Plan wykładu Elementy fizyki kwantowej dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2013/14 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej 1 Narodziny mechaniki kwantowej Rozkład widmowy promieniowania Zdolność emisyjna prawa 2 Oscylator harmoniczny Doświadczenie Comptona Fale i czastki 3 Ewolucja w czasie stanu układu Interpretacja wyników pomiarów w mikroświecie Spin Symetria funkcji falowej 4 Model Bohra atomu wodoru Porzadek wśród atomów Energia elektronu 5 Atom wodoru w mechanice kwantowej Równanie Schrödingera Liczby kwantowe 2 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Ciało doskonale czarne Narodziny mechaniki kwantowej Rozkład widmowy promieniowania Zdolność emisyjna Narodziny mechaniki kwantowej Zdolność emisyjna prawa Klasyczny obraz świata, w którym materia składa się z punktowych czastek, a promieniowanie składa się z fal, okazuje się niewystarczajacy do opisu ruchu elektronów i ich oddziaływania. Szczególnie uwidacznia to się w wymianie energii pomiędzy promieniowaniem a materia. Należało znaleźć inny sposób opisu zjawisk. Każde ciało stałe, ciecz lub gaz, emituje promieniowanie termiczne w postaci fal elektromagnetycznych, a także absorbuje je z otoczenia. Wg fizyki klasycznej widmo emitowane przez ciała stałe ma charakter ciagły, charakter tego widma prawie nie zależy od rodzaju substancji, widmo silnie zależy od temperatury. Ciało doskonale czarne to ciało całkowicie pochłaniajace promieniowanie elektromagnetyczne padajace na jego powierzchnię. Częstotliwość odpowiadajaca maksimum zdolności emisyjnej wzrasta liniowo ze wzrostem temperatury. Całkowita moc wyemitowana przez powierzchnię jednostkowa (pole pod krzywa) rośnie z temperatura. Prawo Stefana Całkowita zdolność emisyjna ciała doskonale czarnego gdzie stała Stefana-Boltzmana R(T)=σ T 4 σ=5,67 10 8 W m 2 K 4. 3 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej 4 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej
Teoria Wiena Narodziny mechaniki kwantowej Zdolność emisyjna prawa Narodziny kwantów Oscylator harmoniczny Krzywe te zależa tylko od temperatury i sa całkiem niezależne od materiału oraz kształtu i wielkości ciała. Prawo Wiena Iloczyn temperatury i długości fali odpowiadajacej maksimum widmowej zdolności emisyjnej w tej temperaturze jest stały lub Prawo Wiena λ max T=2898µmK. Ze wzrostem temperaturyt częstotliwośćν max ulega przesunięciu w kierunku wyższych częstotliwości. Atomy ścian ciała doskonale czarnego zachowuja się jak oscylatory harmoniczne, które emituja (i absorbuja) energię, z których każdy ma charakterystyczna częstotliwość drgań. Założenia Maxa Plancka energia oscylatora jest skwantowana i może przyjmować tylko ściśle określone wartości E=nhν gdzie n=1,2,... promieniowanie elektromagnetyczne jest emitowane lub absorbowane w postaci osobnych porcji energii (kwantów ) o wartości E=hν. Oscylatory nie wypromieniowuja (nie pobieraja) energii w sposób ciagły, lecz porcjami, czyli kwantami, podczas przejścia z jednego stanu w drugi. 5 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej 6 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Narodziny kwantów... Oscylator harmoniczny Narodziny kwantów... Oscylator harmoniczny Na podstawie swoich hipotez Planck otrzymał następujac a funkcję rozkładu Doświadczalna wartość stałej Plancka R(ν,T)= 8πν2 hν c 3 kt 1. e hν h=6,62 10 34 J s Skwantowany oscylator harmoniczny Kwantowanie dotyczy wszelkich obiektów fizycznych o jednym stopniu swobody, które wykonuja proste drgania harmoniczne. Energia całkowita oscylatora jest wielokrotnościahν. Raz wyemitowana energia rozprzestrzenia się w postaci fali elektromagnetycznej Konsekwencje założeń Plancka jeżeli oscylator nie emituje i nie absorbuje energii, to znajduje się w stanie stacjonarnym, poziomy energetyczne (stany stacjonarne) molekuł musza być dyskretne, zmiana energii musi być wielokrotnościahν, fala elektromagnetyczna jest skwantowana. 7 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej 8 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej
Narodziny kwantów - przykład Oscylator harmoniczny Fotoefekt Czy ta hipotezę można wykorzystać do znanych oscylatorów? Np. sprężyna o masiem=1kg i stałej sprężystościk=20 N wykonujaca m drgania o amplitudzie1cm. Częstotliwość drgań własnych: ν= 1 2π k m =0,71Hz. Polega na emisji elektronów z powierzchni ciała stałego pod wpływem padajacego światła. Wartość energii całkowitej: E= 1 2 ka2 =1 10 3 J. Jeżeli energia jest skwantowana to jej zmiany dokonuja się skokowo przy czym E =hν. Względna zmiana energii wynosi więc: E E =4,7 10 31. Żaden przyrzad pomiarowy nie jest wstanie zauważyć tak minimalnych zmian energii. 9 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Cechy, których nie można wyjaśnić na gruncie klasycznej falowej teorii światła: 1 Energia kinetyczna fotoelektronów powinna wzrosnać, ze wzrostem natężenia wiazki światła. Jednakże nie zależy od natężenia światła. 2 powinno występować dla każdej częstotliwości światła, gdy natężenie światła jest wystarczajaco duże, aby dostarczona została energia konieczna do uwolnienia elektronów. 3 Gdy wiazka światła jest dostatecznie słaba, powinno występować mierzalne opóźnienie czasowe pomiędzy chwila, kiedy światło zaczyna padać na powierzchnię płytki, a momentem uwolnienia z niej elektronu. 10 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Długofalowa granica fotoefektu Napięcie hamowania prad płynie nawet wówczas, gdy napięcie między elektrodami jest równe zeru, Wyniki eksperymentu prad nie popłynie dopóki częstość padajacego światła nie osiagnie pewnej, zależnej od materiału katody wielkości zwanej długofalowa granica fotoefektu, maksymalna wartość energii kinetycznej emitowanych elektronów jest tym większa im większa jest częstotliwość fali, nie zależy jednak od natężenia oświetlenia, natężenie pradu rośnie wraz ze wzrostem napięcia do wartości, tzw. prad nasycenia, natężenie pradu nasycenia rośnie ze wzrostem strumienia padajacej fali, przy dostatecznie dużym napięciu (U 0) zwanym napięciem hamowania prad zanika E kin =eu 0, dla światła monochromatycznego napięcie hamujace zależy od częstotliwości padajacego światła. 11 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej 12 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej
Równanie Einsteina Równanie Einsteina... Założenia Einsteina fala elektromagnetyczna o częstotliwościν jest strumieniem fotonów o energiie=hν każdy, fotony moga być pochłaniane tylko w całości, a maksymalna energia kinetyczna elektronu po opuszczeniu metalu E kin =hν W. Wnioski jeżeli pochłonięta energia jest większa badź równa pracy wyjściaw elektronu z metalu, elektron może opuścić powierzchnię katody, maksymalna energia kinetyczna fotoelektronów zwiazana jest tylko z energia poszczególnych fotonów, a nie z ich ilościa (natężeniem oświetlenia), ze wzrostem oświetlenia powierzchni katody (tzn. wzrostem ilości fotonów padajacych) rośnie liczba elektronów emitowanych z powierzchni, różnicę energii pomiędzy energia fotonu a praca wyjścia elektron unosi w postaci jego energii kinetycznej, energia dostarczana jest w postaci skupionej (kwant, porcja), a nie rozłożonej (fala), dlatego nie występuje gromadzenie energii przez elektrony, które praktycznie natychmiast pochłaniaja energię fotonu i ewentualnie opuszczaja fotokatodę. 