Zadania z pierwszej klasy

Zadania z pierwszej klasy Poniżej zebrano zadania z geometrii, które rozwiązywaliśmy w pierwszej klasie oraz trochę dodatkowych. W każdym dziale znajdują się zadania z kartkówek, zestawów domowych, zestawów przygotowawczych i klasówek. Są one pomieszane jeśli chodzi o stopień trudności(żeby nie podchodzić do nich z uprzedzeniem). Są też zadania gwiazdkowe. 1 Podstawy o trójkącie i okręgach- bez podobieństwa Zadanie 1. Wymień i opisz cechy przystawania trójkątów. Zadanie2.ProstokątABCD,wktórymAB=3 ADpodzielononatrzykwadraty:AEFD,EGHF orazgbch.wykaż,że AED+ AGD+ ABD=90. Zadanie3.Rozważmytrójkątyostrokątne ABCoraz A B C.Czywymienioneniżejrówności( ) implikująprzystawanie ABC = A B C?Odpowiedźuzasadnij. AB=A B, ABC= A B C, BCA= B C A ( ) Zadanie 4. Na bokach BC i CA trójkąta ABC zbudowano po jego zewnętrznej stronie kwadraty BCDE orazcafg.udowodnij,żebg=ad. Zadanie 5. Udowodnić, że następujące warunki są równoważne dla trójkąta ABC: (1)AC=BC, (2) BAC= ABC. Zadanie6.PunktyPiQleżąodpowiednionabokachBCiCDkwadratuABCD,przyczym PAQ= 45.Dowieść,żeBP+DQ=PQ. Zadanie7.DwaokręgiprzecinająsięwpunktachAiB.OdcinkiACiADsąśrednicamitychokręgów. Udowodnij,żepunktyC,B,Dleżąnajednejprostej. Zadanie8.TrójkątrównobocznyABCjestwpisanywokrąg.PunktDleżynakrótszymłukuAB.Punkt EleżynaodcinkuCDorazDE=DB.Udowodnij,żetrójkątyBADiBCEsąprzystające. Zadanie9.DwaokręgiprzecinająsięwpunktachAiB.ProstaprzechodzącaprzezpunktAprzecinate okręgiwpunktachcieróżnychoda;prostaprzechodzącaprzezpunktbprzecinateokręgiwpunktach DiF,różnychodB.Udowodnić,żeprosteCDiEFsąrównoległe. Zadanie10.WewnątrzkątaACBtrójkątaABCwybranotakipunktP,żerzutytegopunktunaproste zawierająceodpowiedniobokiab,ac,bcleżąnajednejprostej.wykaż,żepleżynałukuabokręgu opisanego na trójkącie ABC(uwzględnij wszystkie możliwe położenia punktu P wewnątrz kąta ACB). Zadanie11.PunktPwewnątrzczworokątawypukłegoABCDmatęwłasność,że ADP+ BCP= APB.NiechO 1,O 2 będąśrodkamiokręgówopisanychnatrójkatachadporazbcp.wykaż,żepunkty O 1,O 2,Psąwspółliniowe.

Zadanie12.NiechObędzieśrodkiemokręguwpisanegowtrójkątABC,zaśO 1,O 2 środkamiokręgów dopisanychdotegotrójkata,stycznychodpowiedniodobokówacibc.wykaż,że AO 1 O= BO 2 O. Zadanie13.NapłaszczyźniedanesąodcinkiAB,CDdługości1,któreprzecinająsięwpunkcieO. Udowodnić,żejeśli AOC=60,toAC+BD 1. Zadanie 14. Niech ABCD będzie czworokątem wypukłym o tej własności, że AB nie jest równoległy do CD.NiechE,FbędąśrodkamibokówAD,BC.Udowodnić,że:2EF<AB+CD. Zadanie15.DanyjestczworokątwypukłyABCD,przyczym ABC= ADC=90 oraz BCD> BAD.Wykaż,żeAC>BD. Zadanie16.DanyjestpunktOorazpółprostel,mwychodzącezpunktuOitworzącewrazznimkąt ostry α. Punkt M leży wewnątrz tego kąta. Znajdź takie punkty A, B, leżące odpowiednio na półprostych l,m,żeoa=ob,przyczymsumama+mbjestminimalna. Zadanie17.NiechbokiBC,CA,ABtrójkątaABCmajądługościodpowiednioa,b,c. Załóżmy,że2b<a+c.Wykaż,że2 ABC< BAC+ ACB. Zadanie 18. Niech ABC będzie trójkątem równobocznym, zaś P dowolnym punktem płaszczyzny. Udowodnić, że istnieje trójkąt, którego boki równe są odcinkom AP, BP, CP oraz, że trójkąt ten jest zdegenerowanywtedyitylkowtedy,gdypleżynaokręguopisanymnatrójkącieabc. Zadanie 19. Dany jest trójkąt ostrokątny ABC. (a)nabokuabobieramypunktp.znaleźćnabokachbc,catakiepunktyx,y,byobwódtrójkąta XY P był minimalny. (b) Wpisać w trójkąt ABC trójkąt o minimalnym możliwym obwodzie. (c)*znaleźćnapłaszczyźnietakipunktt,żeliczbaat+bt+ctjestminimalnamożliwa. Zadanie20. WkwadracieABCDpunktM jestśrodkiemodcinkaab.prostaprostopadładomc przecinaadwk.udowodnij,że BCM= KCM. Zadanie21.WtrójkącieABCpunktyD,E,FsąodpowiedniośrodkamiodcinkówAC,ABorazBC. NiechBGbędziewysokościątrójkątaABC.Udowodnij,że EGF= EDF. Zadanie 22. Rozważmy równoległobok ABCD oraz punkty E, F znajdujące się na zewnątrz tego równoległoboku, że trójkąty ABF i ADE są równoboczne. Udowodnij, że trójkąt F CE jest równoboczny. Zadanie23. NabokachBC,ACiABtrójkątaABCwybranoodpowiedniopunktyD,EiF.Okręgi opisanenatrójkątachafeibdfprzecinająsięwpunktachfig.udowodnij,że DGE= BAC+ ABC. Zadanie 24. Dane są dwa okręgi: odcinek AB jest średnicą pierwszego, punkt B jest środkiem drugiego. Prosta przechodzącą przez punkt A przecina pierwszy okrąg w punkcie K różnym od A i przecina drugi okrągwpunktachmin.udowodnij,żekm=kn.

