Statystyka i opracowanie danych - W 4: Wnioskowanie statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Statystyka i opracowanie danych - W 4: Wnioskowanie statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407"

Transkrypt

1 Statystyka i opracowanie danych - W 4: Wnioskowanie statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

2 Hipotezy i Testy statystyczne Każde badanie naukowe rozpoczyna się od sformułowania problemu oraz najbardziej prawdopodobnego rozwiązania czyli hipotezy badawczej, bądź wielu hipotez. Każda hipoteza statystyczna jest podzbiorem ( jedno lub wieloelementowym ) zbioru hipotez dopuszczalnych. Każda hipoteza jest zdaniem oznajmującym, powinna być tak sformułowana, by można ją ocenić i przyjąć lub odrzucić. Test statystyczny jest regułą postępowania, która każdej możliwej próbie przyporządkowuje decyzję przyjęcia lub odrzucenia konkretnej hipotezy rozstrzygającą jakie wyniki próby pozwalają uznać sprawdzaną hipotezę za prawdziwą a jakie za fałszywą.

3 Hipotezy statystyczne Hipoteza zerowa i hipotezy alternatywne Hipoteza zerowa jest jedną wyróżnioną hipotezą, która podlega weryfikacji, pozostałe hipotezy ze zbioru hipotez dopuszczalnych stanowią zbiór hipotez alternatywnych. Hipotezie zerowej przypisujemy inną wagę niż hipotezie alternatywnej. Za hipotezę zerową przyjmuje się tę, której prawdziwość poddajemy w wątpliwość. Do weryfikacji hipotezy zerowej stosuje się testy statystyczne bazujące na funkcjach testowych, określających zmienne losowe, których rozkłady są znane. Zabieg posługiwania się zmienną losową o znanym rozkładzie odniesienia jest wspólny dla wszystkich zadań budowy przedziałów ufności i dla problemu testowania hipotez.

4 Proces weryfikacji hipotez statystycznych jest wieloetapowy 1. Sformułowanie hipotez H 0 i H 1 2. Przyjęcie odpowiedniego poziomu istotności α oraz liczebności próby 3. Określenie obszaru krytycznego i obszaru przyjęcia sprawdzanej hipotezy H 0 4. Wybór testu weryfikującego H 0 i wyliczenie wartości funkcji testowej 5. Podjęcie decyzji weryfikacyjnej

5 Rodzaje hipotez statystycznych Hipotezy statystyczne mogą dotyczyć: wartości analizowanych zmiennych: np. wartości średniej, wartości ekstremalnych ( mim, max); rozproszenia wartości, jednorodności (wariancji); różnicy pomiędzy wartościami określonej cechy w różnych grupach badawczych (różnych populacjach); siły i kierunku zależności pomiędzy badanymi zmiennymi (korelacja); rodzaju badanych zależności np zależność logarytmiczna, wykładnicza, liniowa (regresja) oceny charakteru rozkładu zmiennej losowej - dopasowanie rozkładu teoretycznego do rozkładu empirycznego

6 1. Formułowanie hipotez H 0 i H 1 H 0 :µ 1 = µ 2 ; H 1 : µ 1 µ 2 lub H 0 :µ 1 = µ 2 ; H 1 : µ 1 >µ 2 albo H 0 :σ 2 1 =σ 2 2; H 1 : σ 2 1 σ 2 2

7 Hipotezy dotyczące siły i kierunku zależności pomiędzy badanymi zmiennymi (korelacja);

8 Hipotezy dotyczące rodzaju zależności pomiędzy badanymi zmiennymi

9 Hipoteza dotycząca zgodności rozkładu w populacji z rozkładem normalnym

10 Formułowanie hipotez w parametrycznych testach istotności Testy dla wartości średniej w rodzinie rozkładów normalnych przypadek znanej wariancji Hipoteza sprawdzana (zerowa) dotyczy określonego parametru, np wartości oczekiwanej m: H 0 : m=m 0 przy jednej z hipotez alternatywnych: H 1 : m m 0 lub H 1 :m>m 0 lub H 1 : m<m 0 HipotezaH 0 : o równości średnich z n - elementowej próby i w populacjibędzie zweryfikowana na podstawie wyników próby losowej.

