Wydział Matematyki i Informatyki Studenckie Interdyscyplinarne Koło Naukowe Dydaktyki Matematyki 1. Przedstawienie się. 2. Wstęp pytania do publiczności. TAJEMNICE NIESKOŃCZONOŚCI W tej części chcę poznać opinie i intuicje uczniów dotyczące liczebności następujących zbiorów liczbowych 1 :. Spodziewam się tu usłyszeć m. in. że liczb całkowitych jest dwa razy więcej niż liczb naturalnych, że liczb wymiernych jest zdecydowanie więcej niż liczb całkowitych, natomiast liczb rzeczywistych jeszcze więcej niż wymiernych. Być może niektórzy z nich coś słyszeli na ten temat i wbrew intuicji zgłoszą inny pomysł. Pytań tych nie będę tutaj rozstrzygać, zaznaczę tylko, że w czasie tego wykładu wszystkie wątpliwości zostaną w przystępny sposób rozwiane. 3. Paradoks Galileusza Punktem wyjścia do dalszych rozważań będą obserwacje dokonane przez Galileusza. Zanim je zaprezentuję, przedstawię krótko sylwetkę samego matematyka. Galileusz, a właściwie Galileo Galilei urodził się w 1564 roku w Pizie, a zmarł w 1642 roku koło Florencji. Był on włoskim astronomem, astrologiem, fizykiem i filozofem, twórcą nowoczesnej fizyki. Pomimo powszechnie panującego nauczania Kościoła dotyczącego teorii geocentrycznej, Galileusz wierzy w teorię heliocentryczną Kopernika. Stało się to powodem jego konfliktu z Kościołem. Uczony ten, choć nigdy się nie ożenił, miał trójkę dzieci. W 1638 roku Galileusz wydał pracę, w której przedstawił swoje rozważania dotyczące zbiorów nieskończonych. Dokonał on następującego porównania zbioru liczb naturalnych ze zbiorem kwadratów tych liczb: Galileusz zauważył, że możemy wypisać w jednym wierszu kolejne liczby naturalne, a pod nimi ich kwadraty. Obserwacja ta nasuwa wniosek, że liczb naturalnych jest tyle samo co ich kwadratów. Z drugiej zaś strony tylko nieliczne liczby naturalne są kwadratami. Widzimy także, że przerwy pomiędzy kolejnymi kwadratami są coraz 1 Uwaga! W całym dokumencie przyjmuję oznaczenie zbioru liczb całkowitych (wymiernych) jako zgodnie z konwencją nauczania w średnich. ul. Umultowska 87, Collegium Mathematicum, 61-614 Poznań studmat@wmi.amu.edu.pl www.studmat.wmi.amu.edu.pl strona 1 z 6
większe. Takie spojrzenie na problem sugeruje nam, że liczb naturalnych jest zdecydowanie więcej niż liczb ich kwadratów. Zatem które stwierdzenie jest prawdziwe? 4. Równoliczność zbiorów. Formułujemy przed uczniami następujący problem: Dane mamy dwa skończone zbiory. W jaki sposób możemy ustalić czy każdy z nich ma taką samą liczbę elementów? Uczniowie prawdopodobnie w pierwszej kolejności będą proponować przeliczenie elementów w każdym ze zbiorów i porównanie otrzymanych wyników. Jeżeli nie wpadną sami na pomysł łączenia w pary, to można im to zasugerować, np. pytając jak sprawdzić czy w Azji mieszka tyle samo kobiet, co mężczyzn i podkreślając jednocześnie, że nie interesuje nas sama w sobie liczba osób poszczególnej płci, a jedynie odpowiedź na postawione pytanie. Dalej polecamy uczniom rozpatrzyć przypadek zbiorów nieskończonych i wspólnie dochodzimy do wniosku, że ręczne przeliczenie elementów tych zbiorów jest niemożliwe, natomiast dobieranie w pary tak. Wnioski z dyskusji formułujemy w postaci umowy: UMOWA! Dwa zbiory A i B nazywamy równolicznymi, gdy ich elementy można połączyć w pary w taki sposób, że każdy element z pierwszego zbioru jest w parze z dokładnie jednym elementem drugiego zbioru oraz żaden element nie został bez pary. Proponujemy teraz uczniom zastanowienie się czy zbiory liczb całkowitych i naturalnych są równoliczne. Powinni oni bez problemu wskazać przykład połączenia w pary, który uzasadnia to stwierdzenie. 5. Ile jest liczb wymiernych dodatnich? Formułujemy przed uczniami następujący problem: Ile jest liczb wymiernych dodatnich? Warto przypomnieć uczniom jakie liczby nazywamy wymiernymi. Wydawać by się mogło, że liczb wymiernych jest znacznie więcej niż liczb całkowitych, gdyż między dwiema kolejnymi liczbami całkowitymi znajdziemy nieskończenie wiele liczb wymiernych, a samych liczb całkowitych jest nieskończenie wiele. Jeśli zobrazujemy tą sytuację na osi liczbowej [tablica] to przypomina wręcz morze liczb wymiernych, na którym gdzieniegdzie znajdują się odosobnione wysepki w postaci liczb całkowitych. Takie zobrazowanie nasuwa wniosek, że liczb wymiernych jest dużo więcej niż liczb całkowitych. Znak sprawy strona 2 z 6