13 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej 14 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Efekt Comptona Doświadczenie Comptona Efekt Comptona... Doświadczenie Comptona Doświadczalne potwierdzenie istnienia fotonu jako skończonej porcji energii zostało dostarczone przez Comptona. Wiazka promieni X o dokładnie określonej długości fali pada na blok grafitowy. Mierzono natężenie wiazki rozproszonej pod różnymi katami jako funkcjęλ. W klasycznym podejściu długość fali wiazki rozproszonej powinna być taka sama jak padajacej. Rozproszone promienie X maja maksimum dla dwóch długości fali. Jedna z nich jest identyczna jakλfali padajacej, drugaλ jest większa o λ. To tzw. przesunięcie Comptona zmienia się z katem obserwacji rozproszonego promieniowania X. Jeżeli padajace promieniowanie potraktujemy jako falę to pojawienie się fali rozproszonej o długościλ nie da się wyjaśnić. Fotony (jak czastki) ulegaja zderzeniu z elektronami swobodnymi w bloku grafitu. Podobnie jak w typowych zderzeniach sprężystych zmienia się kierunek poruszania się fotonu oraz jego energia (część energii przekazana elektronowi), to oznacza zmianę częstotliwości i zarazem długości fali. Stosujac zasadę zachowania pędu oraz zasadę zachowania energii λ=λ λ = h m 0c (1 cosθ)=λc(1 cosθ) gdzieλ c=2,426 10 12 m jest comptonowska długościa fali. 15 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej 16 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej
Natura światła Fale i czastki Hipoteza de Broglie a Fale i czastki Czasteczki w modelu korpuskularnym (czasteczkowym) Fale sa traktowane jako obiekty punktowe, znajduja się w ciagłym chaotycznym ruchu, maja w danej chwili ściśle określone położenie, prędkość i pęd, poruszaja się po ściśle określonym torze, całkowita energia jest suma energii poszczególnych czasteczek. rozpoznawane sa poprzez zmiany w czasie i przestrzeni określonych wielkości fizycznych, do ich opisu stosuje się prędkość i długość (częstotliwość) fali w danym ośrodku, przenosza energię, ale nie przenosza materii. Przenoszona energia jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy. Fale mechaniczne nie rozchodza się w próżni (musza mieć ośrodek sprężysty). Fale elektromagnetyczne w tym światło, rozchodza się w próżni. 17 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Dualizm korpuskularno-falowy jest własnościa charakterystyczna nie tylko dla fali elektromagnetycznej, ale również dla czastek o masie spoczynkowej różnej od zera. Oznacza to, że czasteczki takie jak np. elektrony powinny również wykazywać własności falowe. Fale te nazwa się falami materii. Długość fal materii Foton p= h λ = k E=pc=hν λ= h p k= 2π - liczba falowa λ Foton (kwant światła) ma pęd równy p f = hν c. 18 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Elektron p=mv= k E= p2 2m =hν Fale materii Fale i czastki Obraz interferencyjny Elektron masam=9,11 10 31 kg, napięciev=1000v, energia kinetyczna E k =1000eV=1,6 10 16 J masam=1kg, prędkośćv=1 m s Piłka De Broglie założył, że wiazka czastek będzie tworzyć obraz interferencyjny na odpowiedniej podwójnej szczelinie charakterystyczny dla doświadczenia Younga. = λ= h p = h 2mEk 6,63 10 34 Js 2 9,1 10 31 kg 1,6 10 16= λ= h mv =6,63 10 34 1kg 1 m s =6,63 10 34 m. = =4 10 11 m. Długośćλjest porównywalna z odległościa między atomami w ciele stałym. 19 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Wielkość niemożliwa do zmierzenia. Brak własności falowych ciał makroskopowych. Rysunek: Rozkład charakterystyczny dla A+B nie ma miejsca! Rysunek: Rozkład intensywności elektronów zgodnie z teoria kwantowa. Jedyny sposób wyjaśnienia to stworzenie nowego formalizmu matematycznego pozwalajacego opisać falowe właściwości czastek materialnych na poziomie mikroświata. 20 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej
Funkcja falowaψ Funkcja falowaψ... O stanie układu kwantowego Stan czastki określa funkcja falowaψ(x,y,z,t) zależna od położenia czastki i od czasut. W przypadku jednowymiarowym, dla czastek poruszajacych się w kierunku osix Ψ=Ae ikx =A(coskx+isinkx). Zgodnie z hipoteza de Broglie a, czastki takie jak elektron czy proton, maja własności falowe. Opisuje je tzw. funkcja falowa, która: musi być funkcja ciagł a, a także musi mieć ciagł a pochodna, w ogólnym przypadku jest funkcja zespolona współrzędnych przestrzennych oraz czasu: Ψ(x,y,z,t)=ψ(x,y,z) e iωt, gdzie ψ(x, y, z) jest funkcja falowa niezależna od czasu ( amplituda funkcji falowejψ), ai 2 = 1. Klasycznie Stan układu fizycznego w każdej chwili czasu opisuje punkt w przestrzeni fazowej, a więc zarówno położenia jak i pęd każdej czastkix i(t),p i(t). Zgodnie z zasada superpozycji funkcja falowa wielu zdarzeń: Ψ=Ψ 1+Ψ 2. 