Zadanie25.TrójkątyrównoboczneABCiBDEsąpołożonetak,żepunktBleżywewnątrzodcinkaAD oraz wierzchołki C i E leżą po tej samej stronie prostej AD. Okręgi opisane na tych trójkątach przecinają sięwpunktachbif.udowodnij,żepunktyc,fidsąwspółliniowe. Zadanie26.WewnątrzkwadratuABCDobranopunktEtaki,że EDC=15.Udowodnij,żetrójkąt ABE jest równoboczny. Zadanie27.WtrójkącieABC,wktórymkątCjestprosty,przedłużonobokACpozapunktCdopunktu Dtakiego,żeCD=CBorazprzedłużonobokBCpozapunktCdopunktuEtakiego,żeCE=CA. Udowodnij, że przedłużenie wysokości CH trójkąta ABC jest środkową w trójkącie CDE. Zadanie28.WtrójkącieABCpunktyD,EleżąodpowiednionaodcinkachACiBCtak,żeAEiBD sąodpowiedniodwusiecznymikątówcabiabc.niechp,qbędąodpowiedniorzutamipunktucna prostebdiae.udowodnić,żepqjestrównoległydoab. Zadanie 29. Trójkąt równoboczny ABC jest wpisany w okrąg, zaś punkt P jest obrany na(mniejszym) łukuac.udowodnij,żepb=pa+pc.niekorzystajztwierdzeniaptolemeusza. Zadanie 30. Na czworokącie ABCD jest opisany okrąg o średnicy AB. Punkt E jest symetryczny do punktu A względem środka odcinka CD. Dowieść, że proste CD i BE są prostopadłe. Zadanie31.NiechPQRSbędzieczworokątemwpisanymwokrąg,przyczym PSR=90 orazniech H,KbędąrzutamipunktuQodpowiednionaprostePRiPS.Udowodnić,żeprostazawierającaodcinek HK przecina odcinek QS na dwa odcinki jednakowej długości. Zadanie32.WtrójkącieABCpunktDjestśrodkiembokuBC.Udowodnij,żeBC=2 ADwtedyi tylko wtedy, gdy trójkąt ABC jest prostokątny. Zadanie33.CzworokątABCDjestwpisanywokrągizpunktówBorazDpoprowadzonesąproste prostopadłe odpowiednio do boków AB i CD. Załóżmy, że proste te przecinają proste CD oraz AB odpowiedniowpunktachb orazd (rysunekponiżej).udowodnij,żeac B D. Zadanie34.RozważmyprostokątABCDipunktPznajdującysięnabokuAB.NiechF,Gbędąrzutami PodpowiednionaprzekątneBDiAC.Wykaż,żesumaPG+PFjeststała,niezależnieodwyboruP (na boku AB). Zadanie35.Wewnętrzuczworokąta(awięcnienabokachczynazewnątrz)ABCDobieramypunktM taki,żeabmdjestrównoległobokiem.udowodnij,żejeśli CBM= CDM,to ACD= BCM. Zadanie 36. Na zewnątrz boków AB i AD równoległoboku ABCD zbudowano trójkąty równoboczne ABF i ADE. Udowodnij, że trójkąt F CE jest równoboczny. Zadanie37.SześciokątABCDEFjestwpisanywokrąg,zaśodcinkiADiBCprzecinająsiewpunkcie P.Wykazać,że AFB CED = APB. Zadanie38.PunktyE,FleżąodpowiednionabokachABiADkwadratuABCD,przyczym ECF= 45.OdcinkiECiFCprzecinająprzekątnąBDodpowiedniowpunktachPiQ.Wykazać,żepunkty A,E,F,P,Qleżąnajednymokręgu.

Zadanie 39. Okręgi, których średnicami są ramiona trapezu, są styczne zewnętrznie. Wykazać, że w ten trapez można wpisać okrąg. Zadanie40.ŚrodkoweAPiCQtrójkątaABCprzecinająsięwpunkcieD.WczworokątBPDQmożna wpisaćokrąg.wykazać,żeab=bc. Zadanie41.PunktyC,DleżąnaokręguośrednicyAB.NiechP,Qbędąpunktamiprzecięciaodpowiednichparprostych:ACiBD,orazADiBC.Udowodnij,żeAB PQ. Zadanie 42. Niech E, F będą punktami styczności okręgu o środku I wpisanego w trójkąt ABC leżącymi odpowiednio na bokach AC i BC. Niech P będzie rzutem prostokątnym punktu B na prostą AI. Wykazać, żepunktye,f,psąwspółliniowe. Zadanie43. RozważmytrójkątABCorazdowolnypunktXpołożonynabokuAB(róznyodA,B). Niech Y będzie punktem przecięcia wspólnej stycznej do okręgów wpisanych w trójkąty AXC oraz BXC (różnej od prostej zawierającej AB). Wykazać, że długość odcinka CY jest niezależna od wyboru X na boku AB. Zadanie 44. W czworokąt wypukły ABCD można wpisać okrąg. Punkt P leży na odcinku CD. Wykazać, żeistniejewspólnastycznadookręgówwpisanychwtrójkątyabp,bcpidap. Zadanie 45. Rozważmy równoległobok ABCD taki, że okrąg dopisany do trójkata ABD jest styczny doprostychadorazabodpowiedniowpunktachm,n.wykaż,żepunktyprzecięciaodcinkamnz prostymibcorazcdleżąnaokręguwpisanymwtrójkątbcd. Zadanie 46. Wykazać, że jeśli istnieje sfera styczna do wszystkich krawędzi czworościanu to sumy przeciwległych krawędzi tego czworościanu są równe. Zadanie47.ProstePCorazPDsąstycznedookręguośrednicyABtak,żeC,Dsąodpowiednimi punktami styczności. Udowodnij, że prosta łącząca punkt P z punktem przecięcia prostych AC oraz BD jest prostopadła do AB. Zadanie 48. Niech ABCD będzie czworokątem wpisanym w okrąg oraz P, Q środkami(krótszych) łuków ABiCD.NiechE,Fbędąodpowiednio:punktemprzecięciadwusiecznychkatówBPDorazBADCoraz punktem przecięcia dwusiecznych kątów ABC i BDC. Pokazać, że proste P Q oraz EF są prostopadłe. Zadanie49.PunktEnależydobokuAB,punktFdobokuBCtrójkątaABCorazAE=CF.Odcinki AFiCEprzecinająsięwpunkcieD.WczworokątDEBFmożnawpisaćokrąg.Wykaż,żeAB=BC. Zadanie 50. Wykaż, że jeśli w trapez można wpisać okrąg, to okręgi, których średnicami są ramiona trapezu są styczne zewnętrznie. Zadanie51.NaodcinkuABwybranopunktC(różnyodA,B).ProstalprzechodzącaprzezpunktC przecinaokręgiośrednicachacorazbcodpowiedniowpunktachkorazl.prostalprzecinatakże okrągośrednicyabwpunktachm,n.wykaż,żemk=ln. Wskazówka. Jaka jest odległość punktów K, L od środka okręgu o średnicy AB?

