Wstęp do astrofizyki I Wykład 2 Tomasz Kwiatkowski 12 październik 2009 r. Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 2 1/21
Plan wykładu Promieniowanie ciała doskonale czarnego Związek temperatury z barwą Prawo przesunięć Wiena Prawo Stefana-Boltzmanna Słońce jako ciało doskonale czarne Równanie Plancka Kąt bryłowy Monochromatyczna moc promieniowania Monochromatyczny strumień promieniowania Jasności widome gwiazd Jasność bolometryczna Wskaźnik barwy Wykres kolor-kolor Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 2 2/21
Parę słów o pomieszaniu pojęć Ze względów historycznych w różnych naukach badających światło (fizyka, astronomia, meteorologia) pod tą samą nazwa rozumie się co innego Dla nas najważniejsze jest różne rozumienie pojęcia strumień promieniowania Dla fizyka to moc promieniowania, przechodzącego przez daną powierzchnię, wyrażana w [W] Dla astronoma to moc promieniowania przechodzącego przez powierzchnię, podzielona przez pole tej powierzchni [W/m 2 ] Dla zatwardziałego astrofizyka-teoretyka to moc promieniowania przechodzącego przez powierzchnię, podzielona przez pole tej powierzchni i dodatkowo podzielona przez π [W/m 2 ] Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 2 3/21
Związek temperatury z barwą Betelgeza (T e = 3400 K), Rigel (T e = 10100 K) Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 2 4/21
Ciało doskonale czarne Ciało doskonale czarne (CDC) pochłania całą energię świetlną, która na nie pada i wypromieniowuje ją w widmie ciągłym Planety i gwiazdy w pierwszym przybliżeniu są CDC Rozkład energii w widmie CDC Rozkład ciągły (bez przerw) Występuje maksimum na λ max Im wyższa temperatura T, tym mniejsza λ max Im wyższa T, tym więcej energii emitowane na wszystkich λ (pole pod krzywą) Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 2 5/21
Prawo przesunięć Wiena Prawo przesunięć Wiena (obowiązuje dla CDC): λ max T = 0.0029 m K Betelgeza: temp. powierzchni T = 3400 K, maksimum energii emituje na fali λ max = 0.0029 m K 3400 K = 8.53 10 7 m = 8530 Å Rigel: temp. powierzchni T = 10100 K, maksimum energii emituje na fali λ max = 0.0029 m K 10100 K = 2.87 10 7 m = 2870 Å Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 2 6/21
Prawo Stefana-Boltzmanna (Stefan to nazwisko!) Josef Stefan i Ludwig Boltzmann stwierdzili, że CDC o powierzchni A i temperaturze T wypromieniowuje moc L równą: L = AσT 4, gdzie: σ = 5.67 10 8 W m 2 K 4 Dla sferycznej gwiazdy o promieniu R, A = 4πR 2 i prawo Stefana-Boltzmanna przyjmuje postać: L = 4πR 2 σt 4. (1) Temperatura występująca w równaniu (1) nazywa się temperatura efektywna T e powierzchni gwiazdy Strumień promieniowania na powierzchni gwiazdy F = L/4πR 2, stąd: F = σt 4 e (2) Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 2 7/21
Słońce jako ciało doskonale czarne Moc promieniowania Słońca L = 3.826 10 26 W Promień Słońca R = 6.960 10 8 m Temperatura efektywna fotosfery: ( ) 1/4 L T e = 4πR 2 = 5770 K σ Z prawa Wiena, maks. energii Słońce wypromieniowuje na fali: λ max = 0.0029 m K 5770 K = 5.03 10 7 m = 5030 Å Zaokrąglając: 5770 5800, 5030 5000 mamy: λ max T = (5000 Å)(5800 K) Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 2 8/21
Porównanie widma Słońca i ciała doskonale czarnego Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 2 9/21
Promieniowanie termiczne Zero bezwzględne to temp. T = 0 K = 273 C Wszystkie ciała o temp. powyżej zera bezwzględnego świecą Człowiek o temp. 36 C świeci w dalekiej podczerwieni (λ max 10 µm); w zakresie widzialnym jest widoczny, gdyż odbija światło; podobnie planety Chłodny gaz w kosmosie świeci w zakresie mikrofalowym i radiowym Bardzo gorący gaz świeci w zakresie UV, X i γ Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 2 10/21
