Albert Einstein, Leopold Infeld EWOLUCJA FIZYKI Rozwój poglądów od najważniejszych pojęć do teorii względności i kwantów w przekładzie Ryszarda Gajewskiego http://www.wiw.pl/fizyka/ewolucja/ Jak powstała Ewolucja fizyki (Eryk Infeld) Jest połowa lat trzydziestych. Na Zamku Królewskim w Warszawie obraduje Narodowa Rada Kultury. Głos zabiera Józef Piłsudski. Mówi on, że już nie jest w stanie zajmować się sprawami Rady na bieżąco, ale pragnie zwrócić uwagę na to, co uważa za bardzo istotne dla kraju. Otóż kluczowe znaczenie mają ośrodki akademickie na wschodzie, to znaczy uniwersytety we Lwowie i w Wilnie. Na tym terenie działa kilku bardzo zdolnych młodych ludzi. Tu wymienia nazwiska. Jest wśród nich docent Uniwersytetu Jana Kazimierza we Lwowie o nazwisku Leopold Infeld. Obecni uchwalają stypendia dla wymienionych. Przechodzi się do innych spraw. 1 Nie tylko nie przyznano stypendiów, ale wręcz zamknięto Infeldowi drogę do profesury, mimo że był on jedynym szeroko znanym polskim fizykiem teoretykiem swojego pokolenia. Elita polityczna Polski międzywojennej nie doceniała znaczenia fizyki teoretycznej (z fizyką doświadczalną było lepiej). Nie przejmowała się ani tą dziedziną, ani Infeldem, ani, co bardziej dziwi, zdaniem powoli umierającego Marszałka. Rok 1936. Leopold Infeld, po odrzuceniu swojej kandydatury na profesora w Wilnie, postanawia emigrować do Ameryki. Otrzymuje roczne stypendium w Princeton i wyjeżdża. Współpraca z Albertem Einsteinem układa się dobrze. Wspólnie piszą podstawowe prace, w których rozwiązują problem ruchu ciał w ogólnej teorii względności. Ale rok przechodzi szybko, jak to bywa, gdy się intensywnie pracuje. Kończą się środki. Uniwersytet nie uchwala przedłużenia stypendium, nie chcąc przesadnie inwestować w tematykę badań prawie sześćdziesięcioletniego Einsteina. Konserwa naukowa uznała, że wielki fizyk najważniejsze osiągnięcia ma już za sobą, a do zmiany poglądów konserwatyści z Princeton nie są bardziej skłonni od innych. 1
Co robić w tej sytuacji? Prace z Einsteinem nie są dokończone. Ojciec wpada na pomysł, by wspólnie napisać książkę o fizyce, lecz bez wzorów. Czytelnikiem miał być człowiek w miarę wykształcony, ale niekoniecznie naukowiec. Sama zaliczka oddala jego problemy finansowe! Jeden dzień w tygodniu był przeznaczony na pisanie książki. Dyskutowano, a ojciec spisywał wspólne ustalenia. I stało się. Powstała Ewolucja fizyki, o której filozof J. G. Kemeny napisał po latach: Potrzeba było połączonych talentów Einsteina i Infelda, by pisać o fizyce bez wzorów. Książka długo gościła na liście bestsellerów, a nawet przez kilka dni znajdowała się na pierwszym miejscu. Do chwili obecnej ukazało się około 200 wydań we wszystkich językach. Pierwsze polskie wydanie ukazało się w 1939 roku. (Tylko jeden egzemplarz ocalał). Leopold Infeld staje się człowiekiem sławnym. W tygodniku Time ukazuje się artykuł o autorach. Książka otrzymuje tytuł najładniej wydanej w roku 1938. Nieco później Infeld miał to wszystko ironicznie podsumować tak: Zapraszano mnie na obiad tam, gdzie przed tym bywałem tylko na herbatce. Zapraszano mnie na herbatkę tam, gdzie przed tym nie bywałem w ogóle! Nie ulega wątpliwości, że to potrzeba zmusiła ojca do zaproponowania Einsteinowi napisania książki. Niemniej był drugi powód podjęcia się tego trudu. Faszyzm opanowywał stary świat. System ten żerował na łatwowierności i ignorancji ludzkiej. Zdaniem autorów, każdy krok w kierunku przekonania ludzi do samodzielnego myślenia warto zrobić. Człowieka, który przeczytał na przykład Ewolucję fizyki, trochę trudniej będzie przekonać do myślenia krwią, rasy aryjskiej czy podludzkiego charakteru Polaków i Żydów (czy kogokolwiek). Czy mieli rację, nie wiem, ale taką myśl ojciec nam przekazał. Choć autorzy o tym nigdy się nie dowiedzieli, ich książka zainspirowała jedno z najważniejszych doświadczeń na elektronach. Autorzy piszą w Ewolucji fizyki, że nie potrafimy wystrzeliwać w określonej chwili pojedynczego elektronu. Otóż w 1949 roku Fabrikant, Biberman i Suszkin otrzymali dyfrakcję na pojedynczych elektronach. Pomysł tego rewelacyjnego doświadczenia zrodził się w głowie Fabrikanta pod wpływem lektury tej książki. 2 Chciałbym móc zliczyć rozmowy, w których fizycy mi mówili, że studiowali fizykę pod wpływem lektury Ewolucji fizyki. Kiedyś, gdy byłem w Hamburgu na konferencji, młody Niemiec przejechał 120 kilometrów pociągiem tylko po to, by mi to powiedzieć! W każdym razie my wszyscy, ludzie zajmujący się fizyką i pokrewnymi dziedzinami, pochodzimy od Alberta Einsteina. Częścią tego dziedzictwa jest Ewolucja fizyki. Eryk Infeld Warszawa, 23 marca 1998 roku 1 Protokół z posiedzenia na Zamku udostępnił mi nieżyjący już profesor Bogdan Jaczewski. Ojciec go przeczytał niedługo przed śmiercią. Sprawa nie była mu wcześniej znana. 2 J. Hurwic: Wspomnienie o Leopoldzie Infeldzie, Problemy, tom 24 (1968), s. 183 184. 2
SPIS TREŚCI Triumfy poglądu mechanistycznego... 4 Wielka powieść sensacyjna... 4 Pierwszy trop... 5 Wektory... 8 Zagadka ruchu... 12 Jeszcze jeden trop... 20 Czy ciepło jest substancją... 21 Kolejka w lunaparku... 25 Stosunek zamiany... 27 Podłoże filozoficzne... 28 Kinetyczna teoria materii... 30 Streszczamy:... 35 Upadek poglądu mechanistycznego... 36 Dwa płyny elektryczne... 36 Płyny magnetyczne... 41 Pierwsza poważna trudność... 43 Prędkość światła... 46 Światło jako substancja... 47 Zagadka barwy... 49 Co to jest fala?... 51 Falowa teoria światła... 54 Podłużne czy poprzeczne?... 59 Eter a pogląd mechanistyczny... 61 Streszczamy:... 62 Pole i teoria względności... 63 Obraz polowy... 63 Dwa filary teorii pola... 69 Rzeczywistość pola... 72 Pole i eter... 76 Rusztowanie mechaniczne... 77 Eter i ruch... 82 Czas, odległość, teoria względności... 89 Teoria względności a mechanika... 97 Continuum czasoprzestrzenne... 100 Ogólna teoria względności... 105 Wewnątrz i na zewnątrz windy... 107 Geometria i doświadczenie... 112 Ogólna teoria względności i jej potwierdzenie... 118 Pole i materia... 121 Streszczenie... 123 Kwanty... 124 Ciągłość i nieciągłość... 124 Elementarne kwanty materii i elektryczności... 125 Kwanty światła... 128 Widma światła... 131 Fale materii... 134 Fale prawdopodobieństwa... 138 Fizyka i rzeczywistość... 145 Streszczenie... 146 3
