3 Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN Tom 10, nr 1-4, (2008), s. 3-15 Instytut Mechaniki Górotworu PAN Zależność wartości wsółczynnika Biota od rodzaju medium orowego BARBARA DUTKA, ZBIGNIEW LIZAK, ANDRZEJ NOWAKOWSKI, JANUSZ NURKOWSKI, MIROSŁAW WIERZBICKI Instytut Mechaniki Górotworu PAN, ul. Reymonta 27; 30-059 Kraków Streszczenie Artykuł oświęcony jest badaniom laboratoryjnym ewnych stałych materiałowych służących do oisu zjawisk zachodzących w ośrodku orowatym. W szczególności rzedmiotem badań były moduły srężystości objętościowej skały (K) i jej szkieletu (K S ), oraz tzw. wsółczynniki Biota będące funkcją modułów K i K S oraz orowatości skały (n). Do badań wykorzystano róbki skalne wycięte z dwóch skał: iaskowca i ooki. Dla wszystkich róbek wyznaczono w iknometrze gęstości ozorne i rzeczywiste a na ich odstawie wyliczono wartości orowatości. Nastęnie wykonano na nich badania kinetyki sorcji dla dwóch gazów: fizykochemicznie obojętnego helu (He) i sorbującego ditlenku węgla (CO 2 ). Ekserymenty ściśliwości wykonywano dla czterech łynów orowych: dwóch cieczy (wody i nafty) i dwóch gazów (azotu i dwutlenku węgla). Moduł K wyznaczano na odstawie ekserymentów, w których ciśnienie łynu orowego było równe ciśnieniu atmosferycznemu, a moduł K S na odstawie ekserymentu, w którym ciśnienie orowe było równe ciśnieniu okólnemu. Wszystkie testy ściśliwości były testami drenowanymi. Ekserymenty okazały, że wartości modułów K i K S (a co za tym idzie wartości wsółczynników Biota) zależą w stosunkowo niewielkim stoniu od rodzaju łynu wyełniającego rzestrzeń orową skały. Wydaje się, że czynnikiem decydującym o tych wartościach jest stoień wyełnienia łynem rzestrzeni orowej skały i możliwości filtracji łynu w tej rzestrzeni. Ekserymenty okazały, że wsółczynniki Biota można wyznaczyć orawnie jedynie wtedy, gdy cała rzestrzeń orowa jest wyełniona łynem i łyn ten ma swobodę filtracji w obrębie róbki. Słowa kluczowe: moduł srężystości objętościowej skały, moduł srężystości objętościowej szkieletu skały, orowatość, wsółczynnik Biota, ekseryment ściśliwości, łyn orowy 1. Podstawowe ojęcia i definicje Pojęcie narężenia efektywnego wrowadzone do mechaniki gruntów na rzełomie XIX i XX w. rzez Paula Fillungera (Fillunger, 1913, 1914, 1915) i Karla von Terzaghiego (Terzaghi, 1923) ozwoliło na uwzględnienie w oisie matematycznym gruntu obecności w jego rzestrzeni orowej łynu orowego ozostającego od ciśnieniem orowym. Jednakże sformułowana rzez nich rosta definicja tzw. konwencjonalnego narężenia efektywnego ( σ ) w ostaci wzoru: ' i, j 1, 2, 3 (1) w którym: σ tensor narężenia a δ tzw. delta Kroneckera bardzo szybko okazała się niewystarczająca do oisu zjawisk zachodzących w nasyconym ozostającym od ciśnieniem łynem orowym ośrodku orowatym. Jedną z jej odstawowych słabości jest brak w tej definicji odniesienia do jakichkolwiek stałych materiałowych charakteryzujących badany ośrodek, co odkreślał już Skemton (Skemton, 1962) i na co cały czas zwracają uwagę autorzy zajmujący się roblematyką narężeń efektywnych (or. n. Lade i de Boer, 1997).