Zadanie52. WczworokąciewypukłymABCDzachodzirówność DAB+2 BCD=180.Okrąg wpisanywtrójkątabdjeststycznydobokówabiadodpowiedniowpunktachkil.wykaż,żeokręgi opisane na trójkątach AKL i BCD są styczne. Zadanie 53. Dwa okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie A. Niech C, D będą punktami styczności wspólnejprostejstycznej(zewnętrznej)dotychokręgów.udowodnij,że CAD=90. Zadanie54.(2p)NiechN A będzieśrodkiemtegołukubcokręguopisanegonatrójkącieabc,który zawierapunkta.niechi B,I C będąśrodkamiokręgówdopisanychdotrójkątaabcstycznychodpowiednio dobokówaciab.wykaż,żepunktyi B,I C,B,CleżąnaokręguośrodkuN A. Zadanie 55. Niech ABCD będzie czworokątem wypukłym. Załóżmy, że proste AB i CD przecinają się w Eoraz,żeprosteADiBCprzecinająsięwF.NiechM,NbędądowolnymipunktaminaodcinkachAB, BC.ProstaENprzecinaAForazMFwpunktachPorazR.ProstaMFprzecinaCEwQ.Udowodnij, żejeśliwczworokątyamrporazcnrqmożnawpisaćokręgi,totakżewabcdmożnawpisaćokrąg. Zadanie56.NiechPbędziedowolnympunktemleżącymwewnętrzutrójkątaABC.NiechD,E,Fbędą rzutamipodpowiednionabokibc,ca,ab.wykaż,że: BD 2 +CE 2 +AF 2 =DC 2 +EA 2 +FB 2. Zadanie 57. Dany jest czworokąt wypukły ABCD. Udowodnij, że przekątne AC i BD tego czworokąta sąprostopadłewtedyitylkowtedy,gdyab 2 +CD 2 =AD 2 +BC 2. Zadanie58.PunktPleżywewnątrzkwadratuABCDprzyczymPA:PB:PC=1:2:3.Znajdź miarękątaapb. Zadanie59.PunktMjestśrodkiembokuADkwadratuABCDorazpunktNjestśrodkiembokuMD. Udowodnij, że: NBC=2 ABM. Zadanie 60. W trójkącie ostrokątnym ABC punkt D jest spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołkac.punktyeif leżąodpowiednionabokachacibc,przyczymae=adibf =FD. Punkt S jest symetryczny do punktu C względem środka okręgu opisanego na trójkącie ABC. Wykazać, żese=sf. Zadanie61.NiechMbędziepunktemwewnętrzutrójkątarównobocznegoABCorazniechA,B,C będą rzutami M odpowiednio na boki BC, CA, AB. Udowodnij, że suma promieni okręgów wpisanych w trójkątymac,mba orazmcb równajestsumiepromieniokręgówwpisanychwtrójkątymab, MBC orazmca. Zadanie62.( )NiechHbędzieortocentrumtrójkątaABC.Załóżmyteż,żeD,E,FsąśrodkamiodpowiedniobokówBC,AC,AB.PunktyA 1,A 2 powstająprzezprzecięcieokręguośrodkuwpunkciedi promieniudhzbokiembc.punktyb 1,B 2 powstająprzezprzecięcieokręguośrodkuwpunkcieei promieniuehzbokiemac.analogiczniedefiniujemypunktyc 1,C 2 nabokuab.wykaż,żepunkty A 1,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2 leżąnajednymokręgu.

Zadanie63.( )OkrągwpisanywtrójkątABCjeststycznydobokówBC,CA,ABodpowiedniowpunktachD,E,F.PunktyM,N,JsąodpowiedniośrodkamiokręgówwpisanychwtrójkątyAEF,BDF,DEF. Dowieść,żepunktyFiJsąsymetrycznewzględemprostejMN. Zadanie64.( )Niechn 5będzieliczbąnaturalną.Znajdźnajwiększąliczbęcałkowitąk(jakofunkcję zmiennejn)taką,żeistniejen-kątwypukłya 1 A 2...A n,wktórymwdokładniekczworokątówpostaci A i A i+1 A i+2 A i+3 możnawpisaćokrąg(przytyma n+j =A j ). Zadanie65.( )RozważmyczworokątABCDwpisanywokrąg.DługościbokówAB,BC,CDorazDA wynoszą odpowiednio: a, b, c, d. Konstruujemy cztery prostokąty na zewnątrz czworokąta ABCD: każdy oparty na jednym z wymienionych wyżej boków. Prostokąty te mają wymiery odpowiednio: a c, b d, c a oraz d b. Udowodnij, że środki(symetrii) tych czterech prostokątów są wierzchołkami prostokąta. Zadanie 66. ( ) Przez wierzchołek C trójkąta ABC prowadzimy dowolną prostą l. Niech P, Q będą rzutamiwierzchołkówa,bnaprostąlorazniechmbędzieśrodkiembokuab.wykaż,żemp=mq. Zadanie67. ( )ProstalprzecinabokiABiACtrójkątaABCodpowiedniowpunktachQ,Soraz przecina przedłużenie boku BC w punkcie R. Okręgi opisane na trójkątach ABC i SCR przecinają się w punkcie P(różnym od C). Wykaż, że na czworokącie AQSP można opisać okrąg. Zadanie 68. ( ) Na przekątnych AC i CE sześciokąta foremnego ABCDEF obieramy odpowiednio punktymintak,że AM AC =CN CE =λ. Znajdźλjeśliwiadomo,żepunktyB,M,Nleżąnajednejprostej. Zadanie69.