XII WYKŁAD STATYSTYKA 28/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
WYKŁAD 12 TEORIA BŁĘDÓW POMIAROWYCH Pomiary (definicja, skale pomiarowe, pomiary proste, złożone, zliczenia). Błędy ( definicja, rodzaje błędów, błąd maksymalny i przypadkowy,). Rachunek błędów Sposoby zapisów wyników Przenoszenie błędów Średnia arytmetyczna Błąd standardowy pojedynczego pomiaru i średniej
RACHUNEK BŁĘDÓW (1) Zadaniem rachunku błędów jest analiza i ocena błędów pomiarowych. W rachunku błędów błąd nie jest synonimem złego postępowania, pomyłki czy też gafy. Błąd czy też niepewność wyniku pomiarowego -towarzyszy nierozerwalnie pomiarom, nie sposób go uniknąć. Można jedynie go zmniejszać np. dokonując staranniejszych pomiarów czy też używając dokładniejszych przyrządów. Przykład 1- Prosty pomiar Pomiar długości stołu używając: na oko, taśmy mierniczej z podziałką co 10 cm, metra stolarskiego z podziałką co 5 mm, co 1mm, interferometr laserowy (dokładność długość fali ok. 0.5µm). Czy też lepszego oświetlenia. Przykład 2- Zadanie Archimedesa. Pomiar gęstości materiału korony, by rozstrzygnąć czy jest wykonana z 18-karatowego złota - d=15,5 g/cm 3 ; czy też jest oszustwem tj. wykonana ze stopu o gęstości d=13,8 g/cm 3. Wynik Ekspert I Ekspert II Wartość oczekiwana d [g/cm 3 ] 15 13,9 Zakres [g/cm 3 ] Od 13,5 do 16,5 Od 13,7 do 14,1 Wynik pomiaru nierozstrzygający rozstrzygający
RACHUNEK BŁĘDÓW (2) UWAGA: PODAWANIE WYNIKÓW POMIARU BEZ OSZACOWANIA ICH NIEPEWNOŚCI (BŁĘDÓW) JEST BEZUŻYTECZNE!!! Przykład 3- Testowanie teorii naukowej Wg. ogólnej teorii względności (Einstein 1916 r.) światło docierające z gwiazd na Ziemię, przechodząc w pobliżu Słońca zostanie ugięte o kąt α=1,8. Wg. teorii klasycznych α=0 (najprostsza teoria) lub α=0,9 (bardziej złożona). Pomiary kąta ugięcia są możliwe podczas zaćmienia Słońca. Dyson, Eddington&Davidson 1919 r. : α=2,0 z przedziałem ufności 95 %: 1,7 2,3. Jak szacować niepewności? Pomiary proste Odczytywanie skali (podziałka milimetrowa, skale przyrządów pomiarowych) połowa wartości pomiędzy działkami (Rys. 1 & 2) Pomiary wielokrotne - najlepsze przybliżenie= średnia arytmetyczna -prawdopodobny zakres: pomiędzy najmniejszym a największym wynikiem
RACHUNEK BŁĘDÓW (3) Rys. 1
RACHUNEK BŁĘDÓW (4) Rys. 2
