Logika 2 Logiki temporalne

Logika 2 Logiki temporalne Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Dzisiejsze zajęcia wiele zawdzięczają wykładom A. Indrzejczaka z logik nieklasycznych

Czym jest czas? św. Augustyn Gdy nikt mnie nie pyta wiem. Gdy chcę to wyjasnić pytającemu nie potrafię Platon Poruszający sie obraz wieczności Arystoteles Miara ruchu z uwagi na to, co wcześniejsze i późniejsze Doświadczanie czasu: kwantytatywne (przeszłość teraźniejszość przyszłość); kwalitatywne (pamięć, doświadczenie, obserwacja, przewidywanie, nadzieja współistnienie przeszłości i przyszłości). kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 2 / 32

O czym to będzie? 1 Po co to komu? 2 Jak zbudować logikę temporalną? 3 Semantyka relacyjna i modalne logiki temporalne 4 Logiki temporalne w programowaniu 5 Logiki czasu interwałowego kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 3 / 32

Do czego służą logiki temporalne? Zadaniem logiki temporalnej jest studiowanie tej milczącej augustyńskiej wiedzy o czasie budowanie modeli. Filozofia: problemy dotyczące natury czasu (zmiana a tożsamość, determinizm). Językoznawstwo: analiza czasów gramatycznych. Fizyka: czas a zmiana, czas jako wymiar. Informatyka: analiza realizacji programów, ich poprawności itp. AI: planowanie, kolejność akcji, przetwarzanie wiedzy zmieniającej się w czasie itp. kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 5 / 32

Elementy historii 1 Paradoksy Zenona. 2 Arystoteles: bitwa morska. 3 Wieki średnie: logika języka naturalnego i uwikłanie teologiczne. 1 Ryszard z Lavenham: zdania o przyszłości nie sa ani prawdziwe, ani fałszywe. 2 Piotr Abelard: a i owszem są, ale czym innym jest wartość logiczna, a czym innym wiedza o niej. 3 Tomasz z Akwinu: przedmiot wiary można rozważać albo z punktu widzenia przedmiotu (Chrystus: narodzi się, jest narodzony, narodził się), albo wiary. 4 Jan Buridan: ile trwa teraz? 5 Anzelm: necessitas sequens vs necessitas praecedens. 4 Kant: czas jako aprioryczna forma naoczności. 5 Prior: standardowe logiki temporalne. 6 Pnueli: logiki programów. kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 6 / 32

Kontrowersje co do natury czasu 1 subiektywny/obiektywny 2 względny/absolutny 3 punkty/interwały/zdarzenia 4 skończony/nieskończony 5 liniowy/rozgałęziony 6 dyskretny/ciągły/gęsty (dziedzina: liczby naturalne? całkowite? wymierne? rzeczywiste?) względny i subiektywny: Augustyn względny i obiektywny: Einstein absolutny i subiektywny: Kant absolutny i obiektywny: Newton kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 7 / 32

Logiki temporalne 1 Bazujące na logice predykatów: dodatkowe zmienne (indeksy temporalne) dla predykatów wrażliwych na czas. 2 Bazujące na logikach modalnych (tense logic): twórcza reinterpretacja operatorów modalnych. kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 9 / 32

Standardowe operatory temporalne (model punktowy) P zdarzyło się tak, że... ( nastąpiło... ) F zdarzy się tak, że... ( nastąpi... ) H zawsze było tak, że... ( dotąd zawsze... ) G zawsze będzie tak, że... ( odtąd zawsze... ) GA = df F A FA = df G A HA = df P A PA = df H A kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 10 / 32

Standardowe operatory temporalne przykłady 1 Małgorzata kocha Mistrza: p 2 Małgorzata zawsze kochała Mistrza: Hp 3 Małgorzata zawsze kochała i zawsze będzie kochać Mistrza: Hp Gp 4 Małgorzata zawsze kochała, kocha i zawsze będzie kochać Mistrza: Hp p Gp 5 Małgorzata nie kochała, ale pokochała Mistrza: P( p Fp) 6 Małgorzata zawsze kochała Mistrza, ale przestała: Hp p 7 Jeśli Małgorzata pokocha Mistrza, to będzie kochać go zawsze: F (p Gp) kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 11 / 32

Logiki temporalne bazujące na logice predykatów interpretacja operatorów t n teraz Pp: t(t < t n p(t)) Fp: t(t n < t p(t)) Hp: t(t < t n p(t)) Gp: t(t n < t p(t)) kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 12 / 32

Logiki temporalne bazujące na logikach modalnych Modalności temporalne a modalności aletyczne: 1 Diodor Kronos: A = df A FA A = df A GA 2 Arystoteles: A = df PA A FA A = df HA A GA kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 13 / 32

