Zadania i problemy z matematyki

Zbigniew Skoczylas Zadania i problemy z matematyki G i S Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2010

Zbigniew Skoczylas, Instytut Matematyki i Informatyki, Politechnika Wrocławska Projekt okładki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c 2010 by Zbigniew Skoczylas Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomoca urzadzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujacych, nagrywajacych i innych. Ponadto, utwór nie może być umieszczany w Internecie, jak i w sieciach lokalnych, bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich. Skład ksiażki wykonano w systemie Scientific WorkPlace R 5.5 ISBN 978-83-89020-99-4 Wydanie I, Wrocław 2010 Oficyna Wydawnicza GiS, www.gis.wroc.pl Druk i oprawa: Oficyna Wydawnicza ATUT

Spis treści Wstęp.................................................................................. 7 1. Algebra liniowa..................................................................... 9 2. Analiza matematyczna............................................................. 15 3. Geometria......................................................................... 29 4. Matematyka dyskretna............................................................. 35 5. Mechanika......................................................................... 38 6. Multifunkcje....................................................................... 41 7. Optymalizacja..................................................................... 43 8. Równania funkcyjne i różniczkowe.................................................. 51 9. Teoria liczb........................................................................ 55 10. Zadania różne...................................................................... 61

Wstęp W opracowaniu umieściłem ponad 300 zadań i problemów mojego pomysłu z różnych działów matematyki. Zbiór jest przeznaczony dla studentów kierunków matematycznych zainteresowanych rozwiazywaniem nietypowych zadań. Sadzę, że ksiażka zainteresuje również pracowników naukowych. Podobne problemy można spotkać w czasopismach American Mathematical Monthly, Crux Mathematicorum, Delta, Kwant, Matematyka oraz wielu innych. Zadania tego typu rozwiazuj a uczestnicy studenckich olimpiad matematycznych. W latach 1991-2010 niewielka część zadań wykorzystałem na konkursie matematycznym w Politechnice Wrocławskiej. Zadania i problemy podzieliłem na kilka działów tematycznych, ale nie uporzadkowałem ich według stopnia trudności. Definicje i oznaczenia stosowane w zbiorze sa standardowe. Do niektórych zadań doł aczyłem rysunki. Nie podaję odpowiedzi, rozwiazań ani dowodów, zreszta spora część problemów jest hipotezami. Na stronie internetowej www.im.pwr.wroc/ skoczyla umieściłem obszerny wykaz zbiorów zadań o podobnej tematyce i zbliżonym stopniu trudności. Dziękuję Koleżankom i Kolegom, którzy przegladali poprzednia wersję zbioru i poinformowali mnie o błędach lub o tym, że problem jest znany. Proszę o przysyłanie uwag o zadaniach na adres zbigniew.skoczylas@pwr.wroc.pl Zbigniew Skoczylas 4

5 W dalszej części prezentacji umieściłem zadania wybrane z pełnej wersji zbioru (po cztery z każdego rozdziału). Algebra liniowa 1. Macierze kwadratowe A, B M n n spełniaj a warunek: det (A + X) = det (B + X) dla każdej macierzy X M n n. Pokazać, że A = B. Czy otrzymamy tę równość, gdyby założyć, że elementami macierzy X sa tylko zera i jedynki? 2. Pokazać, że w dowolnej nieskończenie wymiarowej przestrzeni liniowej istnieja nieskończenie wymiarowe podprzestrzenie..., V 2, V 1, V 0, V 1, V 2,..., które spełniaj a warunek... V 2 V 1 V 0 V 1 V 2..., przy czym żadne z zawierań nie jest równościa. 3. Jaka postać maja przekształcenia liniowe L : R 3 oktant układu współrzędnych na siebie? R 3, które odwzorowuja pierwszy 4. Pokazać, że prosta Im (z) = Re (z) jest osia symetrii zbioru pierwiastków zespolonych wielomianu z 4 (1 + i) z 3 + 5iz 2 + (3 3i) z 4. Analiza matematyczna 1. Wyznaczyć wszystkie asymptoty krzywej 2 x + 2 y + 2 xy = 16. 2. Czy istnieje szereg zbieżny a n o dodatnich wyrazach taki, że szereg (a n ) p jest n=1 rozbieżny dla każdego 0 < p < 1? 3. Funkcje f, g sa rosnace na przedziale [0, 1]. Ponadto, dla każdej liczby naturalnej n spełniaja warunek 1 0 f n (x) dx = 1 0 g n (x) dx. Pokazać, że f = g poza zbiorem przeliczalnym w [0, 1]. n=1

