Pracownia Wstępna - - WYKŁAD 2 Pojęcia podstawowe obwodów prądu zmiennego Układy złożone z elementów biernych Bierne elementy elektroniczne to : opór R: u ( = Ri( indukcyjność L: di( u( = L i pojemność C: q u ( = = i( C C Rozważmy obwód złożony z tych elementów połączonych szeregowo, zasilany ze źródła napięciowego o zmiennej sile elektromotorycznej reprezentowanej przez część rzeczywistą wyrażenia: u(=u 0 e jωt, gdzie U 0 oznacza amplitudę napięcia, a ω=2πν - częstość kołową. Natężenie prądu płynącego przez układ ma podobną postać: i(=i 0 e jωt. R ~ u( L C Skorzystamy z drugiego prawa Kirchhoffa : di( i( u( = Ri( + L + C Podstawiając powyższe postaci natężenia oraz napięcia i dzieląc stronami przez I 0 U otrzymujemy: 0 = Z = R+ jωl+ I o jωc Wielkość Z jest impedancją powyższego obwodu i jest wielkością zespoloną. Możemy w niej wyróżnić impedancje poszczególnych elementów: oporu: Z R =R, indukcyjności: Z L =jωl oraz pojemności: Z C =/jωc. Dokonaliśmy w ten sposób uogólnienia prawa Ohma dla prądów zmiennych: napięcie u( jest liniowym funkcjonałem prądu i(. Nadal obowiązują prawa Kirchhoffa. W ogólności dla innych obwodów postać algebraiczna impedancji może być inną liczbą zespoloną. W powyższym przypadku, przy szeregowym połączeniu impedancji uzyskujemy wzór na impedancję wypadkową: Z W = Z +Z 2 +...+Z n, analogiczny jak przy łączeniu oporów. Przy równoległym połączeniu impedancji: /Z W =/Z +/Z 2 +...+/Z n. Tutaj j = oznacza jednostkę urojoną, w odróżnieniu od prądu i.
Pracownia Wstępna - 2 - Część rzeczywistą impedancji nazywa się rezystancją, część urojoną - reaktancją. Stosunek reaktancji do rezystancji jest równy tangensowi kąta przesunięcia fazowego ϕ między napięciem i natężeniem. Reprezentacja impedancji na płaszczyźnie zespolonej: Rezystancja opisuje zdolność obwodu do zamiany energii elektrycznej na ciepło: P= 2 I 2 0 R, natomiast pojemność i indukcyjność - zdolność do magazynowania 2 energii elektrycznej, odpowiednio: E Cu() t - w C = 2 polu elektrycznym pojemności oraz E = L 2 Li() t 2 w polu magnetycznym indukcyjności. Należy pamiętać, że opór, indukcyjność i pojemność to pojęcia teoretyczne. Rzeczywiste konstrukcje, jak opornik, cewka czy kondensator zawierają wielkości pasożytnicze oznaczone na rysunku poniżej indeksem p: Im(Z) φ Re(Z) Z opór R C p opornik indukcyjność L L p R C p cewka L R p pojemność C kondensator R p R d L p C - a więc są złożonymi impedancjami. Przy pewnych częstotliwościach sygnału wielkości pasożytnicze mogą istotnie zniekształcić własności danego elementu.
Pracownia Wstępna - 3 - Obwody RC Obecnie nasze rozważania ograniczymy do obwodów składających się z pojemności i rezystancji. Mają one wielkie znaczenie w elektronice współczesnej. W obwodzie przedstawionym na rysunku naładowano wstępnie kondensator do napięcia U C0, po czym zamknięto wyłącznik. Stosując II prawo Kirchhoffa otrzymujemy równanie różniczkowe opisujące ruch ładunku w obwodzie: dq() t R qt () + = 0, C Porządkujemy równanie: dq =, q RC po czym całkujemy je obustronnie otrzymując: ln( q) = ( ) RC t + t 0. Po przekształceniach: U C0 t qt () = Aexp. RC Ładunek zanika w obwodzie wykładniczo ze stałą zaniku RC Obwód całkujący (filtr dolnoprzepustowy). Napięcie wyjściowe jest napięciem na pojemności C: u t C it U wy () = () + C () 0. U C (0) - początkowe napięcie na kondensatorze. Prąd płynący przez pojemność C jest równy prądowi płynącemu przez opór R: uwe () t uwy () t it () = R Po podstawieniu: u t = ( () uwy () t ) + UC ( 0) RC u t wy () we U wy/u we / 2 0, pasmo transmisji 0,0 0 00 000 0000 00000 ν g obszar dobrego całkowania Częstość [Hz] Rysunek. Charakterystyka transmisyjna układu całkującego
