Oddziaływanie Promieniowania Jonizującego z Materią Plan Prawdopodobieństwo - revisited Bayes Modele P.D.F., parametry rozkładów Kilka użytecznych przykładów Tomasz Szumlak AGH-UST Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 14/04/2015 1
zagadnienia wstępne/organizacja zajęć źródła promieniowania mechanizmy oddziaływania (fizyka) pojęcie przekroju czynnego wybrane zagadnienia statystyczne wybrane metody detekcji eksperymenty fizyczne symulacje oddziaływania promieniowania z materią tory pomiarowe 2
Pojęcie podstawowe (1) Interpretacja prawdopodobieństwa a) Obiektywne prawd. podejście częstościowe: A, B, - różne, możliwe wyniki doświadczenia - zakładamy, że możemy powtórzyć doświadczenie w sposób kontrolowany - P(A), P(B), możemy wówczas zdefiniować jako: - bardzo użyteczny sposób na szacowanie prawd. - np. opis rozpadu substancji promieniotwórczej - mechanika kwantowa 3
Pojęcie podstawowe (2) Interpretacja prawdopodobieństwa (patrz wykład 1) b) Subiektywne prawd. A, B, - różne hipotezy (niektóre prawdziwe, niektóre fałszywe) - w zasadzie oba podejścia zgodne z aksjomatami - prawd. subiektywne (zależne od obserwatora) może niepokoić - statystyka jest częścią matematyki, obliczanie prawd. zajścia zdarzenia A powinno być jednoznaczne - popatrzmy na prosty przypadek rzutu kostką do gry 4
Pojęcie podstawowe (3) Rzucamy symetryczną (uczciwą) kostką do gry jak wyznaczyć prawd. P(1) =? Przy powyższych założeniach: P(1) = P(2) = = P(6) = 1/6 Mówimy, że poszczególne prawd. P(i) są stałe, ale wynik każdego rzutu jest zmienną losową ZL (dokładna definicja ZL podczas wykładu nr 3) Jak możemy sprawdzić wartość P(i)? - eksperyment: rzucamy kostką N razy - przyjmiemy: 5
Pojęcie podstawowe (4) Rzucamy symetryczną (uczciwą) kostką do gry jak wyznaczyć prawd. P(1) =? Wynik jaki przyjęliśmy powyżej wydaje się rozsądny (logiczny?) Czy aby na pewno?? Obiektywność prawd. jest UŁUDĄ! - formuła, którą otrzymaliśmy zakłada, że każde zdarzenie elementarne jest tak samo prawdopodobne - czyli: eksperyment składa się z ciągu identycznych prób - dlaczego zakładamy domyślnie, że prawd. nie może się zmienić? - oraz, co można powiedzieć o symetrii kostki, gdy wykonamy 5, 20, 100 rzutów? 6
Pojęcie podstawowe (5) - 100 prób pokaźna próbka - powyższa symulacja pokazuje duże wahania (fluktuacje) - czy kostka staje się bardziej uczciwa w funkcji liczby rzutów? - fluktuacje bardzo istotne dla opisu częstościowego, istnieje ogromna maszyneria dedykowana do radzenia sobie z tym 7
Prawd. warunkowe Prawdopodobieństwo miara naszej wiary ZAWSZE zależy od dodatkowych informacji (background information) W zasadzie, zawsze powinniśmy myśleć o P(X) w kategoriach prawd. warunkowego! Zdarzenie X szacujemy To są dodatkowe informacje W zależności od stanu swojej wiedzy, obserwatorzy A i B mogą wyznaczyć różne wartości P(X I) subiektywność Subiektywny Arbitralny Jeżeli obaj posiadają taką samą wiedzę, powinni wyznaczyć takie same wartości prawdopodobieństwa W tym sensie, podejście subiektywne (będziemy je od tej pory nazywać Bayesowskim) jest bardziej naturalne 8