6 4. Niech B oznacza kulę jednostkow a o środku w poczatku układu współrzędnych. Wiadomo, że funkcja f : R 3 R jest ciagła oraz spełnia warunek f(x, y, z) dxdydz = 0. B Pokazać, że istnieje sześcian V, dla którego spełniony jest warunek f(x, y, z) dxdydz = 0. Geometria V 1. Na poziomym stole leża dwie monety o promieniu R oraz moneta o promieniu r < R. Monety sa parami styczne (rys.). Moneta o promieniu r wsuwa się między dwie pozostałe (wzdłuż osi symetrii układu). Po jakich krzywych poruszaja się środki dużych monet? 2. Cztery punkty poruszaja się po prostych w R 3 ze stał a niezerowa prędkości a (niekoniecznie taka sama). Wiadomo, że w każdej chwili objętość czworościanu utworzonego przez punkty jest jednakowa. W jaki sposób poruszaja się punkty? 3. W namiocie o wysokości 1 podłoga jest kwadratem o boku 2. Dwie jednakowe rurki, które podtrzymuja powłokę namiotu, sa wygięte w kształcie łuku paraboli i zamocowane w rogach podłogi oraz poł aczone w jego wierzchołku (rys.). Obliczyć pole ścian bocznych namiotu. 4. Pokazać, że dowolne ciało wypukłe w R 3 ma dwa równoległe przekroje płaskie o tych samych polach i obwodach. Matematyka dyskretna 1. Wyznaczyć liczbę v n niepodobnych do siebie prostopadłościanów o krawędziach a b c, v gdzie a, b, c {1, 2, 3,..., n}. Obliczyć granicę lim n n n 3.

7 2. Sześcienne kontenery w krawędzi 1 sa ustawione w formie prostopadłościanu o wymiarach m n k. Kontenery trzeba przenieść na taśmociag rolkowy za pomoca suwnicy. Za każdym razem suwnica można przenieść tylko kontener położony najwyżej w danym pionowym stosie. Na ile sposobów można umieścić kontenery na taśmociagu? Przyjać, że kontenery sa oznaczone liczbami naturalnymi od 1 do mnk. 3. Grupa n = 11 kolegów chce zrobić zdjęcia u fotografa. Na zdjęciu mieści się jedynie k = 5 osób. Jaka najmniejsza liczbę ujęć (nie odbitek) powinien zrobić fotograf, aby każdy z kolegów miałfotografie wszystkich pozostałych (bez siebie)? 4. Wewnętrzne krawędzie skrzyni maja długość p, q, r, gdzie p, q, r N. Ile różnych rodzajów pudełek o krawędziach naturalnych mieści się w skrzyni, jeżeli za każdym razem wkładamy tylko jedno pudełko, przy czym jego ściany nie musza być równoległe do ścian skrzyni. Mechanika 1. Jednorodna giętka nierozciagliwa lina ma masę M i długość L. Lina została przymocowana za końce do pionowej osi, przy czym odległość między punktami mocowania wynosi l < L (rys.). Znaleźć kształt, jaki przyjmie lina w czasie jednostajnego ruchu obrotowego z prędkościa katow a ω. Rozpatrzeć przypadki, gdy: a) nie ma przyciagania grawitacyjnego; b) jest pionowe przyciaganie grawitacyjne. 2. Niech n 2. Jednorodny pręt o długości l > 1 zostanie pocięty na kawałki o długościach x 1, x 2,..., x n. Na końcach kawałków będa umieszczono przeguby sferyczne, następnie poł aczy się je kolejno, a otrzymany łańcuch zamocuje się za końce do poziomego odcinka [0, 1]. W jaki sposób należy dobrać liczby x 1, x 2,..., x n, aby środek masy łańcucha byłnajniżej. 3. Cienka jednorodna sprężysta blacha ma kształt prostokata o wysokości H. Blachę ustawiono pionowo i przymocowano do podstawy. Znaleźć kształt blachy w czasie wiatru wiejacego prostopadle do jej powierzchni z prędkościa v.

