Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012
Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,..., X n są niezależnymi zmiennymi losowymi o wspólnym rozkładzie z gęstością f (x) (z dystrybuantą F (x)). Przy tak przyjętej definicji rozkład próby losowej X 1, X 2,..., X n jest postaci f (x 1, x 2,..., x n ) = f (x 1 )f (x 2 ) f (x n ) = n f (x i ).
Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,..., X n są niezależnymi zmiennymi losowymi o wspólnym rozkładzie z gęstością f (x) (z dystrybuantą F (x)). Przy tak przyjętej definicji rozkład próby losowej X 1, X 2,..., X n jest postaci f (x 1, x 2,..., x n ) = f (x 1 )f (x 2 ) f (x n ) = n f (x i ).
Przykład. Łączny rozkład f (x 1, x 2,..., x n ) próby losowej z rozkładu wykładniczego z parametrem β jest postaci f (x 1, x 2,..., x n β) = n f (x i β) = n 1 β e x i /β = 1 β n e (x 1+...+x n)/β.
Definicja. Niech X 1, X 2,..., X n będzie próbą losową rozmiaru n natomiast T (x 1, x 2,..., x n ) funkcją przyjmująca wartości rzeczywiste lub wektorowe, której dziedzina zawiera wartości jakie może przyjąć wektor (X 1, X 2,..., X n ). Zmienną losową lub wektor losowy Y = T (X 1, X 2,..., X n ) będziemy nazywać statystyką, a rozkład Y będziemy nazywać rozkładem statystyki Y.
Przykład. Maksimum z próby X (n:n) = max(x 1, X 2,..., X n ). Przykład cd. Minimum z próby X (1:n) = min(x 1, X 2,..., X n ).
Przykład. Maksimum z próby X (n:n) = max(x 1, X 2,..., X n ). Przykład cd. Minimum z próby X (1:n) = min(x 1, X 2,..., X n ).
Przykład cd. Niech X 1, X 2,..., X n będzie próba losową oznaczmy przez X (1:n) X (2:n)... X (k:n)... X (n:n) próbę uporządkowaną w sposób rosnący. Wektor ( X(1:n), X (2:n),..., X (k:n),... X (n:n) ) nazywamy wektorem statystyk pozycyjnych, a zmienną losową X (k:n) nazywamy k tą statystyką pozycyjną.
Definicja. Średnią z próby nazywamy statystykę X = X 1 +... + X n n = 1 n X i. Definicja. Wariancją z próby nazywamy statystykę S 2 = 1 n 1 (X i X ) 2.
Definicja. Średnią z próby nazywamy statystykę X = X 1 +... + X n n = 1 n X i. Definicja. Wariancją z próby nazywamy statystykę S 2 = 1 n 1 (X i X ) 2.
Twierdzenie. Niech x 1,..., x n będą liczbami rzeczywistymi a x = (x 1 + x 2 +... + x n )/n ich średnią arytmetyczną. Wtedy min a n (x i a) 2 = n (x i x) 2, (n 1)s 2 = n (x i x 2 ) = n x 2 i n x 2.
Dowód. Pierwszą równość min a (x i a) 2 = (x i x) 2, otrzymujemy dodając i odejmując x (x i a) 2 = = = (x i x + x a) 2 (x i x) 2 + 2 (x i x) 2 + (x i x)( x a) + ( x a) 2 ( x a) 2 Prawa strona równości jest dodatnia i minimalna gdy a = x.
Dowód cd. Drugą równość (n 1)s 2 = (x i x) 2 = xi 2 n x 2 otrzymujemy biorąc w równości (x i a) 2 = (x i x) 2 + ( x a) 2 za a zero, (a = 0).
Lemat. Niech X 1,..., X n będzie próba losową, a g(x) funkcją, dla której E g(x 1 ) oraz Var g(x 1 ) istnieją. Wtedy ( ) E g(x i ) = n(e g(x 1 )), oraz ( ) Var g(x i ) = n(var g(x 1 )).
Twierdzenie. Niech X 1,..., X n będzie próba losową z rozkładu o średniej μ i wariancji σ 2 <. Wtedy E X = μ, Var X = σ2 n, ES 2 = σ 2.
Dowód. Niech g(x i ) = X i /n, wtedy Eg(X i ) = μ/n. Na mocy lematu ( ) ( 1 ) E X = E X i = 1 n n E X i = 1 n n E X 1 = μ, co dowodzi pierwszej równości w twierdzeniu.
Dowód cd. Podobnie dowodzimy drugą równość ( ) ( 1 ) Var X = Var X i = 1 n n 2 Var X i = 1 n 2 n Var X 1 = σ2 n.
Dowód cd. Korzystając z twierdzenia 1 dla wariancji z próby otrzymujemy ( [ ]) ES 2 1 = E Xi 2 n X 2 n 1 = = 1 n 1 (ne X 2 1 ne X 2 ) 1 n 1 ( ( )) σ n(σ 2 + μ 2 2 ) n n + μ2 = σ 2.
Twierdzenie. Niech X 1,..., X n będzie próba losową z rozkładu normalnego N(μ, σ 2 ) natomiast X = 1 n X i, oraz S 2 = 1 n 1 (X i X ) 2. Wtedy X oraz S 2 są niezależnymi zmiennymi losowymi, ( ) X ma rozkład normalny N μ, σ2 n, n 1 σ S 2 ma rozkład χ 2 z n 1 stopniami swobody.
Twierdzenie. Niech X 1,..., X n będzie próba losową z rozkładu o gęstości f (x θ) postaci ( k ) f (x θ) = h(x)c(θ) exp w i (θ) t i (x). Zdefiniujmy statystyki T 1,..., T k jako T i (X 1,..., X n ) = t i (X j ), i = 1,..., k. Jeśli zbiór {(w 1 (θ), w 2 (θ),..., w k (θ)), θ Θ} zawiera otwarty podzbiór R k, to rozkład wektora losowego (T 1,..., T n ) jest postaci ( k ) f T (u 1,..., u k θ) = H(u 1,..., u k )[c(θ)] n exp w i (θ) u i.