( )NiechΓ 1,Γ 2 będądwomaokręgamistycznymizewnętrzniewpunkcier.niechl 1 będzie prostąstycznądoγ 2 wpunkciep iprzechodzącąprzezśrodeko 1 okręguγ 1.Podobnieniechl 2 będzie prostąstycznądoγ 2 wpunkcieqprzechodzącąprzezśrodeko 2 okręguγ 2.Załóżmy,żeprostel 1 oraz l 2 niesąrównoległeiprzecinająsięwpunkciek.udowodnij,żejeślikp=kq,totrójkątpqrjest równoboczny. 2 Pole Zadanie 70. W czworokącie wypukłym ABCD nie będącym równoległobokiem prosta łącząca środki przekątnychprzecinabokbcwpunkciep.wykazać,że: [ABP]+[CDP]=[ADP]. Zadanie 71. Dany jest trójkąt ABC. Wskaż przynajmniej jeden punkt P w płaszczyźnie tego trójkąta, że zachodzą następujące stosunki pomiędzy wartościami pól skierowanych S(P BC), S(P CA) oraz S(P AB): (a)s(pbc):s(pca):s(pab)=1:1:1, (b)s(pbc):s(pca):s(pab)=bc:ca:ab. Każdy z podpunktów(a),(b) jest niezależnym zadaniem. Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 72. Sześciokąt ABCDEF jest wpisany w okrąg. Przekątne AD, BE, CF są średnicami tego okręgu. Udowodnij, że[abcdef] = 2[ACE]. Zadanie 73. Wewnątrz czworokąta wypukłego ABCD istnieje punkt O taki, że pola trójkątów OAB, OBC, OCD oraz ODA są równe. Udowodnij, że jedna z przekątnych czworokąta dzieli drugą na pół. Zadanie 74. Dany jest sześciokąt wypukły. Każdy z trzech odcinków łączących środki przeciwległych boków tego sześciokąta dzieli go na dwa pięciokąty o równych polach. Dowieść, że te trzy odcinki przecinają się w jednym punkcie. Zadanie 75. Na każdym z boków równoległoboku wybieramy punkt. Pole tak utworzonego czworokąta o wierzchołkach w wybranych punktach równe jest połowie równoległoboku. Udowodnij, ze przynajmniej jedna z przekątnych czworokąta jest równoległa do boku wyjściowego równoległoboku. Zadanie 76. Dany jest sześciokąt wypukły ABCDEF. Wykazać, że pole jednego z trójkątów ABC, BCD,CDE,DEF,EFA,FABnieprzekracza1/6polasześciokątaABCDEF. Zadanie77.PunktyK,L,M,NleżąnabokachAB,BC,CD,DArównoległobokuABCDtak,żeodcinki KM oraz LN są równoległe do boków równoległoboku. Odcinki te przecinają się w punkcie O. Wykaż, że polarównoległobokówkbloorazmdnosąrównewtedyitylkowtedy,gdyoleżynaprzekątnejac. Zadanie 78. Kwadrat podzielono na cztery części przy pomocy dwóch prostych prostopadłych, których punkt przecięcia leży wewnątrz kwadratu. Udowodnij, że jeśli pola trzech z uzyskanych w ten sposób części kwadratu są równe, to pola wszystkich czterech części są równe. Zadanie 79. Dany jest pięciokąt wypukły ABCDE. Wykazać, że suma pól pewnych czterech spośród trójkątów ABC, BCD, CDE, DEA, EAB jest większa od pola pięciokąta ABCDE. Zadanie 80. Punkt J jest środkiem okręgu dopisanego do czworokąta wypukłego ABCD stycznego do prostych AB i AD zawierających boki tego czworokąta. Wykazać, że punkt J oraz środki przekątnych AC ibdleżąnajednejprostej. Zadanie81.WczworokącieABCDpunktyPorazSsąśrodkamiprzekątnychBDorazAC,orazpunkt O jest punktem przecięcia prostych AD oraz BC. Udowodnij, że: [ABCD]=4[OSP]. Zadanie82.DanyjesttrójkątABCopolu1.NiechMbędzierzutempunktuBnadwusiecznąkąta ACB. Znajdź pole trójkąta AM C. Zadanie83.NiechK,L,M,NbędąśrodkamibokówAB,BC,CD,DAczworokątawypukłegoABCD. OdcinkiKMorazLNprzecinająsięwpunkcieO.Wykaż,że: [AKON]+[CLOM]=[BKOL]+[DNOM]. Zadanie84.PunktyKiLleżąodpowiednionabokachADiBCczworokątawypukłegoABCD,przy czym: AK KD =CL LB. Wykazać,żeśrodkiodcinkówAC,BDiKLleżąnajednejprostej.