8 4. Wyznaczyć siłę przyciagania grawitacyjnego jednorodnej kuli o masie M i promieniu R oraz jednorodnego nieskończonego pręta o gęstości liniowej masy λ, położonego w odległości d od środka kuli. Multifunkcje 1. Niech n 2. W rodzinie C wszystkich multifunkcji ciagłych F : [0, 1] comp(r n ), z metryka zbieżności jednostajnej, zbadać gęstość i ustalić kategorię Baire a rodziny S multifunkcji, które maja selekcję ciagł a na [0, 1]. 2. Niech X, Y będa przestrzeniami metrycznymi oraz niech A będzie podzbiorem zwartym X. Pokazać, że dowolna multifunkcję ciagł a F : A comp(y ), można aproksymować jednostajnie multifunkcjami ciagłymi, których wartości sa zbiorami skończonymi. Czy można zagwarantować, aby te zbiory miały jednakowe liczby elementów? 3. Niech S n oznacza sferę jednostkow a w przestrzeni R n+1.w rodzinie C wszystkich multifunkcji ciagłych F : S n comp (R n ), z metryka zbieżności jednostajnej, ustalić kategorię Baire a i zbadać gęstość rodziny B multifunkcji, które spełniaj a tezę uogólnionego twierdzenia Borsuka-Ulama, tj. takich, że dla pewnego x S n zachodzi warunek F (x) F ( x). 4. Niech B n oznacza kulę jednostkow a w przestrzeni R n. W rodzinie C wszystkich multifunkcji ciagłych F : B n comp (B n ), z metryka zbieżności jednostajnej, ustalić kategorię Baire a i zbadać gęstość rodziny F multifunkcji, które maja własność punktu stałego, tj. dla pewnego x B n spełniaj a warunek x F (x). Optymalizacja 1. Waż o długości L pełznie po wykresie funkcji y = sin x (rys.). W jakim położeniu, odległość między głow a i ogonem węża, będzie najmniejsza, największa?

9 y L x 2. W kuchni jest p patelni. Na każdej z nich jest m miejsc do smażenia. Na przyjęcie trzeba przygotować k mp jednakowych kotletów. Wszystkie powinny być usmażone po każdej z s 2 stron. Smażenie jednej strony trwa 1 minutę (niezależnie od liczby kotletów na patelni). Jak należy smażyć kotlety, aby ł aczny czas ich przygotowania byłnajkrótszy? Rozwiazać najpierw zagadnienie dla p = 2, m = 1, k = 3 oraz s = 2, czyli problem obustronnego smażenia trzech naleśników na dwóch patelniach. 3. Jedne końce dwóch prętów o długościach a i b poł aczono przegubowo, a do pozostałych przymocowano giętka linę o długości l > a b (rys.). Jaki kat x należy utworzyć między prętami i w jaki sposób uformować linę, aby pole obszaru ograniczonego nimi było największe? l a x b 4. Do kołka wbitego do ziemi przymocowane sa sznurki o długościach r 1, r 2,...,r n, gdzie n 3. W których kierunkach należy naprężyć sznurki, aby pole wielokata otrzymanego przez poł aczenie odcinkami ich kolejnych końców było największe? Sznurki nie musza być naciagane w podanej kolejności. Równania funkcyjne i różniczkowe 1. Niech n 2. W klasie ciagłych macierzy funkcyjnych f : R M n n znaleźć wszystkie rozwiazania równania: X (s + t) = X (s) X (t) dla s, t R. 2. Znaleźć wszystkie rozwiazania równia funkcyjnego f(sin x) + f(cos x) = 1 dla x [0, 2π) we wskazanych klasach funkcji: i) C 0 [ 1, 1], ii) C 1 [ 1, 1]. 3. Niech ( α, α) będzie maksymalnym przedziałem istnienia rozwiazania równania różniczkowego y = x 2 + y 2 z warunkiem y(0) = 0. Pokazać, że α jest liczba niewymierna. 4. Statek S po przepłynięciu r mil od portu P znajduje się w odległości f(r) = r 1+r od prostoliniowego brzegu (oś x na rys.). Znaleźć równanie toru statku.

