Modele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 4

Transkrypt

1 Modele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 4 Konrad Miziński, nr albumu maja 2015 Zadanie 1 Wartości oczekiwane µ 1 i µ 2 oszacowano wg wzorów: { µ1 = µ = X n µ 2 = Różnica między nimi wynosiła: µ 1 µ 2 µ 1 µ 2 = Wariancję σ 2 oszacowano w następujacy sposób: gdzie: s 2 = (n 1)s2 X + (m 1)s2 Y n + m 2 s 2 X = 1 n 1 s 2 Y = 1 m 1 n (X i X) 2 i=1 m (Y i Y ) 2 i=1 a m i n oznaczaja liczność prób X i Y. Wynosiła ona: s 2 = W celu oszacowania odchylenia standardowego wartości µ 1 µ 2 posłużono się właściwościa: X Y N(µ X µ Y, σ 2 (n 1 + m 1 )) Wynosiło ono: s X Y = s 2 (n 1 + m 1 ) = Do sprawdzenie hipotezy równości między średnimi najlepiej nadaje się test dwustronny - wykorzystuje on hipotezę zerowa o równości średnich oraz hipotezę alternatywa mówiac o różnych wartościach średnich rozkładów. 1

2 W celu udowodnienia ww. hipotezy posłużono się testem t-studenta z hipotezami postaci: H 0 : µ x = µ y H 1 : µ x µ y oraz liczba stopni swobody równa n + m 2 = 7. Statystyka T miała postać: T = X Y = s X Y P-wartość wynosiła: 2(1 F tn+m 2 ( T )) = Dla przyjętego poziomu istotności α = 0.1, wartość krytyczna wynosiła: c = F 1 t n+m 2 (1 α 2 ) = co jest większe od modułu ze statystyki T. Oznacza to, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej H 0 : µ x = µ y. Powyższe wyniki potwierdza dostępna wraz z pakietem statystycznym R implementacja > t.test(los1, los2, var.equal=true, alternative = two.sided, conf.level = 0.9); Two Sample t-test data: los1 and los2 t = , df = 7, p-value = percent confidence interval: mean of x mean of y Zadanie 2 Przy założeniu, że obie próby losowe należa do rozkładów normalnych można posłużyć się testem t-studenta z hipotezami postaci: H 0 : µ X = µ Y H 1 : µ X µ Y Z racji, że nie posiadamy danych o wariancjach obu rozkładów statystyka T przyjęła postać: T = X Y s 2

3 gdzie odchylenie standardowe s wyliczono na podstawie zależności: Otrzymano: s 2 = s2 X n + s2 Y m T = Liczbę stopni swobody oszacowano w następujacy sposób: (s 2 ) 2 d = 17 1 n 1 ( s2 X n ) m 1 ( s2 Y m ) 2 Dla tak wyliczonych wartości T i d p-wartość wynosiła Dla przyjętego poziomu istotności α = 0.05 wartość krytyczna wynosiła c = , co jest większe od uzyskanej wartości statystyki T. Oznacza to, że również w tym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Powyższe wyniki potwierdza dostępna wraz z pakietem statystycznym R implementacja > t.test(lozyska1,lozyska2) Welch Two Sample t-test data: lozyska1 and lozyska2 t = , df = , p-value = percent confidence interval: mean of x mean of y Przy braku założenia o normalności rozkładów posłużono się wbudowanym w pakiet statystyczny R testem Wilcoxona: > wilcox.test(lozyska1, lozyska2) Wilcoxon rank sum test data: lozyska1 and lozyska2 W = 75, p-value = alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0 który dla przyjętego poziomu istotności α = 0.05 również nie daje podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Test wydaje się być odpowiedniejszy dla tego typu danych, gdyż przy braku dodatkowych informacji nie możemy zakładać normalności rozkładów, z których te dane pochodza. Prawdopodobieństwo tego, że łożysko wykonane z pierwszego materiału będzie pracowało dłużej niż wykonane z materiału drugiego wyestymowano za pomoca wzoru: P = {(x, y) X Y : x > y} X Y gdzie X i Y oznaczaja poszczególne próby losowe. =

4 Zadanie 3 Zależność różnicy liczb awarii w parze w funkcji liczby awarii w regionie kontrolnym przedstawiono na rysunku 1. Rysunek 1: Zależność różnicy liczb awarii w parze w funkcji liczby awarii w regionie kontrolnym. Na rysunki zaobserwować można liniowa zależność między poszczególnymi zmiennymi. Świadczy to o pewnej korelacji danych. 4

5 Średnia wartość różnicy liczb awarii w ramach pary wynosiła: X Y = Wariancję tego estymatora obliczono za pomoca wzoru: V (X Y ) = V X V Y 2C(X, Y ) = Mediana różnicy liczb awarii w ramach pary wynosiła Jej wariancję wyestymowano metoda bootstrapu nieparametrycznego jako wariancję elementowej próby złożonej z median zbiorów wygenerowanych metoda losowania ze zwracaniem ze zboru różnic awarii w ramach pary. Wynosiła ona Sprawdzenie czy różnice pomiędzy liczbami awarii w ramach pary sa efektem przypadku wykonano najpierw testem t-studenta. Przyjęto hipotezy: H 0 : X Y = µ 0 = 0 Wykorzystano statystykę T postaci: H 0 : X Y µ 0 T = (X Y µ 0) n σ = Dla przyjętego poziomu istotności α = 0.05, wartość krytyczna wynosiła c = 2.16, co jest mniejsze od modułu ze statystyki T. Oznacza to, że należy odrzucić hipotezę zerowa na rzecz hipotezy alternatywnej. P-wartość wynosiła w tym przypadku Otrzymane wyniki potwierdza dostępna wraz z pakietem statystycznym R implementacja > t.test(awarie.test, awarie.kontrola, paired=t, alternative = "two.sided") Paired t-test data: awarie.test and awarie.kontrola t = , df = 13, p-value = percent confidence interval: mean of the differences Podobne wyniki daje test Wilcoxona: > wilcox.test(awarie.test, awarie.kontrola, paired=t, alternative = "two.sided") Wilcoxon signed rank test data: awarie.test and awarie.kontrola V = 17, p-value = alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0 Ponieważ nie mamy podstaw żeby zakładać normalność rozkładów, z których pochodza analizowane dane, test Wilcoxona wydaje się być w tym przypadku odpowiedniejszy. 5