Prawd. warunkowe Rozumowanie dedukcyjne Przyczyna Teoria, zwykle kompletna, nie zawierająca stwierdzeń fałszywych Możliwe skutki Przewidywania wysnute na podstawie teorii Rozumowanie indukcyjne Możliwe Przyczyny Konkurujące teorie/modele Obserwacje Który z nich jest najbardziej wiarygodny? 9
Twierdzenie Bayes a (1) Wróćmy do rachunków formalnie definiujemy prawd. warunkowe dla zdarzenia A (to prawd. próbujemy oszacować) pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B (to znamy a priori, stało się na pewno, dodatkowa informacja); często nazywane czwartym aksjomatem prawd. Np. rzucamy kostką do gry, A # oczek < 3, B - # oczek parzysta P(A) P(A B) B jest dodatkową informacją! P(# < 3 # parzysta) = P((# < 3) (# parzyste))/p(# parzyste) = 1/3 Wnioski: - A i B są niezależne - Nie mylić ze zdarzeniami rozłącznymi! - Gdy niezależne: (dodatkowa info. nie zmienia prawd. zajścia A) 10
Twierdzenie Bayes a (2) Bezpośrednio z definicji prawd. warunkowego: oraz, więc: Twierdzenie Bayes a (1702 1761) (jednocześnie stary i nowy temat) 11
Twierdzenie Bayes a (3) Jeżeli możemy podzielić P.Z.E. na zdarzenia wzajemnie rozłączne: Wtedy zdarzenie B można wyrazić: Prawd. całkowite Tw. Bayes a 12
Twierdzenie Bayes a (4) p(param data) p(data param) * p(param) posterior likelihood prior 13
Zmienna Losowa (1) Prob. - P: A P(A) [0, 1] P 1 A 0 Prob. wprowadzone formalnie jako funkcja przypisująca każdemu Z.E. liczbę rzeczywistą zawsze większą od 0 i mniejszą od 1 - Aksjomaty nie precyzują w jaki sposób przypisywać Z.E. wartości prob. - Dla konkretnego przypadku sami musimy zadecydować jak to zrobić - Np. rzut kostką: P(i) = 1/6, rzut monetą P(i) = ½, - i: liczba oczek na danej ścianie kostki, orzeł lub reszka, 14
Zmienna Losowa (2) Np. rzut kostką: P(i) = 1/6, rzut monetą P(i) = ½, W obu przypadkach mamy jakieś i szansa na uogólnienie? X + x i i - Zdefiniujmy nową funkcję - X (zmienna losowa, funkcja losowa): X: x i X(x i ) 15
Zmienna Losowa (3) Rozważmy dwa poniższe przykłady: podwójny rzut monetą (symetryczną) = {OO, OR, RO, RR} (O orzeł, R reszka) niech X reprezentuje liczbę wyrzuconych orłów: Z.E OO RO OR RR pojedynczy rzut kostką = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (liczba wyrzuconych oczek) mamy: X(1) = 1, X(2) = 2, X(6) = 6; X(i) = i Ogólnie: Z.L. jest funkcją, zdefiniowaną na Z.Z.E, która każdemu Z.E. przypisuje liczbę X nie wprowadzamy żadnych ograniczeń co do wartości Z.L. w zasadzie dowolne przyporządkowanie np. dla kostki równie dobre będzie: X(1) = -1000, X(2) =, X(3) = log 10 (223), zawsze kierujemy się względami praktycznymi 16
Zmienna Losowa (4) Niech Z.L. przyjmuje wartości X = {x 1, x 2, x n } Wiemy, że x 1 odpowiada pewnemu Z.E., więc możemy przypisać jej prob.: lub ogólnie: P(X = x 1 ) = f(x 1 ) P(X = x j ) = f(x j ), j = 1, 2,, n Funkcję f(x j ) nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa (R.P), lub rozkładem gęstości prawdopodobieństwa (P.D.F.) Formalnie: funkcję f(x) nazywamy funkcją prawdopodobieństwa (R.P.) jeżeli: 1) 2) suma w 2) rozciąga się po wszystkich możliwych wartościach x, dla zmiennej dyskretnej są to oczywiście wszystkie X = x j, dla wszystkich pozostałych mamy: f(x) = 0 17