RACHUNEK BŁĘDÓW (5) Przykład : Wyniki pomiarów: 2,3; 2,4; 2,5; 2,4 -najlepsze przybliżenie= (2,3+2,4+2,5+2,4)/4=2,4 -prawdopodobny zakres: od 2,3 do 2,5 Sposoby zapisu wyników x- wartość zmierzona, - najlepsze przybliżenie - x np -prawdopodobny zakres: od x np - δx do x np + δx ZAPIS 1) x= x np ± δx δx niepewność (błąd bezwzględny) 2) x= x np ± δx/ x np *100 % (zapis z uwzględnieniem błędu względnego)
RACHUNEK BŁĘDÓW (5) Reguły zapisu: x np oraz δx podawać w tych samych jednostkach ( np. cm, s, m/s 2 itp.) δx zaokrąglać do dwu cyfr znaczących zaokrągleń) (patrz Tabela: Błędy ostatnia cyfra znacząca x np powinna być tego samego rzędu (stać na tym samym miejscu dziesiętnym) co niepewność (δx) zapis x np i δx w tej samej formie (np. dziesiętnej, naukowej, inżynierskiej )
BŁĘDY ZAOKRĄGLEŃ Wynik z obliczeń Wynik Błąd Wynik z obliczeń Wy Błąd -nik Dokładność 1 cyfra znacząca Dokładność 2 cyfry znaczące x min x max x % x min x max x % 0,500 01 1,499 1 50 0,9500 1 1,0499 1,0 5,0 1,500 01 2,499 2 25 1,0500 1 1,1499 1,1 4,2 2,500 01 3,499 3 17 2,4500...1 2,5499 2,5 2,0 3,500 01 4,499 4 12 3,4500 1 3,5499 3,5 1,4 4,500 01 5,499 5 10 4,4500 1 4,5499 4,5 1,1 5,500 01 6,499 6 8,3 5,4500 1 5,5499 5,5 0,90 6,500 01 7,499 7 7,5 6,9500 1 7,0499 7,0 0,71 7,500 01 8,499 8 6,3 8,4500 1 8,5499 8,5 0,59 8,500 01 9,499 9 5,6 9,8500 1 9,9499 9,9 0,51
Przykłady RACHUNEK BŁĘDÓW (5) Nie prawidłowo 9,82±0,0248 m/s 2 3467,72±20 m/s 1,61. 10-19 ± 5. 10-21 C 2,57 m± 2cm Prawidłowo 9,82±0,02 m/s 2 3470±20 m/s (1,61± 0.05). 10-19 C 2,57±0,02 m lub 257±2 cm REGUŁY ZAOKRĄGLANIA LICZB PODCZAS ZAOKRĄGLANIA MIEĆ NA UWADZE PORÓWNANIE ILOŚCI CYFR ZNACZĄCYCH, z BŁĘDEM POMIARU, a NIE POŁOŻENIE PRZECINKA. Przykłady: Liczba Ilość cyfr Nie-prawidłowo Prawidłowo 0,000347534 2 0,0 lub 0,00 0,0035 15,50000001 2 15 lub 15,50 16 15,49999999 2 16 lub 15,50 15 1,000000000 2 1 1,0 1,000000000 4 1 lub 1,0000 1,000 12,745 4 12,7450 12,74 lub 12,75
RACHUNEK BŁĘDÓW (6) NIEPEWNOŚCI (BŁĘDY) WZGLĘDNE (DOKŁADNOŚĆ) x= x np ± δx niepewność względna niepewność procentowa [%]. *100 Przykład x= 4,82±0,08 kg= 4,82
1. PRZENOSZENIE NIEPEWNOŚCI (mogą być nieprzypadkowe błąd maksymalny) 1. Sumy i różnice: 2. Iloczyny, ilorazy, potęgi: q = x+ +z-(u+ v) δq δx+ +δz+δu+ +δv
2. PRZENOSZENIE NIEPEWNOŚCI (błędy przypadkowe) 1.Sumy i różnice: q = x+ +z-(u+ v) a b
2. PRZENOSZENIE NIEPEWNOŚCI (błędy przypadkowe) (c.d.) 2. Iloczyny, ilorazy