Triumfy poglądu mechanistycznego Wielka powieść sensacyjna Można sobie wyobrazić ideał powieści sensacyjnej. Powieść taka przedstawia wszystkie istotne tropy i zmusza nas do zbudowania własnej teorii opisywanego przypadku. Śledząc uważnie tok akcji, dochodzimy do rozwiązania sami tuż przed tym, nim na końcu książki ujawni je autor. Samo rozwiązanie, inaczej niż to się dzieje w kiepskich powieściach sensacyjnych, nie rozczarowuje nas; co więcej pojawia się ono dokładnie w momencie, w którym go oczekujemy. Czy można czytelnika takiej książki przyrównać do uczonych, którzy poprzez pokolenia trwają w poszukiwaniu rozwiązań tajemnic w księdze natury? Porównanie takie jest fałszywe i trzeba je będzie w dalszym ciągu zarzucić, ma ono jednak odrobinę uzasadnienia, które można rozszerzyć i zmodyfikować tak, by porównanie nasze należycie oddawało wysiłki nauki w dziele rozwiązywania zagadki wszechświata. Ta wielka powieść sensacyjna pozostaje wciąż bez rozwiązania. Nie możemy nawet mieć pewności, że ostateczne rozwiązanie istnieje. Czytanie dało nam już dużo: nauczyło nas elementów języka przyrody, umożliwiło zrozumienie wielu tropów, było źródłem radości i wzruszeń w mozolnym częstokroć procesie postępu wiedzy. Zdajemy sobie jednak sprawę, że mimo wszystkich przeczytanych i zrozumianych tomów, wciąż jeszcze daleko nam do pełnego rozwiązania o ile takie w ogóle istnieje. Na każdym szczeblu staramy się znaleźć odpowiedź, która by była zgodna z tropami wykrytymi już uprzednio. Teorie przyjmowane na próbę objaśniły wiele faktów, dotąd jednak nie podano rozwiązania ogólnego, które by było zgodne ze wszystkimi znanymi tropami. Bardzo często doskonała na pozór teoria okazywała się przy dalszym czytaniu nieodpowiednia. Pojawiają się nowe fakty, przeczące teorii lub nie dające się na jej gruncie wytłumaczyć. Kiedy czytamy książkę, rośnie zachwyt nad doskonałością jej konstrukcji, mimo że pełne rozwiązanie w miarę naszego postępu zdaje się odsuwać. W każdej prawie powieści detektywistycznej od czasów uroczych opowiadań Conana Doyle'a nadchodzi moment, w którym prowadzący śledztwo zebrał już wszystkie fakty potrzebne mu do rozwiązania przynajmniej pewnej części problemu. Fakty te wydają się często dziwne, oderwane i zupełnie ze sobą nie powiązane. Jednakże wielki detektyw zdaje sobie sprawę, że na razie żadne dalsze śledztwo nie jest potrzebne i że samo tylko myślenie doprowadzi do ustalenia związków między zebranymi faktami. Gra więc na skrzypcach lub paląc fajkę, kołysze się w swym fotelu, gdy wtem, na Jowisza, jest! Ma nie tylko objaśnienie wszystkich tropów, którymi dysponował, ale wie, że muszą jeszcze zajść pewne inne zdarzenia. Ponieważ wie dokładnie, gdzie ich oczekiwać, może, jeśli zechce, wyjść i zebrać dalsze potwierdzenia swej teorii. Uczony czytający księgę natury jeśli wolno powtórzyć ten banalny zwrot musi znaleźć rozwiązanie sam; nie może, jak to często robią niecierpliwi czytelnicy innych powieści, zajrzeć na koniec książki. W tym przypadku czytelnik jest tym, który prowadzi śledztwo i próbuje przynajmniej częściowo wyjaśnić stosunek zdarzeń do ich bogatego kontekstu. Aby otrzymać choć cząstkowe rozwiązanie, uczony musi zebrać dostępne nie uporządkowane fakty i drogą myślenia uczynić je spójnymi i zrozumiałymi. 4
Celem naszym jest opisanie na dalszych stronicach w grubym zarysie tej części pracy fizyka, która odpowiada samemu tylko myśleniu detektywa. Będziemy się głównie zajmować rolą, jaką w pełnym przygód poszukiwaniu wiedzy o fizykalnym świecie odgrywają myśli i pojęcia. Pierwszy trop Próby czytania wielkiej powieści przyrody są równie stare, jak stara jest myśl ludzka. Jednakże dopiero niewiele ponad trzysta lat temu zaczęli uczeni rozumieć język powieści. Od tego czasu, a były to czasy Galileusza i Newtona, czytanie postępowało bardzo szybko. Rozwinięto technikę badań, opracowano systematyczne metody odszukiwania tropów i ich śledzenia. Rozwiązano wiele zagadek natury, choć niektóre rozwiązania okazały się w świetle dalszych badań nietrwałe i powierzchowne. Problemem podstawowej wagi, który z powodu zawartych w nim komplikacji pozostawał przez tysiące lat zupełnie nie wyjaśniony, jest problem ruchu. Wszystkie ruchy, które obserwujemy w przyrodzie ruch kamienia rzuconego w powietrzu, ruch statku płynącego po morzu, ruch wózka popychanego na ulicy są w rzeczywistości bardzo złożone. Aby te zjawiska zrozumieć, dobrze jest zacząć od przypadków możliwie najprostszych, przechodząc stopniowo do bardziej skomplikowanych. Weźmy pod uwagę ciało pozostające w spoczynku; w tym przypadku w ogóle nie ma ruchu. Aby zmienić położenie takiego ciała, trzeba na nie w pewien sposób zadziałać popchnąć je lub podnieść albo poddać działaniu innych ciał, na przykład konia lub maszyny parowej. W intuicji naszej pojęcie ruchu wiąże się z takimi działaniami, jak popychanie, podnoszenie, pociąganie. Posiadane doświadczenie skłoniłoby nas do zaryzykowania dalszego stwierdzenia, że jeśli chcemy, by ciało poruszało się szybciej, musimy je mocniej popychać. Nasuwa się naturalny wniosek, że szybkość ciała jest tym większa, im większe jest wywierane na nie działanie. Powóz zaprzężony w cztery konie jedzie prędzej od dwukonnego. Tak więc intuicja mówi nam, że szybkość wiąże się w istotny sposób z działaniem. Czytelnicy powieści kryminalnych wiedzą dobrze, że fałszywy trop gmatwa wątek i opóźnia rozwiązanie. Metoda rozumowania, którą podyktowała nam intuicja, jest błędna i prowadzi do fałszywych pojęć o ruchu, które przyjmowano w ciągu stuleci. Być może główną przyczyną, dla której utrzymywały się one tak długo, był wielki w Europie autorytet Arystotelesa. W przypisywanej mu od dwóch tysięcy lat Mechanice czytamy: Poruszające się ciało powraca do spoczynku, jeżeli siła, która je popycha, przestaje działać. Odkrycie i zastosowanie przez Galileusza metody naukowego rozumowania było jednym z najdonioślejszych osiągnięć w historii myśli ludzkiej i stało się właściwym początkiem fizyki. Odkrycie to nauczyło nas, że nie można ufać intuicyjnym wnioskom opartym na bezpośredniej obserwacji, ponieważ mogą one czasem prowadzić na manowce. Ale w którym miejscu intuicja zawodzi? Czyżby nie było prawdą stwierdzenie, że powóz zaprzężony w cztery konie musi jechać szybciej niż zaprzężony tylko w dwa? Zbadajmy bliżej podstawowe fakty związane z ruchem, rozpoczynając od prostych doświadczeń życia codziennego, znanych ludzkości od początku cywilizacji, nabytych w ciężkiej walce o byt. 5
