Wykład V Równowaga ogólna
Równowaga cząstkowa Równośd popytu i podaży na pojedynczym rynku (założenie: działania na jednym rynku nie mają wpływu, bądź mają bardzo mały wpływ na inne rynki) Równowaga ogólna Dostosowanie się popytu i podaży na wszystkich rynkach równocześnie (zachodzą interakcje między rynkami).
Przykład dwa zależne rynki; dochodzenie do równowagi Dobra substytucyjne: - filmy DVD (wypożyczalnie) - filmy kinowe (kina) Zmiana ceny na jednym rynku wpłynie na drugi Niech: P film = 20zł P DVD =10zł Rząd nakłada podatek w wysokości 2PLN na każdy bilet do kina.
Przykład dwa zależne rynki dochodzenie do równowagi P Podatek => spadek podaży P Wzrost ceny na bilety kinowe => wzrost popytu na DVD S* M S M S V 21PLN 12PLN 20PLN 10PLN D V D M D V Q k Q k Bilety kinowe Q V Q V Płyty DVD 4
Przykład dwa zależne rynki dochodzenie do równowagi Price Wzrost cen DVD powoduje wzrost popytu na kino i wzrost cen biletów Price Wpływ jednego rynku na drugi będzie kontynuowany do momentu osiągnięcia równowagi ogólnej 23PLN 22PLN 21PLN S* M S M 13PLN 12PLN S V 20PLN D* M 10PLN D* V D V D M D M D V Q k Q k Q* k Q k Bilety kinowe Q V Q V Q* V DVD
Przykład dwa zależne rynki dochodzenie do równowagi Bez analizy interakcji między rynkami (ograniczenie się do analizy cząstkowej), wpływ podatku na rynek filmów kinowych będzie niedoszacowany. W przypadku analogicznej sytuacji, ale na rynku dóbr komplementarnych, wpływ ten byłby przeszacowany
UŻYTECZNOŚD - DEFINICJE Użytecznośd - miara zaspokojenia potrzeb realizowanego dzięki konsumpcji. (Różne dobra, a nawet kolejne jednostki tego samego dobra mogą dostarczad różnej użyteczności). Funkcja użyteczności porządkowej funkcja, która informuje o porządku, w jakim konsument uszeregował poszczególne koszyki dóbr Funkcja użyteczności kardynalnej - funkcja, która dodatkowo mierzy intensywnośd upodobao, tj. jak bardzo jeden koszyk jest lepszy od innego
DODATNIA MONOTONICZNA TRANSFORMACJA Dodatnia monotoniczna transformacja przekształcenie jednego zbioru liczb w inny zbiór przy zachowaniu ich kolejności. Przykłady: Przekształcenie tożsamościowe Dodanie stałej Przemnożenie przez liczbę dodatnią Podniesienie do potęgi nieparzystej Zlogarytmowanie (podstawa logarytmu > 1)
KRAOCOWA UŻYTECZNOŚD, KRAOCOWA STOPA SUBSTYTUCJI Kraocowa użytecznośd (marginal utility, MU) zmiana całkowitej użyteczności wynikająca ze zmiany konsumpcji danego dobra o jednostkę. MU x ΔU ΔX Kraocowa stopa substytucji (marginal rate of substitution, MRS) miara ukazująca ile jednego dobra konsument jest skłonny oddad, za dodatkową jednostkę drugiego dobra zachowując ten sam poziom użyteczności MRS xy Y X MU MU x y
MRS DLA RÓŻNYCH FUNKCJI UŻYTECZNOŚCI Funkcja użyteczności Cobba-Douglasa dobra normalne U=Ax a y b => Funkcja użyteczności liniowa doskonałe substytuty U=ax+by => MRS xy MRS xy Funkcja użyteczności Leontiewa dobra komplementarne U=min ax,by => brak substytucji między dobrami a b a b y x
MAKSYMALIZACJA UŻYTECZNOŚCI Dla malejącej MRS (wypukłej krzywej obojętności) mamy: y max U MRS xy = -P x /P y m/py MRS xy nachylenie krzywej obojętności -P x /P y nachylenie y* ograniczenia budżetowego Optimum (x*,y*) punkt styczności ograniczenia x* m/px x budżetowego i krzywej obojętności
Model czystej wymiany (dobra finalne konsumenci) Jednostki dysponują stałymi zasobami dóbr i dobra te mogą wymieniad między sobą (proces produkcji zostaje pominięty)
Model czystej wymiany (dobra finalne konsumenci) Zasób początkowy konsumenta i (alokacja początkowa): i1, i2,..., in Popyt brutto konsumenta i (alokacja koocowa ilośd dobra, którą konsument chce konsumowad): x i1,x i2,...,x in Popyt nadwyżkowy konsumenta i (ilośd dobra, którą konsument chce nabyd; różnica między ilością, którą chce konsumowad a jego zasobem początkowym): z i1 =x i1 i1, z i2 =x i2 i2,..., z in =x in in gdzie i=(1, k) indeksuje konsumentów, n oznacza liczbę rynków (produktów); jednym z towarów może byd praca -- zasób znajdujący się w posiadaniu każdego z konsumentów
Alokacja osiągalna Alokacja spełniająca układ równao: x 11 +x 21 +...+x k1 = 11 + 21 +...+ k1, x 12 +x 22 +...+x k2 = 12 + 22 +...+ k2,... x 1n +x 2n +...+x kn = 1n + 2n +...+ kn,
