PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 6 POJEMNOŚĆ Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3 Rozwiązania zadań nie były w żaden sposób konsultowane z żadnym wiarygodnym źródłem informacji!!! W związku z tym ich poprawność jest wątpliwa i w przypadku ewentualnych błędów proszę zgłaszać poprawki do autora. (dane kontaktowe na końcu opracowania) Zadanie 6.1 Na układach współrzędnych pokazano przebiegi wejściowe dla dzielnika rezystancyjnego i układu RC. Narysować przebiegi wyjściowe. Wyraźnie zaznaczyć który przebieg któremu układowi odpowiada. Obliczenia umieścić pod rysunkami. 1
Rozwiązanie: DZIELNIK: Na początek startujemy z dzielnikiem napięcia. Wyprowadzenie wzoru na dzielnik napięcia będzie na podstawie obwodu przedstawionego w zadaniu pierwszym, podpunkt A) po lewej: Musimy zauważyć, iż jeśliby odjąć przewody mierzące, to otrzymujemy dwa oporniki połączone ze sobą szeregowo. Automatycznie dostajemy wiadomość, iż prąd płynący przez oba oporniki jest taki sam, ponieważ nie ma możliwości odpłynięcia w innym kierunku. Czyli: = + =8+2=10 Następnie zapisujemy wzór na prąd płynący w obwodzie: = = 10 Ponieważ w obwodzie płynie ten sam prąd, a my chcemy zmierzyć, które przypada na rezystor (spadek napięcia na rezystorze ), to zapisujemy, że: = = = = + = 2 10 =0,2 CZĘŚĆ PIERWSZA ZADANIA: Automatycznie otrzymujemy odpowiedź na przebieg napięcia pierwszego dzielnika. Ponieważ napięcie wejściowe = 10, więc według naszych obliczeń napięcie wyjściowe będzie stanowiło 0,2 część napięcia wejściowego - =0,2 = 2. Następnie przechodzimy do kolejnych dzielników, B) i C) (obwód D) nie jest dzielnikiem wykres napięcia wyjściowego będzie po prostu spadkiem napięcia na rezystorze): = + ) = 5 5+5 10=0,5 10=5 2
) = 8 2+8 10=0,8 10=8 Natomiast dla obwodu D) otrzymujemy: ) = 2 0+2 10=1 10=10 UKŁAD RC: Jeśli wyprowadzenie wzoru na układ RC jest Ci znane, bądź po prostu Cię ono nie obchodzi, to można swobodnie ominąć ten akapit. Aczkolwiek, dla ludzi ciekawych świata, zagadnienie to zostanie omówione na podstawie pierwszego obwodu z prawej, czyli A) dla pojemności: Standardowo, pierwsza ważna dla nas informacja to, że w obwodzie płynie ten sam prąd. Zapisujemy więc napięciowe prawo Kirchoffa (czy też drugie nomenklatura jak kto woli) dla naszego potężnego RC: ś = + = + Co możemy również zapisać jako (natężenie prądu pisane jest małą literą, ponieważ prąd jest zmienny w czasie): =+ W momencie, gdy w obwodzie nie ma zmiennego (w czasie) napięcia, to kondensator staje się przerwą (nie płynie prąd - =0, ponieważ pochodna ze stałej to zero). Możemy to zapisać jako: = Teraz łączymy dwa powyższe wyrażenia: =+ = + Otrzymujemy tutaj równanie różniczkowe, które rozwiązujemy w następujący sposób: = + = = = Po przekształceniach, całkujemy obie strony równania (podkreślam, iż jest elementem stałym, a wiec otrzymujemy całkę z, która jest równa po prostu ): 3
= ln( )= + = Minus przy logarytmie wynika z tego, iż w wyrażeniu, nasza zmienna ma przed sobą minus. Kolejnym krokiem jest obliczenie stałej, wynikającej z zasad całkowania. Przyjmijmy sytuację początkową, dla =0, w której również =0: 0= = Czyli otrzymujemy, iż: = = = = = exp = 1 exp CZĘŚĆ DRUGA ZADANIA: By jak najłatwiej rozrysować przebiegi do drugiej części zadania, posłużymy się wyprowadzonym wzorem na napięcie na kondensatorze w obwodzie RC: = 1 exp Na początek zakładamy, iż nasz czas ==, przez co otrzymujemy: = 1 exp = (1 0,37)=0,63 Dzięki temu wiemy, iż za każdym razem, gdy czas równy jest, to napięcie na kondensatorze będzie 63% napięcia wejściowego ( =0,63 ). Na koniec pozostało nam jedynie policzyć dla poszczególnych obwodów: = ) =1 8=1000 0,008=8 ) =1 4=1000 0,004=4 ) =1 500=1000 0,0005=0,5 4
Oczywiście, do każdego z wyników trzeba dodać dwusekundową poprawkę (plus 2 sekundy), ponieważ napięcie 10V pojawiło się dopiero w drugiej sekundzie. W konsekwencji otrzymujemy takie przebiegi na wykresach: W tym momencie jeszcze podkreślam, iż wykres C nie kończy się punktowo w czwartej sekundzie, bo wedle obliczeń nigdy nie dociera do wartości 10V, a jedynie do nieskończenie mniejszej wartości 9,99999999(9). Część grup pisze, że wykresy przebiegów dla D są po osi X. Jeśli ktoś zna uzasadnienie tego, to prosiłbym o komentarz. Przed wejściem na zajęcia spytałem o to prowadzącego, który stwierdził, że D to będą czarne przebiegi jak powyżej. :) Zadanie 6.2 Na podstawie wykresów ładowania/rozładowywania układów RC uzupełnić wartości elementów na schematach. Na wykresach krzyżykiem zaznaczyć punkty użyte do liczenia stałej czasowej. 5