Zmienna Losowa (4) Przykład rozważmy rzut parą kostek do gry, niech zmienną losową będzie suma oczek na obu kostkach X = (suma oczek na K1 + suma oczek na K2) Z.Z.E. składa się z 36 dwójek (oczka na K1, oczka na K2) = {(1,1), (1,2),, (5,6), (6,6)} każde Z.E. tak samo prawdopodobne: P( j ) = 1/36 czyli X = 2 odpowiada (1,1), P(X = 2) = f(2) = 1/36, itd. 18
Zmienna Losowa (5) X + 1 x i i 0 - Z.L. jest jednym z najważniejszych pojęć statystyki R.G.P. jest podstawowym narzędziem stosowanym do opisu cech zjawiska losowego, które badamy statystyka opisowa (pojęcie histogramu Wykład 4) 19
Dystrybuanta Dystrybuantą (funkcja rozkładu prawdopodobieństwa całkowitego) zmiennej losowej X, posiadającej F.G.P. f(x) nazywamy funkcję: F(x) = P(X x) Dystrybuanta posiada następujące własności: 1) 2) 3) 4) 1) Z.L. przyjmuje dowolne wartości 2) Dystrybuanta jest funkcją niemalejącą 3) Zachowanie asymptotyczne całkowite prawdopodobieństwo 4) Dystrybuanta jest funkcją prawostronnie ciągłą 20
P.D.F i dystrybuanta P.D.F. rozkład gęstości prawd. Rozkład prawd. P(a < X < b) = F(b) F(a) 21
Zamiana zmiennych (1) Jeżeli zdefiniujemy pewną Z.L. X, to dowolna funkcja typu: jest również Z.L. Możemy łatwo wyobrazić sobie zastosowanie takiego odwzorowania! Typowe pytanie jakie pojawia się w związku z tym to: mamy Z.L X oraz jej R.G.P., jeżeli wiemy, że Y jest funkcją X to czy istnieje ogólny sposób wyrażenia R.G.P. dla Z.L. Y przez f(x)? TAK dzięki ogólnym regułom dotyczącym zamiany zmiennych! Popatrzmy na następujący przykład: oblicz całkę: 22
Zamiana zmiennych (2) Wygodnie jest dokonać zamiany zmiennych! i dalej: zobaczyliśmy tu kilka ciekawych rzeczy: 1) Zmiana skali!, jeżeli wyobrazimy sobie, że u i x wyrażają długość, to u jest 3x większe niż x 2) Aby dostać ten sam wynik poprawka na zmianę skali, stąd czynnik 1/3 przed całką! 3) W tym przypadku, zmiana skali jest stała na danym przedziale (może oczywiście też być funkcją) 23
Zamiana zmiennych (3) Wracamy do funkcji Z.L., nasze oryginalne pytanie: Pamiętając o poprzednich rozważaniach, wymagam aby: Normalizacja! Zamiana dla dwóch Z.L 24
Statystyka opisowa (1) Definiując pojęcia Z.L. oraz R.G.P. zakładaliśmy, że znamy postać funkcyjną rozkładu tej zmiennej W ogólności nie jest to prawda w praktyce, bardzo często nie jesteśmy w stanie określić dokładnej postaci funkcji R.G.P. możemy jedynie wyznaczyć ograniczoną liczbę parametrów takiego rozkładu. Parametry te, są zawsze wyznaczane na drodze eksperymentalnej Jednym z najważniejszych parametrów opisowych, znanym w statystyce jest wartość oczekiwana, zwana również wartością średnią. Załóżmy, że badamy dyskretną Z.L. przyjmującą wartości: dla której, funkcja R.G.P. zdefiniowana jest jak poniżej: 25
Statystyka opisowa (2) Wówczas, wartość oczekiwaną E[X] ( ), wyznacza się z zależności: Jeżeli, zmienna losowa X posiada rozkład płaski, wówczas prob. Pojawienia się jakiejkolwiek wartości Z.L. jest jednakowa, mamy wówczas: W tym przypadku E[X] nazywana jest średnią arytmetyczną. Poprzez analogię, dla ciągłej Z.L. wartość średnią wyznaczamy z zależności: Wartość średnia dla ciągłej Z.L. istnieje, gdy powyższa całka jest zbieżna! 26
