Zadanie 1 1. Czy wykresy zmiennych sugerują, że zmienne są stacjonarne. Czy występuje sezonowość? Wykres stopy bezrobocia rejestrowanego w okresie 01.1998 12.2008, dane Polskie 22 20 18 16 stopa 14 12 10 8 1998 2000 2002 2004 2006 2008 Wykres podaży pieniądza M1 okresie 01.1998 12.2008, dane Polskie 600000 550000 500000 450000 400000 M3 350000 300000 250000 200000 150000 100000 1996 1998 2000 2002 2004 2006 1
2. Czy wykres ΔM1 sugeruje, że zmienna jest stacjonarna? Wykres pierwszych różnic M1 25000 20000 15000 10000 d_m1 5000 0-5000 -10000-15000 1996 1998 2000 2002 2004 2006 3. Czy wykres Δln(M1) sugeruje, że zmienna jest stacjonarna? 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 d_l_m1 0-0.02-0.04-0.06-0.08-0.1 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2
4. Przeprowadzono test DF dla ln(m1) i otrzymano następujące wyniki: TABELA 1 Test Dickeya-Fullera dla zmiennej l_m1 liczebność próby 133 Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1) test bez wyrazu wolnego (const) model: (1 - L)y = (a-1)*y(-1) + e rząd opóźnienia: 0 Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: -0,312 estymowana wartość (a-1) wynosi: 0,00101104 Statystyka testu: tau_nc(1) = 4,73378 wartość p 1 Równanie regresji testu Dickeya-Fullera Estymacja KMNK z wykorzystaniem 133 obserwacji 1996:02-2007:02 l_m1_1 0,00101104 0,000213580 4,734 5,60E-06 *** TABELA 2 test z wyrazem wolnym (const) model: (1 - L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + e rząd opóźnienia: 0 Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: -0,318 estymowana wartość (a-1) wynosi: 0,00372832 Statystyka testu: tau_c(1) = 0,650628 wartość p 0,9906 Równanie regresji testu Dickeya-Fullera Estymacja KMNK z wykorzystaniem 133 obserwacji 1996:02-2007:02 const -0,0321470 0,0677459-0,4745 0,6359 l_m1_1 0,00372832 0,00573034 0,6506 0,5164 TABELA 3 z wyrazem wolnym i trendem liniowym model: (1 - L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) + e rząd opóźnienia: 0 Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: -0,253 estymowana wartość (a-1) wynosi: -0,0798432 Statystyka testu: tau_ct(1) = -2,18334 wartość p 0,4945 Równanie regresji testu Dickeya-Fullera Estymacja KMNK z wykorzystaniem 133 obserwacji 1996:02-2007:02 const 0,888965 0,403782 2,202 0,0295 ** l_m1_1-0,0798432 0,0365694-2,183 0,0308 ** time 0,000973630 0,000420950 2,313 0,0223 ** 3
Następnie przeprowadzono test Breuscha Godfreya na występowanie autokorelacji: TABELA 4 Model 1: Estymacja KMNK z wykorzystaniem 133 obserwacji 1996:02-2007:02 const 0,888965 0,403782 2,202 0,0295 ** l_m1_1-0,0798432 0,0365694-2,183 0,0308 ** time 0,000973630 0,000420950 2,313 0,0223 ** Średnia arytmetyczna zmiennej zależnej = 0,0118996 Odchylenie standardowe zmiennej zależnej = 0,0291419 Suma kwadratów reszt = 0,107323 Błąd standardowy reszt = 0,0287326 Wsp. determinacji R-kwadrat = 0,04262 Skorygowany wsp. R-kwadrat = 0,02789 Statystyka F (2, 130) = 2,89353 (wartość p = 0,059) Statystyka testu Durbina-Watsona = 2,46011 Autokorelacja reszt rzędu pierwszego = -0,252905 Logarytm wiarygodności = 284,911 Kryterium informacyjne Akaike'a (AIC) = -563,823 Kryterium bayesowskie Schwarza (BIC) = -555,152 Kryterium infor. Hannana-Quinna (HQC) = -560,299 TABELA 5 Test Breuscha-Godfreya na autokorelację rzędu pierwszego Estymacja KMNK z wykorzystaniem 133 obserwacji 1996:02-2007:02 Zmienna zależna: uhat const -0,607304 0,430453-1,411 0,1607 l_m1_1 0,0549980 0,0389844 1,411 0,1607 time -0,000623568 0,000447526-1,393 0,1659 uhat_1-0,309355 0,0936503-3,303 0,0012 *** Wsp. determinacji R-kwadrat = 0,07799 Statystyka testu: LMF = 10,911748, z wartością p = P(F(1,129) > 10,9117) = 0,00124 Statystyka testu: TR^2 = 10,372699, z wartością p = P(Chi-kwadrat(1) > 10,3727) = 0,00128 Ljung-Box Q' = 8,64527 z wartością p = P(Chi-kwadrat(1) > 8,64527) = 0,00328 4
TABELA 6 Test Breuscha-Godfreya na autokorelację do rzędu 2 Estymacja KMNK z wykorzystaniem 133 obserwacji 1996:02-2007:02 Zmienna zależna: uhat const -0,804846 0,474091-1,698 0,0920 * l_m1_1 0,0728948 0,0429391 1,698 0,0920 * time -0,000828210 0,000492586-1,681 0,0951 * uhat_1-0,351322 0,102723-3,420 0,0008 *** uhat_2-0,0973584 0,0978982-0,9945 0,3219 Wsp. determinacji R-kwadrat = 0,08506 Statystyka testu: LMF = 5,949910, z wartością p = P(F(2,128) > 5,94991) = 0,00338 Statystyka testu: TR^2 = 11,312924, z wartością p = P(Chi-kwadrat(2) > 11,3129) = 0,00349 Ljung-Box Q' = 8,82352 z wartością p = P(Chi-kwadrat(2) > 8,82352) = 0,0121 5. Przeprowadzono test ADF dla ln(m1) i otrzymano następujące wyniki: TABELA 7 Test Dickeya-Fullera dla zmiennej l_m1 liczebność próby 132 Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1) test bez wyrazu wolnego (const) model: (1 - L)y = (a-1)*y(-1) +... + e rząd opóźnienia: 1 Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: -0,064 estymowana wartość (a-1) wynosi: 0,00137986 Statystyka testu: tau_nc(1) = 6,37519 asymptotyczna wartość p = 1 Równanie regresji rozszerzonego testu Dickeya-Fullera Estymacja KMNK z wykorzystaniem 132 obserwacji 1996:03-2007:02 l_m1_1 0,00137986 0,000216442 6,375 2,93E-09 *** d_l_m1_1-0,312715 0,0813501-3,844 0,0002 *** 5
TABELA 8 test z wyrazem wolnym (const) model: (1 - L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e rząd opóźnienia: 1 Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: -0,065 estymowana wartość (a-1) wynosi: 0,00465088 Statystyka testu: tau_c(1) = 0,856368 asymptotyczna wartość p = 0,995 Równanie regresji rozszerzonego testu Dickeya-Fullera Estymacja KMNK z wykorzystaniem 132 obserwacji 1996:03-2007:02 const -0,0386400 0,0641035-0,6028 0,5477 l_m1_1 0,00465088 0,00543093 0,8564 0,3934 d_l_m1_1-0,318794 0,0821713-3,880 0,0002 *** TABELA 9 z wyrazem wolnym i trendem liniowym model: (1 - L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) +... + e rząd opóźnienia: 1 Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: -0,054 estymowana wartość (a-1) wynosi: -0,0414294 Statystyka testu: tau_ct(1) = -1,15859 asymptotyczna wartość p = 0,9175 Równanie regresji rozszerzonego testu Dickeya-Fullera Estymacja KMNK z wykorzystaniem 132 obserwacji 1996:03-2007:02 const 0,469016 0,394611 1,189 0,2368 l_m1_1-0,0414294 0,0357585-1,159 0,2488 d_l_m1_1-0,292812 0,0843379-3,472 0,0007 *** time 0,000535252 0,000410566 1,304 0,9175 6