11 Formułowanie hipotez w parametrycznych testach istotności Pracujemy nad nową technologią produkcji określonego stopu, zapewniającą niższy średni poziom zanieczyszczeń niż w dotychczas stosowanej, w której średni poziom zanieczyszczeń wynosił µ 0 H 0 :µ = µ 0 ; H 1 : µ < µ 0 Hipotezę H 0 przyjmujemy albo odrzucamy na rzecz H 1. Nieodrzucenie (przyjęcie) hipotezy zerowej nie dowodzi jej prawdziwości, wynika jedynie z braku podstaw do jej odrzucenia Hipoteza H 1 jest w pewnym sensie ważniejsza, ponieważ test wykonujemy po to, by znaleźć podstawę do odrzucenia hipotezy zerowej i przyjęcia hipotezy alternatywnej. Hipoteza zerowa jest hipotezą prostą, bowiem jednoznacznie wyznacza rozkład prawdopodobieństwa, z którego jest losowana próba losowa. Hipotezą złożoną jest ta, która opisuje więcej niż jeden rozkład, w naszym przypadku jest to hipoteza alternatywna

12 Intuicyjna interpretacja hipotezy zerowej i alternatywnej Nasze postępowanie przypomina zachowanie prokuratora, w sytuacji gdy Sąd musi opierać się na domniemaniu niewinności podsądnego (hipoteza zerowa) Prokuratura skupia się na uzasadnieniu fałszywości tego domniemania i odrzucenia go na korzyść orzeczenia winy podsądnego ( hipotezy alternatywnej)

13 2. Przyjęcie odpowiedniego poziomu istotności α oraz liczebności próby Przy podejmowaniu decyzji weryfikującej hipotezy możemy popełnić dwa rodzaje błędów Decyzja odrzucić nie odrzucić Hipoteza H 0 prawdziwa fałszywa błąd I rodzaju decyzja trafna α 1-β decyzja trafna błąd II rodzaju 1-α β

14 Przykład H 0 - oskarżony jest niewinny H 1 - oskarżony jest winien Błąd I rodzaju : sąd skazał niewinnego: H 0 prawdziwa, ale ją odrzucono Błąd II rodzaju: sąd uwolnił winnego: H 1 prawdziwa, a przyjęto H 0, Tu błąd I rodzaju jest znacznie bardziej dotkliwy, dlatego należy zminimalizować prawdopodobieństwo jego popełnienia (czyli dostarczyć niezbitych dowodów)

15 Związek pomiędzy błędami I i II rodzaju: H 0 : µ=m 0 H 1 : µ >m 0 Przy przyjętym poziomie istotności α, obszar krytyczny obejmuje wartości średnie A, gdy P (x A)= α Dla określenia obszaru β przyjmiemy następujący zestaw hipotez H 0 : µ=m 0 H 1 : µ = m 1 >m 0 H 0 : µ=m 0 H 1 : µ=m 1 β α zmniejszanie wartości α pociąga wzrost wartości β

16 Błąd II rodzaju i moc testu Z przedstawionego rysunku widać, że nie jest możliwe jednoczesne minimalizowanie prawdopodobieństwa popełnienia obu błędów. Z wartością β związana jest moc testu, która jest określana jako prawdopodobieństwo odrzucenia hipotezy zerowej, gdy jest ona fałszywa, czyli wynosi 1- β. Moc testu zależy od poziomu istotności α, a także od postaci hipotezy alternatywnej i liczebności próby W statystyce praktycznie postępuje się podobnie jak w sądzie przyjmując zasadę domniemania prawdziwości hipotezy zerowej, co oznacza, że chcemy aby błąd I rodzaju nie często miał miejsce. Określając poziom istotności określamy granicę błędu I rodzaju, pamiętając że przyjmując niższą wartość α uzyskujemy wyższą wiarygodność hipotezy alternatywnej (jej przyjęcie jest jakby mocniej uzasadnione), ale wtedy trudniej odrzucić hipotezę zerową.