4 Barbara Dutka, Zbigniew Lizak, Andrzej Nowakowski, Janusz Nurkowski, Mirosław Wierzbicki Jedną z ierwszych rób sorządzenia bardziej złożonego oisu matematycznego takiego ośrodka odjął Maurice Biot (Biot, 1941) formułując swoją teorię konsolidacji ośrodka orowatego. Punktem wyjścia do rozważań Biota stały się równania jednorodnego i izotroowego ośrodka srężystego (tzw. ośrodka Hooke a) w ostaci: ( 1 ) ii i, j 1, 2,3 (2) E E gdzie E i ν to odowiednio moduł Younga i wsółczynnik Poissona. Przyjmując teraz, że: n jest orowatością ośrodka, K jego modułem ściśliwości, K S modułem ściśliwości jego fazy stałej, ζ zmianą objętości orów ośrodka, H, R ewnymi stałymi materiałowymi, oraz wrowadzając narężenie średnie σ m jako: ii m (3) 3 odał Biot swój układ równań srężystego, jednorodnego i izotroowego ośrodka orowatego w ostaci nastęującej (or. Paterson i Wong, 2005 str. 149-152; Fabre i Gustkiewicz, 1998; Gustkiewicz, 1989). ( 1 ) 1 ii i, j 1, 2,3 (4a) E E 3H m (4b) H R Między stałymi n, K, K S a H i R zachodzą wówczas nastęujące związki: 1 1 1 (5a) H K K S 1 R 1 K 1 n K S (5b) Rozwając myśl Biota Nur i Byerlee zauważyli (Nur i Byerlee, 1971), że jeżeli w układzie równań (4a) rzyjąć, że i = j to otrzymujemy trzy równania ośrodka Biota dla kierunków głównych. Sumując te równania stronami otrzymujemy: 3( 1 ) 3 1 ii ii ii i 1, 2, 3 (6) E E H Uwzględniając (3) oraz stosując odstawienia: 1 3( 12 ) (7a) K E e (7b) ii gdzie e jest zmianą objętości ośrodka można równanie (6) dorowadzić do ostaci: i dalej e m (8) K H e 1 m K K H (9)
Zależność wartości wsółczynnika Biota od rodzaju medium orowego 5 Dokonując odstawienia dorowadzić można związek (9) do ostaci K ' m H (10) ' e K (11) w którym σ dane wzorem (10) jest oszukiwanym narężeniem efektywnym. Stosując notację analogiczną do rzyjętej dla związku (1) oraz wrowadzając odstawienie: otrzymujemy ostać uogólnioną równania (10) w formie: K K 1 1 (12) H K S ' 1 i, j 1, 2, 3 (13) Równanie (13) definiuje narężenie efektywne dla ośrodka orowatego sełniającego związki (4a) i (4b). Kolejnym krokiem w rozumowaniu Nura i Byerlee jest rzeanalizowanie równania (4b) w sosób analogiczny do równania (4a). Przekształcając je do ostaci 1 m H H R (14) i odstawiając otrzymujemy równanie (4b) jako H ' m R (15) ' H (16) Wykonując w równaniu (15) odstawienie i stosując notację analogiczną jak w (1) i (13) otrzymuje się związek H nk 2 1 (17) R K K S ' 2 i, j 1, 2, 3 (18) definiujący narężenia efektywne dla rzestrzeni orowej ośrodka orowatego sełniającego równania (4a) i (4b). Podsumowując owyższe rozważania należy stwierdzić, że Nur i Byerlee wykazali, iż wychodząc z teorii konsolidacji Biota narężenie efektywne zdefiniować można związkiem ostaci: ' i, j 1, 2, 3 (19) w którym wartość wsółczynnika ciśnienia efektywnego α dana jest wzorem: K 1 1 (20) K S
6 Barbara Dutka, Zbigniew Lizak, Andrzej Nowakowski, Janusz Nurkowski, Mirosław Wierzbicki gdy rzedmiotem rozważań jest ośrodek orowaty jako całość, lub też wzorem nk 2 1 (21) K K gdy analizowana jest jedynie deformacja rzestrzeni orowej tego ośrodka. Biorąc od uwagę ostać związków (20) i (21) oraz zależności zachodzące między n, K i K S, Gustkiewicz [1989] wykazuje, że zarówno dla (20) jak i (21) rawdziwe jest S 0 1 (22) 2. Przedmiot badań i metodyka badawcza Rozważania zawarte w rozdz. 1 okazują, że o ile równanie konwencjonalnego narężenia efektywnego (1) nie jest odniesione do jakichkolwiek wielkości charakteryzujących zachowanie ośrodka orowatego od obciążeniem, o tyle sosób wyrowadzenia równania narężenia efektywnego (19) ze związków Biota imlikuje, że narężenie efektywne jest to narężenie, które kontroluje zmianę objętości ośrodka w zależności od narężenia i ciśnienia orowego. Jest to tym bardziej widoczne, gdy rzeanalizuje się związki (20) i (21). Zawarte w nich stałe materiałowe K i K S, to wielkości wiążące anujące w ośrodku narężenia właśnie ze zmianą jego objętości. Zatem w celu efektywnego wyznaczenia ostaci równań (20) i (21) niezbędne jest wyznaczenie dla danej skały wartości jej orowatości oraz odowiednich modułów ściśliwości. Porowatość jest właściwością materiału, którą można określić na odstawie badań densymetrycznych. W rzyadku skał, będących ciałami orowatymi czyli składającymi się ze stałego szkieletu