21 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej 22 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Funkcja falowaψ... Funkcja falowaψ... Prawdopodobieństwo znalezienia czastki w chwilitwelemencie objętościdxdydz p(x,y,z,t)=ψ (x,y,z,t) Ψ(x,y,z,t)dxdydz, gdzieψ to funkcja sprzężona doψ(różni się znakiem części urojonej). Suma prawdopodobieństw znalezienia czastki w poszczególnych elementach objętości rozciagnięta na cała przestrzeń musi spełniać tzw. Warunek normalizacji Ψ (x,y,z,t) Ψ(x,y,z,t)dV=1. Ψ Ψ=Ae i(kx ωt) Ae i(kx ωt) =A 2. Funkcja falowa musi spełniać następujace warunki: 1 Ψ musi mieć tylko jedna wartość w każdym punkcie. Warunek zapobiega istnieniu więcej niż jednego prawdopodobieństwa znalezienia czastki w danym miejscu, 2 Ψ oraz pochodne dψ musz a być ciagłe. Warunek ten nie dotyczy miejsc, dx gdy energia potencjalna daży do nieskończoności (w pobliżu jadra atomowego), 3 całkaψ Ψ po całej przestrzeni musi być równa1. Wartość funkcji musi być skończona dla dużychx. V Gęstościa prawdopodobieństwa zdarzenia nazywa się Ψ (x,y,z,t) Ψ(x,y,z,t)= Ψ(x,y,z,t) 2. Formalnie funkcja falowa Ψ = Ψ(x, y, z, t) charakteryzuje się właściwościami klasycznych fal, lecz nie reprezentuje takich wielkości jak np. wychylenie czastki z położenia równowagi. 23 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej 24 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej
Hamiltonian Ewolucja w czasie stanu układu Zasada nieoznaczoności Heisenberga Interpretacja wyników pomiarów w mikroświecie O ewolucji w czasie stanu układu Równanie czasowej ewolucji funkcji falowejψ gdzieĥ jest hamiltonianem cz astki i Ψ t =ĤΨ, Ĥ= 2 2m +U( x). Jest to równanie Schrödingera zależne od czasu. Operator Laplace a (laplasjan) to operator różniczkowy drugiego rzędu = 2 x 2 2 2+ 2+ y z 2. Postać równania Schrödingera dla stanu stacjonarnego ĤΨ=EΨ. Gdy układ jest odosobniony (izolowany, zachowawczy) to operatorĥ jest operatorem energii układu. 25 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej O interpretacji wyników pomiarów w mikroświecie Pomiar dowolnej wielkości fizycznej zmienia na ogół stan układu kwantowego. Postulat ten dotyczy pomiaru idealnego, a więc nie obarczonego błędem wynikajacym z niedoskonałości przyrzadu pomiarowego. Obowiazuje zasada nieoznaczoności: pewnych wielkości fizycznych nie można zmierzyć równocześnie z dowolna dokładnościa. Mechanika klasyczna Proces pomiaru zaburza stan układu dokładność pomiaru jest zdeterminowana jedynie jakościa aparatury pomiarowej, nie ma teoretycznych ograniczeń na dokładność z jaka moga być wykonane pomiary. 26 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Zasada nieoznaczoności Heisenberga... Interpretacja wyników pomiarów w mikroświecie Zasada nieoznaczoności Heisenberga... Interpretacja wyników pomiarów w mikroświecie Zasada nieoznaczoności Iloczyn niepewności jednoczesnego poznania pewnych wielkości (np. chwilowych wartości pędu p i położenia x, energii E i czasu jej pomiaru t) nie może być mniejszy od stałej Planckahpodzielonej przez2π x p x E t. Przykład Zasada nieoznaczoności dla równoczesnego pomiaru energii i czasu E t Przykład Czas przebywania atomu sodu w stanie wzbudzonym zmierzono z dokładnościa t=1,6 10 8 s. Z jaka maksymalna dokładnościa można było wyznaczyć wartość energii tego stanu? E t = 6,63 10 34 Js 2 π 1,6 10 8 s = Rysunek: Funkcja rozkładu B(p) względem pędu i odpowiadajaca jej paczka falowa (poniżej). Szerokość paczki falowej na rys. (a) jest większa niż szerokość na rys. (b). 27 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej 28 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej =0,66 10 26 J 6,24 10 18 ev/j= =4,12 10 8 ev.