Równanie Plancka Max Planck podał empiryczny wzór, opisujący widmo CDC: B λ (T) = a/λ5 e b/λt 1, (3) gdzie B λ to moc wypromieniowywana w temp. T z jednostki powierzchni na fali λ, a a, b to stałe By wyznaczyć stałe, Planck założył, że światło składa się ze skończonej ilości fotonów o energii hν lub hc/λ, gdzie c jest prędkością światła w próżni Przy tym założeniu równanie (3) przybiera postać: B λ (T) = 2hc2 /λ 5 e hc/λkt 1, (4) gdzie k = 1.380 10 23 J K 1 to stałą Boltzmanna, a h = 6.625 10 34 J s to stała Plancka Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 2 11/21
Kąt bryłowy Kąt bryłowy: Ω = A/r 2, jednostką jest steradian [sr] dω = da/r 2 Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 2 12/21
W układzie współrzędnych sferycznych φ, θ mamy: dω = sin θdθdφ Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 2 13/21
Ilość energii na jednostkę czasu dl, wypromieniowywana przez CDC prostopadle z powierzchni da na falach od λ do dλ w kąt bryłowy dω wynosi: B λ dλdadω (5) Jeśli kierunek świecenia jest nachylony o θ do normalnej do powierzchni da, wówczas: B λ dλda cos θdω, (6) jednak więc dω = sin θdθdφ, (7) B λ dλda cos θ sin θdθdφ, (8) Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 2 14/21
Monochromatyczna moc promieniowania L λ Monochromatyczna moc promieniowania to ilość energii, wypromieniowywana w ciągu sekundy na fali od λ do λ + dλ Sferyczna gwiazda o promieniu R i temp. powierzchni T wysyła w jednostce czasu na fali λ energię: L λ dλ = 2π π/2 φ=0 θ=0 A B λ dλda cos θ sin θdθdφ. (9) Całka po sferze daje w wyniku π, całka po powierzchni daje powierzchnie kuli A = 4πR 2, zatem: L λ dλ = 4π 2 R 2 B λ dλ (10) Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 2 15/21
Monochromatyczny strumień promieniowania F λ Monochromatyczny strumień promieniowania gwiazdy F λ, mierzony w odległości r od gwiazdy, wynosi: F λ = L ( ) λ R 2 4π r 2 = π B λ, r a po podstawieniu wzoru Plancka za B λ : F λ = 2π h c2 /λ 5 e hc/λkt 1 ( R r ) 2 (11) F λ dλ to ilość energii na falach od λ do λ + dλ, która pada w ciągu sekundy na metr kwadratowy powierzchni, znajdującej się w odległości r od gwiazdy Na drodze od gwiazdy do obserwatora część światła ulega pochłonięciu lub rozproszeniu w materii międzygwiazdowej (ekstynkcja międzygwiazdowa) oraz w atmosferze ziemskiej (ekstynkcja atmosferyczna). Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 2 16/21
Jasność bolometryczna Jasność bolometryczna to jasność w magnitudo, mierzona w całym zakresie długości fali (od λ = 0 do λ = ) Można stosować bolometryczną jasność widomą, m bol i bolometryczną jasność absolutną M bol W praktyce pomiarów dokonuje się w filtrach, np U, B, V Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 2 17/21
Wskaźnik barwy Jeśli U, B, V to jasności widome gwiazd w filtrach U,B,V, to jej wskaźniki barwy są równe: U B i B V Różnica między jasnością bolometryczna gwiazdy m bol i jej jasnością widomą w filtrze V to poprawka bolometryczna BC: BC = m bol V (12) Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 2 18/21
Związek między jasnością widomą i strumieniem: ( ) V = 2.5 log F λ S V dλ + C V, (13) 0 gdzie S V to współczynnik czułości systemu fotometrycznego, a C V to pewna stała System fotometryczny określa łącznie czułość teleskopu, filtra i detektora Podobne równania można napisać dla jasności widomych B i U Stałe C U, C B, C V dobiera się tak, by gwiazda Vega miała jasność widomą w filtrach U, B, V równą zeru Dzięki temu mierzone jasności widome odpowiadają w przybliżeniu jasnościom historycznym z katalogu Hipparcha Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 2 19/21
Wskaźnik barwy Wskaźnik barwy B V można wyliczyć z wzoru: ( ) Fλ S B dλ B V = 2.5 log + C B V (14) Fλ S V dλ gdzie: C B V = C B C V W podobny sposób można otrzymać U B Wskaźnik barwy nie zależy od promienia gwiazdy, ani od jej odległości od obserwatora, a tylko od temperatury gwiazdy Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 2 20/21
Wykres kolor-kolor Wykres kolor-kolor pokazuje związek między wskaźnikami barwy U B i B V dla gwiazd Gdyby gwiazdy zachowywały się dokładnie jak CDC, wykres byłby linią prostą Dla gwiazd ciągu głównego (ok. 90% wszystkich gwiazd), wykres jest nierówną krzywą Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 2 21/21