17 3. Określenie obszaru krytycznego i obszaru przyjęcia sprawdzanej hipotezy H 0 Obszar krytyczny wyznacza jedno z następujących równań P( U u ) 1-α/2 = α dwustronny obszar krytyczny P(U u 1-α ) = α prawostronny obszar krytyczny P(U -u α ) = α lewostronny obszar krytyczny Jeśli prawdziwa jest hipoteza zerowa, to wartość statystyki U nie powinna przekraczać pewnej wartości krytycznej u α α oznacza obszar zbiór nietypowych wartości statystyki testowej pod warunkiem prawdziwości hipotezy zerowej

18 H 0 : m=m 0 H 1 : m<m 0 P(U u α ) = α lewostronny obszar krytyczny α u α 0

19 H 0 : m=m 0 H 1 : m>m 0 P(U u α ) = α prawostronny obszar krytyczny 1- α 0 u 1-α α

20 H 0 : m=m 0 H 1 : m m 0 P ( U u 1-α/2 ) = α dwustronny obszar krytyczny 1- α α/2 α/2 0 u 1- α/2

21 4. Wybór testu weryfikującego H 0 i wyliczenie statystyki testowej Rozważamy rozkład średnich z n - elementowej próby, jest to n rozkład N(m 0, σ/ ), o ile hipoteza H 0 jest prawdziwa Stąd statystyka U, określona wzorem U = x m σ o n ma rozkład N (0,1), Jeśli prawdziwa jest hipoteza zerowa, to obliczona z próby wartość statystyki U nie powinna przekraczać wartości krytycznej u α (kwantyla u α )

22 Funkcje testowe dla dużej próby i dla małej, gdy nieznana jest wartość wariancji w populacji Duża próba, wylosowana z populacji o rozkładzie N (m, σ) U = x m s o n Mała próba, wylosowana z populacji o rozkładzie N (m, σ) wtedy U, określone funkcją testową, jest zmienną losową o rozkładzie N(0;1) t x mo = n s 1 wtedy zmienna losowa t, określona wzorem ma rozkład Studenta o n-1 stopniach swobody, który jest niezależny od wartości wariancji w populacji

23 Inne funkcje testowe, określające zmienne o rozkładzie Studenta Jeśli z populacji mających taki sam rozkład normalny wylosujemy dwie próby o liczebnościach odpowiednio n 1 i n 2, średnich arytmetycznych x 1 i x 2 oraz wariancjach s 12 i s 22, obliczonych z próby, to zmienna t t x x = ( n n 2 2 n1s1 + n 2 s n n 2 n n 2 ) ma rozkład Studenta o n 1 +n 2-2 stopniach swobody Podobnie rozkład Studenta mają funkcje stosowane do testowania hipotezy o niezależności zmiennych (że współczynnik korelacji ρ =0), i funkcje do testowania istotności współczynników regresji: (H 0 : b i =0).

24 Przykład realizowany z pomocą pakietu STATISTICA Dane z badań przeprowadzonych w 1996 roku dotyczące zarobków Polaków. Ankiety wysłano do 5000 pracowników wylosowanych przez GUS. Ankiety zwróciło 1255 osób. Arkusz zawiera następujące informacje o badanych osobach Płeć Wykształcenie Wiek Staż pracy Płaca brutto Stawiam pod wątpliwość twierdzenie, że płeć nie ma wpływu na wysokość zarobków w Polsce, jeśli by tak było to nie powinno być różnic pomiędzy średnimi wartościami zarobków kobiet i mężczyzn. Hipotezą zerową jest zdanie: Zarobki mężczyzn i kobiet nie różnią się H 0 : m 1 =m 2 przy hipotezie alternatywnej H 1 : m 1 m 2,

25 Obliczenia w programie Statistica

26 Podstawa do podjęcia decyzji weryfikacyjnej Jeżeli obliczona wartość funkcji testowej znajdzie się w obszarze krytycznym hipotezę H 0 należy odrzucić co jest równoważne z przyjęciem hipotezy H 1 W programach komputerowych decyzję podejmuje się na podstawie obliczonej wartości prawdopodobieństwa p jeśli p< α H 0 odrzucamy, przyjmujemy H 1 jeśli p α nie ma podstaw do odrzucenia H 0 A α

27 Weryfikacja hipotezy o wariancji w rozkładzie normalnym H 0 : (σ 2 σ 2 0 ) przy H 1 : (σ 2 > σ 2 0 ) Przyjmujemy poziom istotności α ns σ 2 n 2 i wiemy, że statystyka ma rozkład chi-kwadrat o 0 n-1 stopniach swobody. Skoro, gdy H 0 jest prawdziwa, zachodzi równość, P ( ns σ Zatem hipotezę H 0 odrzucamy, na rzecz H 1, ilekroć stwierdzimy (na podstawie obliczeń), że zaszła nierówność ns σ 2 n n > χ ) α = > χ α 2 α

