Wielokąty foremne (Konstrukcje platońskie) 1
Definicja 1. Wielokąt wypukły nazywa się foremny, jeżeli ma wszystkie kąty równe i wszystkie boki równe. Przykładami wielokątów foremnych są trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny, sześciokąt foremny, siedmiokąt foremny, ośmiokąt foremny: Trójkąt Kwadrat Pięciokąt foremny równoboczny (pentagon) Sześciokąt for. Siedmiokąt for. Ośmiokąt for. (heksagon) (heptagon) (oktagon) 2
Pentagon: Siedziba Departamentu Obrony Stanów Zjednoczonych 3
Dlaczego Pentagon jest nazywany Pentagonem 4
Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i to tylko jeden; w każdy wielokąt foremny można okrąg wpisać, i też tylko jeden, przy czym środki okręgu opisanego i okręgu wpisanego w dany wielokąt foremny pokrywają się. 5
Jeżeli przeza n iϕ n oznaczymy odpowiednio długość boku i miarę kąta wewnętrznego n-kąta foremnego, przez R zaś promień okręgu opisanego na tym wielokącie, to zachodzą następujące zależności: (1) a n = 2R sin 180 n (2) ϕ n = n 2 n 180 Przykład 2. Ze wzoru (2) wyliczamy kąt wewnętrznyϕ 10 dziesięciokąta foremnego: ϕ 10 = 10 2 180 =144. 10 Trochę trudniejsze jest znalezienie zależności pomiędzy długością boku dziesięciokąta foremnego i promieniem okręgu opisanego na tym dziesięciokącie. Zależność ta ma postać: 5 1 (3) a 10 = R. 2 Jako efekt uboczny znajdujemy wartośćsin18 : sin18 = 5 1. 4 6
Prawdziwe jest następujące twierdzenie. Twierdzenie 3. Dla każdej liczby naturalnejn 3 istniejen-kąt foremny. Jest to twierdzenie, którego prawdziwość nie budzi wątpliwości. Nas jednak interesuje coś innego: Czy potrafimy skonstruować każdy taki wielokąt? Jeżeli używamy słowa skonstruować, to pojawia się następne, uściślające pytanie: Przy użyciu jakich narzędzi będziemy te wielokąty konstruować? 7
Konstrukcje platońskie Od czasów antycznych jednym z ważniejszych zagadnień geometrii było konstruowanie figur płaskich za pomocą cyrkla i linijki. Konstrukcje takie nazywane są platońskimi, od imienia (pseudonimu) sławnego filozofa greckiego Platona, żyjącego na przełomie IV i V wieku przed Chrystusem. Nie każdą figurę geometryczną można w taki sposób skonstruować, nawet nie każdy wielokąt. Opis wielokątów foremnych, które można skonstruować za pomocą cyrkla i linijki, podał Karl Friedrich Gauss (1777 1855), sławny matematyk niemiecki, zwany księciem matematyków. Twierdzenie 4 (Gauss). Wielokąt foremny o n bokach można skonstruować przy pomocy cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy n=2 m p 1 p 2... p k, gdziemjest liczbą naturalną, ap 1,p 2,...,p k są różnymi liczbami pierwszymi postaci2 2s +1. 8
Występujące w twierdzeniu 4 liczby postacif j =2 2j +1 nazywamy liczbami Fermata, od nazwiska sławnego 17-wiecznego francuskiego prawnika-matematyka. Jeżeli liczba Fermata jest pierwsza, to nazywamy ją liczbą pierwszą Fermata. Znajdźmy kilka takich liczb. Podstawmy pod j kolejne liczby naturalne0,1,2,3,4,5. Otrzymujemy: f 0 = 2 20 +1=2 1 +1=3, f 1 = 2 21 +1=2 2 +1=5, f 2 = 2 22 +1=2 4 +1=17, f 3 = 2 23 +1=2 8 +1=257, f 4 = 2 24 +1=2 16 +1=65537, f 5 = 2 25 +1=2 32 +1=4294967297. Łatwo sprawdzić, że liczbyf 0,f 1,f 2,f 3 if 4 są pierwsze. Fermat przypuszczał, że wszystkie takie liczby są pierwsze, jednak Leonard Euler (1707 1783) wykazał, żef 5 dzieli się przez641:f 5 =641 6700417. Do naszych czasów nie udało się znaleźć innych liczb pierwszych Fermata: wszystkie znane liczby Fermata większe odf 4 okazały się być złożone i sformułowano nawet hipotezę, że spośród liczb Fermata jedynie pięć początkowych to liczby pierwsze. 9
