Wzór Faà di Bruno Paweł Sztonyk Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska Wrocław, 29.11.2013 Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 1 / 14
Życiorys bł. Faà Di Bruno Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 2 / 14
Życiorys bł. Faà Di Bruno Francesco Faà di Bruno ur. 29.03.1825 w Aleksandrii Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 2 / 14
Życiorys bł. Faà Di Bruno Francesco Faà di Bruno ur. 29.03.1825 w Aleksandrii Akademia Wojskowa w Turynie 1841-1847 Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 2 / 14
Życiorys bł. Faà Di Bruno Francesco Faà di Bruno ur. 29.03.1825 w Aleksandrii Akademia Wojskowa w Turynie 1841-1847 Studia matematyczne w Paryżu 1853-1861 pod kierunkiem A. Cauchy ego Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 2 / 14
Życiorys bł. Faà Di Bruno Francesco Faà di Bruno ur. 29.03.1825 w Aleksandrii Akademia Wojskowa w Turynie 1841-1847 Studia matematyczne w Paryżu 1853-1861 pod kierunkiem A. Cauchy ego Profesor na Uniwersytecie Turyńskim 1871 (funkcje eliptyczne, formy dwuliniowe) Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 2 / 14
Życiorys bł. Faà Di Bruno Francesco Faà di Bruno ur. 29.03.1825 w Aleksandrii Akademia Wojskowa w Turynie 1841-1847 Studia matematyczne w Paryżu 1853-1861 pod kierunkiem A. Cauchy ego Profesor na Uniwersytecie Turyńskim 1871 (funkcje eliptyczne, formy dwuliniowe) Przyjaźń z Janem Bosco i Dzieło św. Zyty 1859, założnie Zgromadzenia Sióstr Minimitek 1881 Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 2 / 14
Życiorys bł. Faà Di Bruno Francesco Faà di Bruno ur. 29.03.1825 w Aleksandrii Akademia Wojskowa w Turynie 1841-1847 Studia matematyczne w Paryżu 1853-1861 pod kierunkiem A. Cauchy ego Profesor na Uniwersytecie Turyńskim 1871 (funkcje eliptyczne, formy dwuliniowe) Przyjaźń z Janem Bosco i Dzieło św. Zyty 1859, założnie Zgromadzenia Sióstr Minimitek 1881 Święcenia kapłańskie 1876 Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 2 / 14
Życiorys bł. Faà Di Bruno Francesco Faà di Bruno ur. 29.03.1825 w Aleksandrii Akademia Wojskowa w Turynie 1841-1847 Studia matematyczne w Paryżu 1853-1861 pod kierunkiem A. Cauchy ego Profesor na Uniwersytecie Turyńskim 1871 (funkcje eliptyczne, formy dwuliniowe) Przyjaźń z Janem Bosco i Dzieło św. Zyty 1859, założnie Zgromadzenia Sióstr Minimitek 1881 Święcenia kapłańskie 1876 Muzyk, kompozytor, Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 2 / 14
Życiorys bł. Faà Di Bruno Francesco Faà di Bruno ur. 29.03.1825 w Aleksandrii Akademia Wojskowa w Turynie 1841-1847 Studia matematyczne w Paryżu 1853-1861 pod kierunkiem A. Cauchy ego Profesor na Uniwersytecie Turyńskim 1871 (funkcje eliptyczne, formy dwuliniowe) Przyjaźń z Janem Bosco i Dzieło św. Zyty 1859, założnie Zgromadzenia Sióstr Minimitek 1881 Święcenia kapłańskie 1876 Muzyk, kompozytor, zm. 27.03.1888 r. w Turynie Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 2 / 14