Statystyka opisowa (3) Przykład Dla poniżej zdefiniowanej funkcji R.G.P. zmiennej losowej X wyznacz E[X] Wartość oczekiwana nazywana jest często miarą tendencji centralnej funkcji R.G.P. dla zmiennej losowej X Formułę definiującą E[X] możemy uogólnić w następujący sposób: Analogiczne równanie może zostać zapisana również dla dyskretnej Z.L. 27
Statystyka opisowa (4) Następną wielkością stosowaną do opisu R.G.P. jest wariancja, V[X], którą dla Z.L. X definiujemy jak poniżej: Wariancja jest nieujemną wielkością, której dodatni pierwiastek nazywamy odchyleniem standardowym, Mamy, odpowiednio dla dyskretnych i ciągłych Z.L. Istnieje, jeżeli całka jest skończona Jeżeli Z.L. X pochodzi z rozkładu płaskiego (analogia do E[X]), to: 28
Statystyka opisowa (5) Przykład Dla funkcji zdefiniowanej na stronie 13 wyznaczymy V[X] Wariancję możemy interpretować jako miarę rozrzutu (rozmycia) Z.L. X wokół jej wartości średniej Małe V[X] Duże V[X] 29
Statystyka opisowa (6) Własności (wybrane) wariancji 1) 2) 3) Np. własność 1): Ważna transformacja związana z wartością średnią oraz odchyleniem standardowym - Z.L. standaryzowana: X X* Dla tak zdefiniowanej zmiennej mamy: Jednostka standardowa 30
Momenty (1) Wartość oczekiwana zdefiniowana na ostatnim wykładzie: Wybierzmy funkcję g(x) jak poniżej: wówczas, wyrażenie nazywamy momentem rzędu r względem punktu a. Jeżeli wybierzemy punkt a jako: dostaniemy tzw. momenty centralne (szczególnie ważne w statystyce) 31
Momenty (2) W szczególności mamy: czyli, drugi moment centralny, możemy zidentyfikować jako wariancję Z.L. X Uwaga! Powyższe rozważania dotyczą oczywiście obu rodzajów Z.L. jakie dyskutowaliśmy, tzn. ciągłych i dyskretnych: Podobnie możemy zdefiniować momenty główne: 32
Momenty (3) Istnieje prosty związek, pomiędzy momentami centralnymi i głównymi: Zauważmy, że: Można również łatwo pokazać, że gdy wartość oczekiwana dla danej Z.L. E(X) = 0, wówczas momenty centralne równe są momentom głównym. To ciekawa obserwacja, np. dla zmiennej standardowej oba typy momentów są równe z definicji! 33
Momenty (4) Momenty zdefiniowane dla jednowymiarowych zmiennych losowych mogą być łatwo przeniesione do świata zmiennych wielowymiarowych. Zdefiniujmy zmienną losową posiadającą n-składowych: Funkcję R.G.P. oraz dystrybuantę oznaczymy jako: Momenty centralne, zdefiniujemy jak poniżej: W szczególności momenty drugiego rzędu zapiszemy jako: 34
Momenty (5) Dla wprawy popatrzmy na przypadek dwuwymiarowy: Zakładamy, że rozkład zmiennych X i Y opisany jest przez f(x,y) Wartości oczekiwane dla zmiennych X oraz Y definiujemy jako: Odpowiednio, wariancje: 35
Kowariancja i korelacja (1) Zarówno wartości oczekiwane jak i wariancje definiujemy podobnie jak w przypadku Z.L. jednowymiarowej. Nowością jest następujące wyrażenie mieszane to samo w postaci jawnej: Można pokazać, że prawdziwe są poniższe tożsamości: Z.L. niezależne 36