Zadanie85.WczworokącieABCDpunktyPorazSsąśrodkamiprzekątnychBDorazACorazpunkt OjestpunktemprzecięciaprostychADorazBC.Udowodnij,że[ABCD]=4[OSP]. Wskazówka:NiechMbędzieśrodkiemodcinkaPQ.Wykaż,żedladowolnychpunktówA 1,A 2 mamy: S(A 1 A 2 M)= 1 2 (S(A 1A 2 P)+S(A 1 A 2 Q)). Zadanie86.( )TrójkątyABCiDEFsątakie,żeAD,BEorazCFsąrównoległe.Wykaż,że: S(AEF)+S(DBF)+S(DEC)+S(DBC)+S(AEC)+S(ABF)=3S(ABC)+3S(DEF). Zadanie87.( )NiechABCbędzietrójkątemtakim,że BAC=90.NiechD BCbędziespodkiem wysokości trójkąta ABC poprowadzonej z punktu A. Prosta łącząca środki okręgów wpisanych w trójkąty ABDiACDprzecinabokiABiACodpowiedniowpunktachKiL.Wykaż,że[ABC] 2[AKL]. Zadanie88.NiechGbędzieśrodkiemciężkościtrójkątaABCorazniechGA=2 3,GB=2 2oraz GC=2.ZnajdźpoletrójkątaABC. Zadanie 89. Trójkąt ABC podzielono na 6 mniejszych trójkątów przy pomocy prostych przechodzących przez wierzchołki trójkąta i pewien punkt P w jego wnętrzu. Pola czterech z powyższych trójkątów wynoszą [APF]=40,[BPF]=30,DPB=35,CPE=84.Wyznacz[ABC]. Zadanie90.WtrapezieABCDmamyAD BCorazAD<BC,zaśprzedłużeniabokówBAiCD przecinająsięwpunkciee.niechfbędzietakimpunktemnaprostejbc,żeef BD.NiechGbędzie takimpunktemnaprzedłużeniuodcinkabc,żecg=bf (awięcgnienależydoodcinkabc!). Udowodnij,żeEG AC. Zadanie 91. Pięciokąt wypukły ABCDE ma następującą własność. Trójkąty ABC, BCD, CDE, DEA, EAB mają pola równe 1. Wyznacz pole pięciokąta ABCDE. Zadanie 92. Niech ABCD będzie równoległobokiem oraz E, F takimi punktami na bokach AD oraz DC,żeAF=CE.ProsteAFiCEprzecinająsięwP.Wykaż,żePBjestdwusiecznąkątaAPC. Zadanie 93.( ) Niech O będzie środkiem okręgu opisanego, zaś H ortocentrum trójkąta ostrokątnego ABC. Wykaż, że pole jednego z trójkątów AOH, BOH, COH jest równe sumie pól pozostałych dwóch. Zadanie 94.( )(Jak ktoś wie co to jest sinus...) Przedłużenia boków AD oraz BC czworokąta wypukłego ABCDprzecinająsięwpunkcieO.NiechM,NbędąśrodkamibokówABorazCD,zaśPorazQniech będą środkami przekątnych AC oraz BC. Wykaż, że: (a)[pmqn]= 1 2 [ABD] [ACD], (b)[opq]= 1 4 [ABCD]. Zadanie 95. Wyznacz współrzędne barycentryczne(niekoniecznie znormalizowane): wierzchołków trójkąta ABC, środków okręgów dopisanych i okręgu wpisanego w ABC

środka okręgu wpisanego w trójkąt utworzony przez środki boków trójkąta ABC, (*) środka okręgu opisanego na ABC (*) środka przecięcia wysokości ABC. Zadanie96.NiechP=(x 1,y 1,z 1 )orazq=(x 2,y 2,z 2 )będąznormalizowanymiwspółrzędnymibarycentrycznymi.wykaż,żejeśliweźmiemypunktroznormalizowanychwspółrzędnychr=(x 3,y 3,z 3 ) leżącynaprostejpqitaki,że PR/ PQ=k,dlapewnejliczbyrzeczywistejk,to: R=(1 k) P+k Q. Zadanie 97. Wykaż, że dowolna prosta przechodząca przez wierzchołek A trójkąta ABC złożona jest z punktów o współrzędnych: (x,y,z)=(1 mt nt,nt,mt), gdzie t jest parametrem rzeczywistym, oraz jeśli U jest punktem przecięcia tej prostej z prostą BC, to: BU UC =S(ABU) S(AUC) =m n. Zadanie 98. Niech ABC będzie trójkątem oraz L, M, N takimi punktami na prostych zawierających boki BC,CA,AB.Wówczas:jeśliprosteAL,BM,CNprzecinająsięwjednympunkcieP owspółrzędnych znormalizowanych(r,s,t),dlar,s,t>0,tol=(0,s,t),m=(r,0,t),n=(r,s,0), Zadanie 99. Niech ABC będzie trójkątem oraz L, M, N takimi punktami na prostych zawierających boki BC,CA,AB.WówczasprosteAL,BM,CNprzecinająsięwjednympunkciewtedyitylkowtedy,gdy: BL LC CM MA AN NB =1. Zadanie100.NiechABCbędzietrójkątemorazPpunktemwjegownętrzu.ProstePA,PB,PCprzecinająbokiBC,CA,ABodpowiedniowpunktachD,E,F.Udowodnij,że: [PAF]+[PBD]+[PCE]= 1 2 [ABC] wtedy i tylko wtedy, gdy P leży przynajmniej na jednej ze środkowych trójkata ABC. 3 Podobieństwo, Tales, styczna i sieczna, tw. o dwusiecznej, potęga punktu i osie potęgowe, okręgi Apolloniusza Zadanie101.NabokachAB,ACtrójkątaABCobranopunktyD,Etakie,żeAD=DBorazAE= 2EC.Załóżmy,żeodcinkiBE,CDprzecinająsięwpunkcieF.Pokazać,żeBE=4EF. Zadanie 102. W kwadracie ABCD niech O będzie punktem przecięcia przekątnych. Załóżmy, że dwusiecznakątacabprzecinabdweorazbcwf.udowodnij,że2oe=cf. Zadanie103.NiechΓ 1,Γ 2 będądwomaprzecinającymisięokręgami.niechwspólnastycznadoγ 1 oraz doγ 2 przechodziprzezteokręgiwpunktachodpowiednioa,b.wykaż,żewspólnacięciwaokręgówγ 1,Γ 2 przecina, po przedłużeniu, odcinek AB dokładnie w połowie.

Zadanie104.WtrójkącieABCpunktDjestśrodkiembokuAC.PunktFleżynabokuBCtak,żeAF przecina BD dokładnie w połowie. Wyznacz stosunek BF/CF. Zadanie105.PunktOjestśrodkiemokręguwpisanegowtrójkątABC.NabokachACorazBCznajdują siępunktymorazktakie,żebk AB=BO 2 orazam AB=AO 2.Wykaż,żeM,O,Ksąwspółliniowe. Zadanie 106. Niech M będzie punktem przecięcia przekątnych trapezu ABCD. Niech P należy do podstawybc,przyczym APM= DPM.Wykaż,żeodległośćpunktuCodprostejAPrównajestodgległości punktubdoprostejdp. Zadanie 107. Niech BD będzie dwusieczną kąta B w trójkącie ABC. Okrąg opisany na trójkącie BCD przecinaabwe,natomiastokrągopisanynatrójkącieabdprzecinabcwf.wykaż,żeae=cf. Zadanie108. NiechA,B,Cbędąpunktaminaokręguωtakimi,żeAB=AC =4orazBC =2. Załóżmy,żePjestprzecięciemACorazstycznejdookręguωwpunkcieB.ZnajdźdługośćBP. Zadanie109.DobokuACtrójkątaABCnależytakipunktD,żeAB=CDorazspełnionyjestwarunek ACB= ABD.DwusiecznakątaCABprzecinabokBCwpunkcieE.Udowodnij,żeAB DE. Zadanie110.NiechCbędziepunktemnapółokręguośrednicyABorazniechDbędzieśrodkiemłuku AC.NiechEbędzierzutempunktuDnaprostąBCorazniechFbędziepunktemprzecięciaprostejAE z półokręgiem. Pokaż, że BF, po przedłużeniu, dzieli odcinek DE na połowy. Zadanie 111. Udowodnij, że jeśli dwa okręgi są prostopadłe to: (a) Styczna do danego okręgu w punkcie przecięcia tych okręgów przechodzi przez środek drugiego okręgu, (b)jeśliojestśrodkiemokręguαorazrjegopromieniem,zaśpunktyp,qleżąnaβ,towspółliniowość P,Q,Ooznacza,żeOP OQ=r 2. Zadanie 112. Niech A, B będą różnymi punktami. Wykaż, że każdy okrąg Apolloniusza dla punktów A i B jest prostopadły do każdego okręgu przechodzącego przez punkty A, B. Zadanie 113. W równoległoboku ABCD punkt E znajduje się na boku BC. Prosta AE przecina proste BDorazDCodpowiedniowpunktachGorazF.Wiedząc,żeAG=6orazGE=4,znajdźdługość odcinkaef. Zadanie114.WtrójkącieABCwysokośćBEprzełużonodopunktuGtak,żeodcinekEGmadługość równą długości wysokości CF trójkąta ABC. Przez punkt G prowadzimy prostą równoległą do AC, która przecinaprostąbawpunkcieh.wykaż,żeah=ac. Zadanie 115. Niech D będzie spodkiem wysokości trójkąta ABC zawartym w odcinku AB. Niech P będziedowolnympunktemnacd.prosteaporazbpprzecinająbokicborazcawodpowiedniow punktachqorazr.wykaż,że QDC= RDC.