Rozwiązanie: Wykresy trzech przebiegów są dla nas w tym zadaniu głównym źródłem informacji. Podczas rozwiązywania zadania musimy odszukać miejsce pierwszego tau, czyli moment, w którym =. Jak to zrobić? By uzyskać rozwiązanie naszego problemu, musimy powrócić do poprzedniego zadania, w którym stwierdziliśmy, że w przypadku, gdy czas jest równy RC, to napięcie na kondensatorze jest równe 63% napięcia wejściowego: = 1 exp = (1 0,37)=0,63 Oczywiście sytuacja ta odnosi się do sytuacji ładowania kondensatora. W przypadku jego rozładowywania szukamy 100%- 63%=37% napięcia wyjściowego. Tak więc, rozpocznijmy rozwiązywanie zadania, od zaznaczenia odpowiednich punktów na przebiegach: Przebieg A rozładowywanie od 10 V do 0. 37% napięcia wyjściowego po pierwszym tau otrzymujemy na poziomie 3,7 V, po czasie około 4 sekund. Wliczając do tego dwusekundowe opóźnienie, otrzymujemy czas 2 sekundy na tau: = = = 2 1000 =0,002 Przebieg B ładowanie od 1V do 6V. 63% napięcia wyjściowego po pierwszym tau otrzymujemy na poziomie 4,15 V, co daje nam czas w okolicy 3 sekundy. Ponieważ przebieg B zaczyna się na początku osi czasu, więc nie musimy modyfikować tau: = = 3 = =3 000 000 0,000001 Przebieg C rozładowywanie od 8Vdo 5V. 37% napięcia wyjściowego po pierwszym tau otrzymujemy na poziomie 6,11 V, po czasie około 6 sekund. Skoro przebieg C startuje z czasu t=5 sekund, więc czas trwania tau to 1 sekunda. = =1 = 1 6
Zadanie 6.3 W poniższym układzie przez 1 sekundę włączony jest (tylko) przełącznik S1 a przez następne 0.5 sekundy włączony jest(tylko) przełącznik S2. Narysować przebieg napięcia na kondensatorze oraz przebieg napięcia na wyjściu komparatora. Przyjąć że rezystancja przełączników jest bardzo mała w porównaniu do rezystancji opornika. Przyjąć, że w chwili t0 kondensator był rozładowany. Zwrócić uwagę na sposób podłączenia komparatora. Rozwiązanie: Nasz złożony obwód na początek podzielmy na dwa mniejsze. Jeden, związany z kondensatorem i opornikiem (RC) i drugi, związany z komparatorem. Należy tutaj podkreślić ważną cechę wzmacniaczy operacyjnych nieskończenie duża rezystancja wejściowa, przez co żaden prąd nie wpływa do wzmacniacza. Dlatego też bez włączonego S2 mamy zwykły obwód RC, którego przebieg możemy obliczyć tak jak i wcześniejsze przypadki: = 1 exp =5 =100 =10 Obliczmy teraz dla =1, czyli dla czasu włączenia przełącznika S1: 1 = 1 exp 100 10 = 1 exp( 1)=0,63 =0,63 5=3,15 Jednocześnie okazało się, iż =1 to także czas trwania tau (==1). 7
Wykres ładowania kondensatora urywa się w momencie wyłączenia S1 i włączenia S2 - robi się wtedy zwarcie z masą i natychmiastowe rozładowanie do zera. W przypadku komparatora mamy do czynienia z dzielnikiem napięcia, który na wejściu posiada napięcie 5V, natomiast napięcie na wyjściu obliczamy ze wzoru wyprowadzonego w pierwszym zadaniu: = + = 10 10+10 =0,5 5=2,5 Dzięki temu wiemy, że komparatora ma napięcie 2,5V. Gdy napięcie >, to komparator na wyjściu daje swoje napięcie zasilania (w naszym przypadku 5V). Ponieważ z dzielnika obliczyliśmy, że =2,5, więc wykres napięcia dla komparatora będzie się utrzymywał na poziomie 5V do momentu, w którym nie zostanie przekroczona ta wartość dla. Stąd, wykres napięcia komparatora ma wartość 0V w chwili gdy wykres kondensatora osiąga wartość 2,5V. Reasumując (zacytuję): kondensator - urwana eksponenta, komparator - sygnał prostokątny, na początku 5V, na końcu 5V, a gdy na konzatorze jest ponad 2,5V - na komparatorze 0. Zadanie 6.4 Do ustalenia czasu trwania przerzutnika monostabilnego użyto elementów o podanych niżej wartościach. Korzystając z podanego wzoru narysować odpowiedź (wyjście Q) układu na podany sygnał wejściowy (A)Przerzutnik reaguje na zbocze rosnące. =0,28 (1+0,7/) 8
Rozwiązanie: Obliczamy na początek stałą czasową T, która będzie nam mówiła o długości impulsu, jaki będzie generował przerzutnik monostabilny na wyjściu Q: =0,28 1+ 0,7 3 Ponieważ nasz przerzutnik jest monostabilny, reagujący na wzgórze rosnące, więc KAŻDE wzgórze rosnące, które wpłynie do wejścia A, spowoduje na wyjściu Q powstanie impulsu o długości 3ms. W przypadku błędów w notatce lub pytań i sugestii, proszę kontaktować się z autorem. Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej. mail michalgasior89@gmail.com www - http://student.agh.edu.pl/~bonesaaa/ Pozdrawiam, Mike (BNS). 9