Przypuśćmy, że człowiek popychający wózek po równej drodze przestaje go nagle popychać. Wózek, zanim się zatrzyma, będzie się jeszcze poruszał, przebywając niewielką odległość. Pytamy: w jaki sposób można by tę odległość powiększyć? Sposoby są różne można oliwić koła, można wygładzać drogę. Im łatwiej obracają się koła i im gładsza droga, tym dłużej poruszać się będzie wózek. Lecz czegóż dokonano, oliwiąc koła i wygładzając drogę? Tylko jednego: zmniejszono wpływy zewnętrzne. Zmniejszono efekt zwany tarciem zarówno w kołach, jak między kołami a drogą. Jest to już teoretyczna interpretacja zaobserwowanych faktów, interpretacja w gruncie rzeczy dowolna. Jeszcze jeden istotny krok naprzód i znajdziemy się na właściwym tropie. Wyobraźmy sobie drogę doskonale gładką i koła, w których w ogóle nie ma tarcia. W tym wypadku nic nie zatrzyma wózka, a więc będzie on się toczył wiecznie. Do wniosku tego dochodzimy wyłącznie drogą rozważań nad wyidealizowanym doświadczeniem, którego w rzeczywistości nigdy nie można wykonać, ponieważ nie sposób wyeliminować wszystkich wpływów zewnętrznych. Wyidealizowane doświadczenie wskazuje na trop, który stał się podstawowym dla mechaniki ruchu. Porównując obie metody podejścia do zagadnienia, możemy powiedzieć: pogląd oparty na intuicji głosi im większe działanie, tym większa prędkość. Tak więc prędkość wskazuje, czy na ciało działają siły zewnętrzne, czy nie. Nowy trop, odkryty przez Galileusza, prowadzi do stwierdzenia: jeżeli ciało nie jest ani popychane, ani pociągane, ani nie jest na nie wywierane jakiekolwiek inne działanie, czyli krótko mówiąc, jeżeli na ciało nie działa żadna siła zewnętrzna, to porusza się ono ruchem jednostajnym, to znaczy stale z tą samą prędkością po linii prostej. Tak więc prędkość nie wskazuje na to, czy na ciało działają siły zewnętrzne, czy nie. Wniosek Galileusza, wniosek poprawny, został po upływie jednego pokolenia sformułowany przez Newtona jako prawo bezwładności. Jest to zwykle pierwsze prawo fizyczne, którego się w szkole uczymy na pamięć, toteż niektórzy z nas mogą je jeszcze pamiętać: Każde ciało pozostaje w spoczynku lub w ruchu jednostajnym po linii prostej, jeżeli siły do niego przyłożone nie zmuszają go do zmiany tego stanu. Widzieliśmy, że tego prawa bezwładności nie można wyprowadzić wprost z doświadczenia; można je wyprowadzić jedynie na drodze zgodnego z doświadczeniem rozumowania. Wyidealizowanego doświadczenia choć prowadzi ono do głębokiego zrozumienia doświadczeń rzeczywistych nie można nigdy wykonać w rzeczywistości. Jako pierwszy przykład spośród bogactwa złożonych ruchów, jakie zachodzą w otaczającym nas świecie, wybieramy ruch jednostajny. Jest on najprostszy, bo nie działają tu siły zewnętrzne. Jednakże ruchu jednostajnego nigdy nie można zrealizować; ani kamień rzucony z wieży, ani wózek popychany drogą nie będą się nigdy poruszać ruchem absolutnie jednostajnym, gdyż nie możemy usunąć wpływu sił zewnętrznych. W dobrej powieści sensacyjnej tropy, które się najbardziej narzucają, prowadzą często do fałszywych podejrzeń. Podobnie w naszych próbach zrozumienia praw przyrody często spostrzegamy, że najbardziej narzucające się, dyktowane przez intuicję rozwiązanie okazuje się błędne. Myśl ludzka stwarza zmieniający się wiecznie obraz wszechświata. Galileusz przyczynił się do zburzenia poglądu opartego na intuicji i zastąpienia go nowym: na tym właśnie polega doniosłość jego odkrycia. Natychmiast jednak nasuwa się następne pytanie dotyczące ruchu. Jeżeli nie prędkość, to co jest wskaźnikiem działania na ciało sił zewnętrznych? Odpowiedź na to podstawowe 6
pytanie podał Galileusz, a w formie jeszcze bardziej zwartej Newton. Stanowi ona kolejny trop dla naszych dociekań. Aby znaleźć poprawną odpowiedź, musimy nieco głębiej zastanowić się nad doświadczeniem z wózkiem na doskonale gładkiej drodze. W naszym wyidealizowanym doświadczeniu jednostajność ruchu była spowodowana nieobecnością jakichkolwiek sił zewnętrznych. Wyobraźmy sobie teraz, że poruszający się ruchem jednostajnym wózek zostaje popchnięty w kierunku ruchu. Co się stanie z wózkiem? Oczywiście jego prędkość wzrośnie. W sposób równie oczywisty popchnięcie wózka w kierunku przeciwnym do ruchu zmniejszyłoby prędkość. W pierwszym przypadku popchnięcie przyspiesza ruch wózka, w drugim opóźnia go, czyli zwalnia. Wniosek wynika natychmiast: działanie siły zewnętrznej zmienia prędkość. Tak więc następstwem popychania lub pociągania nie jest sama prędkość, lecz jej zmiana. Zależnie od tego, czy siła działa w kierunku ruchu, czy w kierunku przeciwnym, powoduje ona zwiększenie lub zmniejszenie prędkości. Zrozumiał to dobrze Galileusz, pisząc w swoich Dwóch nowych umiejętnościach: [...] stopień prędkości, jakkolwiek się w ciele objawia, jest w nim niezniszczalnie zawarty, podczas gdy przyczyny zewnętrzne wytwarzają przyspieszenie lub opóźnienie, co tylko spostrzec można na płaszczyźnie poziomej: bo przy spadku po pochyłości dołącza się przyczyna przyspieszenia, a przy podnoszeniu się opóźnienia. Wynika stąd również, że ruch po poziomie jest także wieczny, bo gdy pozostaje zawsze jednaki, nie osłabia się ani wzmacnia, nie zmniejsza się i nie powiększa. Postępując właściwym tropem, osiągamy głębsze zrozumienie problemu ruchu. Związek pomiędzy siłą a zmianą prędkości a nie, jakby to nasuwała intuicja, związek pomiędzy siłą a samą prędkością jest podstawą sformułowanej przez Newtona mechaniki klasycznej. Korzystaliśmy dotychczas z dwóch pojęć, odgrywających zasadniczą rolę w mechanice klasycznej; są to: siła i zmiana prędkości. Oba te pojęcia zostały w miarę rozwoju nauki rozwinięte i uogólnione. Trzeba je więc zbadać dokładniej. Co to jest siła? Znaczenie tego słowa wyczuwamy intuicyjnie. Pojęcie sił powstało w związku z wysiłkiem związanym z popychaniem, rzucaniem, ciągnięciem w związku z wrażeniem mięśniowym, jakie towarzyszy każdemu z tych działań. Jednakże uogólnienie tego pojęcia wykracza daleko poza te proste przykłady. Po to, by pomyśleć o sile, nie trzeba sobie koniecznie wyobrażać konia ciągnącego wóz! Mówimy o sile przyciągania między Słońcem a Ziemią, między Ziemią a Księżycem, a także o siłach powodujących przypływ i odpływ morza. Mówimy o sile, którą Ziemia działa na nas i na otaczające nas przedmioty, zmuszając je do pozostawania w zasięgu jej wpływu, i o sile wiatru powodującej powstawanie fal na morzu lub poruszającej liśćmi drzew. Kiedykolwiek i gdziekolwiek stwierdzamy zmianę prędkości, musi to być wynikiem działania siły zewnętrznej w ogólnym tego słowa znaczeniu. W swych Principiach Newton pisał: Siła przyłożona jest to działanie wywierane na ciało w celu zmiany jego stanu bądź to spoczynku, bądź ruchu jednostajnego po linii prostej. Siła ta przejawia się tylko w działaniu i nie pozostaje w ciele po ustaniu działania. Albowiem ciało zachowuje wszelki nowy stan, w jakim się znajdzie, wyłącznie dzięki swej vis inertiae. Siły przyłożone mogą pochodzić z różnych źródeł, takich jak uderzenie, ciśnienie, siła dośrodkowa. Ruch kamienia spadającego z wieży nie jest jednostajny; w miarę jego spadania prędkość wzrasta. Wnioskujemy stąd, że w kierunku ruchu działa siła zewnętrzna. Innymi słowy Ziemia przyciąga kamień. Weźmy inny przykład: Co się dzieje z kamieniem rzuconym pionowo do góry? Prędkość jego maleje, dopóki kamień nie wzniesie się do punktu 7