Życiorys bł. Faà Di Bruno Francesco Faà di Bruno ur. 29.03.1825 w Aleksandrii Akademia Wojskowa w Turynie 1841-1847 Studia matematyczne w Paryżu 1853-1861 pod kierunkiem A. Cauchy ego Profesor na Uniwersytecie Turyńskim 1871 (funkcje eliptyczne, formy dwuliniowe) Przyjaźń z Janem Bosco i Dzieło św. Zyty 1859, założnie Zgromadzenia Sióstr Minimitek 1881 Święcenia kapłańskie 1876 Muzyk, kompozytor, zm. 27.03.1888 r. w Turynie Beatyfikowany w 1988 r. przez Jana Pawła II Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 2 / 14
Wzór Faà di Bruno Jeżeli funkcje f, g mają odpowiednią ilość pochodnych, to d m (g f) (t) = dtm ( m! f ) (t) b1 ( f ) (t) b2 ( f (m) ) bm (t) b 1!b 2!...b m! g(k) (f(t)), 1! 2! m! gdzie sumę wyznaczają wszystkie liczby całkowite nieujemne b 1,..., b m takie, że b 1 + 2b 2 +... + mb m = m oraz k := b 1 + b 2 +... + b m. Cavaliere Francesco Fa a di Bruno, Sullo sviluppo delle Funzioni, Annali di Scienze Matematiche e Fisiche 6 (1855) 479 480. Cavaliere Francesco Fa a di Bruno, Note sur une nouvelle formule de calcul diff erentiel, Quarterly J. Pure Appl. Math. 1 (1857) 359 360. T. A. [J. F. C. Tiburce Abadie], Sur la diff erentiation des fonctions de fonctions, Nouvelles Annales de Math ematiques 9 (1850) 119-125. A. [J. F. C. Tiburce Abadie], Sur la diff erentiation des fonctions de fonctions. S eries de Burmann, de Lagrange, de Wronski, Nouvelles Annales de Math ematiques 11 (1852) 376 383. L. F. A. Arbogast, Du Calcul des D erivations, Levrault, Strasbourg, 1800. Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 3 / 14
Wzór Faà di Bruno Przykłady: Dla m = 2 mamy b 1 + 2b 2 = 2 Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 4 / 14
Wzór Faà di Bruno Przykłady: Dla m = 2 mamy b 1 + 2b 2 = 2 b 1 = 0, b 2 = 1, Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 4 / 14
Wzór Faà di Bruno Przykłady: Dla m = 2 mamy b 1 + 2b 2 = 2 b 1 = 0, b 2 = 1, b 1 = 2, b 2 = 0. Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 4 / 14
Wzór Faà di Bruno Przykłady: Dla m = 2 mamy b 1 + 2b 2 = 2 b 1 = 0, b 2 = 1, b 1 = 2, b 2 = 0. d 2 ( 2! f (t) (g f) (t) = dt2 0!1! g (f(t)) 1! + 2! 2!0! g (f(t)) ) 0 ( f ) (t) 1 2! ( f ) (t) 2 ( f (t) 1! 2! ) 0 Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 4 / 14
Wzór Faà di Bruno Przykłady: Dla m = 2 mamy b 1 + 2b 2 = 2 b 1 = 0, b 2 = 1, b 1 = 2, b 2 = 0. d 2 ( 2! f ) (t) 0 ( f ) (t) 1 (g f) (t) = dt2 0!1! g (f(t)) 1! 2! + 2! ( f ) (t) 2 ( f (t) 2!0! g (f(t)) 1! 2! = g (f(t))f (t) + g (f(t)) ( f (t) ) 2 ) 0 Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 4 / 14
Wzór Faà di Bruno Dla m = 3 mamy b 1 + 2b 2 + 3b 3 = 3 Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 5 / 14
Wzór Faà di Bruno Dla m = 3 mamy b 1 + 2b 2 + 3b 3 = 3 b 1 = 0, b 2 = 0, b 3 = 1, Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 5 / 14
Wzór Faà di Bruno Dla m = 3 mamy b 1 + 2b 2 + 3b 3 = 3 b 1 = 0, b 2 = 0, b 3 = 1, b 1 = 1, b 2 = 1, b 3 = 0, Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 5 / 14
Wzór Faà di Bruno Dla m = 3 mamy b 1 + 2b 2 + 3b 3 = 3 b 1 = 0, b 2 = 0, b 3 = 1, b 1 = 1, b 2 = 1, b 3 = 0, b 1 = 3, b 2 = 0, b 3 = 0. Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 5 / 14
Wzór Faà di Bruno Dla m = 3 mamy b 1 + 2b 2 + 3b 3 = 3 b 1 = 0, b 2 = 0, b 3 = 1, b 1 = 1, b 2 = 1, b 3 = 0, b 1 = 3, b 2 = 0, b 3 = 0. d 3 ( dt 3 (g f) (t) = 3! f ) (t) 0 ( f ) (t) 0 ( f ) (t) 1 0!0!1! g (f(t)) 1! 2! 3! + 3! ( f ) (t) 1 ( f ) (t) 1 ( f ) (t) 0 1!1!0! g (f(t)) 1! 2! 3! + 3! ( f ) (t) 3 ( f ) (t) 0 ( f ) (t) 0 3!0!0! g (f(t)) 1! 2! 3! = g (f(t))f (t) + 3g (f(t))f (t)f (t) + g (f(t)) ( f (t) ) 3 Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 5 / 14
Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Podziały zbiorów: Zbiór {1} ma tylko jeden podział: {1}, któremu odpowiada B 1,1 (x 1 ) = x 1. Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 6 / 14
Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Podziały zbiorów: Zbiór {1} ma tylko jeden podział: {1}, któremu odpowiada B 1,1 (x 1 ) = x 1. Zbiór {1, 2} ma dwa podziały: {1, 2} B 2,1 (x 1, x 2 ) = x 2 {1}, {2} B 2,2 (x 1 ) = x 2 1 Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 6 / 14
Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Podziały zbiorów: Zbiór {1} ma tylko jeden podział: {1}, któremu odpowiada B 1,1 (x 1 ) = x 1. Zbiór {1, 2} ma dwa podziały: {1, 2} B 2,1 (x 1, x 2 ) = x 2 {1}, {2} B 2,2 (x 1 ) = x 2 1 Zbiór {1, 2, 3} ma pięć podziałów: {1, 2, 3} B 3,1 (x 1, x 2, x 3 ) = x 3 {1}, {2, 3} {1, 2}, {3} {1, 3}, {2} B 3,2 (x 1, x 2 ) = 3x 1 x 2 {1}, {2}, {3} B 3,3 (x 1 ) = x 3 1. Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 6 / 14
Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dalej, mamy np. 7 podziałów {1, 2, 3, 4} na dwa bloki: {1}, {2, 3, 4} {2}, {1, 3, 4} {3}, {1, 2, 4} {4}, {1, 2, 3} {1, 2}, {3, 4} {1, 3}, {2, 4} {1, 4}, {2, 3} B 4,2 (x 1, x 2, x 3 ) = 4x 1 x 3 + 3x 2 2 Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 7 / 14
Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dalej, mamy np. 7 podziałów {1, 2, 3, 4} na dwa bloki: {1}, {2, 3, 4} {2}, {1, 3, 4} {3}, {1, 2, 4} {4}, {1, 2, 3} {1, 2}, {3, 4} {1, 3}, {2, 4} {1, 4}, {2, 3} B 4,2 (x 1, x 2, x 3 ) = 4x 1 x 3 + 3x 2 2 Ogólnie: B m,k (x 1, x 2,..., x m k+1 ) = 1 k! j 1 +...+j k =m j i 1 ( m j 1,..., j k ) x j1 x jk Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 7 / 14
Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Wzór Faà di Bruno można wyrazić w następujący sposób: d m dt m g(f(t)) = g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( b2 f (t)) (m) bm, gdzie sumę wyznaczają podziały zbioru {1, 2,..., m} oraz k jest liczbą bloków, a b i liczbą bloków o dokładnie i elementach. Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 8 / 14
Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Wzór Faà di Bruno można wyrazić w następujący sposób: d m dt m g(f(t)) = g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( b2 f (t)) (m) bm, gdzie sumę wyznaczają podziały zbioru {1, 2,..., m} oraz k jest liczbą bloków, a b i liczbą bloków o dokładnie i elementach. Zatem d m m dt m g(f(t)) = k=1 ) g (k) (f(t))b m,k (f (t), f (t),..., f (m k+1) (t). John Riordan, Derivatives of composite functions, Bull. Amer. Math. Soc. 52 (1946) 664 667. Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 8 / 14
Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dowód indukcyjny: Podziały {1, 2,..., n, n + 1} otrzymamy z podziału {1, 2,..., n} poprzez dodanie elementu n + 1 do bloków podziału. Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 9 / 14
Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dowód indukcyjny: Podziały {1, 2,..., n, n + 1} otrzymamy z podziału {1, 2,..., n} poprzez dodanie elementu n + 1 do bloków podziału. Przykład - podziały {1, 2, 3}: Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 9 / 14
Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dowód indukcyjny: Podziały {1, 2,..., n, n + 1} otrzymamy z podziału {1, 2,..., n} poprzez dodanie elementu n + 1 do bloków podziału. Przykład - podziały {1, 2, 3}: {1, 2, 3} {1}, {2, 3} {3}, {1, 2} {2}, {1, 3} {1}, {2}, {3} Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 9 / 14
Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dowód indukcyjny: Podziały {1, 2,..., n, n + 1} otrzymamy z podziału {1, 2,..., n} poprzez dodanie elementu n + 1 do bloków podziału. Przykład - podziały {1, 2, 3}: {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1}, {2, 3} {3}, {1, 2} {2}, {1, 3} {1}, {2}, {3} Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 9 / 14
Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dowód indukcyjny: Podziały {1, 2,..., n, n + 1} otrzymamy z podziału {1, 2,..., n} poprzez dodanie elementu n + 1 do bloków podziału. Przykład - podziały {1, 2, 3}: {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3}, {4} {1}, {2, 3} {3}, {1, 2} {2}, {1, 3} {1}, {2}, {3} Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 9 / 14
Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dowód indukcyjny: Podziały {1, 2,..., n, n + 1} otrzymamy z podziału {1, 2,..., n} poprzez dodanie elementu n + 1 do bloków podziału. Przykład - podziały {1, 2, 3}: {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3}, {4} {1}, {2, 3} {1, 4}, {2, 3} {3}, {1, 2} {2}, {1, 3} {1}, {2}, {3} Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 9 / 14
Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dowód indukcyjny: Podziały {1, 2,..., n, n + 1} otrzymamy z podziału {1, 2,..., n} poprzez dodanie elementu n + 1 do bloków podziału. Przykład - podziały {1, 2, 3}: {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3}, {4} {1}, {2, 3} {1, 4}, {2, 3} {1}, {2, 3, 4} {3}, {1, 2} {2}, {1, 3} {1}, {2}, {3} Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 9 / 14
Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dowód indukcyjny: Podziały {1, 2,..., n, n + 1} otrzymamy z podziału {1, 2,..., n} poprzez dodanie elementu n + 1 do bloków podziału. Przykład - podziały {1, 2, 3}: {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3}, {4} {1}, {2, 3} {1, 4}, {2, 3} {1}, {2, 3, 4} {1}, {2, 3}, {4} {3}, {1, 2} {2}, {1, 3} {1}, {2}, {3} Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 9 / 14
Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dowód indukcyjny: Podziały {1, 2,..., n, n + 1} otrzymamy z podziału {1, 2,..., n} poprzez dodanie elementu n + 1 do bloków podziału. Przykład - podziały {1, 2, 3}: {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3}, {4} {1}, {2, 3} {1, 4}, {2, 3} {1}, {2, 3, 4} {1}, {2, 3}, {4} {3}, {1, 2} {3, 4}, {1, 2} {3}, {1, 2, 4} {3}, {1, 2}, {4} {2}, {1, 3} {1}, {2}, {3} Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 9 / 14
Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dowód indukcyjny: Podziały {1, 2,..., n, n + 1} otrzymamy z podziału {1, 2,..., n} poprzez dodanie elementu n + 1 do bloków podziału. Przykład - podziały {1, 2, 3}: {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3}, {4} {1}, {2, 3} {1, 4}, {2, 3} {1}, {2, 3, 4} {1}, {2, 3}, {4} {3}, {1, 2} {3, 4}, {1, 2} {3}, {1, 2, 4} {3}, {1, 2}, {4} {2}, {1, 3} {2, 4}, {1, 3} {2}, {1, 3, 4} {2}, {1, 3}, {4} {1}, {2}, {3} Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 9 / 14
Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dowód indukcyjny: Podziały {1, 2,..., n, n + 1} otrzymamy z podziału {1, 2,..., n} poprzez dodanie elementu n + 1 do bloków podziału. Przykład - podziały {1, 2, 3}: {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3}, {4} {1}, {2, 3} {1, 4}, {2, 3} {1}, {2, 3, 4} {1}, {2, 3}, {4} {3}, {1, 2} {3, 4}, {1, 2} {3}, {1, 2, 4} {3}, {1, 2}, {4} {2}, {1, 3} {2, 4}, {1, 3} {2}, {1, 3, 4} {2}, {1, 3}, {4} {1}, {2}, {3} {1, 4}, {2}, {3} {1}, {2, 4}, {3} {1}, {2}, {3, 4} {1}, {2}, {3}, {4} Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 9 / 14
Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella d m+1 dt m+1 g(f(t)) = d ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t), dt Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 10 / 14
Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella d m+1 dt m+1 g(f(t)) = d dt d dt ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t), ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t) = Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 10 / 14
Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella d m+1 dt m+1 g(f(t)) = d dt d dt ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t), ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t) = g (k+1) (f(t)) ( f (t) ) b 1 +1 ( f (t) ) ( ) b2 f (m) bm (t) Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 10 / 14
Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella d m+1 dt m+1 g(f(t)) = d dt d dt ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t), ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t) = g (k+1) (f(t)) ( f (t) ) b 1 +1 ( f (t) ) ( ) b2 f (m) bm (t) + g (k) (f(t))b 1 ( f (t) ) b 1 1 ( f (t) ) b 2 +1 (f (m) (t) ) bm Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 10 / 14
Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella d m+1 dt m+1 g(f(t)) = d dt d dt ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t), ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t) = g (k+1) (f(t)) ( f (t) ) b 1 +1 ( f (t) ) ( ) b2 f (m) bm (t) + g (k) (f(t))b 1 ( f (t) ) b 1 1 ( f (t) ) b 2 +1 (f (m) (t) + g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 b 2 ( f (t) ) b 2 1 (f (m) (t) +... ) bm ) bm Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 10 / 14
Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella d m+1 dt m+1 g(f(t)) = d dt d dt ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t), ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t) = g (k+1) (f(t)) ( f (t) ) b 1 +1 ( f (t) ) ( ) b2 f (m) bm (t) + g (k) (f(t))b 1 ( f (t) ) b 1 1 ( f (t) ) b 2 +1 (f (m) (t) + g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 b 2 ( f (t) ) b 2 1 (f (m) (t) +... + g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) b2 ( ) bm+1 f (m) (t) ) bm ) bm Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 10 / 14
Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella d m+1 dt m+1 g(f(t)) = d dt d dt ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t), ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t) = g (k+1) (f(t)) ( f (t) ) b 1 +1 ( f (t) ) ( ) b2 f (m) bm (t) + g (k) (f(t))b 1 ( f (t) ) b 1 1 ( f (t) ) b 2 +1 (f (m) (t) + g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 b 2 ( f (t) ) b 2 1 (f (m) (t) +... + g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) b2 ( ) bm+1 f (m) (t) ) bm ) bm + g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) b2 b m (f (m) (t)) bm 1 f (m+1) (t) Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 10 / 14
Wersja wyznacznikowa d m dt g(f(t)) = m ( m 1 0 1 ) f g ( m 1 1 ( m 2 0 0 1. ) f g ( m 1 2 ) f g. ( m 2 1 ( m 3 0 ) f g. ) f g ) f g 0 0 0 ( m 1 m 2) f (m 1) ( g m 1) f (m) g ) f (m 2) g ( m 2) f (m 1) g ) f (m 3) g ( m 3) f (m 2) g ( m 2 m 3 ( m 3 m 4. ( 1 ) 0 f g 0 0 0 1. ( 1 ) 1 f g ( 0 ) 0 f g gdzie f (i) oznacza f (i) (t) oraz g k interpretujemy jako g (k) (f(t)). Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 11 / 14
Wzór Taylora Dla odpowienio regularnych funkcji f i g mamy g(f(t + h)) = m=0 d m dt m g(f(t))hm m!, Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 12 / 14
Wzór Taylora Dla odpowienio regularnych funkcji f i g mamy z drugiej strony g(f(t + h)) = g(f(t + h)) = k=0 m=0 d m dt m g(f(t))hm m!, g (k) (f(t)) (f(t + h) f(t)) k. k! Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 12 / 14
Wzór Taylora Dla odpowienio regularnych funkcji f i g mamy z drugiej strony g(f(t + h)) = g(f(t + h)) = k=0 m=0 Porównując powyższe szeregi otrzymujemy d m d m dt m g(f(t))hm m!, g (k) (f(t)) (f(t + h) f(t)) k. k! 1 g(f(t)) równa się współczynnikowi przy hm m! dtm Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 12 / 14
Wzór Taylora Możemy po prostu zróżniczkować obustronnie wzgledem zmiennej h i położyć h = 0: g(f(t + h)) = k=0 g (k) (f(t)) (f(t + h) f(t)) k, k! Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 13 / 14
Wzór Taylora Możemy po prostu zróżniczkować obustronnie wzgledem zmiennej h i położyć h = 0: g(f(t + h)) = k=0 d m dh m g(f(t + h)) h=0 m = k=0 g (k) (f(t)) (f(t + h) f(t)) k, k! g (k) (f(t)) k! { d m (f(t + h) f(t))k dhm } h=0, Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 13 / 14
Wzór Taylora Możemy po prostu zróżniczkować obustronnie wzgledem zmiennej h i położyć h = 0: g(f(t + h)) = k=0 d m dh m g(f(t + h)) h=0 m = k=0 Stąd otrzymujemy g (k) (f(t)) (f(t + h) f(t)) k, k! g (k) (f(t)) k! d m m dt m g(f(t)) = k=0 { d m (f(t + h) f(t))k dhm g (k) (f(t)) A m,k (f(t)), k! } h=0, gdzie A m,k (f(t)) = k j=0 ( ) k k j dm ( f(t)) j dt m (f(t))j. Charles Jordan, Calculus of Finite Differences, 2nd ed., Chelsea, New York, 1950. Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 13 / 14
Wzór Taylora Literatura: W. P. Johnson, The Curious History of Faa di Bruno s Formula, American Mathematical Monthly 109 (3) (2002), 217 234, A. D. D. Craik,Prehistory of Faa di Bruno s Formula, American Mathematical Monthly 112 (2) (2005), 217 234, Dziękuję za uwagę! Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, 29.11.2013 14 / 14