Następnie przeprowadzono test Breuscha Godfreya na występowanie autokorelacji: TABELA 10 Model 2: Estymacja KMNK z wykorzystaniem 132 obserwacji 1996:03-2007:02 const 0,469016 0,394611 1,189 0,2368 l_m1_1-0,0414294 0,0357585-1,159 0,2488 time 0,000535252 0,000410566 1,304 0,1947 d_l_m1_1-0,292812 0,0843379-3,472 0,0007 *** Średnia arytmetyczna zmiennej zależnej = 0,012472 Odchylenie standardowe zmiennej zależnej = 0,0284925 Suma kwadratów reszt = 0,0939203 Błąd standardowy reszt = 0,0270879 Wsp. determinacji R-kwadrat = 0,11686 Skorygowany wsp. R-kwadrat = 0,09617 Statystyka F (3, 128) = 5,64606 (wartość p = 0,00115) Statystyka testu Durbina-Watsona = 2,09606 Autokorelacja reszt rzędu pierwszego = -0,0538686 Statystyka testu Durbina h = -2,3607 Logarytm wiarygodności = 291,075 Kryterium informacyjne Akaike'a (AIC) = -574,151 Kryterium bayesowskie Schwarza (BIC) = -562,62 Kryterium infor. Hannana-Quinna (HQC) = -569,465 TABELA 11 Test LM na autokorelację rzędu 1 - Hipoteza zerowa: brak autokorelacji składnika losowego Statystyka testu: LMF = 3,03215 z wartością p = P(F(1,127) > 3,03215) = 0,0840515 Test Breuscha-Godfreya na autokorelację rzędu pierwszego Estymacja KMNK z wykorzystaniem 132 obserwacji 1996:03-2007:02 Zmienna zależna: uhat const -0,327298 0,434297-0,7536 0,4525 l_m1_1 0,0294263 0,0392971 0,7488 0,4554 time -0,000360737 0,000456999-0,7894 0,4314 d_l_m1_1 0,350292 0,217875 1,608 0,1104 uhat_1-0,433222 0,248792-1,741 0,0841 * Wsp. determinacji R-kwadrat = 0,02332 Statystyka testu: LMF = 3,032147, z wartością p = P(F(1,127) > 3,03215) = 0,0841 Statystyka testu: TR^2 = 3,078034, z wartością p = P(Chi-kwadrat(1) > 3,07803) = 0,0794 Ljung-Box Q' = 0,391187 z wartością p = P(Chi-kwadrat(1) > 0,391187) = 0,532 7
TABELA 11 Test Breuscha-Godfreya na autokorelację do rzędu 2 Estymacja KMNK z wykorzystaniem 132 obserwacji 1996:03-2007:02 Zmienna zależna: uhat const -0,318740 0,435079-0,7326 0,4652 l_m1_1 0,0285173 0,0393725 0,7243 0,4702 time -0,000362778 0,000457686-0,7926 0,4295 d_l_m1_1 0,547147 0,331433 1,651 0,1013 uhat_1-0,623389 0,346643-1,798 0,0745 * uhat_2 0,111416 0,141196 0,7891 0,4315 Wsp. determinacji R-kwadrat = 0,02812 Statystyka testu: LMF = 1,822895, z wartością p = P(F(2,126) > 1,8229) = 0,166 Statystyka testu: TR^2 = 3,711994, z wartością p = P(Chi-kwadrat(2) > 3,71199) = 0,156 Ljung-Box Q' = 0,714736 z wartością p = P(Chi-kwadrat(2) > 0,714736) = 0,7 8
4. Przeprowadzono test DF dla Δln(M1) i otrzymano następujące wyniki: TABELA 12 Test Dickeya-Fullera dla zmiennej d_l_m1 liczebność próby 132 Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1) test bez wyrazu wolnego (const) model: (1 - L)y = (a-1)*y(-1) + e rząd opóźnienia: 0 Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: 0,011 estymowana wartość (a-1) wynosi: -1,11095 Statystyka testu: tau_nc(1) = -12,9886 wartość p 6,389e-058 Równanie regresji testu Dickeya-Fullera Estymacja KMNK z wykorzystaniem 132 obserwacji 1996:03-2007:02 Zmienna zależna: d_d_l_m1 d_l_m1_1-1,11095 0,0855323-12,99 2,65E-025 *** Następnie przeprowadzono test Breuscha Godfreya na występowanie autokorelacji: TABELA 13 Model 3: Estymacja KMNK z wykorzystaniem 132 obserwacji 1996:03-2007:02 Zmienna zależna: d_d_l_m1 d_l_m1 1,11430 0,0881162 12,65 1,88E-024 *** Średnia arytmetyczna zmiennej zależnej = 0,000370118 Odchylenie standardowe