najwyższego i nie zacznie spadać. To zmniejszenie się prędkości spowodowane jest przez tę samą siłę, która powoduje przyspieszenie ciała spadającego. W jednym przypadku siła działa w kierunku ruchu, w drugim w kierunku przeciwnym. Siła jest ta sama, jednak zależnie od tego, czy kamień spada w dół, czy został rzucony w górę, powoduje ona albo przyspieszenie, albo opóźnienie ruchu. Wektory Wszystkie rozważane przez nas dotąd ruchy były prostoliniowe, to znaczy zachodziły po linii prostej. Musimy teraz pójść o jeden krok dalej. Zrozumienie praw przyrody uzyskujemy, rozważając przypadki najprostsze i pomijając zrazu wszelkie możliwe komplikacje. Trudno jednak zadowolić się zrozumieniem samego tylko ruchu prostoliniowego. Ruchy Księżyca, Ziemi i planet te właśnie, do których z tak błyskotliwym sukcesem zastosowano zasady mechaniki są ruchami po torach zakrzywionych. Przejście od ruchu prostoliniowego do ruchu po torze zakrzywionym wiąże się z nowymi trudnościami. Musimy mieć odwagę pokonania tych trudności, jeśli chcemy zrozumieć zasady mechaniki klasycznej podsunięte nam przez pierwsze tropy i stanowiące punkt wyjścia dla rozwoju nauki. Rozważmy inne wyidealizowane doświadczenie, w którym doskonale gładka kula toczy się ruchem jednostajnym po gładkim stole. Wiemy, że jeśli kulę popchnąć, to znaczy, jeśli przyłożyć do niej siłę zewnętrzną, prędkość jej się zmieni. Przypuśćmy teraz, że pchnięcie nie następuje jak w przypadku wózka w kierunku ruchu, lecz w kierunku zupełnie innym, na przykład prostopadłym do kierunku ruchu. Co się stanie z kulą? Można wyróżnić trzy stadia ruchu: ruch początkowy, działanie siły i ruch końcowy, gdy siła przestała już działać. Zgodnie z prawem bezwładności obie prędkości przed zadziałaniem siły i po jej zadziałaniu są ściśle jednostajne. Między ruchem jednostajnym przed zadziałaniem i po zadziałaniu siły istnieje jednak różnica: zmienił się kierunek ruchu. Kierunek początkowego ruchu kuli i kierunek działania siły są nawzajem prostopadłe. Ruch końcowy nie będzie się odbywał wzdłuż żadnej z tych dwóch linii, lecz gdzieś pomiędzy nimi bliżej kierunku siły, jeżeli uderzenie było silne, a prędkość początkowa mała, zaś bliżej początkowego kierunku ruchu, jeżeli uderzenie było delikatne, a prędkość początkowa duża. Nasz nowy wniosek, oparty na prawie bezwładności, brzmi: działanie siły zewnętrznej zmienia w ogólności nie tylko szybkość, ale i kierunek ruchu. Zrozumienie tego faktu umożliwia nam dokonanie uogólnienia, jakim jest wprowadzenie do fizyki pojęcia wektora. Możemy w dalszym ciągu stosować naszą bezpośrednią metodę rozumowania. Punktem wyjścia jest nadal prawo bezwładności Galileusza. Wciąż jeszcze daleko nam do wyczerpania konsekwencji, jakie wynikają z tego cennego tropu, wiodącego ku rozwiązaniu zagadki ruchu. Weźmy pod uwagę dwie kule poruszające się po gładkim stole w różnych kierunkach. Aby sobie wytworzyć konkretny obraz, możemy założyć, że oba kierunki są nawzajem prostopadłe. Na kule nie działają żadne siły zewnętrzne, toteż ich ruchy są ściśle jednostajne. Przypuśćmy dalej, że szybkości kul są równe, to znaczy, że w jednakowym odstępie czasu obie przebywają taką samą odległość. Czy będzie jednak słuszne powiedzenie, że obie kule mają taką samą prędkość? Odpowiedź może brzmieć tak lub nie! Jeśli szybkościomierze dwóch samochodów wskazują obydwa sześćdziesiąt kilometrów na godzinę, to zazwyczaj mówi się, że mają one tę samą szybkość albo prędkość niezależnie od kierunku jazdy. Ale 8
nauka musi na swój własny użytek tworzyć własny język, własne pojęcia. Terminy naukowe często wywodzą się z pojęć używanych w języku potocznym w związku ze sprawami życia codziennego, jednak rozwijają się zupełnie inaczej. Przekształcają się i tracą wieloznaczność, która je cechuje w języku potocznym, zyskując zarazem precyzję, umożliwiającą stosowanie ich do rozważań naukowych. Z punktu widzenia fizyka wygodnie jest powiedzieć, że prędkości dwóch kul poruszających się w różnych kierunkach są inne. Jest to wprawdzie wyłącznie kwestią umowy, jednak wygodnie jest mówić, że cztery samochody rozjeżdżające się ze skrzyżowania w różnych kierunkach nie mają jednakowej prędkości, mimo że ich szybkościomierze wskazują wszystkie tę samą szybkość: sześćdziesiąt kilometrów na godzinę. To zróżnicowanie pojęć szybkości i prędkości pokazuje, jak fizyka, biorąc za punkt wyjścia pojęcie używane w życiu codziennym, zmienia je w sposób, który okazuje się owocny dla dalszego rozwoju nauki. Przy pomiarze długości podaje się wynik w postaci liczby jednostek. Długość pręta może wynosić 1 metr 20 centymetrów; ciężar jakiegoś przedmiotu może być 1 kilogram 257 gramów; zmierzony odstęp czasu może wynosić tyle a tyle minut i sekund. W każdym z tych wypadków wynik pomiaru można wyrazić w postaci liczby. Istnieją jednak wielkości fizyczne, w odniesieniu do których podanie samej tylko liczby jest niewystarczające. Uznanie tego faktu oznaczało znaczny postęp w badaniach naukowych. Na przykład dla scharakteryzowania prędkości istotne są zarówno liczba, jak kierunek. Taka wielkość, posiadająca zarówno wartość liczbową, jak kierunek, nazywa się wektorem. Wygodnym symbolem takiej wielkości jest strzałka. Prędkość można przedstawić w postaci strzałki, czyli inaczej mówiąc wektora, którego długość jest w pewnej wybranej skali miarą szybkości i którego kierunek jest identyczny z kierunkiem ruchu. Jeżeli cztery samochody rozjeżdżają się ze skrzyżowania z równymi szybkościami, to ich prędkości można przedstawić w postaci czterech wektorów o jednakowej długości, tak jak to pokazano na rysunku. W przyjętej tu skali jeden centymetr oznacza dwadzieścia kilometrów na godzinę. W ten sposób można każdą prędkość przedstawić w formie wektora i odwrotnie, znając skalę, można z takiego wykresu wektorowego określić prędkość. 9