Kowariancja i korelacja (2) Kowariancja nie ma odpowiednika w przypadku jednowymiarowych Z.L. Zawiera ona informacje dotyczące liniowej zależności pomiędzy zmiennymi losowymi X 1 (X) oraz X 2 (Y), np. gdy zdarzenie: Tradycyjnie, najwygodniej jest wprowadzić wielkość bezwymiarową do określenia zależności pomiędzy Z.L. współczynnik korelacji Łatwo pokazać (np. korzystając z definicji Z.L. w postaci standardowej): 37
Kowariancja i korelacja (3) Uwaga! Jeżeli wsp. korelacji jest różny od zera, mówimy wówczas, że Z.L. są liniowo zależne skorelowane W przypadku, gdy wsp. korelacji jest równy 0 (zanika kowariancja) Z.L. nazywamy nieskorelowanymi liniowo (mogą jednak być zależne!) 38
Modele matematyczne (1) Rozkład dwumianowy Niezwykle użyteczny w zastosowaniach praktycznych, gdy mamy do czynienia, ze zdarzeniami dzielącymi dane populacje na pary alternatyw, np. urządzenie włączone/wyłączone, mężczyzna/kobieta, żywy/martwy itp. itd. Zdarzenia takie nazywamy próbami Bernoulliego. Badając ciąg takich prób i zakładając, że poszczególne próby są od siebie niezależne oraz charakteryzują się stałym prob. sukcesu, p, i porażki, q, dochodzimy do formuły: Pamiętając o tym, że (p+q) = 1, możemy pokazać, że dla rozkładu dwumiennego mamy: Np. rzucając trzema kostkami, prob. wyrzucenia dwóch piątek wynosi: 39
Modele matematyczne (2) Wartość oczekiwana i wariancja dla rozkładu dwumianowego: Istnieje dość duża liczba sposobów wyznaczenia E[X] oraz Var[X] dla rozkładu dwumianowego, poniżej dwie metody wyznaczenia wartości oczekiwanej i jedna dla wariancji. Dla pojedynczej próby, zmienna losowa X k przyjmuje postać: zmienną X można wyrazić przez X k : To samo, używając wprost definicji E[X]: 40
Modele matematyczne (3) Poniżej, rozkład dwumienny, dla N = 20 oraz różnych wartości p 41
Rozkład Poissona Modele matematyczne (4) Załóżmy, że pewien eksperyment polega na zbieraniu (akumulowaniu) danych (Z.L. dyskretna) w funkcji czasu. Zakładamy, że prob. każdego takiego zdarzenia jest małe << 1 i w przybliżeniu stałe w czasie. Np. rozpad promieniotwórczy, rejestracja promieniowania przez licznik Geigera, buforowanie danych nadchodzących losowo (derandomizacja). Zjawiska tego typu, reprezentują zdarzenia losowe, które mogą być opisane rozkładem: Normalizację, sprawdzamy sumując wszystkie przyczynki: Wartość oczekiwana: 42
Modele matematyczne (5) Oraz wariancja: 43
Modele matematyczne (6) Rozkładu Poissona można również użyć do numerycznego przybliżania rozkładu dwumianowego Jeżeli, rozważymy bardzo długi ciąg prób Bernoulliego, dla których prob. sukcesu jest niewielkie (czujemy oczywiście subiektywność tego stwierdzenia ), czyli: wówczas (dowód na ćwiczeniach): Przykład: badania firmy XProcessing wykazały, że prob. wyprodukowania wadliwego procesora wynosi 0.12 %. Procesory są wysyłane w pakietach po 2400 sztuk. Jakie jest prob., że wysłany pakiet zawiera dokładnie 1 wadliwy procesor? Używając rozkładu dwumianowego mamy (sukces to wadliwy procesor): 44
Modele matematyczne (7) Porównanie rozkładów: dwumiennego i Poissona 45