zmiennej zależnej = 0,0467724 Suma kwadratów reszt = 0,129057 Błąd standardowy reszt = 0,0313874 Wsp. determinacji R-kwadrat = 0,54970 Skorygowany wsp. R-kwadrat = 0,54970 Centrowany R-kwadrat = 0,54967 Statystyka F (1, 131) = 159,917 (wartość p < 0,00001) Statystyka testu Durbina-Watsona = 1,88934 Autokorelacja reszt rzędu pierwszego = 0,0235578 Logarytm wiarygodności = 270,1 Kryterium informacyjne Akaike'a (AIC) = -538,2 Kryterium bayesowskie Schwarza (BIC) = -535,318 Kryterium infor. Hannana-Quinna (HQC) = -537,029 9
TABELA 14 Test Breuscha-Godfreya na autokorelację rzędu pierwszego Estymacja KMNK z wykorzystaniem 133 obserwacji 1996:02-2007:02 Zmienna zależna: uhat d_l_m1 0,00314682 0,0875122 0,03596 0,9714 uhat_1 0,0239911 0,0896668 0,2676 0,7895 Wsp. determinacji R-kwadrat = 0,00055 Centrowany R-kwadrat = -0,22746 Statystyka testu: LMF = 0,071587, z wartością p = P(F(1,131) > 0,0715875) = 0,789 Statystyka testu: TR^2 = 0,072641, z wartością p = P(Chi-kwadrat(1) > 0,0726407) = 0,788 Ljung-Box Q' = 5,60387 z wartością p = P(Chi-kwadrat(1) > 5,60387) = 0,0179 TABELA 15 Test Breuscha-Godfreya na autokorelację do rzędu 2 Estymacja KMNK z wykorzystaniem 133 obserwacji 1996:02-2007:02 Zmienna zależna: uhat d_l_m1 0,0505646 0,0894712 0,5651 0,5729 uhat_1 0,0303116 0,0886337 0,3420 0,7329 uhat_2 0,188270 0,0915073 2,057 0,0416 ** Wsp. determinacji R-kwadrat = 0,03206 Centrowany R-kwadrat = -0,18876 Statystyka testu: LMF = 2,153188, z wartością p = P(F(2,130) > 2,15319) = 0,12 Statystyka testu: TR^2 = 4,264489, z wartością p = P(Chi-kwadrat(2) > 4,26449) = 0,119 Ljung-Box Q' = 5,67377 z wartością p = P(Chi-kwadrat(2) > 5,67377) = 0,0586 10
Zadanie 2 Dla przeprowadzenia modelu ADL dla zależności stopy wzrostu konsumpcji benzyny od stopy wzrostu dochodu oraz od stopy wzrostu cen benzyny w latach 1960 i 1995. stopa wzrostu konsumpcji benzyny - st_g stopa wzrostu cen benzyny - st_pg stopa wzrostu dochodu - st_y TABELA 1 Test Dickeya-Fullera dla zmiennej st_g liczebność próby 34 Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1) test bez wyrazu wolnego (const) model: (1 - L)y = (a-1)*y(-1) + e rząd opóźnienia: 0 Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: -0,061 estymowana wartość (a-1) wynosi: -0,443744 Statystyka testu: tau_nc(1) = -3,05008 wartość p 0,00335 Równanie regresji testu Dickeya-Fullera Estymacja KMNK z wykorzystaniem 34 obserwacji 1962-1995 Zmienna zależna: d_st_g st_g_1-0,443744 0,145486-3,050 0,0045 *** Test Breuscha Gogfreya: Rząd Wartość statystyki p value 1 0,403752 0,525 2 1,38813 0,5 3 1,39021 0,708 11
TABELA 2 Test Dickeya-Fullera dla zmiennej st_pg liczebność próby 33 Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1) test bez wyrazu wolnego (const) model: (1 - L)y = (a-1)*y(-1) + e rząd opóźnienia: 0 Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: -0,042 estymowana wartość (a-1) wynosi: -1,16734 Statystyka testu: tau_nc(1) = -6,69927 wartość p 9,724e-009 Równanie regresji testu Dickeya-Fullera Estymacja KMNK z wykorzystaniem 33 obserwacji 1963-1995 Zmienna zależna: d_st_pg - st_pg_1-1,16734 0,174250-6,699 1,46E-07 *** Test Breuscha Gogfreya: Rząd Wartość statystyki p value 1 0,382603 0,536 2 0,395732 0,82 3 0,508606 