Jeżeli dwa samochody mijają się na szosie, przy czym oba szybkościomierze wskazują sześćdziesiąt kilometrów na godzinę, to prędkości ich można scharakteryzować za pomocą dwóch różnych wektorów, których strzałki wskazują przeciwne strony. Podobnie przeciwne zwroty mają strzałki wskazujące kierunki w górę miasta i w dół miasta w nowojorskim metrze. Jednak wszystkie pociągi, jadące w górę miasta z taką samą szybkością, mają jednakową prędkość, którą można przedstawić w postaci jednego wektora. Wektor taki nie mówi nic o tym, które stacje pociąg właśnie mija, albo po którym z licznych, równoległych torów się porusza. Innymi słowy, według przyjętej umowy wszystkie wektory, takie jak na rysunku poniżej, można uważać za równe; leżą one albo na jednej prostej, albo na prostych równoległych, mają tę samą długość i wreszcie strzałki ich wskazują tę samą stronę. Wszystkie wektory przedstawione na następnym rysunku są inne, różnią się bowiem albo długością, albo kierunkiem, albo i jednym, i drugim. Te same cztery wektory można narysować inaczej, tak by rozchodziły się one wszystkie z jednego punktu. Ponieważ punkt początkowy nie ma znaczenia, wektory te mogą przedstawiać prędkości czterech samochodów rozjeżdżających się z jednego skrzyżowania albo prędkości czterech samochodów, które w różnych częściach kraju poruszają się ze wskazanymi szybkościami, w określonych kierunkach. 10
Możemy teraz zastosować obraz wektorowy do opisu omówionych uprzednio faktów dotyczących ruchu prostoliniowego. Mówiliśmy o wózku, który porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej i zostaje popchnięty w kierunku ruchu, co zwiększa jego prędkość. Graficznie można to przedstawić za pomocą dwóch wektorów krótszego, oznaczającego prędkość przed popchnięciem, i dłuższego, tak samo skierowanego, oznaczającego prędkość po popchnięciu. Znaczenie wektora przerywanego jest jasne: przedstawia on zmianę prędkości, spowodowaną jak wiemy przez popchnięcie. W przypadku, gdy siła jest skierowana przeciwnie do ruchu, co powoduje jego zwolnienie, wykres jest nieco inny. Również i tu wektor przerywany odpowiada zmianie prędkości, jednakże jego kierunek jest w tym wypadku inny. Jest rzeczą oczywistą, że wektorami są nie tylko same prędkości, ale również ich zmiany. Jednakże każda zmiana prędkości spowodowana jest działaniem siły zewnętrznej, a zatem również siła musi być przedstawiona w postaci wektora. Do tego, by scharakteryzować siłę, nie wystarczy stwierdzić, jak mocno popychamy wózek; trzeba jeszcze powiedzieć, w którym kierunku go popychamy. Siła, podobnie jak prędkość lub zmiana prędkości, musi być przedstawiana w formie wektora, a nie samej tylko liczby. Zatem siła zewnętrzna jest też wektorem, a jej kierunek musi być taki sam, jak kierunek zmiany prędkości. Na obu rysunkach wektory przerywane wskazują zarówno zmianę prędkości, jak i kierunek siły. Sceptyk może w tym miejscu zauważyć, że nie widzi korzyści z wprowadzenia wektorów. Dokonano jedynie przetłumaczenia uznanych już dawniej faktów na mało zrozumiały i skomplikowany język. Rzeczywiście, w obecnym stanie rzeczy trudno by było 11
przekonać sceptyka, że nie ma racji. Na razie istotnie, ma rację. Przekonamy się jednak, że właśnie ten dziwny język prowadzi do ważnego uogólnienia, w którym wektory odgrywają podstawową rolę. Zagadka ruchu Dopóki zajmujemy się ruchem po linii prostej, daleko nam do zrozumienia ruchów, które obserwujemy w przyrodzie. Musimy się zająć ruchami po torach zakrzywionych, toteż nasz następny krok polegać będzie na określeniu praw rządzących takimi właśnie ruchami. Nie jest to łatwe zadanie. Nasze pojęcia prędkości, zmiany prędkości i siły okazały się bardzo pożyteczne w przypadku ruchu prostoliniowego. Nie widać jednak, jak można by je zastosować do ruchu po torze zakrzywionym. Można by nawet przypuścić, że stare pojęcia nie nadają się do opisu ruchu ogólnego i że trzeba stworzyć nowe. Czy powinniśmy próbować postępować starą drogą, czy też wypadnie nam szukać nowej? Uogólnianie pojęcia jest procesem często w nauce spotykanym. Metoda uogólniania nie jest określona w sposób jednoznaczny, ponieważ uogólniać można zwykle na liczne sposoby. Jeden warunek musi być wszakże ściśle spełniony: pojęcie uogólnione powinno się sprowadzać do pojęcia początkowego, gdy spełnione są te same, co na początku warunki. Można to najlepiej wytłumaczyć na przykładzie, którym się właśnie zajmujemy. Możemy spróbować uogólnić stare pojęcia prędkości, zmiany prędkości i siły tak, aby obejmowały one również przypadek ruchu po torze zakrzywionym. W języku fachowym, mówiąc o liniach krzywych, włączamy w to również linie proste. Linia prosta jest szczególnym i banalnym przykładem krzywej. Jeśli więc wprowadzić prędkość, zmianę prędkości i siłę dla ruchu po linii krzywej, to są one tym samym automatycznie wprowadzone dla ruchu po linii prostej. Wynik ten nie może jednak być sprzeczny z danymi uzyskanymi uprzednio. Gdy krzywa staje się linią prostą, wszystkie pojęcia uogólnione muszą się sprowadzać do dobrze już znanych pojęć opisujących ruch prostoliniowy. To ograniczenie nie wystarcza jednak, by uogólnienie było wyznaczone w sposób jednoznaczny. Pozostaje jeszcze wiele otwartych możliwości. Historia nauki uczy, że najprostsze uogólnienia czasem okazują się pożyteczne, a czasem nie. Musimy z początku zdać się na domysł. W naszym przypadku łatwo jest odgadnąć właściwą metodę uogólniania. Nowe pojęcia okazują się bardzo udatne, pomagając nam w zrozumieniu zarówno ruchu rzuconego kamienia, jak i ruchu planet. Cóż więc oznaczają słowa prędkość, zmiana prędkości i siła w ogólnym przypadku ruchu po linii krzywej? Zacznijmy od prędkości. Przypuśćmy, że bardzo małe ciało porusza się po krzywej z lewa na prawo. Takie małe ciało bywa często nazywane cząstką. Na naszym rysunku kropka na krzywej wskazuje położenie cząstki w pewnej chwili. Jaka prędkość odpowiada tej chwili i temu położeniu? 12
