Materiały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody elementów skończonych (MES) Opracowała: dr inŝ. Jolanta Zimmerman 1. Wprowadzenie do metody elementów skończonych Działanie rzeczywistych obiektów, przebieg zjawisk fizycznych, procesów technologicznych sprawdza się często na modelach tych zjawisk lub obiektów. Pozwala to uniknąć kosztownych, a niekiedy trudnych lub niemoŝliwych do przeprowadzenia prób doświadczalnych. Gdy chcemy otrzymać wielkości, tworzymy opis matematyczny dla przyjętego modelu. Model matematyczny jest układem równań (najczęściej róŝniczkowych) opisujących dane zjawisko, obiekt lub proces. Równania te oparte są na podstawowych prawach zasadach zachowania (np. energii, pędu, masy). W większości technicznie waŝnych zagadnień brak jest ścisłych, analitycznych rozwiązań tych równań. Powodem jest potrzeba uwzględnienia duŝej liczby czynników takich jak: złoŝona geometria rozpatrywanych obiektów, złoŝoność obciąŝenia, niespręŝystość, zaleŝność właściwości materiału od temperatury, anizotropia i inne. Trudności tych nie sprawiają rozwiązania numeryczne. Mają one ogromne znaczenie, gdyŝ dzięki wykorzystaniu szybo rozwijających się technik komputerowych, umoŝliwiają rozwiązywanie z duŝą dokładnością bardzo złoŝonych problemów. Metoda elementów skończonych jest jedną z metod numerycznych często wykorzystywanych do rozwiązań róŝnorodnych problemów inŝynierskich. Metoda ta pozwala na określenie pewnych wielkości fizycznych takich jak: pól napręŝeń w elementach wywołanych przyłoŝonym obciąŝeniem, amplitudy drgań, zmian temperatury w czasie nagrzewania materiału, prędkości przepływu płynu itp. Metoda elementów skończonych wykorzystuje koncepcję dyskretyzacji ciągłego ośrodka. Polega ona na podziale rozwaŝanego obszaru o objętości (V) i brzegu (S) na skończoną liczbę podobszarów o prostym kształcie, zwanych elementami skończonymi. Po dokonaniu podziału obszaru ciała staje się ono obszarem nieciągłym, złoŝonym z kawałków połączonych są ze sobą w punktach zwanych węzłami jak przedstawiono na Rys.1. Zaletą procesu dyskretyzacji jest to, Ŝe dalsza analiza zagadnień występujących w danym ciele dotyczy poszczególnych elementów mających skończoną geometrię. PoniewaŜ model ma juŝ skończoną liczbę elementów, to proces dyskretyzacji umoŝliwił przejście od problemu zawierającego nieskończoną liczbę stopni swobody do problemu zawierającego skończoną liczbę stopni swobody, co daje moŝliwość uzyskania rozwiązania w badanym obszarze. Rys. 1 Dyskretyzacja ośrodka ciągłego
Zgodnie z powyŝszym rysunkiem ciało o skończonym kształcie i objętości V, podparte na brzegu S u, zostaje poddane obciąŝeniu np. ciśnieniem na brzegu S p. W odpowiedzi na działanie tych czynników w materiale powstają reakcje: przemieszczenia, odkształcenia, napręŝenia. Posługując się profesjonalnym programem MES uŝytkownik musi: ustalić klasę zagadnienia (płaskie, przestrzenne, symetria, z kontaktem itp.) zdefiniować model geometryczny (przy skomplikowanej geometrii moŝliwy jest transport geometrii z programów CAD), wybrać rodzaj elementu skończonego (2D, 3D, powłoka, belka, cięgno ) oraz dokonać podziału na elementy skończone (waŝne jest zagęszczenie siatki w obszarach, gdzie spodziewana jest koncentracja napręŝeń), wprowadzić właściwości mechaniczne i fizyczne materiałów, z których wykonana jest konstrukcja oraz dokonać podziału na grupy elementowe (do danej objętości przyporządkowany jest rodzaj