Modele matematyczne (8) Rozkład Gaussa (normalny) jest jednym z najczęściej używanych R.G.P. dla zmiennych losowych ciągłych. Definiujemy go jak poniżej: Można pokazać, że: 46
Modele matematyczne (9) Standaryzowany rozkład normalny: Rozkład normalny zestandaryzowany pokazany jest na poprzednim slajdzie. Obliczanie odpowiednich prob. Staje się łatwe z użyciem rozkładu zmiennej X*. N.p. prob., że zmienna X* zawarta jest w przdziale -1 < X* < 1: Istota zastosowań rozkładu normalnego związana jest z faktem, że w wielu przypadkach pomiarów eksperymentalnych, które naturalnie zawierają losowe niepewności pomiarowe, rozkład tych niepewności może z dobrym przybliżeniem być reprezentowany przez rozkład normalny. 47
Modele matematyczne (10) Dystrybuanta dla funkcji R.G.P. Gaussa jest podawana w postaci tabelarycznej (trudno się całkuje) por. slajd poprzedni. 48
Wnioskowanie statystyczne (1) Praktyczny problem chcemy wyciągnąć znaczące wnioski dotyczące własności (lub zbioru własności) pewnej (zwykle dużej) grupy/zbioru ludzi, zjawisk, przedmiotów etc. W statystyce, taką grupę/zbiór nazywamy populacją UWAGA Pojecie populacji, powinniśmy traktować ostrożnie, czasami mamy na myśli oczywiście bardziej potoczne znaczenie, np., populacja Szydłowca (badamy długość życia, zarobki etc.). Najczęściej jednak stosujemy to pojęcie bardziej ogólnie, np., populacją może być zbiór wszystkich krzeseł w danej sali wykładowej. KONIEC UWAGI Jeżeli populacja jest duża (np. trudno w praktyce zapytać każdego mieszkańca Szydłowca o zarobki ) możemy jedynie przeanalizować jej część zwaną wówczas próbą reprezentatywną lub próbą losową Chcemy więc wyciągnąć wnioski ilościowe na temat całej populacji używając wiadomości wyznaczonych przy użyciu próby losowej to jest podstawą wnioskowania statystycznego! Pobierania próby nazywamy próbkowaniem statystycznym istnieje cała gałąź statystyki zajmująca się teorią próbkowania! 49
Wnioskowanie statystyczne (2) Próbkowanie Możemy dokonywać próbkowania używając losowań z powtórzeniami lub bez powtórzeń. W języku wnioskowania statystycznego mówimy o tym, że dany przedstawiciel populacji może być reprezentowany w próbce wiele razy lub tylko raz. Ważna konsekwencja załóżmy, że mamy skończoną populację. Używając losowania z powtórzeniami możemy w zasadzie traktować ją jak populację nieskończoną istnieje bardzo ciekawa technika wnioskowania oparta na tej zasadzie bootstrap. Rozumiemy intuicyjnie, że jakość wyników zależy całkowicie od sposobu pobierania próby (reprezentatywność). Np., badając zarobki w Szydłowcu, możemy przeprowadzić ankietę wśród pracowników ZUS rezultaty będą znacząco obciążone! Podstawą do wybrania dobrej (reprezentatywnej próbki) jest zapewnienie (w jak największym stopniu) tego, aby każdy element populacji miał jednakową szansę znalezienia się w próbce (możemy użyć generatora liczb losowych). 50
Wnioskowanie statystyczne (3) Próba reprezen. Wnioskowanie dotyczące populacji Losowanie próbki Populacja 51