Znów trop Galileusza podsuwa sposób wprowadzenia prędkości. Raz jeszcze musimy się odwołać do naszej wyobraźni i przedstawić sobie wyidelizowane doświadczenie. Cząstka porusza się po krzywej z lewa na prawo pod wpływem sił zewnętrznych. Przypuśćmy, że w pewnej chwili, w punkcie oznaczonym kropką wszystkie te siły przestają nagle działać. Zgodnie z prawem bezwładności ruch musi wtedy być jednostajny. Oczywiście w praktyce nigdy nie możemy całkowicie uwolnić ciała od wszystkich wpływów zewnętrznych. Możemy się tylko domyślać co by było gdyby...?, a trafność przewidywania oceniać na podstawie wniosków, które z niego można wyciągnąć, i ich zgodności z doświadczeniem. Wektor na następnym rysunku oznacza przewidywany kierunek ruchu jednostajnego, jeśliby wszystkie siły zewnętrzne zniknęły. Jest to kierunek tak zwanej linii stycznej. Patrząc na poruszającą się cząstkę przez mikroskop, widzimy bardzo mały fragment krzywej, który wydaje się krótkim odcinkiem. Styczna jest przedłużeniem tego odcinka. Tak więc narysowany wektor przedstawia prędkość w danej chwili. Wektor prędkości leży na stycznej. Jego długość przedstawia wielkość prędkości, czyli szybkość tak jak ją wskazuje na przykład szybkościomierz samochodu. Naszego wyidealizowanego doświadczenia, polegającego na zniszczeniu ruchu w celu znalezienia wektora prędkości, nie należy brać zbyt poważnie. Pomaga nam ono tylko zrozumieć, co powinniśmy nazwać wektorem prędkości, i pozwala określić ten wektor w danej chwili i w danym punkcie. Na następnym rysunku pokazano wektory prędkości odpowiadające trzem różnym położeniom cząstki poruszającej się po krzywej. W tym przypadku zmianie w trakcie ruchu ulega nie tylko kierunek, ale również wielkość prędkości, na co wskazuje długość wektorów. Czy to nowe pojęcie prędkości spełnia wymagania sformułowane dla wszystkich uogólnień? To znaczy czy w przypadku, gdy krzywa staje się linią prosta, sprowadza się ono do pojęcia już znanego? Oczywiście, tak. Styczną do linii prostej jest sama linia prosta. Wektor prędkości leży na linii ruchu, tak samo jak to się działo w przypadku poruszającego się wózka czy toczących się kul. 13
Naszym następnym krokiem będzie wprowadzenie zmiany prędkości cząstki, poruszającej się po krzywej. Również i tego można dokonać na kilka sposobów, z których wybierzemy najprostszy i najwygodniejszy. Na poprzednim rysunku pokazano kilka wektorów prędkości, przedstawiających ruch w różnych punktach toru. Pierwsze dwa można przerysować tak, by miały wspólny początek, co jak widzieliśmy jest dla wektorów możliwe. Wektor przerywany nazywamy zmianą prędkości. Jego początek leży w końcu wektora pierwszego, a koniec w końcu wektora drugiego. Taka definicja zmiany prędkości może się na pierwszy rzut oka wydawać sztuczna i bez sensu. Staje się ona znacznie jaśniejsza w przypadku szczególnym, w którym wektory (1) i (2) mają ten sam kierunek. Oznacza to oczywiście przejście do przypadku ruchu prostoliniowego. Jeżeli oba wektory mają wspólny początek, to teraz wektor kreskowany łączy ich końce. Rysunek jest teraz identyczny z rysunkiem z poprzedniego fragmentu, a poprzednie pojęcie okazuje się szczególnym przypadkiem nowego. Należy zaznaczyć, że na rysunku musieliśmy dwie linie rozdzielić, gdyż inaczej pokrywałyby się one nawzajem i nie można by ich było odróżnić. W naszym procesie uogólniania dokonamy teraz ostatniego kroku. Będzie to najważniejsze z wszystkich dotychczasowych przewidywań. Musimy ustalić związek pomiędzy siłą i zmianą prędkości, aby móc znaleźć trop, który pozwoli nam zrozumieć ogólny problem ruchu. Klucz do objaśnienia ruchu po linii prostej był nieskomplikowany: zmiana prędkości spowodowana jest działaniem siły zewnętrznej, wektor siły ma kierunek taki sam jak zmiana prędkości. A co przyjąć za klucz do objaśnienia ruchu krzywoliniowego? Dokładnie to samo! Jedyna różnica polega na tym, że zmiana prędkości ma teraz szersze niż uprzednio znaczenie. Sprawę wyjaśnia rzut oka na wektory przerywane z ostatnich dwóch rysunków. Jeżeli znana jest prędkość w każdym punkcie krzywej, to można natychmiast znaleźć kierunek siły w dowolnym punkcie. Trzeba narysować wektory prędkości w dwóch chwilach oddzielonych bardzo krótkim odstępem czasu, a więc odpowiadających bardzo bliskim sobie położeniom. Wektor przeprowadzony z końca pierwszego wektora do końca drugiego wskazuje kierunek siły działającej. Istotne jest jednak, aby oba wektory prędkości oddzielone były bardzo krótkim odstępem czasu. Ścisła analiza słów takich, jak bardzo bliski, bardzo krótki, bynajmniej nie jest prosta. Właśnie ta analiza doprowadziła Newtona i Leibniza do wynalezienia rachunku różniczkowego. Droga wiodąca do uogólnienia tropu Galileusza jest żmudna i uciążliwa. Nie możemy tu wykazać, jak liczne i owocne są wnioski, które z tego uogólnienia wynikają. Jego 14
zastosowanie prowadzi do prostego i przekonującego wyjaśnienia wielu faktów, które przedtem wydawały się nie związane z sobą i niezrozumiałe. Z ogromnego bogactwa rozmaitych ruchów wybierzemy najprostsze i zastosujemy do nich sformułowane przed chwilą prawo. Tor pocisku wystrzelonego z działa, tor kamienia rzuconego pod kątem do poziomu, tor strumienia wody tryskającego z sikawki te wszystkie dobrze znane tory są jednakowego typu: mają kształt paraboli. Wyobraźmy sobie na przykład, że do kamienia przymocowany jest szybkościomierz; możemy więc narysować wektor prędkości w dowolnej chwili. Przypuśćmy, że wynik jest taki, jak przedstawiono na rysunku poniżej. Kierunek siły działającej na kamień jest taki sam, jak kierunek zmiany prędkości, a ten umiemy już określać. Wynik przedstawiony na następnym rysunku wskazuje, że siła jest pionowa i skierowana w dół. Mamy tu sytuację zupełnie taką samą, jak w przypadku kamienia puszczonego swobodnie ze szczytu wieży. Tory, a także prędkości, są w obu wypadkach zupełnie różne, jednakże zmiana prędkości ma kierunek ten sam, to znaczy, jest skierowana do środka Ziemi. Kamień, uwiązany na sznurku i wirujący w płaszczyźnie poziomej, porusza się po torze kołowym. Jeżeli szybkość jest stała, to wszystkie wektory na wykresie przedstawiającym ruch mają jednakową długość. Jednakże prędkość nie jest stała, bo tor nie jest linią prostą. Jedynym ruchem, przy którym nie działają siły, jest ruch jednostajny prostoliniowy. Tym razem jednak siły działają i prędkość się zmienia nie co do wielkości, lecz co do kierunku. Zmiana ta, według prawa ruchu, musi być spowodowana przez siłę w tym wypadku przez siłę działającą między kamieniem a ręką trzymającą sznurek. 15