Zadanie 116. W trapezie ABCD(AB CD), o przekątnych AC oraz DB przecinających się w punkcie P,niechMbędzieśrodkiembokuCD.OdcinekAMprzecinaprostąBDwpunkcieE.PrzezpunktE prowadzimy prostą równoległą do podstawy CD, przecinającą proste AD, AC oraz BC odpowiednio w punktachh,f,g.udowodnij,żehe=ef=fg. Zadanie117.DanyjestokrągSorazprostal,niemającapunktówwspólnychztymokręgiem.Zpunktu P,przemieszczającegosiępoprostejl,prowadzimystycznePAdoPBdookręguS,przyczymA,B S. Wykaż, że wszystkie cięciwy AB uzyskane w ten sposób mają punkt wspólny. Zadanie 118. Przypomnijmy, że punkt Lemoine a trójkąta ABC jest punktem przecięcia jego symedian. Wykazać, że jeśli kąt ACB jest prosty, wówczas punkt Lemoine a trójkąta ABC wypada w połowie odcinka CH, gdzie H jest spodkiem wysokości trójkąta ABC opuszczonej z wierzchołka C na prostą AB. Zadanie 119. Dwusieczna kąta CAB trójkąta ABC przecina bok BC w punkcie D oraz okrąg opisany naabcwpunkciee(różnymoda).wykaż,żetrójkątydbeibaesąpodobne. Zadanie120.NiechABCbędzietrójkątemorazDpunktemnabokuBC.Załóżmy,żeO 1,O 2 sąśrodkami okręgówopisanychnatrójkątachabdorazacd.wykaż,żetrójkątyao 1 O 2 orazabcsąpodobne. Zadanie 121. Niech ABCD będzie czworokątem wpisanym w okrąg. Niech E, F będą takimi punktami nabokachab,cd,żeae/eb=cf/fd.załóżmyteż,żeprosteadibcprzecinająsięws.wykaż, żetrójkątyaseorazcsfsąpodobne. Zadanie 122. Niech M będzie punktem przecięcia przekątnych trapezu ABCD. Niech P należy do podstawybc,przyczym APM= DPM.Wykaż,żeodległośćpunktuCodprostejAPrównajestodgległości punktubdoprostejdp. Zadanie123.WprostokącieABCDpunktyF,GleżąnaABorazAF=FG=GB.PunktEzaśjest środkiemdc,punkth przecięciemacieforazj przecięciemaczeg.wyznaczstosunekpól [ABCD]/[EHJ]. Zadanie 124. Niech ABCD będzie równoległobokiem. Prowadzimy prostą równoległą do przekątnej AC, któraprzecinaaborazbcodpowiedniowpunktacheorazf.przypuśćmy,żepjestprzecięciemprostych CEorazAD,zaśQjestprzecięciemprostychAForazDC.Wykaż,żePQ AC. Zadanie 125. W pięciokącie wypukłym ABCDE spełnione są zależności: ABD= ACE, ACB= ACD, ADC= ADE, ADB= AEC. Wykaż, że zachodzą następujące podobieństwa: BAD CAE, BAC DAE, ABC ADC. (AjeśliudasiętowszystkotomożnapomyślećdlaczegoprostaASjestprostopadładoCD,gdzieS= BD CE,aletojużnieza2p)

Zadanie 126. Niech T będzie punktem przecięcia środkowych w trójkącie ABC, zaś S środkiem okręgu wpisanego w ABC. Udowodnij, że następujące warunki są równoważne: (a)prostetsjestrównoległadojednejzprostychab,bclubca, (b) jeden z boków trójkąta ABC ma długość równą połowie sumy pozostałych dwóch boków. Zadanie127.DanyjestokrągośrodkuO,wktórymśredniceABiCDsąprostopadłe.CięciwaDF przecinaabwpunkciee.wiedząc,żede=6orazef=2wyznaczpromieńokręgu. Zadanie 128. Przez wierzchołek A trójkąta ABC prowadzimy okrąg ω styczny do prostej BC w punkcie C.NiechMbędzieśrodkiembokuBC,zaśD punktemprzecięciaprostejamzokręgiemω.wykaż,że okrąg opisany na trójkącie ABD jest styczny do prostej BC w wierzchołku B. Zadanie 129. Dany jest trójkąt ABC. Styczna do okręgu opisanego na tym trójkącie obrana w punkcie CprzecinaprostąABwpunkcieS.NiechPbędzietakimpunktemwewnątrzABC,żeSP=SC.Wykaż, żeprostaspjeststycznadookręguopisanegonatrójkącieapb. Zadanie 130. Niech BD będzie dwusieczną kąta B w trójkącie ABC. Okrąg opisany na trójkącie BCD przecinaabwe,natomiastokrągopisanynatrójkącieabdprzecinabcwf.wykaż,żeae=cf. Zadanie 131. Dwa okręgi są współśrodkowe. Cięciwa AC zewnętrznego okręgu jest styczna do wewnętrznego okręgu w punkcie Q. Punkt P jest środkiem AQ. Prosta przechodząca przez A przecina wewnętrzny okrągwpunktachrorazs.pokaż,żetrójkątyraporazcassąpodobne. Zadanie132. NiechABCbędzietrójkątemrozwartymtakim,że ABC=15 oraz