Ocena ryzyka inwestycyjnego na przykªadzie pary walutowej EUR/USD Anna Barczy«ska Maciej Bieli«ski 15 czerwca 2010 1
Spis tre±ci 1 Forex 3 1.1 EUR/USD............................. 4 2 Waluty 5 2.1 Siªa waluty............................ 5 2.2 Euro................................ 6 2.3 Dolar................................ 6 3 Ryzyko inwestycyjne 7 3.1 Dane................................ 7 3.2 Value at Risk (V ar α )...................... 10 3.3 Expected Shortfall (ES α ).................... 10 3.4 Ocena ryzyka inwestycji..................... 11 Literatura [1] Alexander J. McNell, Rudiger Frey, Paul Embrechts: Quantitative Risk Management. Concepts, Techniques and Tools., Princeton University Press, Princeton and Oxford [2] Katarzyna Kuziak: Koncepcja warto±ci zagro»onej VaR (Value at Risk) 2
1 Forex Forex jest to mi dzynarodowy rynek walutowy okre±lany w skrócie terminem powstaªym z poª czenia dwóch pierwszych sylab sªów peªnej nazwy (ang. foreign exchange). Jego ±rednia warto± dziennych obrotów to 3 biliony USD. Odpowiada to sze±ciokrotno±ci rocznego PKB Polski (z 2007 roku ) i sprawia,»e jest rynkiem najpªynniejszym, a manipulacja nim staje si niemal niemo»- liwa. Forex jest rynkiem pozagieªdowym - co znaczy,»e nie ma przypisanego Rysunek 1: Wielko± obrotów w poszczególnych latach na rynku Forex miejsca gdzie zawierane s transakcje i funkcjonuje w oparciu o ª cza internetowe. Rynek ten jest otwarty 24 godziny na dob pi dni w tygodniu, a podstawow jednostk rozliczeniow jest Lot - 100.000 jednostek waluty bazowej. Na ka»dej gieªdzie wyst puj dwie strony - kupuj ca i sprzedaj ca. Transakcji walutowej mo»emy dokona na kilka sposobów: 1. Mo»emy kupi lub sprzeda walut na rynku spot - czyli z natychmiastowym okresem realizacji. 2. Mo»emy wymieni jedn walut na drug na okre±lony czas (swap). 3. Mo»emy otworzy dªug lub krótk pozycje na kontraktach terminowych. 4. Mo»emy kupi opcje call lub put. 3
Uczestnikami rynku walutowego s : 1. Banki centralne 2. Banki komercyjne 3. Brokerzy 4. Przedsi biorcy 5. Osoby prywatne 1.1 EUR/USD W projekcie b dziemy zajmowa si kursem EUR/USD. Oznacza to,»e jednostk bazow w naszej transakcji b dzie euro, a jego cena b dzie kwotowana w dolarach. Para EUR/USD kwotowana jest odwrotnie ni» wi kszo± pozostaªych par z dolarem ameryka«skim. To oznacza,»e je±li kurs EUR/USD ro- ±nie, umacnia si euro, a dolar sªabnie. Kiedy natomiast kurs pary EUR/USD maleje - euro sªabnie, a dolar si wzmacnia. Opisuj c EUR/USD warto wspomnie,»e jest to najpªynniejsza para walutowa, na co wskazuje prawie 28% udziaª w rynku. Rysunek 2: Udziaª par walutowych w obrocie na rynku Forex w poszczególnych latach 4
2 Waluty 2.1 Siªa waluty Z ekonomicznego punktu widzenia aprecjacja (wzrost warto±ci) danej waluty spowodowana jest zwi kszeniem si na ni popytu (lub spadku jej poda»y). Popyt ten mo»e by uwarunkowany wieloma czynnikami takimi jak na przykªad (prognozowany lub publikowany) PKB czy polityka monetarna banku centralnego danego pa«stwa lub te» wspólnoty pa«stw. Banki centralne mog równie» dokonywa interwencji na rynku walutowym w celu ustabilizowania kursu waluty, lub wyhamowania zbyt gwaªtownych zmian kursowych. Dobrym przykªadem takiego dziaªania jest interwencja z dnia 9 kwietnia br. kiedy to NBP dokonaª zakupu najprawdopodobniej 9 mln euro stabilizuj c na pewien czas kurs EUR/PLN (pierwsza interwencja banku miaªa miejsce w 1998 roku). Rysunek 3: Wykres EUR/PLN 5