Natychmiast nasuwa się kolejne pytanie: w jakim kierunku działa siła? Odpowiedź daje znów wykres wektorowy. Narysowano tu wektory prędkości odpowiadające dwóm bliskim sobie punktom i znaleziono zmianę prędkości. Ten ostatni wektor jest, jak widać, skierowany wzdłuż sznurka, w stronę środka koła i jest zawsze prostopadły do wektora prędkości, czyli do stycznej. Innymi słowy, ręka działa na kamień siłą za pośrednictwem sznurka. Podobnym, ale o wiele ważniejszym przykładem jest obrót Księżyca dokoła Ziemi. Obrót ten można w przybliżeniu przedstawić jako ruch jednostajny po kole. Siła jest tu skierowana ku Ziemi z tego samego powodu, dla którego w naszym poprzednim przykładzie była skierowana ku ręce. Choć Ziemi z Księżycem nie łączy sznurek, to jednak możemy sobie wyobrazić linię łączącą środki obu ciał, siła leży na tej właśnie linii i jest skierowana w stronę środka Ziemi, zupełnie tak samo jak siła działająca na kamień rzucony w powietrze lub puszczony z wieży. Wszystko, cośmy dotąd powiedzieli na temat ruchu, można streścić w jednym zdaniu. Siła i zmiana prędkości są wektorami o jednakowym kierunku. Jest to wstępny trop do rozwiązania problemu ruchu, z pewnością jednak nie wystarczający do pełnego wyjaśnienia wszystkich spotykanych ruchów. Przejście od sposobu myślenia Arystotelesa do sposobu myślenia Galileusza stało się kamieniem węgielnym nauki. Po dokonaniu tego wyłomu droga 16
dalszego rozwoju stanęła otworem. Interesujemy się tu wczesnymi stadiami rozwoju, śledzimy pierwsze tropy, wskazujemy, jak w pełnej bólu walce ze starymi ideami rodzą się nowe pojęcia fizyczne. Zajmujemy się tylko pracami pionierskimi dla nauki, polegającymi na odkrywaniu nowych i niespodziewanych dróg rozwoju; zajmujemy się przygodami, jakich doznaje myśl naukowa, stwarzając wiecznie zmieniający się obraz wszechświata. Pierwsze i zasadnicze kroki zawsze mają charakter rewolucyjny. Stare pojęcia, uznane przez wyobraźnię naukową za zbyt ciasne, zostają zastąpione przez nowe. Dalszy rozwój w wytkniętym raz kierunku ma już raczej charakter ewolucji, dopóki w kolejnym punkcie zwrotnym nie zajdzie potrzeba opanowania nowej dziedziny. Aby jednak rozumieć przyczyny i trudności, które zmuszają do zmiany ważnych pojęć, musimy znać nie tylko wstępne tropy, ale także wnioski, jakie można z nich wyciągnąć. Jedną z najważniejszych cech charakterystycznych współczesnej fizyki jest fakt, że wnioski wyciągane ze wstępnych tropów mają charakter nie tylko jakościowy, ale również ilościowy. Powróćmy do kamienia puszczonego z wieży. Widzieliśmy już, że jego prędkość wzrasta w miarę spadania, chcielibyśmy jednak wiedzieć znacznie więcej. Ile mianowicie wynosi ta zmiana? A także: Jakie jest położenie oraz prędkość kamienia w dowolnej chwili po rozpoczęciu spadania? Chcemy móc przewidywać zdarzenia i stwierdzać na podstawie doświadczenia, czy obserwacje potwierdzają te przepowiednie a przez to również założenia początkowe. Aby wyciągnąć wnioski ilościowe, trzeba użyć języka matematyki. Większość podstawowych idei w nauce jest zasadniczo prosta i może być na ogół wyrażona w języku zrozumiałym dla każdego. Jednak śledzenie rozwoju tych idei wymaga znajomości bardzo subtelnej techniki badań. Jeżeli chcemy wyciągać wnioski, które można by porównać z doświadczeniem, to matematyka jako narzędzie rozumowania jest do tego niezbędnie potrzebna. Dopóki jednak zajmujemy się tylko podstawowymi pojęciami fizycznymi, możemy się obyć bez języka matematyki. Ponieważ tej zasady staramy się na kartach naszej książki konsekwentnie przestrzegać, będziemy musieli od czasu do czasu ograniczać się do cytowania bez dowodów niektórych wyników, koniecznych do zrozumienia ważnych tropów, które pojawią się w dalszym ciągu. Cena, jaką za zrezygnowanie z języka matematyki musimy zapłacić, to mniejsza precyzja i konieczność cytowania czasem wyników bez wskazania sposobu ich uzyskania. Bardzo ważnym przykładem ruchu jest ruch Ziemi dokoła Słońca. Wiadomo, że w tym wypadku torem jest linia zamknięta, zwana elipsą. 17
Konstrukcja wektorowego wykresu zmian prędkości wykazuje, że siła działająca na Ziemię jest skierowana do Słońca. Wszystko to razem stanowi jednak skąpą informację. Chcielibyśmy móc przewidzieć położenie Ziemi i innych planet w dowolnej chwili, chcielibyśmy przewidzieć datę i czas trwania najbliższego zaćmienia Słońca oraz wiele innych wydarzeń astronomicznych. Wszystko to jest możliwe, jednak nasz wstępny trop nie będzie sam przez się stanowił dostatecznej ku temu podstawy, albowiem teraz musimy znać nie tylko kierunek siły, lecz również jej wartość bezwzględną jej wielkość. Zagadnienie to w natchniony sposób rozwiązał Newton. Według jego prawa powszechnego ciążenia siła, z jaką przyciągają się dwa ciała, zależy w prosty sposób od ich wzajemnej odległości. Gdy odległość wzrasta, siła maleje. Konkretnie gdy odległość wzrasta dwa razy, siła maleje 2 2 = 4 razy; gdy odległość wzrasta trzy razy, siła maleje 3 3 = 9 razy. Widzimy więc, że w przypadku siły ciążenia udało nam się wyrazić w prosty sposób zależność siły od odległości między poruszającymi się ciałami. Podobnie postępujemy w przypadku wszystkich innych sił, na przykład elektrycznych, magnetycznych lub innych. Próbujemy przedstawić siłę za pomocą prostego wzoru. Wzór ten będzie słuszny pod warunkiem, że wyciągnięte z niego wnioski zostaną potwierdzone przez doświadczenie. Sama jednak znajomość siły ciążenia nie wystarcza do opisu ruchu planet. Wiemy już, że wektory przedstawiające siłę i zmianę prędkości w dowolnym, krótkim odstępie czasu mają ten sam kierunek; musimy jednak, za Newtonem, pójść o krok dalej i założyć prosty związek między długościami tych wektorów. Jeżeli wszystkie pozostałe warunki są takie same, to znaczy, jeżeli mamy to samo poruszające się ciało i zmiany prędkości rozpatrywane są w jednakowych odstępach czasu, wówczas zmiana prędkości jest, według Newtona, proporcjonalna do siły. Tak więc do wyciągnięcia ilościowych wniosków dotyczących ruchu planet trzeba tylko dwóch uzupełniających się stwierdzeń. Jedno z nich ma charakter ogólny i ustala związek między siłą a zmianą prędkości. Drugie jest szczegółowe i ustala ścisłą zależność wchodzącej w tym wypadku w grę siły od odległości między ciałami. Pierwsze to ogólne prawo ruchu Newtona, drugie to jego prawo powszechnego ciążenia. Oba prawa razem 18