Moment pędu Spin Fermiony i bozony Symetria funkcji falowej O spinie czastki elementarnej Czastka elementarna ma własny wewnętrzny moment pędu czastki w układzie, w którym nie wykonuje ruchu postępowego, zwany spinowym momentem pędu lub spinem S 2 =Sx+S 2 y+s 2 z=s(s+1) 2 2 przy czym spinowa liczba kwantowas= 1 2. Wartość własnego moment pędu elektronu: S= s(s+1). Rzut własnego momentu pędu na wybrana oś S z=m s. Klasycznie Obiekty identyczne sa rozróżnialne. Można śledzić ruch każdej czastki nawet jeżeli jest ona identyczna z innymi. Brak specjalnych konsekwencji identyczności czastek. O symetrii funkcji falowej Czastki identyczne sa nierozróżnialne. Nierozróżnialność ma poważne konsekwencje. Wynika z niej własność stanów kwantowych: Funkcja falowaψopisujaca układ jednakowego rodzaju bozonów jest symetryczna względem zamiany współrzędnych, tzn. jeśli: x 1 x 2,y 1 y 2,z 1 z 2, to Ψ(1,2,3,...,N)=Ψ(2,1,3,...,N). Jeśli czastki 1 i 2 oznaczaja fermiony jednakowego rodzaju, to funkcja falowa musi być antysymetryczna, tzn. Ψ(1,2,3,...,N)= Ψ(2,1,3,...,N). 29 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej 30 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Fermiony i bozony... Symetria funkcji falowej Fermiony i bozony... Symetria funkcji falowej Stany całkowicie symetryczne opisuja czastki o spinie całkowitym (bozony), stany antysymetryczne opisuja czastki o spinie połówkowym (fermiony). Zakaz Pauliego Gęstość prawdopodobieństwa zastania dwóch jednakowych fermionów w jednym miejscu i z jednakowa współrzędna spinowa jest równa 0. Konsekwencje zakazu Pauliego: Tworzenie się struktury orbitalowej poziomów elektronów wszystkich atomów, z której z kolei wynikaja wszystkie właściwości chemiczne pierwiastków chemicznych. Nieprzenikalność materii przez sama siebie. W wielu przypadkach zasada uniemożliwia występowanie pewnych konfiguracji przestrzennych orbitali blisko położonych atomów czy czasteczek. Względna trwałość obiektów materialnych. Zakaz nie dotyczy bozonów o dowolnych współrzędnych spinowych. W danym stanie kwantowym może znajdować się jeden fermion lub żadne dwa fermiony nie moga w jednej chwili występować w dokładnie tym samym stanie kwantowym. 31 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej 32 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej
Model Bohra atomu wodoru Doświadczenie Rutherforda (1911) Porzadek wśród atomów Model Bohra atomu wodoru Model Bohra atomu wodoru Porzadek wśród atomów Zakładajac, że elektron porusza się po orbitach kołowych o promieniur ze środkiem w jadrze, a środek masy pokrywa się ze środkiem jadra (protonu). Z równowagi sił F c=ma, Analiza katów rozproszenia czastek alfa pozwoliła określić rozmiary ładunku dodatniego wchodzacego w skład atomu złota. Prawie cała masa atomu skupiona jest w bardzo małym obszarze jadrze atomowym. Rozmiar jadra zależy od pierwiastka, ale może być oszacowany jako ok. 10 15 m, rozmiary atomu rzędu10 10 m. Model atomu wprowadzał bliskie współczesnemu modelowi założenia: ładunek dodatni zgromadzony jest w niewielkim, a przez to bardzo gęstym jadrze gromadzacym większość masy atomu, ładunek jadra jest równy iloczynowi liczby atomowej i ładunku elektronu, ujemnie naładowane elektrony okrażaj a jadro. 