań własnych zmniejsza się wraz ze wzrostem natężenia prądu i przy przemieszczaniu źródła pola magnetycznego w kierunku swobodnego końca belki. Na podstawie rys. 7b wynika, że wraz ze wzrostem natężenia prądu w uzwojeniach elektromagnesu wzrasta wartość bezwymiarowego współczynnika tłumienia ζ. Zależność ta jest silniejsza dla elektromagnesu usytuowanego w y m = 140 mm. Wartości κ wyznaczone w drodze identyfikacji (rys. 7c) mieszczą się w otoczeniu wartości κ = 1,6 obliczonej dla przyjętej funkcji drgań wymuszonych (6). Amplitudy drgań swobodnego końca belki z 2 podczas badań drgań wymuszonych były znacznie większe niż amplitudy drgań swobodnych [1]. Wobec tego nie jest możliwe bez-
222 pośrednie porównanie otrzymanych wartości. Zachowano zależność bezwymiarowego współczynnika tłumienia [2] i częstotliwości drgań własnych od amplitudy. Wynika z niej, że wartość ζ i f o maleje wraz ze wzrostem amplitudy. W przypadku drgań wymuszonych, przy rezonansie obserwujemy znaczny wzrost amplitudy. Dlatego wartości bezwymiarowego współczynnika tłumienia i częstotliwości własnej przy drganiach wymuszonych są mniejsze niż dla drgań swobodnych. 7. Wnioski W artykule opisano badania doświadczalne drgań wymuszonych trójwarstwowej belki wspornikowej z cieczą MR, przeprowadzone na stanowisku, które zaprojektowano specjalnie w tym celu. Posłużyło ono do pozyskania danych. Na podstawie zarejestrowanych przebiegów czasowych wymuszenia i odpowiedzi wyznaczono charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe i dokonano identyfikacji parametrów dynamicznych zaproponowanego modelu belki. Wyniki badań wskazują na możliwości sterowania parametrami belki, przy czym pole magnetyczne ma największy wpływ na zmianę tłumienia struktury, a mniejszy na zmianę jej sztywności. Pracę wykonano w ramach projektu badawczego nr N501 223337. L i t e r a t u r a [1] S a p iński B., S n a m i n a J., R o m a s z k o M., Identification of model parameters of a sandwich beam incorporating magnetorheological fluid, Vibration in Physical Systems, 24, Poznań Będlewo 2010. [2] S n a m i n a J., S a p iński B., R o m a s z k o M., Modelowanie belki z cieczą magnetoreologiczną metodą elementów skończonych, Modelowanie Inżynierskie, 8, Gliwice 2010. [3] Y a l c i n i t a s M., D a i H., Vibration suppression capabilities of magneto- -rheological materials based adaptive structures, Smart Materials and Structures, 13, 2004, 1-11. [4] S u n Q., Z h o u J.X., Z h a n g L., An adaptive beam model and dynamic characteristics of magnetorheological materials, Journal of Sound and Vibration, 261, 2003, 465-81. [5] Y e h Z.F., S h i h Y.S., Dynamic characteristics and dynamic instability of magnetorheological based adaptive beams, Journal of Composite Materials, 40, 2006, 1333-1359. [6] L a r a - P r i e t o V., P a r k i n R., J a c k s o n M., S i b e r s c h m i d t V., Kęsy Z., Vibration characteristics of MR cantilever sandwich beams experimental study, Smart Materials and Structures, 19, 2010, 1-9. [7] US Patent 5547049, Magnetorheological Fluid Composite Structure.