oraz tzw. rzestrzeni orowej należy rozatrywać dwa rodzaje ich gęstości: rzeczywistą i objętościową. Gęstość rzeczywista określa gęstość fazy stałej czyli tzw. gęstość szkieletu mineralnego skały. Przy wyznaczeniu gęstości objętościowej uwzględniana jest objętość całkowita róbki, na którą składa się objętość szkieletu mineralnego oraz objętość orów. Przy określaniu masy do omiarów gęstości istotny jest rodzaj łynu orowego (gaz albo ciecz). Gęstość bowiem silnie zależy od składu mineralogicznego materiału, orowatości i ilości cieczy obecnej w orach. Według Vutukuri i innych (1994) orowatość skały zależy od sosobu owstania materiału skalnego oraz ewnych czynników, takich jak: rozkład wielkości ziaren mineralnych, ich kształt, trwałość oraz orientacja, stoień zwartości i ilość nieziarnistego materiału (soiwa, leiszcza) zawartego w orach skały lub okrywającego ziarna mineralne. W skałach wystęują ory otwarte, które są ołączone omiędzy sobą i łączą się z owierzchnią zewnętrzną oraz ory izolowane (zamknięte), nie mające ołączenia z owierzchnią zewnętrzną ani orami otwartymi. Pracownia Mikromerytyki IMG PAN dysonuje dwoma iknometrami firmy Micromeritics. Piknometr gazowy AccuPyc II 1340 umożliwia wyznaczenie objętości szkieletu róbki skalnej rzy zastosowaniu helu. Gaz ten dobrze enetruje strukturę wewnętrzną skały i wyełnia wszystkie ory mające ołączenie z owierzchnią zawnętrzną róbki. Zastosowanie iknometru helowego ozwala na określenie gęstości rzeczywistej skały bez uwzględnienia orów izolowanych do których gaz iknometryczny nie ma dostęu. Aarat GeoPyc 1360 umożliwia wyznaczenie gęstości objętościowej róbki skalnej dzięki recyzyjnemu omiarowi objętości róbki w środowisku quasi-cieczowej substancji DryFlo. Pomiar gęstości rzeczywistej i gęstości objętościowej ozwala określić orowatość badanych skał z równania: gdzie: ε orowatość (orowatość ozorna) [-], ρ o gęstość objętościowa [g/cm 3 ], ρ rz gęstość rzeczywista [g/cm 3 ]. o 1 (23) rz
Zależność wartości wsółczynnika Biota od rodzaju medium orowego 7 Moduły ściśliwości skały można wyznaczyć zasadniczo na dwa sosoby: ośrednio wykonując test jednoosiowego ściskania, w wyniku którego otrzymuje się moduł srężystości skały (E) oraz jej wsółczynnik Poissona (ν) a nastęnie korzystając z owszechnie znanego wzoru: E K (24) 3( 1 2 ) lub też bezośrednio, wykonując tzw. test ściśliwości, który olega na ściskaniu róbki skalnej ciśnieniem hydrostatycznym () z jednoczesnym omiarem wartości odkształcenia objętościowego (e). Moduł ściśliwości jest wówczas tangensem kąta nachylenia rostoliniowej części wykresu (e) do osi odkształceń. Jak to już naisano wyżej na otrzeby teorii Biota niezbędne jest wyznaczenie dwóch modułów ściśliwości: skały (K) i jej szkieletu (K S ). Moduł K wyznacza się w ekserymencie ściśliwości, w którym rzestrzeń orowa skały jest otwarta, ciśnienie orowe równe jest atmosferycznemu (umownie oznacza się to = 0, choć oczywiście nie jest to ścisłe), a odkształcenie badanej róbki jest sumą odkształceń jej szkieletu i orów. Jak łatwo zauważyć im większa orowatość skały tym większe jej odkształcenie a co za tym idzie tym mniejszy moduł K. Do wyznaczania modułu K S służy test ściśliwości, w którym ciśnienie orowe jest stale równe ciśnieniu hydrostatycznemu ( = ) rzy czym istotnym jest, aby cała rzestrzeń orowa wyełniona była łynem orowym. Oznacza to, że błąd w wyznaczeniu wartości K S jest tym większy, im większy jest udział w orowatości skały tzw. orów izolowanych, tj. takich, które nie mają ołączenia z innymi i są całkowicie otoczone materią skalną. Szczegółowe informacje dotyczące techniki wykonywania w Pracowni Odkształceń Skał IMG PAN obu wsomnianych wyżej ekserymentów ściśliwości znajdują się w racy Gustkiewicza (1989). Należy w tym momencie odkreślić, że ani Biot, ani Nur i Byerlee, ani też inne znane autorom race oświęcone tej tematyce (n.: Rice i Cleary, 1976; Zienkiewicz i Shiomi, 1984; Detournay i Cheng, 1993; Roegiers i in., 1998; Lade i de Boer, 1997) nie rozstrzygają, czym ma być wyełniona rzestrzeń orowa odczas testu ściśliwości. Wsomniany już kilkakrotnie Gustkiewicz (1989) roonuje, by moduł K wyznaczać, gdy rzestrzeń orowa naełniona jest owietrzem (tzw. stan owietrznie-suchy) natomiast moduł K S gdy jest ona wyełniona naftą ale nawet on nie zastanawia się nad wływem rodzaju łynu orowego na wynik testu ściśliwości. Stąd decyzja autorów niniejszej racy, którzy zdecydowali się wykonać serię oznaczeń modułów K i K S dla serii róbek skalnych, których rzestrzeń orowa wyełniona byłaby różnymi łynami orowymi i to zarówno cieczami jak i gazami. Uzyskane w wyniku tych ekserymentów wartości modułów ściśliwości były nastęnie odstawą do wyznaczania wartości wsółczynnika Biota α danego równaniami (20) i (21). 