33 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Energia całkowita 1 e 2 4πǫ 0 r 2=mv2 r, można obliczyć energię kinetyczna E k = mv2 2 E c=e k +E p= e2 8πǫ e2 e2 = 0r 4πǫ 0r 8πǫ. 0r 34 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej = e2 8πǫ 0r. Model Bohra atomu wodoru Model Bohra atomu wodoru... Porzadek wśród atomów Model Bohra atomu wodoru Model Bohra atomu wodoru... Energia elektronu Postulaty Bohra 1 Elektron w atomie porusza się po orbicie kołowej pod wpływem przyciagania kulombowskiego pomiędzy elektronem a jadrem. 2 Elektron może poruszać się tylko po takich orbitach, dla których moment pęduljest równy całkowitej wielokrotności stałej Plancka podzielonej przez2π L=n h =n n=1, 2, 3,.. 2π gdzienoznacza liczbę kwantowa. 3 Elektron poruszajac się po orbicie nie wypromieniowuje energii. Jego całkowita energia pozostaje stała. 4 Przejściu elektronu z orbity o energiie n na orbitę o energiie m towarzyszy emisja lub absorpcja fotonu o energii E n E m=hν. Z postulatu Bohra energia kinetyczna Promień Bohra gdzier 0=5,29 10 11 m. Energia elektronu v= n mr, e 2 ( ) n 2, 8πǫ =1 0r 2 m mr r n= 4πǫ0 2 me 2 n2 =r 0n 2, E n= me4 32π 2 ǫ 2 1 2 0 n 2= E0 n 2, gdziee 0=13,59eV jest energia jonizacji atomu (przejście ze stanun=1do nieskończoności). 35 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej 36 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej
Model Bohra atomu wodoru Model Bohra atomu wodoru... Energia elektronu Model Bohra atomu wodoru Model Bohra atomu wodoru... Energia elektronu Po czasie10 8 s następuje samorzutne przejście elektronu z poziomunna poziomk (n>k). Atom emituje kwant promieniowania o częstotliwości Ponieważ ν= En E k h = me4 64π 3 ǫ 2 0 3 ( 1 k 2 1 n 2 ). ν= c λ, Długość fali emitowanego fotonu 1 λ = me 4 ( 1 1 ) ( 1 64π 3 cǫ 2 0 3 k 2 =R 1 n 2 0 ), k 2 n 2 gdzier 0=1,09737 10 7 m 1 jest stała Rydberga. Grupę linii z jednakowymi wartościaminnazwano seria widmowa. Dla jonów wodoropodobnych (Z jest liczba porzadkow a w układzie okresowym pierwiastków) ( 1 1 λ =Z2 R 1 ) 0 k 2. n 2 37 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej 38 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Atom wodoru w mechanice kwantowej Sprzeczności z prawami fizyki klasycznej Równanie Schrödingera Kwantowanie energii Atom wodoru w mechanice kwantowej Równanie Schrödingera Niestety model atomu Bohra jest niewystarczajacy: zbyt prosty, nie pasuje do atomów wieloelektronowych, dlaczego moment pędu elektronu jest skwantowany? dlaczego elektron nie emituje promieniowania i nie spada na jadro? Mimo tego wskazuje on, że elektrony w atomie przyjmuja pewne stacjonarne (trwałe) stany energetyczne. Atom wodoru jest swego rodzaju studnia potencjału (naturalna pułapka) dla elektronu. Energia potencjalna oddziaływania elektron jadro jest postaci U(r)= e2 4πǫ 0r. Równanie Schrödingera dla przypadku trójwymiarowego w układzie kartezjańskim 2 Ψ Ψ Ψ x 2+ 2 y 2+ 2 z = 2m 2 2(E U)Ψ. 39 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Rozwiazanie równania Schrödingera istnieje jeśli energia elektronu przyjmuje ściśle określone wielkości dla