28 Weryfikacja hipotezy o wariancji w rozkładzie normalnym Błąd pomiaru odległości za pomocą radaru ma rozkład normalny. Przeprowadzono 10 pomiarów tej samej znanej odległości i otrzymano następujące wartości błędów k s k [km] 0,115-0,250 0,180-0,060-0,120 0,010-0,050 0,075-0,150-0,250 suma błędów -0,500 średni błąd -0,050 wariancja błędów 0,0216 Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że wariancja błędu nie przekracza 0,0125. Odczytane z tablic chi kwadrat dla n-1=9 stopni swobody =16,919 Obliczam wartość funkcji testowej ns σ 2 n 2 0 = 10 * 0,0216 0,0125 = 17,276 > 16,919 H 0 należy odrzucić

29 Tablice rozkładu χ 2 poziom istotności 0,99 0,95 0,9 0,1 0,05 0,01 l.ss 1 0,000 0,004 0,016 2,706 3,841 6, ,020 0,103 0,211 4,605 5,991 9, ,115 0,352 0,584 6,251 7,815 11, ,297 0,711 1,064 7,779 9,488 13, ,554 1,145 1,610 9,236 11,070 15, ,872 1,635 2,204 10,645 12,592 16, ,239 2,167 2,833 12,017 14,067 18, ,646 2,733 3,490 13,362 15,507 20, ,088 3,325 4,168 14,684 16,919 21, ,558 3,940 4,865 15,987 18,307 23, ,053 4,575 5,578 17,275 19,675 24, ,571 5,226 6,304 18,549 21,026 26, ,107 5,892 7,042 19,812 22,362 27, ,660 6,571 7,790 21,064 23,685 29, ,229 7,261 8,547 22,307 24,996 30,578

30 Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu - Testy zgodności. Podstawowe działania: Konstrukcja rozkładu empirycznego (a najlepiej kilku rozkładów o różnej liczbie klas); Ocena podobieństwa rozkładu empirycznego do określonego rozkładu teoretycznego postawienie hipotezy zerowej. Przyjęcie odpowiedniej statystyki, która może służyć za test do weryfikacji hipotezy zerowej; Weryfikacja hipotezy o zgodności rozkładu empirycznego z hipotetycznym rozkładem teoretycznym: wykonanie obliczeń podjęcie decyzji o przyjęciu lub odrzuceniu hipotezy zerowej.

31

32 Test χ 2 Pearsona Niech cecha X ma rozkład o dystrybuancie F Oś rzeczywistą dzielimy na r+1 rozłącznych przedziałów (- <a 1 <...a r+1 < ) Oznaczmy przez p j prawdopodobieństwo, że zmienna przyjmie wartość z przedziału I j, tzn. p j =F(a j )- F(a j-1 ), j=1,2,...,r+1 Niech p j >0 dla każdego j. Liczba n*p j jest oczekiwaną liczbą obserwacji n-elementowej próbki; Niech n j oznacza liczbę obserwacji, które rzeczywiście znalazły się w przedziale I j

33 Test χ 2 Pearsona Suma kwadratów różnic (n j -n*p j, ) tzn. r + 1 j = 1 ( ) 2 n np może być miarą zgodności rozkładu zaobserwowanego w próbce z rozkładem hipotetycznym K. Pearson udowodnił, że statystyka j j χ 2 r + 1 = j = 1 ( n np ) j np j j 2 (*) ma, gdy n, rozkład chi-kwadrat o r stopniach swobody

34 Test χ 2 Pearsona Statystyka określona wzorem (*), znana jest pod nazwą test χ 2 Pearsona. Statystyka ta nie zależy od postaci dystrybuanty cechy X, a tylko od prawdopodobieństw p j = P(X I j ), przy czym podział na przedziały I j jest zupełnie dowolny. Taki sam układ prawdopodobieństw p1,p2,...,p r+1 może odpowiadać wielu różnym rozkładom zarówno typu ciągłego jak i skokowego, stąd test χ 2 powinien być używany do weryfikowania hipotezy dotyczącej układu prawdopodobieństw a nie postaci rozkładu cechy X w populacji.