3. Niektóre właściwości badanych skał Do badań wybrano dwie skały otrzymane z Instytutu Geoniki Akademii Nauk Reubliki Czeskiej: iaskowiec oznaczany dalej jako iaskowiec 8348, oraz ookę o oznaczeniu ooka 9166. Geneza tych skał jest zuełnie inna. Ooka owstaje na drodze chemicznej (wytrącanie) natomiast iaskowiec na drodze osadzania. Próbka iaskowca o barwie oielato-żółtej, sojona soiwem tyu cement jest skałą średniookruchową, źle wysortowaną. Próbka ooki o barwie szarej, zbudowana z części węglanowej oraz krzemionki (oal, chalcedon) osiada zwarty szkielet (części węglanowe nie wyługowały). 3.1. Gęstość i orowatość róbek Z oisanych wyżej skał wykonano róbki walcowe o średnicy ok. 22,5 mm i wysokości ok. 45,0mm. Dla 16 róbek iaskowca oznaczonych kolejno NA1-NA16 oraz 16 róbek ooki oznaczonych A2-A11 i OP1-OP6 oznaczono gęstości rzeczywiste i objętościowe metodą iknometrii helowej oraz quasi-cieczowej a także objętość orów i orowatość. Wyniki omiarów zestawiono w Tab. 1 dla iaskowca oraz w Tab. 2 dla ooki. Obydwie badane skały osiadają bardzo zbliżoną średnią gęstość szkieletu skalnego. Dla iaskowca wynosi ona ρ rz = 2,668 g/cm 3 (odchylenie standardowe 0,027g/cm 3 ) natomiast dla ooki ρ rz o = 2,667 g/cm 3 (odchylenie standardowe 0,012 g/cm 3 ). Próbki ooki osiadają większą gęstość objętościową ρ o o = 2,469 g/cm 3 niż róbki iaskowca ρ o = 2,244 g/cm 3. Piaskowiec jest materiałem o dwukrotnie wyższej orowatości. Średnia orowatość rób ooki wynosi ε o = 7,41%, natomiast iaskowca ε = 15,88%. Znając gęstości oraz orowatości róbek wyznaczyć można łączną objętość rzestrzeni o-
8 Barbara Dutka, Zbigniew Lizak, Andrzej Nowakowski, Janusz Nurkowski, Mirosław Wierzbicki rowej w badanych róbkach. Przedstawiono ją w ostatnich kolumnach Tab. 1 i 2. Łączna objętość orów w róbkach wyciętych z iaskowca wynosi średnio V =2,5 cm 3. Dla róbek ooki średnia objętość orów wynosi V o = 1,4 cm 3. Określenie objętości rzestrzeni orowej dla rozatrywanych skał jest o tyle istotne, iż będzie ona wyełniona łynem orowym odczas dalszych ekserymentów. Tab. 1. Wyniki omiarów iknometrycznych oraz zestawienie orowatości róbek iaskowca 8348 Numer róbki Gęstość ozorna Gęstość rzeczywista Porowatość Łączna objętość orów [g/cm 3 ] [g/cm 3 ] [%] [cm 3 ] NA1 2,24 2,66 15,65 2,48 NA2 2,27 2,66 14,63 2,27 NA3 2,23 2,67 16,53 2,63 NA4 2,24 2,65 15,42 2,45 NA5 2,24 2,65 15,43 2,43 NA6 2,24 2,64 15,21 2,41 NA7 2,24 2,65 15,22 2,40 NA8 2,23 2,64 15,3 2,42 NA9 2,23 2,64 15,65 2,50 NA10 2,23 2,65 15,67 2,51 NA11 2,26 2,69 15,81 2,47 NA12 2,25 2,68 15,84 2,50 NA13 2,27 2,70 15,98 2,49 NA14 2,24 2,70 17,01 2,68 NA15 2,23 2,71 17,79 2,76 NA16 2,25 2,71 16,92 2,67 Wartość średnia 2,244 2,668 15,88 2,504 Odchylenie standardowe 0,014 0,027 0,81 0,124 Numer róbki Tab. 2. Wyniki omiarów iknometrycznych oraz zestawienie orowatości róbek ooki 9166 Gęstość ozorna [g/cm 3 ] Gęstość rzeczywista [g/cm 3 ] Porowatość [%] Łączna objętość orów [cm 3 ] A2 2,47 2,66 7,04 1,15 A3 2,44 2,66 8,52 1,39 A4 2,48 2,66 6,47 1,04 A5 2,41 2,65 9,04 1,48 A6 2,46 2,66 7,54 1,22 A7 2,47 2,65 6,92 1,12 A8 2,55 2,67 4,56 0,73 A9 2,46 2,66 7,36 1,20 A10 2,44 2,66 8,28 1,37 A11 2,45 2,66 7,75 1,26 OP-1 2,46 2,67 7,83 1,51 OP-2 2,46 2,68 8,2 2,57 OP-3 2,45 2,68 8,42 1,93 OP-4 2,52 2,69 6,45 1,03 OP-5 2,44 2,68 8,71 2,51 OP-6 2,54 2,69 5,49 0,87 Wartość średnia 2,469 2,667 7,41 1,398 Odchylenie standardowe 0,037 0,012 1,22 0,523 3.2. Właściwości badanych skał względem gazów Niezwykle istotną cechą odczas badań oddziaływania łynów orowych na własności mechaniczne skał jest zaewnienie stałego ciśnienia orowego łynu we wnętrzu róbki skalnej. Dla oceny czasu koniecznego do ełnego zaełnienia rzestrzeni orowej skały rzerowadzono ekserymenty z zastosowaniem helu oraz ditlenku węgla. Innym celem, który ostawiono w tej części rac była róba oceny, czy oddziaływanie łynów orowych na badane skały będzie czysto mechaniczne, czy też można się sodziewać wystąienia