2.2 Euro Euro jest walut 16 pa«stw unii europejskiej wchodz cych w skªad unii monetarnej, a tak»e w niektórych pa«stwach nie nale» cych do unii (jak np. Watykanie, Monako czy San Marino). Na czele polityki monetarnej stoi Europejski Bank Centralny (EBC). Poª czenie wielu pa«stw wspóln walut sprawiªo, i» euro staªo si jedn z gªównych ±wiatowych walut. Jednak taka wspólnota ma swoje wady - jak pokazuj ostatnie miesi ce, problemy jednego pa«stwa (w tym wypadku Grecji) mog powa»nie zaburzy notowania waluty europejskiej. 2.3 Dolar Dolar jest walut USA, a zarazem gªówn walut ±wiatowa. To w niej wyceniane s surowce takie jak zªoto, srebro, ropa czy mied¹. Mo»na przypuszcza,»e istniej istotne korelacje mi dzy tymi surowcami a dolarem. Powoduje to,»e zmiany cen na rynku surowcowym mog wpªywa w bezpo±redni sposób na kurs dolara. 6
3 Ryzyko inwestycyjne 3.1 Dane Zaªó»my,»e mamy do dyspozycji 1000000 $. Kwot t inwestujemy w EUR/USD. Aby obliczy ryzyko inwestycyjne, posªu»ymy si dwoma popularnymi miarami ryzyka: 1. V ar α (Value at Risk) 2. ES α (Expected Shortfall) W celu ich wyliczenia skorzystamy z danych z lat 2005-2009, które pomog nam oszacowa ewentualn strat zwi zan z tak inwestycj. Warto±ci, z których b dziemy korzysta przedstawia poni»sza tabela : Rysunek 4: Wykres EUR/PLN Stop zwrotu S w poszczególnych miesi cach b dziemy wyliczac w sposób nast puj cy: S = C O O gdzie : S - stopa zwrotu O - cena otwarcia w danym miesi cu C - cena zamkniecia w danym miesi cu Przy takiej metodologii dysponujemy zestawem 60 danych. 7
Przy pomocy tych danych stworzyli±my poni»szy histogram: Rysunek 5: Histogramy wraz z prób dopasowania rozkªadu normalnego (wykonane przy pomocy programu SAS) 8
Niestety na poziomie istotno±ci α = 0.05 nie ma dopasowania rozkªadu normalnego do naszych danych. U»yte testy to: Koªmogorow-Smirnow,Cramervon Miess oraz Anderson-Darling. Ich rezultaty przedstawione s poni»ej : Rysunek 6: Badanie normalo±ci (wykonane przy pomocy programu SAS) Wyliczone warto±ci parametru p nie s wi ksze od zadanego poziomu α = 0.05, co oznacza, i» odrzucamy hipotez zerow (o normalno±ci rozkªadu) na korzy± alternatywnej - oznacza to,i» nie mamy do czynienia z rozkªadem normalnym. Przy analizie badali±my równie» inne rozkªady (takie jak lognormalny, Weibulla i gamma). Na poziomie istotno±ci α = 0.05»aden z nich nie daª dopasowania. 9
3.2 Value at Risk (V ar α ) Dla zadanego poziomu istotno±ci α [0, 1] VaR naszego portfela jest dany jako najmniejsza liczba l taka,»e prawdopodobie«stwo straty L przewy»szaj ce l jest nie wi ksze ni» poziom ufno±ci 1 α. Formalnie: V ar α = inf {l R : P (L > l) 1 α} = inf {l R : F L (l) α} Obecnie Value at Risk (VaR) jest najpopularniejszym rozwi zaniem je±li chodzi o pomiar ryzyka rynkowego. Mo»e on równie» sªu»y do pomiaru innych rodzajów ryzyka, np. ryzyka kredytowego i operacyjnego. Jego gªówn zalet jest to, i» daje on mo»liwo± wyra»enia