35 Test χ 2 Pearsona W teście χ 2, hipoteza zerowa dotyczy klasy wszystkich rozkładów dla których P(X I j ) = p j, hipoteza alternatywna obejmuje klasę wszystkich tych rozkładów, dla których co najmniej dla jednego j zachodzi P(X I j ) p j. Dla danej próbki statystyka χ 2 obliczona ze wzoru (*), będzie mieć taką samą wartość dla wielu różnych rozkładów

36 Weryfikacja hipotezy o zgodności rozkładu empirycznego z teoretycznym Przyjęcie hipotezy zerowej oznacza, że każdy rozkład należący do danej klasy może mieć zastosowanie do opisu zjawiska. Kierując się wiedzą o zjawisku, najczęściej wybiera się jeden z rozkładów należących do hipotezy zerowej, stąd często upraszcza się problem stosowania testu χ 2 formułując hipotezę zerową jako przypuszczenie, że cecha X ma w populacji rozkład określonej postaci (czyli opisany konkretną dystrybuantą) Mając sprecyzowaną hipotezę zerową i wybrany test do weryfikacji dalej postępowanie przebiega jak w testach parametrycznych.

37 Algorytm realizacji testu χ 2 Pearsona Przyjąć poziom istotności α, Odczytać z tablic rozkładu χ 2 wartość krytyczną χ 2 α dla zadanej wartości α i r=k-p-1 stopni swobody, gdzie k jest liczbą parametrów rozkładu teoretycznego k- jest liczbą klas rozkładu empirycznego Obliczyć wartość statystyki testowej χ 2, (wg wzoru *) Porównać wartości χ 2 obliczone z wartością krytyczną χ2 α Ponieważ 2 2 P( χ > χα ) = α hipotezę H 0 odrzucamy ilekroć stwierdzimy, że H 0 przyjmujemy gdy 2 2 χ obliczone > χ α 2 2 χobliczone χ α

38 Komentarz do testu χ 2 Przedstawiona metoda weryfikacji hipotezy o postaci rozkładu jest oparta na granicznym rozkładzie statystyki (*), a zatem test χ 2, ma zastosowanie do próbek o dużej liczności n; Przyjmuje się, że test ten można stosować gdy np j 10 dla j=2,3,...,r oraz np 1 i np r+1 5; W przypadku podziału na osi 0x na przedziały, gdzie p j =1/(r+1) jest dopuszczalne stosowanie testu χ 2 już dla niewielkich liczności (n=15..20), przy r stopniach swobody oraz poziomie istotności α=0,05

39 Zastosowania testu χ 2 przykład1 Przeprowadzono obserwacje dotyczące wypadków drogowych na określonym terenie, spowodowanych przez kierowców będących w stanie nietrzeźwym. Wyniki podano w tabeli: Pn Wt Śr Cz Pt So N Na poziomie α = 0,05 zweryfikować hipotezę, że dla każdego dnia tygodnia jest takie samo prawdopodobieństwo wypadku spowodowanego przez kierowcę będącego w stanie nietrzeźwym.

40 Wykonanie testu Dla α = 0,05 oraz r=n-1= 6 stopni swobody znajduję w tablicach χ 2 α = 12,592 obliczam wartość statystyki χ 2 według wzoru(*), przy czym przyjmuję n=112 p 1 =p 2 =...p 7 =1/7 np j =112/7=16 liczności n j biorę z tabelki i obliczam χ 2 obliczone=( )/16 = 1,75 Ponieważ χ 2 obliczone = 1,75 < χ2 α = 12,592, zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, Utwierdziliśmy się w przekonaniu, że prawdopodobieństwo spowodowania wypadku na badanym terenie przez nietrzeźwego kierowcę jest jednakowe dla każdego dnia tygodnia.

41 Przykład badania zgodności z rozkładem normalnym W grupie 192 chorych wykonano pomiar pewnego parametru biochemicznego (PB) i uzyskano następujące wyniki wartość PB 5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 12,5 13,5 14,5 15 liczba chorych postawiono hipotezę H 0, że parametr PB ma rozkład normalny N (µ, σ) z danych empirycznych obliczono estymatory parametrów rozkładu i sformułowano następującą hipotezę H 0 : parametr PB ma rozkład normalny obliczono wartości statystyki χ 2

42 Przykład badania zgodności z rozkładem normalnym - dokończyć Zakres PB ni pi npi χ2 <6 6 0, ,5086 0, ,0509 9,78 0, >14 6 Razem 192 1,74252