Zależność wartości wsółczynnika Biota od rodzaju medium orowego 9 efektów sorcyjnych. Na wybranych róbkach iaskowca (NA2) i ooki (OP-2) wykonano omiary sorcyjne. Jako sorbat wybrano ditlenek węgla (CO 2 ). Badania rzerowadzone w IMG PAN rzez J. Żółcińską (1990) okazują, że rzy ciśnieniu 0,5 MPa iaskowiec może sorbować CO 2 w ilości około 1,5 cm 3 /g. Pomiary kinetyki zaełniania rzestrzeni orowej oraz badania sorcyjne rowadzono metodą wolumetryczną. Układ omiarowy rzedstawiono na rys. 1. Manometr zabudowany na ojemniku gazowym zaewnia kontrolę ciśnienia w układzie. Za stabilizację temeratury w czasie omiaru, na oziomie 298K, odowiada łaźnia wodna. Rys. 1. Schemat oraz widok układu omiarowego do omiarów sorcyjnych Próbkę skalną wysuszoną do stałej masy umieszczono w zbiorniku sorcyjnym i odgazowano do uzyskania różni rzędu 1Pa. Drugi ze zbiorników zawierał znaną ilość ditlenku węgla. Po odomowaniu róbki oraz ustabilizowaniu ciśnienia w zbiorniku gazowym uruchamiano roces sorcji orzez otwarcie zaworu omiędzy zbiornikami omiarowymi. Rejestracja rzebiegu sorcji olegała na omiarze ciśnienia rzetwornikiem ciśnienia ołączonym z komuterem PC za omocą karty rzetwornikowej A/C. Ilość zasorbowanego CO 2 obliczono z równania stanu gazu doskonałego na odstawie znajomości ciśnienia ierwotnego w ojemniku bez róbki, objętości ojemników sorcyjnych oraz objętości węgla. Ooka Przebieg zmian ciśnienia w ojemnikach sorcyjnych o zadaniu ditlenku węgla na róbkę ooki okazano na rys. 2. Ciśnienie oczątkowe w zbiorniku gazowym wynosiło 1,442 MPa. Ciśnienie wyrównania zarejestrowane o czasie 72 h od momentu rozoczęcia omiaru wynosiło 0,818 MPa i było nieznacznie wyższe od wyznaczonego ciśnienia równowagowego 0,812 MPa. Różnica w ciśnieniach wynika z nieewności omiarowej na stanowisku badawczym. W rzyadku wystąienia sorcji na badanym materiale ciśnienie równowagowe winno być niższe od ciśnienia wynikającego z bilansu objętościowego ojemników sorcyjnych i badanej róbki. Powyższy wynik świadczy tym, że w warunkach rowadzenia omiarów nie wystęuje sorcja CO 2 na badanej róbce ooki lub jest ona omalnie mała. Na rys.3 okazano kinetykę zmian ciśnienia w zbiornikach omiarowych w wyniku odania ditlenku węgla do zbiornika z róbką dla ierwszych 500 minut. Jeżeli wykluczymy wystęowanie sorcji na badanej róbce ooki wówczas rzebieg zmian ciśnienia gazu możemy kojarzyć z enetracją łynu w rzestrzeni orowej skały. Znając objętości zbiorników, objętość róbki oraz ciśnienia oczątkowe oraz końcowe linia rzerywana na wykresie rys. 3, wyznaczyć można rzebieg zaełnienia rzestrzeni orowej okazany na rys. 4.
10 Barbara Dutka, Zbigniew Lizak, Andrzej Nowakowski, Janusz Nurkowski, Mirosław Wierzbicki Ooka OP-2 CO 2 14 13 Ciœnienie 10 [MPa] 12 11 10 9 8-300 0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000 3300 3600 3900 4200 4500 Czas [s] Rys. 2. Ooka-CO 2 rzebieg zmian ciśnienia w układzie omiarowym 8,220 Ooka OP-2 CO 2 8,215 8,210 Ciœnienie 10 [MPa] 8,205 8,200 8,195 8,190 8,185 8,180 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Czas [min] Rys. 3. Ooka-CO 2 oczątkowy rzebieg zmian ciśnienia w układzie omiarowym 100 Ooka OP-2 CO 2 Zae³nienie rzestrzeni orowej [%] 80 60 40 20 0 0 100 200 300 400 500 600 Czas [min] Rys. 4. Ooka-CO 2 rzebieg zaełnienia rzestrzeni orowej ooki
Zależność wartości wsółczynnika Biota od rodzaju medium orowego 11 Wykres z rys.4 okazuje, że ooka jest skałą o bardzo niskiej rzeuszczalności gazowej dla CO 2. Czas otrzebny do ołowicznego zaełnienia rzestrzeni orowej skały w warunkach omiaru wynosi około 2 godzin. Po uływie 10 godzin zaełnienie wynosi niewiele onad 60%. Próba ta okazuje, że ooka wymaga wielogodzinnego nasączania badanym gazem rzed rozoczęciem testów ściśliwości. Piaskowiec Badania iaskowca rzy użyciu helu oraz ditlenku węgla rzerowadzono na wcześniej rzedstawionym stanowisku. Pomiary z helem miały na celu oznanie kinetyki zaełniania rzestrzeni orowej iaskowca tym gazem. Badania z zastosowaniem takiej samej ilości ditlenku węgla osłużyć miały orównaniu kinetyki zaełniania rzestrzeni orowej ośrodka różnymi gazami oraz