Przypadek dwóch dóbr i dwóch konsumentów W celu maksymalnego uproszczenia analizy rozważamy tylko dwa dobra (Jest to podejście ogólniejsze niż mogłoby się wydawad drugie dobro może reprezentowad wszystkie pozostałe )
Prostokąt Edgewortha Analiza alokacji osiągalnych dla przypadku k=n=2 (złożenie dwóch układów współrzędnych służących badaniu wyboru konsumenta: szerokośd prostokąta = 11 + 21, wysokośd prostokąta = 12 + 22 ; drugi układ jest obrócony o 180 )
Czysta wymiana Diagram Edgewortha X B 6Y 10X 3X Konsument B Y B Y A 1Y Konsument A 7X P 10X 5Y 6Y X A 17
Czysta wymiana Diagram Edgewortha 10X 6Y B Zysk z wymiany W punkcie P: MRS A MRS B. Każdy punkt w obszarze zaznaczonym szarym kolorem jest korzystniejszy dla obu A P U A =cons U B =cons 10X 6Y
Czysta wymiana Diagram Edgewortha 10X 6Y W pkt. S MRS R daje są równe wyższą uż. alokacja ale wciąż jest nieefektywny efektywna B T T jest także rozwiązaniem efektywnym (siła negocjacji) S R U A 3 A U B 3 U B 2 P U B 1 U 2 A U 1 A 10X 6Y
Alokacja efektywna w sensie Pareto Alokacja efektywna w sensie Pareto nie ma sposobu poprawy sytuacji któregoś z uczestników wymiany bez pogorszenia sytuacji kogoś innego (nie ma możliwości wzajemnie korzystniejszej wymiany) W obrębie prostokąta Edgewortha występuje wiele alokacji efektywnych w sensie Pareto (znalezienie się na najwyższej krzywej obojętności jednego z konsumentów przy danej krzywej obojętności drugiego) Zbiór wszystkich punktów efektywnych w sensie Pareto w prostokącie Edgewortha nazwywany jest zbiorem Pareto lub krzywą kontraktu. W każdym punkcie na krzywej kontraktu MRS xya = MRS xy B
Krzywa kontraktu Y B G F E A X
Równowaga na rynku doskonale konkurencyjnym Wielu potencjalnych kupujących i sprzedających Jeśli kupującym nie podobają się warunki wymiany oferowane przez jednego ze sprzedawców, mogą zwrócid się do innych.
Konkurencja w modelu z k=2? Trudno sobie wyobrazid jak w modelu z dwoma konsumentami miałaby występowad konkurencja A więc w jaki sposób uczestnicy mieliby byd cenobiorcami Stąd koncepcja licytatora Walrasa (Walrasian auctioneer) Proponuje on różne ceny względne, aż zgłaszane przez uczestników popyty na różne dobra się zrównoważą
Prawo Walrasa (sformułowanie ogólne i dowód za tydzieo) Nadwyżkowy popyt (tu: na dobro 1): z 1 (p 1,p 2 )=x 11 (p 1,p 2 )+x 21 (p 1,p 2 )- 11-21 Prawo Walrasa: Wartośd zagregowanego nadwyżkowego popytu jest tożsamościowo równa zeru, p 1 z 1 (p 1,p 2 )+p 2 z 2 (p 1,p 2 ) 0
Wniosek z Prawa Walrasa Jeśli popyt równa się podaży na jednym rynku, to to samo musi zachodzid i na drugim rynku Skoro p 1 z 1 (p* 1,p* 2 )+p 2 z 2 (p* 1,p* 2 )=0 to z z 1 (p* 1,p* 2 )=0 musi wynikad, o ile p 2 >0, z 1 (p* 1,p* 2 )=0
Równowaga Na rynku doskonale konkurencyjnym, na którym występują konsumenci charakteryzujący się wypukłymi krzywymi obojętności, równowaga ustali się w prostokącie Edgewortha w punkcie styczności krzywych obojętności. Współczynnik kierunkowy stycznej w tym punkcie równa się (co do wartości bezwzględnej) proporcji cen równowagi p* 1 /p* 2.
Równowaga jest efektywna w sensie Pareto Z powyższego wnioskujemy, że równowaga jest efektywna: Styczne wypukłe krzywe obojętności nie mogą się przecinać, zatem nie istnieje możliwość poprawy w sensie Pareto.
Dochodzenie do równowagi rynkowej Ceny rynkowe produktów (P x i P y ) będą się zmieniać/dopasowywać do momentu, gdy zostaną spełnione następujące warunki: (1) A MRS X XY (2) PY P MRS B XY P P X Y (3) Suma popytów nadwyżkowych równa jest zero
Równowaga na rynku konsumentów 10x B 6y P P x /P y S U A 2 A U A 1 A U B 2 U B 1 P 10x 6y
W równowadze przy danych cenach ilośd żądana dobra równa się dostarczonej na każdym z rynków. Nie każdy zestaw cen -P x /P y = MRS xya = MRS xyb zapewnia równowagę Nierównowaga nie ma charakteru stałego. D x >S x => wzrost P x D x <S x => spadek P x
Przykład algebraiczny Przyjmijmy f. użyteczności Cobba-Douglasa: u A (x 1 A, x 2 A)=(x 1 A) α (x 2 A) 1-α i podobnie dla B. Daje to f. popytu x 1 A(p 1,p 2,m A )= αm a /p 1 i podobnie dla drugiego dobra i dla B. Wyznaczamy zasób pieniężny jako: m A =p 1 ω 1 A+p 2 ω 2 A Stąd zagregowany popyt nadwyżkowy: z 1 (p 1,p 2 )=(p 1 ω 1 A+p 2 ω 2 A)α/p 1 + (p 1 ω 1 B +p 2 ω 2 B) β /p 1 -ω 1 A-ω 1 B
Przykład algebraiczny Przyjmując cenę p 2 równą 1 (numeraire) otrzymujemy przyrównując nadwyżkowy popyt na jedno z dóbr do zera: 2 A 2 B p * 1 (1 ) 1 1 A (1 ) B