BAC>90. Załóżmy,żeOjestśrodkiemokręguopisanegonaABCoraz,żeAOprzecinaBCwpunkcieD.Przytym zachodzirównośćod 2 +OC DC=OC 2.ZnajdźkątACB. Wykaż,żepromieńokręguopisanegonaABCrównyjestBD Zadanie 133. W trójkącie prostokątnym ABC o kącie prostym w wierzchołku A wytyczono okrąg, którego średnicą jest wysokość AD tego trójkąta(d to spodek wysokości opuszczonej na bok BC). Okrąg ten przecinabokiaborazacodpowiedniowpunktachkorazm.prosteadorazkmprzecinająsięw punkciel.znajdźmiarykątówwewnętrznychtrójkątaabcwiedząc,żeak:al=al:am. Zadanie 134. Wiadomo, że środki boków dowolnego czworokąta wyznaczają równoległobok. Dla jakich czworokątów równoległobok ten jest prostokątem, a dla jakich rombem, a dla jakich kwadratem? Zadanie135.KątyαiβtrójkątaABCspełniająrówność3α+2β=180.Wykaż,żea 2 +bc=c 2. Zadanie 136. Punkt P leży na dwusiecznej kąta o wierzchołku C. Prosta l przechodząca przez P przecina ramionategokątaodcinającnanichodcinkidługościaorazb.wykaż,żewartość 1 a +1 b niezależyod wyboru prostej l. Zadanie 137. Na zewnątrz boku BC trójkąta równobocznego ABC zbudowano półkole(o średnicy BC). Wiedząc,żepunktyK,Ldzielątopółkolenatrzyrównełukiwykaż,żeprosteAKorazALdzieląBCna trzy równe części. Zadanie 138. (3p) Jedna z przekątnych czworokąta wpisanego w okrąg jest jego średnicą. Wykaż, że długości rzutów przeciwległych boków tego czworokąta na drugą z przekątnych są równe.

Zadanie139.NaokręguośrodkuO,punktyAiBwyznaczająłukomierzekątowej60.PunktM należydotegołuku.wykaż,żeprostełącząceśrodkimaioborazśrodkimbioasąprostopadłe. Zadanie140. NiechM,N będąśrodkamibokówadorazbcprostokątaabcd.punktp leżyna przedłużeniudcpozapunktd,zaśpunktqjestprzecięciemprostychpmorazac.wykaż,że QNM= MNP. Zadanie 141. Niech AC będzie dłuższą z przekątnych równoległoboku ABCD. Niech E, F będą rzutami CnaprzedłużeniabokówABiAD.Wykaż,żeAB AE+AD AF=AC 2. Zadanie142.NiechP,Q,RbędądowolnymipunktaminabokachBC,CA,orazABtrójkątaABC. Wykaż, że środki okręgów opisanych na trójkątach AQR, BRP oraz CP Q tworzą trójkąt podobny do trójkąta ABC. Zadanie143.Załóżmy,żeokrągwpisanywtrójkątABCprzecinabokBCwpunkcieD,bokCAw punkciee,orazbokabwpunkcief.niechgbędzierzutemdnaef.wykaż,że: FG EG =BF CE. Zadanie144.( )SześciokątABCDEFjestwpisanywokrągtak,żeAB=CD=EF.NiechP,Q,R będąprzecięciamiodpowiednio:prostychacibd,prostychceorazdf,iwreszcie:prostycheaifb. Udowodnij,żetrójkątyPQRorazBDFsąpodobne. Zadanie145.( )WtrójkącieABCspełnionajestrównośćAB+BC=3AC.Okrągwpisanywten trójkątjeststycznydobokówaborazbcwpunktachdie(odpowiednio).niechk,lbędąpunktami symetrycznymidodiewzględemi.wykaż,żenaczworokącieacklmożnaopisaćokrąg. Zadanie 146. Niech P, Q będą punktami styczności prostych poprowadzonych z punktu A z okręgiem o środkuwpunkcieo.niechmbędzieśrodkiempq.zpunktuaprowadzimyprostąprzecinającątenokrąg wpunktachk,l.wykaż,że MKO= MLO. Zadanie 147. Dany jest czworokąt wypukły ABCD. Niech P będzie punktem przecięcia symetralnych przekątnychacibdtegoczworokąta.niechk,l,m,nbędąspodkamidwusiecznychkątówapb,bpc, CPD,DPAnabokiodpowiednioAB,BC,CD,DA.Wykaż,żeKLMNjestrównoległobokiem. Zadanie148.Okręgio 1 io 2 sąstycznezewnętrzniewpunkcied.prostakjeststycznadookręgówo 1 i o 2 odpowiedniowpunktachaib.odcinekacjestśrednicąokręguo 1.Prostalprzechodziprzezpunkt Cijeststycznadookręguo 2 wpunkciee.wykaż,żeac=ce. Zadanie149.DanyjesttrójkątABCobokachAB=3,BC=4orazCA=5.Okrągωprzechodzi przezpunktborazprzecinabokibc,abdodatkowowpunktachd,e,orazbokacwpunktachfig. Wiedząc,żeEF=DForaz,że DG EG =3/4,znajdźdługośćDE. Zadanie 150. Punkt P leży na dwusiecznej kąta o wierzchołku C. Prosta l przechodząca przez P przecina ramionategokątaodcinającnanichodcinkidługościaorazb.wykaż,żewartość 1 a +1 b niezależyod wyboru prostej l.