określeniu zdolności sorcyjnych iaskowca względem CO 2. Badania te były niezbędne do wyznaczenia czasu koniecznego dla uzyskania stałego ciśnienia orowego w róbce rzeznaczonej do ekserymentów ściśliwości. Przebieg zmian ciśnienia w ojemnikach sorcyjnych, o odaniu helu na róbkę okazano na rys. 5. Obliczoną na odstawie zmian ciśnienia kinetykę zaełnienia rzestrzeni orowej na rys. 6. Ustalanie się równowagi w układzie omiarowym, a tym samym całkowite zaełnienie rzestrzeni orowej iaskowca helem nastęuje o czasie około 200 s. 8,59 Piaskowiec NA2 - He 8,589 Ciœnienie 10 [MPa] 8,588 8,587 8,586 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Czas [s] Rys. 5. Piaskowiec-He rzebieg zmian ciśnienia gazu 100 Piaskowiec NA2 - He 80 Zae³nienie orów [%] 60 40 20 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Czas [s] Rys. 6. Piaskowiec-He kinetyka zaełnienia rzestrzeni orowej
12 Barbara Dutka, Zbigniew Lizak, Andrzej Nowakowski, Janusz Nurkowski, Mirosław Wierzbicki Na rys. 7 okazano rzebieg zmian ciśnienia dla ekserymentu rzerowadzonego z zastosowaniem ditlenku węgla jako łynu wyełniającego rzestrzeń orową. Wyniki omiarów odniesiono do wcześniejszych ekserymentów rowadzonych rzy udziale helu. Początkowe ciśnienie w zbiorniku gazowym wynosiło 1,5255 MPa. Obliczone ciśnienie równowagowe gazu, rzy objętości szkieletu róbki wyznaczonej metodą iknometrii helowej i założeniu braku sorcji na badanej skale wynosiło w tym rzyadku 0,8586 MPa i zostało zaznaczone na wykresie rzerywaną linią oziomą. Równowaga gazowa 0,8626 MPa ustaliła się w na oziomie wyższym od obliczonego ciśnienia równowagowego oraz ciśnienia równowagowego wyznaczonego w róbie helowej. Przyczyną takiego stanu może być ęcznienie róbki, a w szczególności materiałów ilastych tworzących leiszcze iaskowca. Pełne wyjaśnienie rzyczyn takiego zachowania układu iaskowiec-ditlenek węgla wymaga dalszych badań z zastosowaniem n. tensometrii. Na rys. 8 okazano rzebieg kinetyki zaełniania rzestrzeni orowej iaskowca do momentu stabilizacji ciśnienia CO 2 w układzie omiarowym. Po 10 minutach od momentu odania gazu, 80% jego całkowitej objętości znalazła się w rzestrzeni orowej skały. Czas konieczny do całkowitego zaełnienia rzestrzeni orowej rzez CO 2 i ustabilizowania ciśnienia wynosi około 50 min. Piaskowiec NA2 - CO 2 8,69 8,67 CO 2 He Vrzecz = 13,17cm 3 Ciœnienie 10 [MPa] 8,65 8,63 8,61 8,59 8,57 8,55 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 Czas [s] Rys. 7. Piaskowiec-CO 2 rzebieg zmian ciśnienia gazu w ekserymencie 100 Piaskowiec NA2 - CO 2 Zae³nienie rzestrzeni orowej [%] 80 60 40 20 0 0 5 10 15 20 25 Czas [min] Rys. 8. Piaskowiec-CO 2 kinetyka zaełniania rzestrzeni orowej
Zależność wartości wsółczynnika Biota od rodzaju medium orowego 13 4. Wyniki testów ściśliwości W celu oszacowania wływu rodzaju łynu orowego na wartości wsółczynnika Biota wykonano serię ekserymentów ściśliwości, w których łynami orowymi były nastęujące substancje: a) nafta jako ciecz fizykochemicznie obojętna, b) woda destylowana (H 2 O) jako ciecz fizykochemicznie aktywna, c) azot (N 2 ) jako gaz fizykochemicznie obojętny, d) ditlenek węgla (CO 2 ) jako gaz fizykochemicznie aktywny. Zgodnie z tym, co naisano wyżej (or. rozdz. 2) test ściśliwości wykonano dla każdego z wybranych łynów orowych w warunkach, gdy łyn orowy ozostawał od ciśnieniem atmosferycznym (oznaczenie = 0 ) oraz gdy ciśnienie orowe łynu było równe ciśnieniu hydrostatycznemu (oznaczenie = ). Wyznaczane na odstawie tych ekserymentów moduły ściśliwości (odowiednio K i K S ) były nastęnie odstawą do wyznaczania wartości wsółczynników Biota według wzorów (20) i (21). Niezbędną we wzorze (21) wartość orowatości n rzyjmowano jako średnią uzyskaną dla wszystkich wykonanych z danego iaskowca róbek. Przyjęto, że wartość ta wynosi: dla iaskowca 8348 n = 15,9% dla ooki 9166 n o = 7,4%. Poniżej (na rys. 9) rzedstawiono rzykładowy wynik ekserymentu ściśliwości wraz z wyznaczonymi wsółczynnikami Biota. Wartości wyznaczonych dla iaskowca 8348 i ooki 9166 modułów ściśliwości oraz wsółczynników Biota zestawiono w tab. 3. 400 350 300 [MPa] Piaskowiec 8348 nas¹czony naft¹ =0 = 122,36e - 123,31 = = 472,87e - 57,52 250 200 n = 15,5% = 0,155 150 100 =1- K» 0,742 K S n K =1- K S - K» 0,946 50 0 K S» 47,3 GPa K» 12,2 GPa e [%] 0 1 2 3 4 5 Rys. 9. Przykład wyników testu ściśliwości; iaskowiec 8348 nasączony naftą