wartościr=r 0 E n= me4 2 Z2 Z2 32π 2 ǫ 2 0 n2= 13,59eV n 2, r 0= 4πǫ0 2 me 2 =5,29 10 11 m. wyrażenia dlar 0 ie n sa identyczne jak w modelu Bohra, kwantyzacja jest wynikiem rozwiazania równania Schrödingera, a nie postulatem, r 0 nie jest promieniem orbity, lecz odległościa od jadra, przy której prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu osiagnie wartość maksymalna, przyjęcie klasycznej orbity traci sens, moment pędu jest skwantowanyl= l(l+1) a liczba l=0,1,2,...,n 1, jest tzw. orbitalna (azymutalna) liczba kwantowa. 40 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej
Atom wodoru w mechanice kwantowej Równanie Schrödingera Kwantowanie przestrzenne momentu pędu Atom wodoru w mechanice kwantowej Liczby kwantowe w modelu Bohra Liczby kwantowe Liczbam l jest tzw. magnetyczna liczba kwantowa m l =0,±1,±2,...,±l. Wartość rzutu momentu pędu elektronu na oś określajac a wyróżniony kierunek w atomie, np. zewnętrznego pola elektrycznego lub magnetycznego L z=m l. Jeżeli długość orbity elektronu jest równa całkowitej wielokrotnościλ, fale de Broglie a nie wygaszaja się orbita jest dozwolona 2πr=m l λ. Stan elektronu określony jest przez główna liczbę kwantowanioznacza numer orbity (odpowiada odległości od jadra). Przyjmuje wartości całkowitych liczb dodatnich,n=1,2,3,..., orbitalna liczbę kwantowalioznacza wartość bezwzględna orbitalnego momentu pędu. Przyjmuje wartości liczb naturalnych z zakresu<0,n 1>, magnetyczna liczbę kwantowam l i oznacza rzut orbitalnego momentu pędu na wybrana oś. Przyjmuje wartości liczb całkowitych z zakresu< l,0,+l>, magnetyczna spinowa liczbę kwantowam s określajac a spinowy moment elektronu. Dla elektronu przyjmuje wartości+ 1 2 (prawoskrętny) lub 1 (lewoskrętny). 2 W swobodnym atomie wodoru i jonie wodoropodobnym wszystkie stany o danej wartości liczby kwantowejniróżnych wartościach liczb kwantowychl immaja tę sama energię. 41 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej 42 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Atom wodoru w mechanice kwantowej Liczby kwantowe Kolejność obsadzania poziomów elektronowych Literatura podstawowa Atom wodoru w mechanice kwantowej Liczby kwantowe Reguła Hunga Poziomy o jednakowej energii sa najpierw obsadzane przez pojedyncze elektrony o takim samym spinie. Zakaz Pauliego W atomie dwa elektrony nie moga mieć identycznych czterech liczb kwantowych Z zasady tej wynika,że: na każdej powłoce znajduje się maksymalniez=2n 2 stanów do obsadzenia, Na każdej podpowłoce znajduje się2(2l+1) stanów do obsadzenia. n l m l m s Z 1 0 0 1 2,+1 2 2 2 0 0 ± 1 2 1-1 ± 1 2 8 1 0 ± 1 2 1 1 ± 1 2 43 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej Kania S. Wykłady z fizyki cz. 1 i 2. Wydawnictwo PŁ, Łódź 2012. Halliday D., Resnick R, Walker J. Podstawy Fizyki t. 1-5. PWN, Warszawa 2005. Orear J. Fizyka t. I i II. WNT, Warszawa 1994. Sawieliew I. W. Wykłady z fizyki t. I-III. PWN, Warszawa 1994. Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ http://cmf.p.lodz.pl/efizyka e-fizyka. Podstawy fizyki. Kakol Z. Żukrowski J. http://home.agh.edu.pl/ kakol/wyklady_pl.htm Wykłady z fizyki. 44 dr inż. Ireneusz Owczarek Elementy fizyki kwantowej