materiału), zadać warunki brzegowe (miejsce podparcia i obciąŝenia), ustalić parametry obliczeń (n.p. ilość kroków obliczeniowych, gdy rozpatrywane zagadnienie jest nieliniowe), przeprowadzić obliczenia, które wykonywane są automatycznie przez program komputerowy, przeprowadzić analizę wyników obliczeń. Wyniki otrzymane z obliczeń MES są dostępne z reguły postaci liczb, którymi są poszukiwane wielkości w węzłach i elementach. Obliczenia mogą być przedstawiane w postaci graficznej n.p. w postaci pasm reprezentujących linie stałego napręŝenia. Obraz taki pomaga w analizie obliczeń, pozwala szybko zlokalizować miejsca występowania np. spiętrzeń napręŝeń w konstrukcji. Przykładowe profesjonalne programy MES: ANSYS, ADINA, CATIA, COSMOS uŝywane do obliczeń wytrzymałościowych elementów konstrukcji, zagadnień cieplnych, przepływów oraz: AUTODYNA, LSDYNA - uŝywane w przypadku duŝych odkształceń i przemieszczeń np. symulacji zderzeń (crash testów), procesów obróbki plastycznej. Dostępne są przykłady rozwiązań np. na stronie http://www.adina.com/ 2. Temat ćwiczenia: Obliczanie pól napręŝeń w elementach z karbem geometrycznym Analizie będzie poddany wałek o zmiennym przekroju o trzech róŝnych geometriach (przedstawionych na rys.2 a), b), c), obciąŝonych siłą rozciągającą, a dla przypadku c) siłą i momentem skręcającym. 2.1 Klasa zagadnienia - 2D osiowo-symetryczne (przypadek a), b), c) - 3D (przypadek c) 2
2.2 Geometria Rys.2 Trzy przypadki geometrii wałka oraz topologia punktów dla a), b) 2.3. Modele materiału Obliczenia będą przeprowadzone dla dwóch modeli materiału: - spręŝysty - plastyczny Wałek wykonany ze stali 45 ulepszanej cieplnie, dla której wykres ze statycznej próby rozciągania przedstawiono na rys.3, a właściwości mechaniczne zamieszczono w tabeli1. 700 σ [MPa] 600 500 400 300 200 100 0 ε podł. [%] 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Rys. 3. Krzywa rozciągania dla stali 45 ulepszonej cieplnie Tabela 1. Właściwości mechaniczne stali 45 otrzymane z próby rozciągania E = 200000 MPa A = 45 % R 005 = 380 MPa ε 005 = 0,26 % R 02 = 427 MPa ε 02 = 0,44 % R u = 553 MPa ε u = 54,36 % R m nom = 607 MPa ε m nom = 38,50 % 3
Opracowana krzywa do obliczeń na podstawie próby jednoosiowego rozciągania pokazana jest na rys.4, a wartości napręŝeń i odpowiadających im odkształceń zamieszczone poniŝej. MATERIAL PLASTIC-MULTILINEAR NAME=1 HARDENIN=ISOTROPIC, E=200000[MPa] NU=0.32 liczba Poison a ALPHA=12 e-6(współczynnik rozszerzalności cieplnej stali), (odkształcenie napręŝenie [MPa]) 0.001750000 350.0000000 0.002183325 373.1129470 0.002582455 391.1729098 0.003294385 411.8719932 0.004376962 427.8686723 0.005414064 435.8848448 0.007460010 447.4163357 0.012501838 466.3800753 0.022435354 490.8621792 0.032235871 508.9982350 0.135501130 635.7909206 0.228948540 735.5134274 Rys. 4 Krzywa rozciągania przyjęta do obliczeń (1- odniesiona do przekroju bieŝącego, 2-odniesiona do przekroju początkowego) dla stali 45 ulepszonej cieplnie 2.4 Geometria modelu z siatką MES oraz przyjętymi warunkami brzegowymi a) b) c) Rys.5 Siatka MES dla trzech geometrii oraz przyjęte warunki brzegowe (model 2D) 4
Rys.5 Geometria modelu 3D (kreowana w programie Solid Works) oraz siatka MES modelu z zaznaczonym sposobem podparcia i obciąŝenia 3. Obliczenia W sprawozdaniu naleŝy zamieścić obliczone rozkłady napręŝeń składowych i zredukowanych dla czterech opisanych wyŝej geometrii i sposobów obciąŝenia oraz wnioski. 5