Semantyka relacyjna Struktura modelowa < W, R > i model M =< W, R, V > jak zwykle (W interpretowany jako zbiór momentów punktów czasowych, R interpretowane jako relacja następstwa/poprzedzania czasowego) Semantyka operatorów temporalnych: V (FA, t j ) = 1 wtw istnieje t i W taki, że t j Rt i oraz V (A, t i ) = 1 V (PA, t j ) = 1 wtw istnieje t i W taki, że t i Rt j oraz V (A, t i ) = 1 V (GA, t j ) = 1 wtw dla każdego t i W : jeśli t j Rt i, to V (A, t i ) = 1 V (HA, t j ) = 1 wtw dla każdego t i W : jeśli t i Rt j, to V (A, t i ) = 1 Prawdziwość w modelu i w strukturze modelowej jak zwykle. kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 15 / 32

Policzmy M =< W, R, V > taki że: W = {t 1, t 2, t 3, t 4, t 5, t 6 }, R = {< t 1, t 2 >, < t 1, t 3 >, < t 2, t 4 >, < t 3, t 5 >, < t 3, t 6 >}, p jest prawdziwe w t 1, t 2, t 3, t 6, q jest prawdziwe w t 2, t 4, t 5, t 6. 1. V (Gp, t 1 ) = 2. V (Gq, t 1 ) = 3. V (Fq, t 1 ) = 4. V (Gq, t 3 ) = 5. V (FGq, t 1 ) = 6. V (PGp, t 2 ) = 7. V (HGp, t 2 ) = 8. V (PFGq, t 2 ) = 9. V (PGp, t 5 ) = 10. V (PFp, t 5 ) = 11. V (HGq, t 5 ) = 12. V (PGq, t 5 ) = 13. V (q Fq, t 1 ) = 14. V (q Gq, t 1 ) = 15. V (Pp Fq, t 2 ) = 16. V (P(p q), t 2 ) = 17. V (G(p q), t 1 ) = 18. V (GG(p q), t 1 ) = kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 16 / 32

Najsłabsza logika temporalna: K t Aksjomaty: aksjomaty rachunkowozdaniowe Fp G p Pp H p G(p q) Gp Gq H(p q) Hp Hq p HFp p GPp Reguły pierwotne: RO, RP, RG dla G, RG dla H Dowód, teza jak zwykle. kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 17 / 32

Inne S4 w interpretacji temporalnej logika czasu rozgałęzionego (Istnieją przyszłe stany rzeczy dostępne dla mnie teraz, które mogą wskutek pewnych zdarzeń pośrednich stać się dla mnie niedostępne w przyszłości). S4.3 (R zwrotna, przechodnia i spójna porządek liniowy): S4 + G(Gp q) G(Gq p) S4.2 (R zwrotna, przechodnia i zbieżna): S4 + FGp GFp S4.4 (logika końca świata): FGp (p Gp) S4F (GA A jest i zawsze będzie; czas się kończy): (GFp GFq) F (p q) kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 18 / 32

Temporal logic of programs: PLTL, Propositional Linear Time Logic Rozszerzenie języka: p: nexttime p (w następnym momencie p); podobnie p previously p, w poprzednim momencie p pss: p since q (zachodziło p odkąd zaszło q) puq: p until q (będzie zachodzić p aż zajdzie q) W klasie liniowych i ciągłych struktur każdy funktor temporalny może być zdefiniowany za pomocą S i U, np: Hp = df ( S p), Pp = df Sp, Gp = df ( U p), Fp = df Up kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 20 / 32

Semantyka PLTL Oparta na strukturze N, < klasa modeli postaci S, σ, V : S niepusty zbiór stanów progr, σ : N S przebieg progr, V wartościowanie. V ( p, i) = 1 wtw V (p, i + 1) = 1 V (psq, i) = 1 wtw dla pewnego 0 d i: V (q, d) = 1 oraz dla każdego h takiego że d < h i: V (p, h) = 1 V (puq, i) = 1 wtw dla pewnego d i: V (q, d) = 1 oraz dla każdego h takiego że i h < d: V (p, h) = 1 V (Gp, i) = 1 wtw dla każdego j i: V (p, j) = 1 V (Fp, i) = 1 wtw dla pewnego j i: V (p, j) = 1 V (Hp, i) = 1 wtw dla każdego j i: V (p, j) = 1 V (Pp, i) = 1 wtw dla pewnego j i: V (p, j) = 1 (Używa się też oznaczeń: G: [F ], F : F, H: [P], P: P ) kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 21 / 32

PLTL tautologiczność lokalna Formuła A jest prawdziwa w modelu M = S, σv wtw V (A, 0) = 1. Formuła A jest tautologią wtw jest prawdziwa w każdym modelu. Tautologiczność globalna ze standardowej definicji prawdziwości (we wszystkich stanach). Formuła A jest globalnie tautologiczna wtw formuła GA jest lokalnie tautologiczna. kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 22 / 32

