.8. PRZEDZIAŁY LICZBOWE Przedziały liczbowe Nazwa zbioru Oznaczenie Warunek, które spełniają liczby naleŝące do zbioru Ilustracja graficzna Przedział otwarty ( b) a, a < x < b Przedział domknięty a, b a x b Przedział prawostronnie ( a, b a < x b domknięty Przedział lewostronnie b) domknięty a, a x < b ( a,+ ) x > a Przedziały nieograniczone otwarte (, a) x < a a, + ) x a Przedziały nieograniczone domknięte (, a x a
Przykład.8.. Rozwiązania nierówności przedstaw na osi liczbowej i zapisz za pomocą przedziału a) x < 2; b) x > 5 a) x < 2; nierówności przedstawiamy na osi liczbowej. x, 2) b) x > 5 Nierówność zapisujemy za pomocą przedziału. nierówności przedstawiamy na osi liczbowej. ( 5 ) x,+ Nierówność zapisujemy za pomocą przedziału. Przykład.8.2. Opisz za pomocą nierówności oraz zaznacz na osi liczbowej przedział: a) x 3, 2 b) x (, a) x 3, 2 3 x 2 Opisujemy przedział za pomocą nierówności. Przedział zaznaczamy na osi liczbowej. b) x (, x Opisujemy przedział za pomocą nierówności. Przedział zaznaczamy na osi liczbowej.
Przykład.8.3. Wypisz wszystkie liczby całkowite naleŝące do przedziału,3) Odp.: -, 0,,2 m zadania są wszystkie liczby całkowite mniejsze od 3 i niemniejsze od. Przykład.8.4. Zapisz jako przedział zbiór liczb rzeczywistych: a) dodatnich b) nieujemnych. a) zbiór liczb rzeczywistych dodatnich 0 nie jest liczbą ani dodatnią ani ujemną. Odp.: ( 0,+ ) b) zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych Liczby nieujemne to liczby dodatnie oraz zero. Odp.: 0,+ ) Przykład.8.5. Wykonaj działania =,3 B =,2 a) A ( ) ( ) A B; A B; A \ B; B \ A jeśli: a) A = (,3) ( ) B =,2 Zaznaczamy przedziały na osi liczbowej. Wyznaczamy sumę ( wszystko ) przedziałów A B = (,3) Wyznaczamy iloczyn ( część wspólną) przedziałów A B = (,2)
Wyznaczamy róŝnicę A \ B. Ze zbioru A wyrzucamy te liczby, które naleŝą do zbioru B. 2 nie naleŝy do zbioru B, więc jej nie wyrzucamy. A \ B = 2,3) Wyznaczamy róŝnicę B \ A. Ze zbioru B wyrzucamy te liczby, które naleŝą do zbioru A. nie naleŝy do zbioru A, więc jej nie wyrzucamy. B \ A = (, b) =, 2 A B = 2,+ ) b) A =, 2 B = 2,+ ) Zaznaczamy przedziały na osi liczbowej. Wyznaczamy sumę ( wszystko ) przedziałów A B =, A B = { 2} + ) Wyznaczamy iloczyn ( część wspólną) przedziałów. 2 naleŝy do zbioru A i do zbioru B, zatem naleŝy do części wspólnej tych zbiorów. Wyznaczamy róŝnicę A \ B. Ze zbioru A wyrzucamy te liczby, które naleŝą do zbioru B. A \ B =, 2) 2 naleŝy do zbioru B, więc ją wyrzucamy.
Wyznaczamy róŝnicę B \ A. Ze zbioru B wyrzucamy te liczby, które naleŝą do zbioru A. 2 naleŝy do zbioru A, więc ją wyrzucamy B \ A = ( 2,+ ) c) A = ( 2, 0 B =,3) c) A = ( 2, 0 B =,3) Zaznaczamy przedziały na osi liczbowej. Wyznaczamy sumę ( wszystko ) przedziałów A B = ( 2,0, 3) Wyznaczamy iloczyn ( część wspólną) przedziałów. Przedziały nie mają części wspólnej. Przedziały są rozłączne. A B = Wyznaczamy róŝnicę A \ B. A \ B = ( 2, 0 Wyznaczamy róŝnicę B \ A. B \ A =,3)
Przykład.8.6. Dane są zbiory A = { x R : 3 x < 4} B = { x R : 2 x 8} D = { x R : 5 < x < 7} B \ A D Wyznacz zbiór ( ) A = x R : 3 x < 4 = 3, 4 { } ) { x R : 2 8} = 2, 8 { x R : 5 < < 7} = ( 5,7) B = x D = x A D = 3, 4 ) ( 5,7) Zbiory A,B,D zapisujemy jako przedziały. A D. Wykonujemy działanie Na osi liczbowej zaznaczamy przedziały A i D Wykonujemy działanie B \ ( A D) Na osi liczbowej zaznaczamy przedziały A D i B Ze zbioru B wyrzucamy te liczby, które naleŝą do zbioru A D ( A D) = 4,5 7, 8 B \ ĆWICZENIA Ćwiczenie.8.. (2pkt.) Narysowany przedział zapisz symbolicznie i za pomocą nierówności schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów Zapisanie przedziału symbolicznie 2 Zapisanie przedziału za pomocą nierówności
Ćwiczenie.8.2. (4pkt.) Wykonaj działania A B; A B; A \ B; B \ A (,3) A = B = 2, 4 jeśli schemat oceniania Numer Odpowiedź odpowiedzi Liczba punktów Podanie A B 2 Podanie A B 3 Podanie A \ B 4 Podanie B \ A Ćwiczenie.8.3. (5pkt.) Wyznacz zbiór ( D B) A A = { x R : 4 x < 5} B = { x R : 0 x 7} D = { x R : < x < 8} schemat oceniania Numer odpowiedzi /, jeśli Odpowiedź Liczba punktów Zapisanie zbioru A jako przedział. 2 Zapisanie zbioru B jako przedział. 3 Zapisanie zbioru D jako przedział. 4 Wyznaczenie zbioru ( D / B) 5 Wyznaczenie zbioru ( D B) A /