43 Przykład badania zgodności z rozkładem normalnym wskazówki do obliczeń Mamy: n=192 ; Obliczamy x śr = 10,044; s 2 = 4,91557; s=2, P(6 X<7)=F(7)-F(6) = 0, F(7)= Φ ((7-10,044)/2,217108))= Φ(-1,372959)= 1-0,91466 =0, F(6) = Φ ((6-10,044)/2,217108))= Φ(-1,823997)=1-0,96562 = 0,03438 p 2 = 0, n*p 2 =9,78 χ 2 obliczone=1,74 < χ 2 kryt=14,067 χ 2 kryt odczytano z tablic rozkładu χ 2 dla α =0.05 i r=7 (u nas r=10-2-1, bo liczba klas równa się 10 i dwa parametry rozkładu: średnia i wariancja, były obliczone)

44 Jak to się liczy w Statistica

45 Jak to się liczy w Statistica

46

47

48

49 Z tabeli liczności

50 Testy normalności w pakiecie Statistica

51 Testy normalności w pakiecie Statistica

52 Zastosowania testu χ 2 przykład 2

53

54 Zastosowania testu χ 2 przykład 2

55

56

57

58

59

60 Etapy wnioskowania statystycznego obliczenia własne 1. postawienie hipotezy zerowej 2. wybór testu i sprawdzenie spełnienia założeń 3. obliczenie wartości funkcji testowej 4. ustalenie (odczytanie z tablic) wartości krytycznych dla danego poziomu istotności z użyciem pakietu STATISTICA 1. postawienie hipotezy zerowej 2. wybór testu i sprawdzenie spełnienia założeń 3. wprowadzenie danych 5. podjęcie decyzji o przyjęciu lub odrzuceniu hipotezy H 0 6. interpretacja otrzymanych wyników 4. podjęcie decyzji o przyjęciu lub odrzuceniu hipotezy H 0 5. interpretacja otrzymanych wyników

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych

Statystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej

Bardziej szczegółowo

Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407

Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 Statystyka i analiza danych - W: Podstawy wnioskowania statystycznego Zmienne losowe, rozkład prawdopodobieństwa. Parametry rozkładu. Estymatory punktowe i przedziałowe. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Hipotezy statystyczne

Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej próbki losowej. Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Hipotezy statystyczne

Hipotezy statystyczne Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH TETOWANIE HIPOTEZ TATYTYCZNYCH HIPOTEZA TATYTYCZNA przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia jest oceniana na

Bardziej szczegółowo

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VI WYKŁAD STATYSTYKA 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 6 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności, zasady

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )

Statystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( ) Statystyka Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez Wykład III (04.01.2016) Rozkład t-studenta Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym; stosuje się go wyznaczenia przedziału

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Było: Estymacja parametrów rozkładu teoretycznego punktowa przedziałowa Przykład. Cecha X masa owocu pewnej odmiany. ZałoŜenie: cecha X ma w populacji rozkład

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1

Weryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1 Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03 Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Agenda Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 2 stycznia 2012 Agenda Agenda 1 Wprowadzenie Agenda 2 Hipoteza oraz błędy I i II rodzaju Hipoteza alternatywna Statystyka testowa Zbiór krytyczny Poziom

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez. Statystyka

Wnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez. Statystyka Wnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez Statystyka Co nazywamy hipotezą Każde stwierdzenie o parametrach rozkładu lub rozkładzie zmiennej losowej w populacji nazywać będziemy hipotezą statystyczną

Bardziej szczegółowo

Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności

Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Statystyka indukcyjna pozwala kontrolować i oszacować ryzyko popełnienia błędu statystycznego

Bardziej szczegółowo

VII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VII WYKŁAD STATYSTYKA 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 7 (c.d) WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności,

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu

Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotności, p-wartość i moc testu Wrocław, 01.03.2017r Przykład 2.1 Właściciel firmy produkującej telefony komórkowe twierdzi, że wśród jego produktów

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Przypuśdmy, że mamy do czynienia z następującą sytuacją: nieznany jest rozkład F rządzący pewnym zjawiskiem losowym. Dysponujemy konkretną próbą losową ( x1, x2,..., xn

Bardziej szczegółowo

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0 Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Zajmiemy

Bardziej szczegółowo

Uwaga. Decyzje brzmią różnie! Testy parametryczne dotyczące nieznanej wartości

Uwaga. Decyzje brzmią różnie! Testy parametryczne dotyczące nieznanej wartości TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu, z którego pochodzi próbka. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Parametrycznymi

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji Test zgodności Chi-kwadrat Sprawdza się za jego pomocą ZGODNOŚĆ ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO Z PRÓBY Z ROZKŁADEM HIPOTETYCZNYM

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 8. Wnioskowanie. Weryfikacja hipotez. Wanda Olech

STATYSTYKA wykład 8. Wnioskowanie. Weryfikacja hipotez. Wanda Olech TATYTYKA wykład 8 Wnioskowanie Weryfikacja hipotez Wanda Olech Co nazywamy hipotezą Każde stwierdzenie o parametrach rozkładu lub rozkładzie zmiennej losowej w populacji nazywać będziemy hipotezą statystyczną

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.

TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Zajmiemy

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. Wysuwamy hipotezy: zerową (podstawową H ( θ = θ i alternatywną H, która ma jedną z

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Temat Testowanie hipotez statystycznych Kody znaków: Ŝółte wyróŝnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Idea i pojęcia teorii testowania hipotez

Bardziej szczegółowo

TESTY NIEPARAMETRYCZNE. 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa.

TESTY NIEPARAMETRYCZNE. 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa. TESTY NIEPARAMETRYCZNE 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa. Standardowe testy równości średnich wymagają aby badane zmienne losowe

Bardziej szczegółowo

Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów

Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh, Katedra Elektroniki, WIET AGH Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4

Bardziej szczegółowo

1 Estymacja przedziałowa

1 Estymacja przedziałowa 1 Estymacja przedziałowa 1. PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ (a) MODEL I Badana cecha ma rozkład normalny N(µ, σ) o nieznanym parametrze µ i znanym σ. Przedział ufności: [ ( µ x u 1 α ) ( σn ; x + u 1 α

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne.

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI 1. Test dla dwóch średnich P.G. 2. Testy dla wskaźnika struktury 3. Testy dla wariancji DECYZJE Obszar krytyczny od pozostałej

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych cd.

Testowanie hipotez statystycznych cd. Temat Testowanie hipotez statystycznych cd. Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Przykłady testowania hipotez dotyczących:

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 dr inż. Anna Skowrońska-Szmer zima 2017/2018 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją

Bardziej szczegółowo

Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności

Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Statystyka indukcyjna pozwala kontrolować i oszacować ryzyko popełnienia błędu statystycznego

Bardziej szczegółowo

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja przypuszczeń odnoszących się do określonego poziomu cechy w zbiorowości (grupach) lub jej rozkładu w populacji generalnej,

Weryfikacja przypuszczeń odnoszących się do określonego poziomu cechy w zbiorowości (grupach) lub jej rozkładu w populacji generalnej, Szacownie nieznanych wartości parametrów (średniej arytmetycznej, odchylenia standardowego, itd.) w populacji generalnej na postawie wartości tych miar otrzymanych w próbie (estymacja punktowa, przedziałowa)

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 9 i 10 Magdalena Alama-Bućko 14 i 21 maja 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 14 i 21 maja 2018 1 / 25 Hipotezy statystyczne Hipoteza statystyczna nazywamy

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25

Testowanie hipotez. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25 Testowanie hipotez Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25 Testowanie hipotez Aby porównać ze sobą dwie statystyki z próby stosuje się testy istotności. Mówią one o tym czy uzyskane

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH Co to są hipotezy statystyczne? Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej. Dzielimy je

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Porównanie modeli statystycznych. Monika Wawrzyniak Katarzyna Kociałkowska

Porównanie modeli statystycznych. Monika Wawrzyniak Katarzyna Kociałkowska Porównanie modeli statystycznych Monika Wawrzyniak Katarzyna Kociałkowska Jaka jest miara podobieństwa? Aby porównywać rozkłady prawdopodobieństwa dwóch modeli statystycznych możemy użyć: metryki dywergencji

Bardziej szczegółowo

Założenia do analizy wariancji. dr Anna Rajfura Kat. Doświadczalnictwa i Bioinformatyki SGGW

Założenia do analizy wariancji. dr Anna Rajfura Kat. Doświadczalnictwa i Bioinformatyki SGGW Założenia do analizy wariancji dr Anna Rajfura Kat. Doświadczalnictwa i Bioinformatyki SGGW anna_rajfura@sggw.pl Zagadnienia 1. Normalność rozkładu cechy Testy: chi-kwadrat zgodności, Shapiro-Wilka, Kołmogorowa-Smirnowa

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1 Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 Anna Skowrońska-Szmer lato 2016/2017 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją jako prawdziwą

Bardziej szczegółowo

... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).

... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić). Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja przypuszczeń odnoszących się do określonego poziomu cechy w zbiorowości (grupach) lub jej rozkładu w populacji generalnej,

Weryfikacja przypuszczeń odnoszących się do określonego poziomu cechy w zbiorowości (grupach) lub jej rozkładu w populacji generalnej, Szacownie nieznanych wartości parametrów (średniej arytmetycznej, odchylenia standardowego, itd.) w populacji generalnej na postawie wartości tych miar otrzymanych w próbie (punktowa, przedziałowa) Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 6 Wrocław, 7 listopada 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących proporcji. Test dla proporcji. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z 0-1. Oznaczmy odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Estymacja punktowa i przedziałowa

Estymacja punktowa i przedziałowa Temat: Estymacja punktowa i przedziałowa Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia 1. Statystyczny opis próby. Idea estymacji punktowej pojęcie estymatora

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład V. Parametryczne testy istotności

Statystyka matematyczna. Wykład V. Parametryczne testy istotności Statystyka matematyczna. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich w dwóch populacjach 2 3 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez cz. I

Testowanie hipotez cz. I Wykład 11 Testowanie hipotez cz. I TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące nieznanej własności rozkładu prawdopodobieństwa badanej cechy populacji. W zadaniach

Bardziej szczegółowo

Zawartość. Zawartość

Zawartość. Zawartość Opr. dr inż. Grzegorz Biesok. Wer. 2.05 2011 Zawartość Zawartość 1. Rozkład normalny... 3 2. Rozkład normalny standardowy... 5 3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych JERZY STEFANOWSKI Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Aktualizacja 2017 Plan wykładu 1. Metody wnioskowania statystycznego vs. metody opisu 2. Testowanie hipotez

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej. średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym

Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej. średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym Wrocław, 08.03.2017r Model 1 Testowanie hipotez dla średniej w rozkładzie normalnym ze znaną

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ

WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład (wstępny). Producent twierdzi, że wadliwość produkcji wynosi 5%. My podejrzewamy, że rzeczywista wadliwość produkcji wynosi 15%. Pobieramy próbę stuelementową

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wrocław, 23 maja 2018 Współczynnik korelacji Niech będą dane dwie próby danych X = (X 1, X 2,..., X n ) oraz Y = (Y 1, Y 2,..., Y n ). Współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład IX, 25.04.2016 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Plan na dzisiaj 1. Hipoteza statystyczna 2. Test statystyczny 3. Błędy I-go i II-go rodzaju 4. Poziom istotności,

Bardziej szczegółowo

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1 Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5

Wnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5 Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 1 / 41 TESTOWANIE HIPOTEZ - PORÓWNANIE

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wrocław, 24 maja 2017 Współczynnik korelacji Niech będą dane dwie próby danych X = (X 1, X 2,..., X n ) oraz Y = (Y 1, Y 2,..., Y n ). Współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Testy jednorodności rozkładów

Wykład 10 Testy jednorodności rozkładów Wykład 10 Testy jednorodności rozkładów Wrocław, 16 maja 2018 Test Znaków test jednorodności rozkładów nieparametryczny odpowiednik testu t-studenta dla prób zależnych brak normalności rozkładów Test Znaków

Bardziej szczegółowo

Zad. 4 Należy określić rodzaj testu (jedno czy dwustronny) oraz wartości krytyczne z lub t dla określonych hipotez i ich poziomów istotności:

Zad. 4 Należy określić rodzaj testu (jedno czy dwustronny) oraz wartości krytyczne z lub t dla określonych hipotez i ich poziomów istotności: Zadania ze statystyki cz. 7. Zad.1 Z populacji wyłoniono próbę wielkości 64 jednostek. Średnia arytmetyczna wartość cechy wyniosła 110, zaś odchylenie standardowe 16. Należy wyznaczyć przedział ufności

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności

Bardziej szczegółowo

Pobieranie prób i rozkład z próby

Pobieranie prób i rozkład z próby Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5. 2 listopada 2009

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5. 2 listopada 2009 STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 2 listopada 2009 Poprzedni wykład: przedział ufności dla µ, σ nieznane Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znane Testowanie H : µ = µ 0, K : µ

Bardziej szczegółowo

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1). PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem

Bardziej szczegółowo

weryfikacja hipotez dotyczących parametrów populacji (średnia, wariancja)

weryfikacja hipotez dotyczących parametrów populacji (średnia, wariancja) PODSTAWY STATYSTYKI. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne (na

Bardziej szczegółowo