0,917 TABELA 3 Test Dickeya-Fullera dla zmiennej st_y liczebność próby 33 Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1) test bez wyrazu wolnego (const) model: (1 - L)y = (a-1)*y(-1) + e rząd opóźnienia: 0 Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: -0,106 estymowana wartość (a-1) wynosi: -1,43786 Statystyka testu: tau_nc(1) = -9,0589 wartość p 2,063e-016 Równanie regresji testu Dickeya-Fullera Estymacja KMNK z wykorzystaniem 33 obserwacji 1963-1995 Zmienna zależna: d_st_y st_y_1-1,43786 0,158724-9,059 2,40E-010 *** Test Breuscha Gogfreya: Rząd Wartość statystyki p value 1 3,59158 0,058 2 4,74952 0,0803 3 5,02461 0,17 12
TABELA 4 Hipoteza zerowa: proces stacjonarny; test KPSS dla zmiennej st_g (bez trendu) Parametr rzędu opóźnienia (lag truncation) = 3 Statystyka testu = 0,297627 10% 5% 2,5% 1% Krytyczna wart.: 0,347 0,463 0,574 0,739 TABELA 5 Hipoteza zerowa: proces stacjonarny; test KPSS dla zmiennej st_pg (bez trendu) Parametr rzędu opóźnienia (lag truncation) = 3 Statystyka testu = 0,122368 10% 5% 2,5% 1% Krytyczna wart.: 0,347 0,463 0,574 0,739 TABELA 6 Hipoteza zerowa: proces stacjonarny; test KPSS dla zmiennej st_y (bez trendu) Parametr rzędu opóźnienia (lag truncation) = 3 Statystyka testu = 0,439993 10% 5% 2,5% 1% Krytyczna wart.: 0,347 0,463 0,574 0,739 Pytania: 1. Przeprowadzić testy DF na istnienie pierwiastka jednostkowego dla zmiennych: stopa wzrostu konsumpcji benzyny - st_g stopa wzrostu cen benzyny - st_pg stopa wzrostu dochodu - st_y 2. Przeprowadzić testy KPSS na istnienie pierwiastka jednostkowego dla zmiennych: stopa wzrostu konsumpcji benzyny - st_g stopa wzrostu cen benzyny - st_pg stopa wzrostu dochodu - st_y 13
3. Następnie oszacowano modele ADL: Model 1: Estymacja KMNK z wykorzystaniem 33 obserwacji 1963-1995 Zmienna zależna: st_g st_y 0,725772 0,158923 4,567 9,06E-05 *** st_y_2 0,545170 0,141242 3,860 0,0006 *** st_pg -0,212868 0,0247393-8,604 2,38E-09 *** st_pg_2 0,0812442 0,0231109 3,515 0,0015 *** st_g_1 0,256367 0,0816055 3,142 0,0039 *** Średnia arytmetyczna zmiennej zależnej = 0,024489 Odchylenie standardowe zmiennej zależnej = 0,0380408 Suma kwadratów reszt = 0,00676613 Błąd standardowy reszt = 0,015545 Wsp. determinacji R-kwadrat = 0,89763 Skorygowany wsp. R-kwadrat = 0,88301 Centrowany R-kwadrat = 0,85389 Statystyka F (5, 28) = 49,106 (wartość p < 0,00001) Statystyka testu Durbina-Watsona = 2,14743 Autokorelacja reszt rzędu pierwszego = -0,079916 Statystyka testu Durbina h = -0,509624 Logarytm wiarygodności = 93,2985 Kryterium informacyjne Akaike'a (AIC) = -176,597 Kryterium bayesowskie Schwarza (BIC) = -169,115 Kryterium infor. Hannana-Quinna (HQC) = -174,079 Test Breuscha-Godfreya na autokorelację do rzędu 3 Estymacja KMNK z wykorzystaniem 33 obserwacji 1963-1995 Statystyka testu: TR^2 = 4,902628, z wartością p = P(Chi-kwadrat(3) > 4,90263) = 0,179 a) Proszę policzyć i zinterpretować mnożniki bezpośrednie dla Modelu 1. b) Proszę policzyć i zinterpretować mnożniki długookresowe dla Modelu 1. c) Jak wygląda równowaga długookresowa w Modelu 1? d) Za pomocą jakiego testu powinno się przetestować w tym modelu autokorelację, dlaczego jest to ważne? e) Co implikuje wynik testu Breuscha Godfreya w Modelu 1? 14