NIEPEWNOŚCI POMIAROWE -δq NAJLEPSZĄ METODĄ OCENY WIARYGODNOŚCI POMIARU JEST JEGO WIELOKROTNE POWTARZANIE I BADANIE OTRZYMANYCH WYNIKÓW NIEPEWNOŚCI POMIAROWE -δq PRZYPADKOWE-δ przyp mogą być poddawane obróbce statystycznej SYSTEMATYCZNE-δ system nie mogą być poddawane obróbce statystycznej Błędy (niepewności) systematyczne nie da się ani zmniejszyć ani też wykryć poprzez powtarzanie pomiarów. Można je wykryć, a następnie zredukować np. poprzez kalibracje przyrządów. Dążymy aby:
POMIARY POŚREDNIE 1. FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ q=q(x) 2. FUNKCJA WIELU ZMIENNYCH q=q(x,,z), x,,z niezależne: Zawsze:
SREDNIA ARYTMETYCZNA Twierdzenie (postulat Gaussa) :
SREDNIA ARYTMETYCZNA ODCHYLENIE STANARDOWE Z PRÓBY (BŁĄD STANDARDOWY)- s x ODCHYLENIE STANDARDOWE MIARĄ BŁĘDU (NIEPEWNOŚCI) POJEDYNCZEGO POMIARU Wykonując n pomiarów otrzymujemy: x 1, x 2,, x n, następnie obliczamy oraz s x. Jeśli przeprowadzimy następny pomiar, to istnieje ok. 70% (dokładniej 68,27 %) prawdopodobieństwa, że wynik tego pomiaru będzie się różnił o mniej niż s x
ODCHYLENIE (BŁĄD) STANDARDOWE ( Y) ŚREDNIEJ
ODRZUCANIE WĄTPLIWYCH WYNIKÓW Zdarza się, że jeden z wyników w serii pomiarów odbiega od pozostałych. Wówczas nasuwa się pytanie, czy ten wynik jest rezultatem pomyłki i powinien być odrzucony, czy też jest wynikiem wiarygodnym, który powinien być wykorzystany na równi z pozostałymi. Przykład 1. Otrzymano następujące wyniki w [s] w pomiarze okresu wahań wahadła: 3,8; 3,5; 3,9; 3,9 3,4; 1,8 z pośród nich 1,8 wyraźnie odbiega od pozostałych. Oznaczamy go jako x wąt =1,8. Zadaniem naszym jest podjęcie decyzji, czy ten wynik jest występownia skutkiem błędu przypadkowego pomiaru, więc powinien być zachowany, czy też jego pojawienie wynika z innej przyczyny i wówczas należy go odrzucić. Możliwy sposób takiego postępowania daje : KRYTERIUM CHAUVENTA
KRYTERIUM CHAUVENTA 1. Obliczamy używając wszystkie wyniki: oraz s x : s 2. Obliczamy wartość wyrażenia: 3. Z tablicy rozkładu normalnego: EXCEL ROZKŁAD.NORMALNY.S odczytujemy wartość α/2 (Rys). Wynosi ono: α/2=0,05. Rys. Wyznaczanie prawdopodobieństwa, że wynik pomiaru będzie się różnił od wartości średniej o z wąt lub więcej- odpowiada to wartości polu powierzchni : α/2
KRYTERIUM CHAUVENTA Oznacza to, że na 20 pomiarów jeden z wyników ma prawo różnić się od średniej co najmniej tyle jak x wąt (t,j 1,8s). Ponieważ my wykonaliśmy tylko 6 pomiarów, więc prawdopodobieństwo otrzymania tak złego jak 1,8s wynosi: n(gorszych niż x wąt )= 0,05 6= 0,3 wg. CHAUVENTA jeśli to x wąt można odrzucić Podane postępowanie należy do działu wnioskowania statystycznego zwanego Weryfikacją hipotez statystycznych.