14 Barbara Dutka, Zbigniew Lizak, Andrzej Nowakowski, Janusz Nurkowski, Mirosław Wierzbicki Tab. 3. Moduły ściśliwości oraz wyznaczone na ich odstawie wsółczynniki Biota: α 1 wartość wsółczynnika Biota wg wzoru (20), α 2 wartość wsółczynnika Biota wg wzoru (21). Płyn orowy nafta n [%] Skała Piaskowiec 8348 Ooka 9166 K K S n K / K [MPa] [MPa] S α 1 / α o K K S 2 K / K [%] [MPa] [MPa] S α 1 / α 2 12,2 47,3 1 : 3,9 0,742 / 0,946 14,4 28,8 1 : 2,0 0,493 / 0,923 H 2 O 12,0 41,9 1 : 3,5 0,714 / 0,938 21,5 33,6 1 : 1,6 0,360 / 0,865 15,5 7,6 N 2 9,5 25,6 1 : 2,7 0,629 / 0,909 12,8 54,0 1 : 2:4 0,763 / 0,976 CO 2 13,2 38,1 1 : 2,9 0,653 / 0,917 5. Podsumowanie Zestawione w tab. 3 wartości odowiednich stałych materiałowych ujawniają ewne interesujące zależności zachodzące miedzy wartościami wsółczynników Biota a rodzajem łynu orowego wyełniającego rzestrzeń orową skały. Zależności te można ogruować w nastęujący sosób: i) Można uznać, że rodzaj łynu orowego nie ma większego wływu na wartość wyznaczanego według wzoru (21) wsółczynnika α 2. Biorąc od uwagę, że wsółczynnik ten ma określać wływ, jaki ma ciśnienie orowe na deformacje objętościową rzestrzeni orowej ośrodka stwierdzić można, że deformacja objętościowa tej rzestrzeni w zasadzie od rodzaju tego łynu nie zależy. Jeżeli dodatkowo uwzględnić wartości wsółczynnika α 2 uzyskane w oszczególnych ekserymentach to wydaje się, iż nie oełni się dużego błędu zakładając dla rzestrzeni orowej skały równanie ciśnienia efektywnego w ostaci Terzaghiego (1). ii) W rzyadku obliczanego wg wzoru (20) wsółczynnika α 1 sytuacja jest bardziej złożona. Dla iaskowca uzyskane wartości α 1 sugerują, że deformacja objętościowa skały jest bardziej wrażliwa na ciśnienie orowe, gdy łynem orowym jest ciecz (medium nieściśliwe), niż gdy jest nim ściśliwy gaz, choć rzyznajmy różnice nie są duże. Z kolei wyniki uzyskane dla ooki sugerują coś wręcz rzeciwnego: stosunkowo duża (większa niż dla iaskowca) wartość α 1 dla gazu i wyraźnie mniejsze wartości α 1 dla cieczy. Wydaje się, że czynnikiem, który w tym rzyadku decyduje o wartości modułów K i K S a co za tym idzie o wartości wsółczynnika α 1 jest stoień wyełnienia rzestrzeni orowej róbki łynem orowym i możliwości filtracji tego łynu w tej rzestrzeni. Warunkiem orawnego wyznaczenia modułu K S jest ełne wyełnienie orów łynem i szybka jego filtracja dla dotrzymania warunku równości ciśnień okólnego i orowego. W sytuacji skrajnej, gdy rzestrzeń orowa składać się będzie wyłącznie z orów izolowanych, możemy mieć do czynienia z rzyadkiem K S / K = 1 (czyli α 1 = 0) o rostu dlatego, że ory ozostaną uste i nie będzie możliwości orawnego wyznaczenia modułu K S. Poatrzmy teraz od tym kątem na okazane w rozdz. 3.2. wyniki badań. W rzyadku iaskowca całkowite wyełnienie jego rzestrzeni orowej gazem obojętnym (hel) trwało ok. 200 s (nieco onad 3 min.). Dla ditlenku węgla czas ten był dłuższy i wynosił 50min. do momentu całkowitego zaełnienia rzestrzeni orowej i ustabilizowania ciśnienia. Dla ooki nie wykonywano badania z helem, natomiast dla CO 2 okazało się, że o uływie ok. 120 min. rzestrzeń orowa wyełniona była gazem w 50% rzy czym nie zaobserwowano żadnych efektów sorcyjnych mogących wływać na ten roces. Co to oznacza z unktu widzenia testów ściśliwości? Otóż, o ierwsze w rzyadku ooki nie ma żadnej gwarancji, że cała rzestrzeń róbki jest rzeczywiście wyełniona łynem orowym, a o drugie jeśli nawet rzez odowiednio długotrwałe nasączanie osiągnięto ełne wyełnienie łynem rzestrzeniu orowej to rocesy filtracyjne zachodzą na tyle wolno, że nie może być mowy o rzeczywistym zachowaniu odczas ekserymentu ściśliwości równości ciśnień okólnego i orowego. Tym samym nie można mówić o orawnym wyznaczeniu modułu K S. Należy zwrócić jeszcze uwagę, że jeżeli tak duże trudności towarzyszyły nasączeniu róbki gazem, to o ileż większe będą one w rzyadku cieczy, ergo błąd w wyznaczaniu wartości K S będzie w tym rzyadku jeszcze większy niż wtedy, gdy łynem orowym był gaz. Podsumowując owyższe rozważania należy stwierdzić, że to, czy wartość wsółczynnika Biota dla skały (α 1 wyznaczanego wg wzoru (20)) zależy rodzaju medium orowego jest w dużym stoniu uwarunkowane strukturą i teksturą badanej skały. Dla skał okruchowych o dużej orowatości i dużej swobodzie