PLTL aksjomatyka dla przyszłości A A G(A B) (GA GB) (A B) ( A B) GA A GA A G(A A) G(A GA) AUB FB AUB B (A (AUB)) Wśród aksjomatów przeszłości jest aksjomat Start: Reguły: RO, RG dla G, RG dla H kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 23 / 32

PLTL zastosowania specyfikacja i weryfikacja programów; programowanie logiczne; dynamiczne bazy danych; Klasy wyrażalnych własności: bezpieczeństwo (pewna sytuacja nigdy nie zajdzie, np. samochód nie ruszy bez kierowcy: GA, B GA) żywotność (pewna sytuacja kiedyś zajdzie, np. każde żądanie dostępu zostanie kiedyś spełnione: FA, B GA) brak zakleszczeń (zawsze można wykonać kolejny krok) sprawiedliwość (pewna sytuacja zdarza się nieskończenie często, np. jeżeli żądanie dostępu będzie zgłaszane nieskończenie wiele razy, to dostęp zostanie udzielony nieskończenie wiele razy) kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 24 / 32

CTL, Computational Tree Logic Logika czasu rozgałęzionego w przyszłość GA: A jest spełnione w każdym stanie każdej możliwej przyszłości (na każdej gałęzi; jest uniwersalnie prawdziwe). FA: A jest spełnione w pewnym stanie każdej możliwej przyszłości (na każdej gałęzi; jest nieuniknione). GA: A jest spełnione w każdym stanie pewnej możliwej przyszłości (na każdej gałęzi; jest uniwersalnie prawdziwe w pewnym wariancie przyszłości). FA: A jest spełnione w pewnym stanie pewnej możliwej przyszłości (na każdej gałęzi; jest potencjalnie prawdziwe). kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 25 / 32

CTL, Computational Tree Logic A: A jest spełnione w następnym stanie każdej możliwej przyszłości. A: A jest spełnione w następnym stanie pewnej możliwej przyszłości. AUB: w każdej możliwej przyszłości A zachodzi aż zajdzie B. AUB: w pewnej możliwej przyszłości A zachodzi aż zajdzie B. Wszystkie funktory temporalne definiowalne są za pomocą, U, U kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 26 / 32

Jan Buridan: ile trwa teraźniejszość? Teraźniejszość nie jest momentem; obecny teraźniejszy dzień, rok, era... Wartość logiczna zdania zależy między innymi od założonego czasu trwania teraźniejszości: zdanie p jest prawdziwe w teraźniejszości wtw gdy istnieje taka część teraźniejszości, w której jest tak, że p. A dokładniej: T (In, A) = df I (I In T C (I, A)) ( A jest prawdziwe w interwale In znaczy tyle, że istnieje interwał I, zawierający się w In, taki że A jest prawdziwe w całym I ). kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 28 / 32

Negacja de re i de dicto Rozważmy interwał 490 338 r. p.n.e. i zdania o Sokratesie (470 399 r. p.n.e.): (1) Sokrates jest żywy, (2) Sokrates jest martwy, (3) Sokrates nie jest żywy. Czy (2) i (3) maja te same warunki prawdziwości? Buridan wyróżnia negację predykatów (de re: nie-żywy = martwy ) i zdań (de dicto: Sokrates nie jest żywy = Nieprawda, że Sokrates jest żywy ). (2) i (3) T (In, p) T (In, p) zdanie sprzeczne (1) i (3) T (In, p) T (In, p) p, p prawdziwe w różnych fragmentach In Wniosek: T (In, p q) T (In, p) T (In, q) nie może być tautologią, zdanie Jeśli Sokrates jest żywy, to nie jest martwy nie musi być prawdziwe a semantyka interwałów jest stanowczo bardziej skomplikowana, niż semantyka momentów czasowych. kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 29 / 32

Logiki czasu interwałowego 1 Dziedzina: przedziały jako obiekty pierwotne lub definiowane na bazie punktów. 2 Struktura: wybór relacji na przedziałach i ustalenie ich własności. 3 Modele: co to znaczy być prawdziwym w odcinku czasu? 4 Język: z jakich funktorów korzystać? kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 30 / 32

Relacje między dwoma odcinkami na tej samej osi kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 31 / 32

Źródła E. Allen Emerson, Temporal and modal logic. P. Blackburn et al. (red.), Handbook of Modal Logic. D. M. Gabbay i F. Guenther (red.), Handbook of Philosophical Logic, t. 7. A. Pnueli, The temporal logic of programs. P. Øhrstrøm, P. Hasle, Temporal Logic: From Ancient Ideas to Artificial Intelligence. J. Pogonowski, Wybrane logiki nieklasyczne. http://home.utah.edu/~nahaj/logic/structures/index.html kognitywistyka, rok II (IP UAM) Logika 2 32 / 32