Zadanie151.(2p)WtrójkącierównoramiennymABC(gdzieAB=AC)ześrodkaHpodstawyBC poprowadzono prostą prostopadłą do AC przecinającą ten bok w punkcie E. Niech O będzie środkiem odcinka EH. Wykaż, że proste AO oraz BE są prostopadłe. Zadanie152.(3p)NiechC 1 orazc 2 będąokręgamiwspółśrodkowymi,przyczymc 2 leżywewnątrzc 1. NiechAbędziepunktemnaC 1 orazbpunktemnac 2 tak,żeabjeststycznydoc 2.NiechCbędzie drugimpunktemprzecięciaaborazc 1 orazniechdbędzieśrodkiemab.prostaprzechodzącaprzez punktaprzecinac 2 weorazwftak,żesymetralneodcinkówdeicfprzecinająsięwpunkciem na odcinku AB. Znajdź wartość ilorazu AM/M C. Zadanie153.PunktyD,EnależądobokuABtrójkątaABC.ProstaprzechodzącaprzezpunktDi równoległadobcprzecinaacwf.prostaprzechodzącaprzezeirównoległadoacprzecinabok BCwG.ProstaFGprzecinaokrągopisanynatrójkącieABCwpunktachPiQ.Wykazać,żepunkty D,E,P,Qleżąnajednymokręgu. Zadanie154.(,5p)PrzekątneczworokątawypukłegoABCDprzecinająsięwpunkcieO.NiechM 1 orazm 2 będąśrodkamiciężkościtrójkątówaoborazcod.niechh 1,H 2 będąortocentramitrójkątów BOCorazDOA.Wykaż,żeprosteM 1 M 2 orazh 1 H 2 sąprostopadłe. Zadanie 155.(, 5p) Na trójkącie ABC opisano okrąg o środku O. Styczne do tego okręgu poprowadzone wwierzchołkachb,cprzecinająsięwpunkciep.niechlbędzieśrodkiembokubc.wykaż,że OAL= OPA. Zadanie 156. (, 5p) Niech H będzie ortocentrum(punkt przecięcia wysokości) trójkąta ostrokątnego ABC.OkrągΓ A,któregośrodkiemjestśrodekbokuBCprzechodziprzezpunktHiprzecinabokBCw punktacha 1 ia 2.AnalogiczniedefiniujemypunktyB 1,B 2 położonenabokuacorazc 1 ic 2 naboku AB.Udowodnij,żeszóstkapunktówA 1,A 2,B 1,B 2,C 1 orazc 2 leżynajednymokręgu. Zadanie157.(,5p)OkręgiΓ 1 orazγ 2 sąstycznewewnętrzniedookręguγodpowiedniowpunktach (różnychodsiebie)m,n.przytymγ 1 przechodziprzezśrodekγ 2.Prostaprzechodzącaprzezpunkty przecięciaγ 1 iγ 2 przecinaokrągγwaib.prostemaimbprzecinająγ 1 wcid.udowodnij,że prostacdjeststycznadookręguγ 2. 4 Zadania różne- ale nie na jednokładność Zadanie158.PunktPleżywewnątrztrójkątarównobocznegoABCobokudługości1.ProsteAP,BP, CPprzecinająodcinkiBC,CA,ABodpowiedniowpunktachD,E,F.Udowodnij,żePD+PE+PF<1. Zadanie 159. Dany jest czworokąt wypukły ABCD. Okrąg o średnicy AB przechodzi przez punkty C i D.PunktEjestsymetrycznydopunktuAwzględemśrodkaodcinkaCD.Dowieść,żeprosteCDiBE są prostopadłe. Zadanie 160. Dany jest trójkąt ostrokątny ABC. Punkt D jest spodkiem wysokości tego trójkąta opuszczonejzwierzchołkab,apunktmjestśrodkiembokubc.udowodnić,żejeżeliam=bd,to CAM= 30.

Zadanie 161. Udowodnić, że proste przechodzące przez środki boków czworokąta wpisanego w okrąg i prostopadłe do przeciwległych boków przecinają się w jednym punkcie. Zadanie 162. Na bokach trójkąta ABC zbudowano, po jego zewnętrznej stronie, trójkąty równoboczne BCD,CAE,ABF,ośrodkachciężkościP,Q,R.Dowieść,żeobwódtrójkątaPQRjestniewiększyod obwodu trójkąta ABC. Zadanie 163.(2p) W sześciokącie wypukłym wszystkie trzy głowne przekątne mają długość większą od 2. Udowodnić, że pewien bok tego sześciokąta ma długość większą niż 1. Zadanie 164.(2p) Dany jest czworościan ABCD. Dowieść, że krawędzie AB i CD są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w przestrzeni taki równoległobok CDP Q, że PA=PB=PD oraz QA=QB=QC. Zadanie 165. Niech P będzie wielokątem środkowosymetrycznym i wypukłym. Udowodnij, że istnieje równoległobokrtaki,żepjestzawartywroraz: (wersjaza3p)[r]/[p] 2 (wersjaza5p)[r]/[p] 4/3. Zadanie166.PunktOjestśrodkiemkwadratuABCD.PunktEleżynaodcinkuCD.PunktyPiQ sąrzutamiprostokątnymiodpowiedniopunktówbidnaprostąae.dowieść,żetrójkątopqjest prostokątny równoramienny. Zadanie 167. Dany jest kwadrat ABCD. Punkt P leży półprostej AB na zewnątrz odcinka AB(bliżej B).PunktQleżynapółprostejBCnazewnątrzodcinkaBC(bliżejC).Wykazać,żejeśliAP=PQ+QC, to PDQ=45. Zadanie168.DanyjesttrójkątostrokątnyABC,wktórym ABC=45.WysokościtrójkątaABC poprowadzonezwierzchołkówaicprzecinająsięwpunkcieh.wykazać,żebh=ac. Zadanie 169. Kwadraty BCDA oraz BKM N mają wspólny wierzchołek B. Udowodnij, że środkowa BE trójkąta ABK oraz wysokość BF trójkata CBN leżą na jednej prostej. Zadanie170.NabokachABorazBCtrójkątarównobocznegoABCobieramypunktyMiNtakie,że MN AC.NiechEbędzieśrodkiemodcinkaANorazD środkiemciężkościtrójkątabmn.znajdźkąty trójkąta CDE. Zadanie 171. Na bokach czwaorokąta wypukłego skonstruowano kwadraty skierowane na zewnątrz. Udowodnij, że proste łączące środki przeciwległych kwadratów mają równe długości i są prostopadłe. Zadanie172. NabokachtrójkątaABCzbudowano:nazewnątrz trójkątyrównobocznea BCoraz B ACorazdowewnątrz:trójkątrównobocznyC AB.NiechM będzieśrodkiemmasytrójkątac AB. Udowodnij,żeA B Mjesttrójkątemrównoramiennymoraz,że A MB =120. 5 Zadania dra W. Pompe(różne działy) http://www.mimuw.edu.pl/ jjelisiejew/matma/images/pompe.pdf