Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 29 III 2
Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ
Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór formuł języka KRZ w zbiór wartości logicznych. PRAWDA FORMUŁY KRZ FAŁSZ
Def 6. Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór formuł języka KRZ w zbiór wartości logicznych. V PRAWDA FORMUŁY KRZ FAŁSZ Wartościowanie przyporządkowuje każdemu zdaniu języka KRZ albo prawdę, albo fałsz. Niech α będzie dowolnym zdaniem języka KRZ, wtedy jest tak, że: v(α) = albo v(α) =
Jak odróżnić od siebie wartościowania?
Jak odróżnić od siebie wartościowania? Wartościowania różnią się między sobą sposobem w jaki przyporządkowują prawdę i fałsz wyrażeniom KRZ.
Jak odróżnić od siebie wartościowania? Wartościowania różnią się między sobą sposobem w jaki przyporządkowują prawdę i fałsz wyrażeniom KRZ. Różnice w wartościach logicznych, które dwa wartościowania przypisują formułom złożonym ze zmiennych i funktorów KRZ, są konsekwencją: (i) oraz (ii) sposobu przypisywania prawdy i fałszu zmiennym zdaniowym, charakterystyki prawdziwościowej spójników KRZ (tabelek).
Jak odróżnić od siebie wartościowania? Wartościowania różnią się między sobą sposobem w jaki przyporządkowują prawdę i fałsz wyrażeniom KRZ. Różnice w wartościach logicznych, które dwa wartościowania przypisują formułom złożonym ze zmiennych i funktorów KRZ, są konsekwencją: (i) oraz (ii) sposobu przypisywania prawdy i fałszu zmiennym zdaniowym, charakterystyki prawdziwościowej spójników KRZ (tabelek). Charakterystyka prawdziwościowa spójników pozostaje taka sama, bez względu na wartościowanie, które rozważamy. NEGACJA KONIUNKCJA ALTERNATYWA IMPLIKACJA RÓWNOWAŻNOŚĆ p p p q p q p q p q p q p q p q p q
Jak odróżnić od siebie wartościowania? Wartościowania różnią się między sobą sposobem w jaki przyporządkowują prawdę i fałsz zmiennym zdaniowym języka KRZ. Różnice w wartościach logicznych, które dwa wartościowania przypisują formułom złożonym ze zmiennych i funktorów KRZ, są konsekwencją: (i) oraz (ii) różnicy w wartościowaniach zmiennych zdaniowych języka KRZ, charakterystyki prawdziwościowej spójników KRZ (tabelek). Wystarczy więc skupić uwagę wyłącznie na zmiennych zdaniowych.
Jak odróżnić od siebie wartościowania? Wartościowania różnią się między sobą sposobem w jaki przyporządkowują prawdę i fałsz zmiennym zdaniowym języka KRZ. Różnice w wartościach logicznych, które dwa wartościowania przypisują formułom złożonym ze zmiennych i funktorów KRZ, są konsekwencją: (i) oraz (ii) różnicy w wartościowaniach zmiennych zdaniowych języka KRZ, charakterystyki prawdziwościowej spójników KRZ (tabelek). Wystarczy więc skupić uwagę wyłącznie na zmiennych zdaniowych. Jeśli dowolne dwa wartościowania v i i v j różnią się od siebie, to istnieje przynajmniej jedna zmienna języka KRZ p m, taka, że: v i (p m ) =, zaś v j (p m ) =.
Jak odróżnić od siebie wartościowania? Ile jest możliwych, różnych wartościowań?
Jak odróżnić od siebie wartościowania? Ile jest możliwych, różnych wartościowań? Wartościowanie, to funkcja, która przyporządkowuje każdej zmiennej jedną z dwu wartości logicznych, zatem możliwych, różnych od siebie przyporządkowań tego rodzaju powinno być 2 n gdzie n, to liczba zmiennych KRZ.
Jak odróżnić od siebie wartościowania? Ile jest możliwych, różnych wartościowań? Wartościowanie, to funkcja, która przyporządkowuje każdej zmiennej jedną z dwu wartości logicznych, zatem możliwych, różnych od siebie przyporządkowań tego rodzaju powinno być 2 n gdzie n, to liczba zmiennych KRZ. Zmiennych KRZ, jest jednak nieskończenie wiele (tyle ile liczb naturalnych)
Jak odróżnić od siebie wartościowania? Ile jest możliwych, różnych wartościowań? Wartościowanie, to funkcja, która przyporządkowuje każdej zmiennej jedną z dwu wartości logicznych, zatem możliwych, różnych od siebie przyporządkowań tego rodzaju powinno być 2 n gdzie n, to liczba zmiennych KRZ. Zmiennych KRZ, jest jednak nieskończenie wiele (tyle ile liczb naturalnych) Możliwych, różnych wartościowań jest zatem trochę więcej niż nieskończenie wiele (a przynajmniej więcej niż jest liczb naturalnych)
Jak odróżnić od siebie wartościowania? Ile jest możliwych, różnych wartościowań? Wartościowanie, to funkcja, która przyporządkowuje każdej zmiennej jedną z dwu wartości logicznych, zatem możliwych, różnych od siebie przyporządkowań tego rodzaju powinno być 2 n gdzie n, to liczba zmiennych KRZ. Zmiennych KRZ, jest jednak nieskończenie wiele (tyle ile liczb naturalnych) Możliwych, różnych wartościowań jest zatem trochę więcej niż nieskończenie wiele (a przynajmniej więcej niż jest liczb naturalnych) Na szczęście, gdy rozważamy dowolną formułę języka KRZ, mamy zawsze do czynienia ze skończoną liczbą zmiennych zdaniowych!