Zależność wartości wsółczynnika Biota od rodzaju medium orowego 15 filtracji łynu orowego rodzaj tego łynu będzie miał rawdoodobnie mniejsze znaczenie natomiast dla skał zwartych o małej orowatości mogą zachodzić duże różnice w wartościach tego wsółczynnika w zależności od tego czy medium orowym jest ciecz, czy gaz. Praca została wykonana w roku 2008 w ramach rac statutowych realizowanych w IMG PAN w Krakowie, finansowanych rzez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego. Literatura Biot M.A., 1941: General theory of three dimensional consolidation. J. Al. Phys. 12: 155-168. Detournay E., Cheng A.H.-D., 1993: Fundamentals of Poroelasticity. In: Comrehensive Rock Engineering: Princiles, Practice & Projects, Vol. II, C. Fairhurst (ed.), Pergamon Press, 113-171. Fabre D., Gustkiewicz J., 1998: Infl uence of rock orosity on the Biot s coeffi cient. In: Poromechanics A Tribute to Maurice A. Biot, Proc. of the Biot Conf. on Poromech., Louvain-la-Neuve (Belgium), 14-16 Set. 1998, Thismus et al. (eds.), Balkema, Rotterdam. Fillunger P., 1913: Der Auftrieb in Talserren. Österr. Wochenschrift für den öffentlichen Baudienst. Vol. 19,. 532-556; 567-570. Fillunger P., 1914: Neuere Grundlagen für die statische Berechnung von Talserren. Zeitschrift des Österr. Ing.- und Arch.- Vereines, Vol. 23,. 441-447. Fillunger P., 1915: Versuche über die Zugfestigkeit bei allseitigem Wasserdruck. Österr. Wochenschrift für den öffentlichen Baudienst. Vol. 29,. 443-448. Gustkiewicz J., 1989: Objętościowe deformacje skały i jej orów. Arch. Min. Sci., Vol. 34, Issue 3, 593-609. Lade P.V., Boer de, R., 1997:The concet of effective stress for soil, concrete and rock. Géotechnique, Vol. 47, No. 1,. 71-67. Nur A., Byerlee J.D., 1971: An Exact Effective Stress Law for Elastic Deformation of Rock with Fluids. J. Geohys. Res., Vol. 76, No. 26,. 6414-6419. Paterson M.S., Wong T.-f., 2005: Exerimental Rock Deformation The Brittle Field. Sringer-Verlag Berlin Heidelberg, 347. Rice J.R., Cleary M.P., 1976: Some basic stress diffusion solutions for fl uid-saturated elastic orous media with comressible constituents. Reviews of Geohysics and Sace Physics. 14(4): 227-241. Roegiers J.-C., Cui L., Bai M., 1978: Poroelasticity alications. In: Mechanics of Jointed and Faulted Rock. Proc. of the MJFR-3 Int. Conf., Vienna, 6-9 Aril 1998. Hans-Peter Rossmanith (ed.), Balkema, Rotterdam, 39-46. Skemton A. W., 1962: Effective stress in soil, concrete and rocks. In: Symosium on ore ressure and suction in soils, Proc. Conf. British Nat. Soc. Found. Eng. ICE, London, March 30-31, Butterworth,. 4-16. Terzaghi von, K., 1923: Die Berechnung der Durchlässigkeitsziffer des Tones aus dem Verlauf der Sannungs-erscheinungen. Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien Math.-Naturwiss. Kl., Abt. 2A, 132, 105. Vutukuri V.S., Katsuyama K., 1994: Introduction to Rock Mechanics, Industrial Publishing & Consulting, Inc. Tokyo. Zienkiewicz O.C., Shiomi, T., 1984: Dynamic behaviour of saturated orous media; the generalized Biot formulation and its numerical solution. Int. J. Num. Anal. Meth. Geomech. 8: 71-96. Żółcińska J., 1990: Badania struktury orowatej węgli kamiennych i iaskowców metodami sorcyjnymi. W: Górotwór jako Ośrodek Wielofazowy, Wydawnictwo AGH od red. J. Litwiniszyna, Tom II, str. 379-398. Interdeendence between ore fluid tye and Biot coefficient value Abstract In the Biot s orous medium theory some material constants are used for descrition the henomena that take lace in a fluid saturated orous medium. In articular rock orosity (n) and bulk moduli of an intact rock (K) and of a rock matrix (K S ) are imortant in this case. The, so called, Biot coefficients are calculated from the constants n, K and K S. The bulk moduli are determined by means of the comressibility test. The cylindrical rock secimens cut of a sandstone an gaize were used for researches. At first they were tested in ycnometer to determine their bulk and helium densities that allowed to calculate their orosities. Then some sortion kinetics measurements were carried out for two gases: inert helium and non-inert carbon dioxide.