wyznaczają ruch. Można to wyjaśnić, używając następującego, na pozór trochę niezręcznego rozumowania. Przypuśćmy, że potrafimy określić położenie i prędkość planety w pewnej chwili oraz że znamy siłę. Zgodnie z prawami Newtona znamy wówczas zmianę prędkości, jaka następuje w krótkim odcinku czasu. Znając prędkość początkową oraz jej zmianę, możemy znaleźć prędkość i położenie planety w końcu tego odcinka czasu. Powtarzając ten proces wielokrotnie można, nie odwołując się już do dalszych danych doświadczalnych, wykreślić cały tor ruchu. W zasadzie, w ten właśnie sposób mechanika przewiduje bieg ruchu ciała, ale użyta tu metoda nie jest zbyt wygodna. W praktyce takie postępowanie krok za krokiem byłoby niesłychanie żmudne, a także niedokładne. Na szczęście nie jest to potrzebne; matematyka dostarcza nam krótszej drogi, umożliwiając ścisły opis ruchu przy użyciu znacznie mniejszej ilości atramentu, niż potrzeba do napisania jednego zdania. Wnioski, do których się w ten sposób dochodzi, mogą być w wyniku obserwacji potwierdzone lub obalone. Zarówno w przypadku ruchu kamienia spadającego w powietrzu, jak i w przypadku obiegu Księżyca po orbicie stwierdza się ten sam rodzaj siły zewnętrznej, a mianowicie siłę, z jaką Ziemia przyciąga ciała materialne. Newton uznał, że ruchy spadających kamieni, Księżyca i planet są tylko bardzo szczególnymi przejawami powszechnej siły ciążenia, która działa pomiędzy dwoma ciałami. W prostych przypadkach można ruch opisać i przewidzieć, posługując się matematyką. W przypadkach bardziej złożonych, gdy w grę wchodzi wzajemne oddziaływanie na siebie wielu ciał, opis matematyczny nie jest tak prosty, ale podstawowe zasady pozostają te same. Widzimy, że wnioski, do których doszliśmy, idąc po naszych wstępnych tropach, sprawdzają się w ruchu rzuconego kamienia, w ruchu Księżyca, Ziemi i planet. Zauważmy, że nasz system przewidywań musi być przez doświadczenie albo w całości przyjęty, albo w całości odrzucony. Żadnego z założeń nie można wyodrębnić do osobnego sprawdzenia. W przypadku planet krążących dokoła Słońca okazuje się, że system mechaniki działa znakomicie. Można sobie jednak z powodzeniem wyobrazić inny system, oparty na innych założeniach, który działałby równie dobrze. Pojęcia fizyczne są swobodnymi tworami umysłu ludzkiego i nie są, choć by się tak mogło wydawać, w sposób jednoznaczny wyznaczone przez świat zewnętrzny. W naszym dążeniu do zrozumienia rzeczywistości jesteśmy trochę podobni do człowieka, który próbuje zrozumieć mechanizm zamkniętego zegarka. Widzi on tarczę i poruszające się wskazówki, słyszy nawet tykanie, jednakże nie zna sposobu otworzenia koperty. Może on, jeśli jest pomysłowy, stworzyć sobie pewne wyobrażenie mechanizmu obraz, który tłumaczyłby wszystkie obserwowane fakty nigdy jednak nie miałby całkowitej pewności, że jest to jedyny obraz, który objaśnia jego obserwacje. Nigdy też nie będzie mógł porównać swego obrazu z rzeczywistym mechanizmem; nie może sobie nawet wyobrazić możliwości ani sensu takiego porównania. Z pewnością jednak wierzy, że w miarę jak rośnie zasób jego wiedzy, stworzony przezeń obraz rzeczywistości będzie się upraszczał, objaśniając coraz to szerszy zakres jego wrażeń zmysłowych. Może on również wierzyć w istnienie wyidealizowanej granicy poznania, do której zbliża się umysł ludzki. Tę idealną granicę może nazwać prawdą obiektywną. 19
Jeszcze jeden trop Gdy ktoś pierwszy raz uczy się mechaniki, odnosi wrażenie, że w tej dziedzinie wiedzy wszystko jest proste, podstawowe i raz na zawsze rozwiązane. Trudno byłoby podejrzewać, że istnieje ważny trop, którego przez trzysta lat nikt nie zauważył. Ten nie dostrzeżony trop wiąże się z jednym z najbardziej podstawowych pojęć fizyki z pojęciem masy. Znów wracamy do prostego wyidealizowanego doświadczenia z wózkiem na doskonale gładkiej drodze. Jeżeli wózek, pozostający początkowo w spoczynku, zostanie popchnięty, to będzie się on poruszał ruchem jednostajnym z pewną prędkością. Przypuśćmy, że działanie siły można powtarzać dowolną ilość razy, przy czym mechanizm popychania jest zawsze taki sam i za każdym razem ten sam wózek jest popychany taką samą siłą. Niezależnie od tego, ile razy byśmy doświadczenie powtarzali, prędkość końcowa będzie zawsze jednakowa. Co się jednak stanie, jeżeli zmienimy warunki doświadczenia i zamiast, jak poprzednio, wózka pustego, użyjemy naładowanego? Wózek naładowany będzie miał prędkość końcową mniejszą niż pusty. Wynika stąd następujący wniosek: jeżeli jedna i ta sama siła działa na dwa różne ciała, które początkowo pozostają w spoczynku, to prędkości, z jakimi się one w rezultacie poruszają, nie będą jednakowe. Mówimy, że prędkość zależy od masy ciała, przy czym jest tym mniejsza, im masa jest większa. Wiemy więc, przynajmniej teoretycznie, jak wyznaczyć masę ciała; a raczej jak stwierdzić, ile razy jedna masa jest większa od drugiej. Mamy dwie spoczywające masy, na które działają jednakowe siły. Jeżeli stwierdzimy, że prędkość pierwszej masy jest trzy razy większa od prędkości drugiej, to można stąd wywnioskować, że pierwsza masa jest trzy razy mniejsza od drugiej. Nie jest to z pewnością zbyt praktyczna metoda wyznaczania stosunku dwóch mas. Niemniej można sobie doskonale wyobrazić stosowanie zarówno tej metody, jak i innych, podobnych, opartych na prawie bezwładności. Jak wyznaczamy masę w praktyce? Oczywiście, nie w sposób wyżej opisany. Każdy zna poprawną odpowiedź: masę wyznaczamy ważąc. Rozpatrzmy bardziej szczegółowo dwa różne sposoby wyznaczania masy. Pierwsze doświadczenie nie miało nic wspólnego z ciążeniem, z przyciąganiem Ziemi. Popchnięty wózek porusza się po doskonale gładkiej i poziomej płaszczyźnie. Siła ciążenia, która sprawia, że wózek pozostaje na płaszczyźnie, nie zmienia się i nie odgrywa przy wyznaczaniu masy żadnej roli. W przypadku ważenia sytuacja jest zupełnie inna. Gdyby Ziemia nie przyciągała ciał, gdyby nie było ciążenia nigdy nie moglibyśmy użyć wagi. Różnica pomiędzy dwoma omówionymi sposobami wyznaczania masy polega na tym, że pierwszy z nich nie ma nic wspólnego z ciążeniem, podczas gdy drugi opiera się właśnie na istnieniu ciążenia. Pytamy: czy wyznaczając stosunek dwóch mas obydwoma opisanymi sposobami, otrzymamy ten sam wynik? Odpowiedź, jaką daje doświadczenie, nie pozostawia wątpliwości. Wyniki są dokładnie takie same! Tego wniosku nie można było przewidzieć; nie jest on oparty na rozumowaniu, lecz na obserwacji. Dla uproszczenia nazwijmy masę wyznaczoną w pierwszy sposób masą bezwładną, zaś wyznaczoną w drugi sposób masą grawitacyjną. Tak się składa, że w naszym świecie są one równe, można sobie jednak doskonale wyobrazić, że mogłoby być inaczej. Od razu nasuwa się nowe pytanie: czy ta tożsamość dwóch rodzajów mas jest czysto przypadkowa, czy też ma ona głębsze znaczenie? Odpowiedź z punktu widzenia fizyki klasycznej brzmi: tożsamość obu mas jest przypadkowa i nie należy przypisywać jej głębszego znaczenia. Odpowiedź fizyki współczesnej jest wprost przeciwna: tożsamość obu mas ma znaczenie podstawowe i stanowi nowy, istotny trop wiodący ku głębszemu zrozumieniu zjawisk. W istocie był to jeden z najważniejszych tropów, które doprowadziły do powstania tak zwanej ogólnej teorii względności. 20