V v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=,
V V 2 V 3 V 4. v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=,
V V 2 V 3 V 4. v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, Czy wartościowania różnią się z uwagi na zmienną p?
V V 2 V 3 V 4. v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, Czy wartościowania różnią się z uwagi na zmienną p?
V V 2 V 3 V 4. v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, Z uwagi na wartość logiczną, którą przypisują zmiennej p, wartościowania v, v 2, v 3 i v 4, rozpadają się na dwie klasy: (i) takie, które przyporządkowują p wartość prawda : v α (p )= [v i v 3 ] (ii) takie, które przyporządkowują p wartość fałsz : v β (p )= [v 2 i v 4 ]
V V 2 V 3 V 4. v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, Z uwagi na wartość logiczną, którą przypisują zmiennej p, wartościowania v, v 2, v 3 i v 4, rozpadają się na dwie klasy: (i) takie, które przyporządkowują p wartość prawda : v α (p )= [v i v 3 ] (ii) takie, które przyporządkowują p wartość fałsz : v β (p )= [v 2 i v 4 ] v α v β p W ten sposób udało się rozważyć wszystkie możliwe wartościowania; przynajmniej tak długo, jak długo interesuje nas jedynie zmienna p.
V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V 8. v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 5 (p )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 6 (p )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 7 (p )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 8 (p )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=,
V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V 8 v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 5 (p )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 6 (p )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 7 (p )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 8 (p )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, Jeśli rozważamy dwie zmienne, wszystkie możliwe wartościowania rozpadają się na cztery klasy: V α v α (p )=, v α )=
V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 5 (p )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 6 (p )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 7 (p )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, V 8. v 8 (p )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=,. Jeśli rozważamy dwie zmienne, wszystkie możliwe wartościowania rozpadają się na cztery klasy: V α v α (p )=, v α )= V β v β (p )=, v β )=
V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 5 (p )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 6 (p )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 7 (p )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, V 8. v 8 (p )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=,. Jeśli rozważamy dwie zmienne, wszystkie możliwe wartościowania rozpadają się na cztery klasy: V α v α (p )=, v α )= V β v β (p )=, v β )= V γ v γ (p )=, v γ )=
V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 5 (p )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 6 (p )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 7 (p )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, V 8. v 8 (p )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=,. Jeśli rozważamy dwie zmienne, wszystkie możliwe wartościowania rozpadają się na cztery klasy: V α v α (p )=, v α )= V β v β (p )=, v β )= V γ v γ (p )=, v γ )= V δ v δ (p )=, v δ )=
V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 5 (p )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 6 (p )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 7 (p )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, V 8. v 8 (p )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=,. Jeśli rozważamy dwie zmienne, wszystkie możliwe wartościowania rozpadają się na cztery klasy: p p 2 V α v α (p )=, v α )= V β v β (p )=, v β )= V γ v γ (p )=, v γ )= V δ v δ (p )=, v δ )=
V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 5 (p )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 6 (p )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 7 (p )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, V 8. v 8 (p )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=,. Jeśli rozważamy dwie zmienne, wszystkie możliwe wartościowania rozpadają się na cztery klasy: p p 2 V α V β V γ V δ
V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 5 (p )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 6 (p )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 7 (p )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, V 8. v 8 (p )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=,. Jeśli rozważamy dwie zmienne, wszystkie możliwe wartościowania rozpadają się na cztery klasy: p p 2 W ten sposób powstają dwa pierwsze wiersze tabelki prawdziwościowej dla formuły złożonej z dwu pierwszych zmiennych języka KRZ i któregoś z funktorów KRZ.
Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ
TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych.
TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ?
TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? Sposób. Metoda wprost: należy rozważyć wszystkie wartościowania zmiennych, które występują w badanej formule i ustalić, czy wartością logiczną, która przy każdym z wartościowań odpowiada tej formule jest prawda. (i) (ii) Jeśli tak jest, to formuła jest tautologią. Jeśli tak nie jest, to formuła nie jest tautologią.
Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? ((p r) (q r)) ((p q) r)) p q r (p r) (q r) (p q) ((p q) r) ((p r) (q r)) α β β α TAUTOLOGIA
Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? ((p r) (q r)) ((p q) r)) p q r (p r) (q r) (p q) ((p q) r) ((p r) (q r)) α β β α TAUTOLOGIA
TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? Sposób 2 Metoda niewprost: Z.D.N.: Załóżmy, że badana formuła nie jest tautologią. (a) (b) znaczy to, że istnieje wartościowanie zmiennych KRZ, przy którym formuła jest fałszywa, będziemy rozważać właśnie to wartościowanie. Wykorzystując wiedzę na temat charakterystyki prawdziwościowej funktorów KRZ odnajdźmy teraz wartościowanie zmiennych występujących w rozważanej formule, przy którym okazuje się ona fałszywa. Możliwe są dwie sytuacje: (i) (ii) w drodze rozważań napotkamy sprzeczność- wtedy Z.D.N. zostaje odrzucone a badana formuła jest tautologią, odnajdujemy wartościowanie zmiennych takie, że badana formułą jest przy nim fałszywa- wtedy Z.D.N. zostało dowiedzione, a formuła nie jest tautologią
TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? (( p r) (q r)) ((p q) r )) Z.D.N.
TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) Z.D.N.
TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) Z.D.N.
TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) Z.D.N.
TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p\ q) r )) Z.D.N.
TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) Z.D.N.
TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) Z.D.N.
TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) Z.D.N.
TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) Z.D.N.
TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) SPRZECZNOŚĆ Z.D.N.
TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) SPRZECZNOŚĆ Z.D.N.
TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) TA FORMUŁA JEST TAUTOLOGIĄ SPRZECZNOŚĆ Z.D.N.
DO ĆWICZEŃ!