10 y S r f(r) P x Teoria liczb 1. Znaleźć największa liczbę naturalna, przez która jest podzielny wyznacznik każdego sudoku. Czy wyznacznik dowolnego sudoku jest różny od zera? 2. Pokazać, że dla każdej pary (n, k) liczb naturalnych n, k 2 istnieje n kolejnych liczb naturalnych takich, że każda z nich ma dokładnie k dzielników pierwszych. Niżej podany jest przykład kolejnych liczb naturalnych dla pary (n, k) = (8, 3) : 99 843 = 3 23 1447, 99 844 = 2 2 109 229, 99 845 = 5 19 1051, 99 846 = 2 3 3 43 2, 99 847 = 11 29 313, 99 848 = 2 3 7 1783, 99 849 = 3 83 401, 99 850 = 2 5 2 1997. 3. Na konkursie matematycznym każdy z uczestników otrzymałinn a parę liczb naturalnych n < m i miałobliczyć sumę n + (n + 1) + (n + 2) +... + m. Okazało się, że wszyscy rozwiazali zadania poprawnie i otrzymali te same 6-cyfrowe sumy. Jaka największa liczba uczestników mogła brać udziałw tym konkursie? 4. Pokazać, że log 2 3 jest liczba przestępna, tzn. nie istnieje wielomian P 0 o współczynnikach całkowitych taki, że P (log 2 3) = 0. Zadania różne 1. Maszty z antenami telefonii komórkowej ustawione sa na płaszczyźnie w punktach o współrzędnych całkowitych. Znaleźć wzór wyrażajacy odległość dowolnego punktu płaszczyzny od najbliższego masztu. 2. Pokazać, że krzywa Γ jest zawarta w zbiorze D R 2 i wypełnia go gęsto: a) Γ = {(sin t cos t 2, cos t sin t 2 ) : t R}, D = {(x, y) : x + y 1} ; b) Γ = {(sin t sin t 2, cos t sin t 2 ) : t R}, D = {(x, y) : x 2 + y 2 1} ; c) Γ = {(sin t, cos t 2 ) : t R}, D = {(x, y) : x 1, y 1}.

11 a) b) c) 3. Niech n 3. Ze zbioru {1, 2, 3,..., n} wybrano losowo k liczb, gdzie 2 k n+1 2. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych liczb nie będzie żadnej pary kolejnych. W szczególności, obliczyć prawdopodobieństwo, że podczas losowania LOTTO, w którym wybiera się 6 liczb ze zbioru {1, 2, 3,..., 49}, nie zostanie wylosowana żadna para kolejnych liczb. 4. Na parkingu samochody ustawione sa w n rzędach po m pojazdów w każdym. Kierowcy przychodza losowo na parking i chca wyjechać swoimi pojazdami. Samochód może opuścić parking tylko wtedy, gdy we wszystkich poprzednich rzędach będzie wolne przynajmniej jedno miejsce (rys.). Obliczyć prawdopodobieństwo, że wszyscy kierowcy opuszcza parking bez czekania.