Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość przypuszczenia oceniana jest na podstawie wyników próby losowej. hipotezy parametryczne: dotyczą konkretnej wartości parametru rozkładu (np. wariancji, średniej) hipotezy nieparametryczne: dotyczą postaci funkcyjnej rozkładu (zgodność rozkładów empirycznych z teoretycznymi)

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipotezy parametryczne wariancji średnich 2 serii wyników sparowanych Określenie odchylenia stand. metody średniej z wartością odniesienia

wariancji Test F Fishera równości wariancji Cechy X i Y mają rozkłady normalne odpowiednio N(m 1,s 1 ), N(m 2,s 2 ). Z populacji, w której badana jest cecha X pobrano próbę n 1 elementową natomiast z drugiej populacji pobrano próbę n 2 elementową. Tak dobieramy oznaczenia populacji aby σ 2 n1 > σ2 n2

wariancji Test F Fishera równości wariancji 1. Hipoteza zerowa H 0 σ 1 2 = σ 2 2 2. Hipoteza alternatywna H 1 σ 1 2 > σ 2 2

wariancji Test F Fishera równości wariancji 3. Obliczamy funkcję testową F Fischera F = σ 1 2 σ 1 2 4. Odczytujemy z tablicy rozkładu F Fishera-Snedecora dla danego a wartość F kr F kr =F(a, f 1 =n 1-1, f 2 =n 2-1) 2

wariancji Test F Fishera równości wariancji 5. Porównujemy F z F kr Jeśli F>F kr to odrzucamy H 0 WARIANCJE SĄ RÓŻNE Jeśli F<Fkr to przyjmujemy H 0 WARIANCJE SĄ RÓWNE

Określenie odchylenia stand. metody Test chi-kwadrat Cecha X ma rozkład normalny N(m,s). Porównujemy odchylenie standardowe cechy X mierzonej pewną metodą z literaturową wartością odchylenia standardowego tej metody s. σ

Określenie odchylenia stand. metody Test chi-kwadrat 1. Hipoteza zerowa H 0 : σ = σ 2. Hipoteza alternatywna Jeśli: H 1 : Jeśli: H 1 : σ > σ to χ 2 kr = χ 2 (α, f = n 1) σ < σ to χ 2 kr = χ 2 (1 α, f = n

Określenie odchylenia stand. metody Test chi-kwadrat 3. Obliczamy funkcję testową 2 χ 2 = (n 1)σ2 σ 2 4. Odczytujemy z tablicy wartości krytycznych rozkładu 2 wartość 2 kr dla danego a i f=n-1 Jeśli: H 1 : Jeśli: H 1 : σ > σ to χ 2 kr = χ 2 (α, f = n 1) σ < σ to χ 2 kr = χ 2 (1 α, f = n 1)

Określenie odchylenia stand. metody Test chi-kwadrat 5. Porównujemy 2 z 2 kr Jeśli: Jeśli: HH 1 : σ > σ to χ 2 kr = χ 2 (α, f = n 1) To: 2 > 2 kr odrzucamy Jeśli: H 0 H 1 : σ > σ to χ 2 kr = χ 2 (α, f = n 2 < 2 kr przyjmujemy H 0 odch.stand. są równe Jeśli: H 1 : Jeśli: H 1 : σ < σ to χ 2 kr = χ 2 (1 α, f = n 1) To: 2 < 2 kr odrzucamy Jeśli: H 0 H 1 : 2 > 2 kr przyjmujemy H 0 odch.stand. są równe σ < σ to χ 2 kr = χ 2 (1 α, f

średnich Badane są dwie cechy X i Y różnych populacji. Zakładamy, że cechy te są zmiennymi losowymi niezależnymi. Z populacji, w której badana jest cecha X pobrano próbę n1 elementową, natomiast z drugiej populacji pobrano próbę n2 elementową.

średnich 1. Hipoteza zerowa H 0 : m 1 = m 2 2. Hipoteza alternatywna H 1 : m 1 m 2 m 1 > m 2 m 1 < m 2

średnich 3. Funkcje testowe Rozkłady normalne, znane s 1 i s 2 LUB Rozkłady dowolne, n 1, n 2 >80 Zmienna stand. rozkładu normalnego U u = x 1 x 2 σ 1 2 2 n 1 + σ 2 n 2

średnich 3. Funkcje testowe Rozkłady normalne, nieznane s 1 i s 2, znane i równe s 1 i s 2 t-studenta σ 1 σ 2 t = x 1 x 2 n 1 σ 1+ 2 n 2 σ 2 2 n 1 + n 2 2 n 1 + n 2 n 1 n 2

średnich 3. Funkcje testowe Rozkłady normalne, nieznane s 1 i s 2, znane i różne s 1 i s 2 Cochrana-Coxa σ 1 σ 2 C = σ 1 2 x 1 x 2 2 n 1 1 + σ 2 n 2 1 Wartość krytyczną odczytujemy z tablic t-studenta

średniej z wartością odniesienia Pytanie badawcze: Czy średnia obliczona przez nas z pomiarów (estymator wartości oczekiwanej m) różni się istotnie od pewnej wartości stałej wartości odniesienia m 0 (np. wartości dopuszczalnej)?

średniej z wartością odniesienia 1. Hipoteza zerowa H 0 : m = m 0 2. Hipoteza alternatywna H 1 : m m 0 m > m 0 m < m 0

średniej z wartością odniesienia 3. Funkcje testowe Rozkład normalny N(m,s), znane s LUB Rozkład dowolny, n>60 Zmienna stand. rozkładu normalnego U u = x μ 0 σ/ n

średniej z wartością odniesienia 3. Funkcje testowe Rozkład normalny N(m,s), nieznane s t-studenta t = x μ 0 σ/ n 1

serii wyników sparowanych Pytanie badawcze: Mamy dwie serie wyników sparowanych: np. wyniki analizy próbek surowych i po poddaniu działaniu jakiegoś czynnika. x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 Czy obie serie są równoważne? Czy też różnice układają się losowo?

serii wyników sparowanych Pytanie badawcze: Mamy dwie serie wyników sparowanych: np. wyniki analizy próbek surowych i po poddaniu działaniu jakiegoś czynnika. Czy obie serie są równoważne? Czy też różnice układają się losowo? Liczy się różnice! d = n d i

serii wyników sparowanych 1. Hipoteza zerowa H 0 : d d = = 0 d i n 2. Hipoteza alternatywna H 1 : m d = 0 d i n

serii wyników sparowanych 3. Funkcja testowa t-studenta t = d σ d n Odchylenie standardowe różnic (z próby)

serii wyników sparowanych 3. Funkcja testowa t-studenta t = d σ d n Jeśli: t > t kr odrzucamy H 0 t< t kr przyjmujemy H 0