Wnioskowanie statystyczne (4) Parametry populacji Mówimy, że znamy populację, wtedy i tylko wtedy, gdy znana jest funkcja f(x) reprezentująca R.G.P. dla stowarzyszonej Z.L. X Np., interesuje nas rozkład X wysokości (wagi, itp.) studentów (N = 19000). Znajomość populacji oznacza więc, że znamy rozkład X czyli f(x)! Jeżeli, wysokość studentów posiada rozkład normalny, mówimy wówczas, że populacja charakteryzuje się rozkładem normalnym. Wiemy już, że R.G.P. posiada pewne istotne parametry, np., wartość oczekiwaną, wariancję, skośność itp. Jeżeli funkcja f(x) opisuje własności pewnej populacji to wielkości te stanowią tzw. parametry populacji. UWAGA parametry populacji, traktujemy zawsze jako (znane!) liczby stałe! 52
Statystyki (1) Mówimy, że pobieramy próby losowe z populacji aby użyć ich do wyznaczenia wielkości, które służą do estymowania (również testowania hipotez o tym później) parametrów populacji. Wysokość studentów pobieramy próbę o liczności n = 100 co się dzieje? - X Z.L. oznaczająca wysokość studentów - Pobieramy próbę: losujemy pierwszą osobę, dostajemy wysokość x 1 - Mamy więc, konkretną wartość dla zmiennej losowej X 1 - Powtarzamy tą operację dla 2, 3,, 50, 100 osoby (UWAGA! Dla N = 19000 i n = 100, losowanie ze zwracaniem i bez w zasadzie bez różnicy!) Mamy więc próbę: (x 1, x 2, x 3,, x 100 ), w naszym przypadku Z.L. X i są niezależne (i posiadają taki sam R.G.P) mamy więc: DEF Każda wielkość, wyznaczona na podstawie pobranej próby, służąca do estymacji parametru populacji nazywana jest statystyką. Formalnie, statystyka wyznaczona na podstawie pobranej próby jest funkcją Z.L. 53
Statystyki (2) Statystyka, zdefiniowana jak powyżej, jest sama zmienną losową. Wartości statystyk reprezentowane są, poprzez wartości Z.L. będących elementami pobranych prób: Zwykle, dla każdego estymowanego parametru populacji wyznaczamy odpowiednią statystykę na podstawie pobranej próby. Metoda wyznaczania statystyk podlega dość skomplikowanym regułom. Badamy tzw. wydajność i obciążenie danej statystyki (więcej przy omawianiu teorii estymacji). Umowa: parametry populacji oznaczamy literami greckimi:, 2, odpowiadające im statystyki oznaczamy literami z naszego alfabetu: m, s 2, Podsumowując Statystyka jest, w odróżnieniu od parametru populacji, Z.L. podlega więc rozkładowi Pobierając k prób, możemy stworzyć R.G.P. dla danej statystyki Dla takiego rozkładu możemy wyznaczyć wartość oczekiwaną, wariancję itp.. 54
Wartość oczekiwana z próby (1) Załóżmy, że pobraliśmy próbę o liczności n, wówczas dla tej próby mamy n zmiennych losowych, każda podlegająca temu samemu rozkładowi (albo inaczej losujemy zmienne z tego samego rozkładu): Wartością średnią pobranej próby nazywamy zmienną losową jak poniżej: Jeżeli, ciąg (x 1, x 2, x 3,, x 100 ) reprezentuje próbę, wówczas średnia próby wyraża się: 55
Wartość oczekiwana z próby (2) Dla średniej z prób: Dla wariancji: 56
Wariancja z próby Niech zmienne losowe: reprezentują losową próbkę o rozmiarze n, pobraną z pewnej populacji. Z.L., która reprezentuje wariancję próbki dana jest jak poniżej: Mamy jednak poważny problem z tak zdefiniowaną statystyką obciążenie Blisko wariancji populacji dla dużych próbek, możemy użyć lepszego, nieobciążonego estymatora wariancji w postaci: 57