Dla jakich n można skonstruować przy pomocy cyrkla i linijkin-kąt foremny? n=3 TAK n=15 n=27 n=4 TAK n=16 n=28 n=5 n=17 n=29 n=6 n=18 n=30 n=7 n=19 n=31 n=8 n=20 n=32 n=9 n=21 n=33 n=10 n=22 n=34 n=11 n=23 n=35 n=12 n=24 n=36 n=13 n=25 n=37 n=14 n=26 n=38 10
Konstrukcja pięciokąta foremnego Dla danego okręgu skonstruujemy za pomocą cyrkla i linijki dziesięciokąt foremny i pięciokąt foremny wpisany w ten okrąg. B D C ω A 1 O Niech dany będzie okrągω o środkuoipromieniu R. Konstruujemy dwie wzajemnie prostopadłe średnice tego okręgu, koniec jednej z nich oznaczamy przezb, drugiej przeza 1. Niech C będzie środkiem odcinka OB. Konstruujemy okrąg o środkuc, którego średnicą jest odcinek OB, a następnie oznaczamy przezdpunkt przecięcia odcinkaa 1 C z tym okręgiem. 11
Udowodnimy, żea 1 D jest bokiem dziesięciokąta foremnego wpisanego w okrąg ω. Istotnie, ponieważ A 1 D = A 1 C R 2, A 1 C = A 1 O 2 + OC 2 = R 2 R 2 5 + 4 = 2 R, 5 1 więc A 1 D = R. Ze wzoru (3) wynika, 2 żea 1 D jest bokiem dziesięciokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu R. Znajdujemy więc na okręguωpunktya 2,A 3,...,A 10 takie, że A 1 A 2 = A 2 A 3 =...= A 10 A 1 = A 1 D, które tworzą dziesięciokąt foremny wpisany w okrągω. B A 3 A4 A 2 A 5 D C A 1 A 10 O A 7 A 6 A 9 A 8 12
Pięciokąt foremny wpisany w ω tworzą oczywiście punktya 1 A 3 A 5 A 7 A 9 patrz rysunek. A 2 A 3 A4 A 5 A 1 A 6 A 10 A 7 A 9 A 8 13
6 Konstrukcja piętnastokąta foremnego Dla danego okręgu skonstruujemy za pomocą cyrkla i linijki piętnastokąt foremny wpisany w ten okrąg. B C A 2 A 3 A 4 A 5 A 6A7 A 1 O A 1 A 8 A 9 A 15 A 14 A 13 A A 11 12 A 10 Niech dany będzie okrąg o środkuoiniech A 1 B będzie bokiem dziesięciokąta foremnego wpisanego w ten okrąg,a 1 C zaś bokiem sześciokąta foremnego wpisanego w ten okrąg (patrz rysunek z lewej strony). Oczywiście A 1 OB=36, A 1 OC=60, więc BOC=24 = 360. Wynika stąd, żebc jest bokiem piętnastokąta foremnego wpisanego w dany okrąg. 15 Piętnastokąt ten przedstawiony jest na rysunku z prawej strony. 14
Czy można skonstruować kąt, którego miara jest równa1? Gdyby można było taki kąt skonstruować, to wówczas byłaby również możliwa konstrukcja360-kąta foremnego! Ale360=2 3 3 2 5 nie jest liczbą dopuszczalną przez twierdzenie Gaussa. Zatem konstrukcja kąta o mierze1 nie jest możliwa. Jakie zatem kąty możemy skonstruować przy pomocy cyrkla i linijki? Nie możemy skonstruować kąta o mierze 2 (dlaczego?). A jak będzie z kątem o mierze3? Zauważmy, że można skonstruować 120-kąt foremny, bo120=2 3 3 5 jest liczbą dopuszczalną przez twierdzenie Gaussa. Kąt środkowy wyznaczony przez dwa kolejne wierzchołki takiego wielokąta ma miarę3. Zatem kąt o mierze3 jest możliwy do skonstruowania. Twierdzenie 5. Przy pomocy cyrkla i linijki możemy skonstruować kąt o mierze n stopni (n N) wtedy i tylko wtedy, gdynjest liczbą podzielną przez3. 15