KRYTERIUM CHAUVENTA (c.d.) Przykład: Student zmierzył 10 razy siłę elektromotoryczną ( napięcie ogniwa otwartego) ogniwa chemicznego i uzyskał następujące wyniki w mv (miliwoltach): 430; 415; 435; 420; 410; 475; 415; 425; 445; 440 Czy powinien on odrzucić wynik x pod = 475mV? lp x i ( x i - x sr ) ( x i - x sr ) 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 430 415 435 420 410 475 415 425 445 440-1 -16 4-11 -21 44-16 -6 14 9 1 256 16 121 441 1936 256 36 196 81 SUMA = 4310 SUMA =3340 x sr = 4310/10 x sr = 431 Z wat =(475-431)/19,3 =2,28 s x = (3340/9) 1/2 s x = 19,3 Użyteczne wzory:
KRYTERIUM CHAUVENTA (c.d.) 1-α = F(z wat ) (dystrybuanta rozkładu normalnego dla z=z wat Z tablicy rozkładu normalnego: EXCEL ROZKŁAD.NORMALNY.S odczytujemy wartość α (Rys). F(-z wat )= α/2=0,0113 stąd α =2,26 %
KRYTERIUM CHAUVENTA (c.d) Oznacza to, że na 100 pomiarów średnio 2.26 wyników może różnić się od wartości oczekiwanej więcej niż z wat czyli x wat ma prawo być większe lub równe 475 mv. Ponieważ wykonano 10 pomiarów, więc średnio 0,226 wyników ma prawo osiągnąć wartość 475 mv lub więcej. Wg. Chauventa jeśli ilość tych wyników jest niższa niż 0,5 to wynik wątpliwy odrzucamy, czyli: Wg. Chauventa : jeśli n * α < 0,5 to wynik (x wat ) należy odrzucić W naszym przypadku : n * α = 10* 0,0226= 0,226 czyli: x=475 mv ODRZUCAMY
KRYTERIUM CHAUVENTA (c.d) Przykład 2: Studentka wykonała 14 pomiarów okresu drgań oscylatora, otrzymując wyniki w sekundach: 0,7; 0,3; 0,9; 0,3; 0,6; 0,9 0,8; 0,7; 0,8; 1,2; 0,5; 0,9; 0,9; 0,3 Sprawdzić czy wynik x=1,2 s powinno się odrzucić? x sr =0,7, s x =2,72 stąd: z wat =1,84 Z tablicy rozkładu normalnego: EXCEL ROZKŁAD.NORMALNY.S odczytujemy wartość α (Rys). F(-z wat )= α/2=0,03288 stąd α =0,066 (6,66%) Stąd n* α = 14*0,066=0,92 > 0,5 WNIOSEK: NIE PODSTAW DO ODRZUCENIA wyniku x= 1,2
TEST Q-Dixona ODRZUCANIE WYNIKÓW WĄTPLIWYCH (błędów grubych) Test Q - Dixona (dla 3 < n < 10), tylko jeden wynik wątpliwy 1. Uporządkowanie wyników w szereg niemalejący x 1 x 2 x 3 x n-1 x n 2. Wyznaczenie wartości parametru Q dla wyników skrajnych 3. Odczytanie Q kr = f (P, n) Q n
TEST Q-Dixona Statystyczne opracowanie wyników Wartość krytyczna Qkr = f(p,n) testu Dixona P/n 3 4 5 6 7 8 9 95 % 0,94 0,76 0,64 0,56 0,51 0,47 0,44 99 % 0,99 0,89 0,78 0,70 0,64 0,59 0,56
TEST Q-Dixona, PRZYKŁAD Zad.6 Zawartosc Fe2O3 w badanym roztworze oznaczano spektrofotometrycznie (po utworzeniu barwnego kompleksu rodankowego) i otrzymano nastepujace wyniki (w mg/dm3): 350; 342; 366; 350; 353; 343; 354; 358; 354; 360. Sprawdzic, czy wynik 366 obarczony jest błedem grubym, Sprawdzamy czy jakas wartosc jest obarczona błedem grubym (czy nie pasuje do reszty wyników) za pomoca Testu Q-Dixona: Pierwszym krokiem jest uszeregowanie wyników w ciag niemalejacy: 342; 343; 350; 350; 353; 354; 354; 358; 360; 366 Nastepnie Obliczamy zmienna losowa tego testu, czyli Q: Gdzie: x w to wynik watpliwy (366). x s to wynik sasiadujacy z wynikiem watpliwym. (360) R to rozstep, czyli rónica wyniku ostatniego i pierwszego. R = 366-342= 24 Q = 366-360 /24 = 0,25 Ostatnim krokiem jest odczytanie z tablicy Q-Dixona parametru krytycznego Qkr i Q. Odczytywana wartosc jest dla liczby pomiarów n i prawdopodobienstwa P = 1-a porównanie go z uzyskana wartoscia Q kr =0,41 Skoro Q < Q kr, 0,25<0,41; możemy stwierdzic, iiż wynik watpliwy jest elementem próby.