Ale czy tak jest na pewno? 6. George Cantor Odpowiedzi na to pytanie poszukiwał George Cantor, niemiecki matematyk, który stworzył fundamenty współczesnej matematyki. Cantor urodził się w 1845 rok w Sankt Petersburgu. W 1856 roku jego rodzina przeniosła się do Niemiec, gdzie podjął na Uniwersytecie Berlińskim studia z matematyki, filozofii i fizyki. W 1874 roku Cantor opublikował jedną z najważniejszych prac w historii matematyki uważaną za fundament teorii mnogości. W 1917 roku zmarł w sanatorium, w którym spędził kilka ostatnich lat swojego życia. 7. Ile jest liczb wymiernych dodatnich (c. d.)? Cantor znalazł odpowiedź na postawione wcześniej pytanie pokazał, że zbiór liczb wymiernych dodatnich jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Zauważmy najpierw, że każdą liczbę wymierną możemy zapisać w postaci ułamka. Oczywiście przedstawień takich jest nieskończenie wiele, np.. Wynika stąd, że wszystkich liczb wymiernych dodatnich jest co najwyżej tyle, co wszystkich ułamków. Spróbujemy teraz pokazać połączenie w pary liczb naturalnych oraz ułamków. W tym celu skorzystamy z tablicy utworzonej w ten sposób, że na przecięciu p-tego wiersza i q-tej kolumny znajduje się ułamek. Elementy tej tablicy możemy połączyć w pary z kolejnymi liczbami naturalnymi zgodnie z kolejnością wyznaczoną przez strzałki. Wówczas otrzymamy następujące połączenie w pary: Znak sprawy strona 3 z 6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Pokazaliśmy zatem, że zbiór ułamków jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Wcześniej zauważyliśmy, że liczb wymiernych jest co najwyżej tyle co ułamków. Jednocześnie każda liczba naturalna jest liczbą wymierną dodatnią. Dochodzimy zatem do wniosku, że liczb wymiernych dodatnich jest dokładnie tyle samo co liczb naturalnych. W podobny sposób można udowodnić, że wszystkich liczb wymiernych jest dokładnie tyle samo co liczb naturalnych. 8. Ile jest liczb rzeczywistych? W tej części zadajemy uczniom problem porównania zbioru liczb rzeczywistych i naturalnych. Dotychczasowe rozważania, które pokazały że zbiory liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych są równoliczne mogą podsunąć uczniom pomysł, że także i liczb rzeczywistych jest dokładnie tyle samo, ile jest liczb naturalnych. Polecam nie informować uczniów z góry o prawidłowej odpowiedzi na to pytanie. Zamiast tego można wykorzystać te głosy intuicji do przeprowadzenia dowodu nie wprost w sposób analogiczny do rozumowania jakie przeprowadził Cantor. Dla uproszczenia przypuśćmy najpierw, że wszystkich liczb rzeczywistych pomiędzy 0 i 1 jest dokładnie tyle samo, co liczb naturalnych. Oznacza to, że można połączyć w pary każdą liczbę naturalną z pewną liczbą rzeczywistą z przedziału (0,1) w taki sposób, aby żadna liczba rzeczywista nie została bez pary. Łączenie to możemy przedstawić w formie następującej tabeli: 1 2 3 4 5 6 7... n...... Zapiszmy te liczby jedna pod drugą w formie nieskończonej tablicy ilustrującej poszczególne cyfry rozwinięcia dziesiętnego tych liczb: Znak sprawy strona 4 z 6
=0, =0, =0, =0, =0, =0, =0, =0, Rozpatrzmy teraz liczbę postaci 2 gdzie. Liczba ta jest większa od 0 i mniejsza od 1, jest różna od wszystkich liczb, ale jednocześnie nie występuje w żadnej parze z liczbą naturalną. Zatem przypuszczenie, że liczb rzeczywistych większych od 0 i mniejszych od 1 doprowadziło nas do sprzeczności. W szczególności oznacza to, że zbiór wszystkich liczb rzeczywistych nie może być równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Uwaga! Niektórym uczniom warunek może wydać się niejasny. Warto wówczas zilustrować rozumowanie na konkretnym przykładzie. 9. Podsumowanie zajęć QUIZ. Jako podsumowanie wykładu proponuję krótki quiz sprawdzający ile uczniowie zapamiętali z zajęć. Pytanie nr 1 Podaj dowolny rok, w którym żył Galileusz (Odpowiedź: 1564-1642) 2 Milcząco umawiamy się tutaj, że zapis nie oznacza iloczynu tylko symbolizuje zapisane obok siebie kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego liczby b. Znak sprawy strona 5 z 6
Pytanie nr 2 W którym roku Cantor opublikował swoją przełomową pracę, która stanowi fundamenty współczesnej matematyki? (Odpowiedź: 1874) Pytanie nr 3 Wybierz stwierdzenie prawdziwe: A. Liczb całkowitych jest mniej więcej dwa razy więcej niż liczb naturalnych. B. Liczb rzeczywistych jest dokładnie tyle samo, co liczb wymiernych. C. Zbiory liczb całkowitych i naturalnych są równoliczne. (Odpowiedź: C) Pytanie nr 4 Paradoks Galileusza polegał na tym, że: A. Kwadratów liczb naturalnych jest tyle samo co liczb naturalnych. B. Zbiory liczb całkowitych i naturalnych są równoliczne. C. Zbiory liczb rzeczywistych i naturalnych nie są równoliczne. (Odpowiedź: A) Pytanie nr 5 Który matematyk udowodnił, że zbiory liczb rzeczywistych oraz naturalnych nie są równoliczne? A. Przemysław Pela B. George Cantor C. Galileusz (Odpowiedź: B) Opracowanie: Przemysław Pela, Studenckie Interdyscyplinarne Koło Naukowe Dydaktyki Matematyki Wydziału Matematyki i Informatyki Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu. W konspekcie zajęć wykorzystano materiały dostępne w Archipelagu Matematyki (http://www.archipelagmatematyki.pl/) Poznań, kwiecień 2013 rok Znak sprawy strona 6 z 6