ryzyka ró»nych pozycji przyjmowanych na rynku nansowym w sposób jednolity. Miara VaR jest najpopularniejsz miar ryzyka w grupie miar zagro»enia, ze wzgl du na du»e walory interpretacyjne. Jest zalecana przez instytucje nadzoru do pomiaru ryzyka instytucji nansowych. Wykorzystywana jest tak»e do pomiaru innych ni» ryzyko rynkowe rodzajów ryzyka nansowego. Stanowi ona podstaw dla innych miar ryzyka sªu» cych analizowaniu ryzyka przedsi biorstwa, takich jak: EaR (Earnings at Risk), EPSaR (Earnings Per Share at Risk), CFaR (Cash Flow at Risk), CCFaR (Credit Cash Flow at Risk) czy LaR (Liquidity at Risk). Value at Risk jest to strata warto±ci rynkowej taka,»e prawdopodobie«- stwo osi gni cia jej (lub przekroczenia) w zadanym przedziale czasowym jest równe zadanemu poziomowi tolerancji. Wynika st d, i» w celu jej okre±lenia nale»y poda dwa parametry: 1. horyzont czasowy - najcz ±ciej stosowany przez banki to 1 dzie«, a przez fundusze inwestycyjne i niektóre przedsi biorstwa - 1 miesi c 2. poziom pewno±ci (poziom ufno±ci) - najcz ±ciej 0,95 lub 0,99 W naszym przypadku przedziaªem czasowym b dzie 1 miesi c, a poziomem pewno±ci α = 0, 95. Nale»y pamieta, o nast puj cych zasadach: im ni»szy poziom istotno±ci (stanowi on ró»nic pomi szy 1 a poziomem ufno±ci), tym wi ksza warto± VaR im dªu»szy horyzont czasowy, tym wi ksza warto± VaR 3.3 Expected Shortfall (ES α ) Dla straty L gdzie E( L ) < inf i dystrybuant F L, ES na poziomie istotno±ci α (0, 1) deniujemy jako: ES α = 1 1 q u (F L )du 1 α α 10
gdzie q u (F L ) jest kwantylem funkcji F L. Relacja mi dzy ES i VaR wygl da w nast puj cy sposób: ES α = 1 1 V ar α (L)du 1 α α Oczywi±cie ES zale»y od rozkªadu L. Warto zauwa»y,»e ES α V ar α. Rysunek 7: Przykªad rozkªadu straty z 95% VaR oznaczony zastaª pionow lini, ±rednia strata oznaczona jest kropkowan lini, natomiast alternatywna miara ryzyka ES - lini kreskowan 3.4 Ocena ryzyka inwestycji W celu policzenia V ar 0.95 dla naszego zestawu danych powinni±my: 1. Wyliczy stopy zwrotu w poszczególnych miesi cach 2. Pomno»y poszczególne stopy zwrotu przez wielko± naszej inwestycji (1000000$) 3. Posortowa otrzymane dane malej co 4. Wybra najmniejsz warto±, która nie wchodzi w skªad ogona (czyli w naszym przypadku ostatnich 5% danych) 11
Poni»ej przedstawiono ostatnie 10% wyników. Rysunek 8: 10% wyników (na ostatniej stronie przedstawiona jest peªna tabela wyników) Wynika st d,»e V ar 0.95 dla naszej inwestycji wynosi: -45120$. W celu policzenia ES 0.95 dla naszego zestawu danych powinni±my: 1. Wyliczy stopy zwrotu w poszczególnych miesi cach 2. Pomno»y poszczególne stopy zwrotu przez wielko± naszej inwestycji (1000000$) 3. Posortowa otrzymane dane malej co 4. Policzy ±redni warto± w ogonie(czyli w naszym przypadku ostatnich 5% danych) Dla naszej inwestycji ES 0.95 ma warto± -80766$. V ar 0.95 dla naszej inwestycji ma warto± -45120$ co oznacza,»e inwestuj c 1000000$ na okres jednego miesi ca, z prawdopodobie«stwem 95% nie stracimy wi cej ni» 45120$. ES 0.95 dla naszej inwestycji ma warto± -80766$ co oznacza,»e w przypadku wyst pienia straty, mo»emy si spodziewa,»e jej warto± wyniesie 80766$. 12
Rysunek 9: Peªna tabela danych 13