Zad.8 Wykonano 10 pomiarów cisnienia wewnatrz zbiornika próniowego otrzymujac nastepujace wyniki (w kpa) ; 43, 45, 44, 58, 47, 45, 38, 44, 48 i 46. Wyznaczyc przedział ufnosci sredniej odrzucajac ewentualnie na mocy odpowiedniego kryterium wynik(i) watpliwe. Wyniki watpliwe odrzucamy wykorzystujac test Q-Dixona. Wartosci cisnienia naley uszeregowac w ciag niemalejacy: 38; 43; 44; 44; 45; 45; 46; 47; 48; 58. Wartosc srednia wynosi 45,8; wynikiem watpliwym wydaje sie byc 58. Aby to sprawdzic naley obliczyc parametr Q i porównac go z parametrem krytycznym Qkr. Q= 58-48 /20 = 0,5 Parametr krytyczny Qkr odczytany z tablicy testu Q-Dixona, dla 95% prawdopodobienstwa i 10 pomiarów, wynosi Q kr =0,41. Q > Qkr Z 95% prawdopodobienstwem odrzucamy wynik watpliwy. (za pomoca testu Q-Dixona mona odrzucic tylko jeden watpliwy wynik). Aby obliczyc przedział ufnosci wartosci sredniej naley policzyc odchylenie standardowe dla wartosci po odrzuceniu wyniku watpliwego. Nastepnie odczytac wartosc parametru t dla nowej serii wartosci cisnienia. S=2,877, my do obliczen musimy uyc odchylenie standardowe sredniej s sr = 2,877/ 9 0,5 = 0,959 Parametr Studenta t odczytujemy z tablic dla poziomu istotnosci a=0,05 i liczby stopni swobody równej 9-1=8. t α = 2,306 Przedział ufnosci dla wartosci sredniej Obliczamy ze wzoru: x sr sr x t S a μ = ± μx = 45,8 ± 2,306 0,959 μx = 45,8 ± 2,3
TEST Q-Dixona Wnioski: Q(P,n) tym większe, czyli kryterium ostrzejsze, im: a) większy % P, czyli im większa pewność wniosku odrzucającego wynik lub im mniejsze ryzyko (100 - % P) błędnej decyzji (błąd I rodzaju) b) mniejsze n bo ze wzrostem n maleje P znalezienia się kolejnego wyniku x n+1 poza przedziałem rozstępu Rn (x n+1 > x n lub x n+1 < x 1 ) c) Wartość Q(P,n) maleje wolniej ze wzrostem n, czyli test Q staje się mniej ostry, mniej czuły, bo spośród n wyników, korzysta się tylko z 3: x 1, x n i x 2 lub x n-1
ŚREDNIE WAŻONE Przykład Dwóch studentów A i B mierzy wielkość x i otrzymuje następujące wyniki: Student A: Student B: Jak najlepiej połączyć x A i x B w celu otrzymania najlepszego przybliżenia x? Jeśli rozbieżność x A -x B jest dużo większa niż obie niepewności σ A i σ B to wyniki są sprzeczne i powinny być dokładnie zbadane na okoliczność wystąpienia błędu systematycznego Jeśli rozbieżność x A -x B jest niewielka ( nie jest istotnie większa od odchyleń σ A i σ B ) to mamy wyniki zgodne Zakładając że wyniki obu serii pomiarów podlegają rozkładowi normalnemu i oznaczając nieznaną prawdziwą wartość x przez X, to że prawdopodobieństwo, że student A otrzyma wynik x A wynosi: (1) Analogicznie dla studenta B: (2)
ŚREDNIE WAŻONE c.d Prawdopodobieństwo, że student A znajdzie wartość x A, a student B x B jest iloczynem obu prawdopodobieństw: (3) gdzie: (4) jest tzw. sumą kwadratów Zasada największego prawdopodobieństwa: najlepsze przybliżenie nieznanej prawdziwej wartości X ma taką wartość, żeby prawdopodobieństwo wystąpienia faktycznie zaobserwowanych wartości x A i x B było największe. Z zależności (3) wynika, że P X (x A, x B ) = max, gdy χ 2 = min, czyli: (5)
ŚREDNIE WAŻONE c.d Stąd najbardziej prawdopodobne X= X np wynosi: (6) i (7) W przypadku N serii pomiarów: ( 8) oraz: (9) gdzie: (10)