Pracownia Wstępna - 4 - [rad] W przypadku, gdy u wy <<u we : u wy ( = uwe ( +U C (0) RC Dla sygnału harmonicznego : u we (=U we e jωt, napięcie wyjściowe u wy (=U wy e j(ωt+ϕ) : Stosunek napięć: uwy () t j C uwe () t = ω, a stosunek R + jωc amplitud: U wy = ; U 2 2 2 we ω RC + przesunięcie fazowe między sygnałem wyjściowym i wejściowym: ϕ = arctan( ωrc). -π/4 0,0-0,5 -,0 -,5 0 00 000 0000 00000 ν g częstość [Hz] Rysunek 2. Charakterystyka fazowa układu całkującego Pasmo transmisji filtru dolnoprzepustowego rozciąga się w skali częstości od zera doν g.. Łatwo jest wykazać, że: 2πν g = ω g = =. τ RC Dla ν = ν g zachodzi:u U = 2 wy we, oraz : ϕ = π 4. ν g jest nazywana częstością graniczną, ω g - graniczną częstością kołową, a τ =RC jest stałą czasową filtru dolnoprzepustowego. Przykłady sygnałów wejściowych i wyjściowych Poza filtracją sygnałów układ całkujący jest wykorzystywany do kształtowania ich i uśredniania - np. w celu eliminacji zakłóceń. u uwe () t ( = ( uwe( uwy( t RC WY )) dla u WY << u, WE uwy () t uwe () t exp( t RC ) Obwód różniczkujący (filtr górnoprzepustowy). Napięcie wyjściowe: u wy (=Ri(; dq prąd płynący przez kondensator : it () = = C d ( uwe () t uwy () t ). Po podstawieniu: d uwy ( = RC ( uwe ( uwy () W przypadku, gdy u wy <<u we d uwy ( = RC uwe (
Pracownia Wstępna - 5 - Gdy napięcie wejściowe: u we ( = U we e jωt, wtedy napięcie wyjściowe u wy ( = U wy e j(ωt+ϕ) i uwy () t R uwe () t = R + jωc Stosunek amplitud napięcia: U U wy we = ωrc ( ωrc) 2 +, przesunięcie fazowe między sygnałem wyjściowym a wejściowym : [( ω ) ] ϕ = arctan RC. Pasmo transmisji filtru górnoprzepustowego rozciąga się w skali częstości od ν g do nieskończoności. Łatwo jest wykazać, że: 2πν g = ω g = =. τ RC Dla ν = ν g zachodzi:u U = 2 wy we, oraz: ϕ = π 4. ν g jest nazywana częstością graniczną, ω g - graniczną częstością kołową, a τ =RC jest stałą czasową filtru górnoprzepustowego. U wy /U we 2 0, 0,0 obszar dobrego rózniczkowania 0 00 000 0000 00000 ν g pasmo transmisji Rysunek 3. Charakterystyka transmisyjna układu różniczkującego π 4 ϕ,0 0,5,5 częstość [Hz] 0,0 0 00 000 0000 00000 częstość [Hz] ν g Rysunek 4. Charakterystyka fazowa układu różniczkującego Przykłady sygnałów wejściowych i wyjściowych u () WE t Poza filtracją sygnałów układ różniczkujący wykorzystywany jest do kształtowania ich, eliminacji składowej stałej, wykrywania zboczy itd. u WY d ( = RC ( uwe ( uwy ( ) dla u WY << u WE d u WY () t u () WE t exp( t RC )
Pracownia Wstępna - 6 - W systemach pomiarowych przy nieumiejętnym łączeniu aparatury elektrycznej pasożytnicze obwody RLC mogą zniekształcać sygnały. Przykład. Połączenie wysokooporowego źródła z urządzeniem pomiarowym. źródło miernik (oscyloskop) R wy kabel c k c m Rezystancja wyjściowa źródła R wy wraz z pojemnościami kabla i miernika (C=C k +C m ) tworzą obwód całkujący, ograniczający od góry pasmo przenoszenia obwodu pomiarowego do częstości /(2πR wy C). Przykład 2. Sprzężenie typu AC. źródło miernik (oscyloskop) C s R we Pojemność sprzężenia C s wraz z rezystancją wejściową oscyloskopu tworzą obwód różniczkujący ograniczający od dołu pasmo pomiarowe. Przykład 3. Brak kontaktu kabla w gnieździe oscyloskopu jest równoważny pojemności, która wraz z rezystancją wejściową tworzy filtr górnoprzepustowy mogący powodować różniczkowanie sygnałów wejściowych. generator kabel oscyloskop pf przerwa R WE
Pracownia Wstępna - 7 - Oscyloskop. Oscyloskop jest uniwersalnym urządzeniem pomiarowym służącym do badania i wizualizacji zmiennych przebiegów elektrycznych. OSCYLOSKOP JEDNOKANAŁOWY- uproszczony schemat blokowy działo elektronowe GENERATOR PODSTAWY CZASU rozdzielczość czasowa ostrość astygmatyzm płytki odchylania poziomego wygaszanie jaskrawość WE X WZMACNIACZ ODCHYLANIA POZIOMEGO; położenie obrazu w poziomie, rozdzielczość czasowa x5 (czułość), płytki odchylania pionowego WE Y RODZAJ SPRZĘŻENIA: DC, AC, GND WZMACNIACZ ODCHYLANIA PIONOWEGO; dobór czułości i położenia obrazu w pionie napięcie czas świecenie świecenie wygaszenie wygaszenie Sygnał generatora podstawy czasu
Pracownia Wstępna - 8 - Sposoby wyzwalania podstawy czasu GENERATOR PODSTAWY CZASU ust. progu wyzwalania WE. Synchr. zew WYBÓR SPOSOBU WYZWALANIA: ZEWnętrzny, WEWnętrzny, AUTOmatyczny WE Y Uproszczony schemat oscyloskopu dwukanałowego GENERATOR PODSTAWY CZASU WYBÓR WYZWALANIA : z kanału Y lub Y2 WE Y PRZEŁĄCZNIK ELEKTRON. wybór kanału (Y lub Y2) albo przełączanie między kanałami typu ALT lub CHOPP. WE Y2 WZMACNIACZE ODCH. PIONOWEGO Y I Y2 niezależny dobór czułości i położenia obrazów na ekranie