Makroekonomia: Frykcje finansowe w postaci ograniczeń zastawowych

Makroekonomia: Frykcje finansowe w postaci ograniczeń zastawowych Krzysztof Makarski 1 Ograniczenie kredytowe 1.1 Wst ep Wprowadzenie Model RBC z frykcjami finansowymi. Żeby wyrazić d lug nominalnie wprowadzamy pieni adz poprzez dodanie go do funkcji użyteczności. odaż pieniadza podaża procesem AR1. Frykcje finansowe w postaci ograniczeń kredytowych Kiyotaki i Moore, 1997, acoviello, 2005 1.2 Model Cierpliwe GD Cierpliwe gospodarstwa domowe sa pożyczkodawcami. Umieszczaja depozyty na rynku miedzybankowym po stopie procentowej banku centralnego stopa referencyjna. Sa w laścicielami banków oraz przedsiebiorstw oraz otrzymuja z tego tytu lu dywidendy Π t. Okresowa funkcja użyteczności ma postać uc,t, χ,t, n,t, m,t 1 log c 1,t 1,t + ϕ log χ,t ψn,t Za Kehoe i Midrigan 2012 ustalamy 0.94, 0.39 i ϕ tak aby dopasować udzia l nieruchomości oraz ψ tak aby dopasować udzia l pracy. Z powyższej funkcji użyteczności otrzymujemy nastepuj ace pochodne u,c,t u,m,t 1 1 u,n ψ u,χ,t ϕ 1 χ,t 1 c,t 1 1 c,t 1 1 c 1,t 1,t 1 1 m 1,t 1,t 1 c,t 1 c,t,t 1,t,t 1,t 1

Cierpliwe reprezentatywne gospodarstwo domowe wybiera {c,t, χ,t, n,t, m,t, D t } daż ac do maksymalizacji [ E 0 β t uc,t, χ,t, n,t, m,t pod warunkami oraz t c,t + M,t + χ,t χ,t 1 δ χ χ,t 1 + D t + t T t W t n,t + Π t +M,t 1 + R t 1 D t 1 n,t [0, 1 gdzie W p laca, Π zyski, D depozyty oszcz edności w systemie bankowym oraz T podatki konsument traktuje jako dane. Lagranżjan L E 0 warunki pierwszego rz edu: Upraszczajac β t uc,t, χ,t, n,t, m,t λ,t [c,t + m,t +p χ,t χ,t 1 δ χ χ,t 1 + D t 1 D t 1 + T t w t n,t Π t m,t 1 R t 1 t t c,t : β t u,c,t λ,t m,t : β t u,m,t λ,t E t [ λ,t+1 +1 n,t : β t u,n λ,t w t χ,t : β t u,χ,t λ,t p χ,t E t [λ,t+1 p χ,t+1 1 δ χ 1 R t λ,t+1 D t : λ,t + E t λ,t+1 t λ,t R t E t 0 t t+1 +1 β t u,c,t λ,t Z problemu konsumenta otrzymujemy R t 1 u,m,t u,c,t R t u,n u,c,t w t u,χ,t u,c,t p χ,t βe t [u,c,t+1 p χ,t+1 1 δ χ u,c,t βr t E t u,c,t+1 +1 u,c,t u,m,t 1 c,t 1 c,t u,n ψ u,χ,t ϕ 1 χ,t,t 1,t,t 1,t 2

R t 1 u,m,t u,c,t R t u,n u,c,t w t u,χ,t u,c,t p χ,t βe t [u,c,t+1 p χ,t+1 1 δ χ u,c,t βr t E t u,c,t+1 +1 Niecierpliwe GD Niecierpliwe gospodarstwa domowe sa pożyczkobiorcami β < β. Biora pożyczki z systemu bankowego po stopie R L. Okresowa funkcja użyteczności ma postać uc,t, χ,t, n,t, m,t 1 log c 1,t 1,t + ϕ log χ,t ψn,t Za Kehoe i Midrigan 2012 ustalamy 0.94, 0.39 i ϕ tak aby dopasować udzia l nieruchomości oraz ψ tak aby dopasować udzia l pracy. Z powyższej funkcji użyteczności otrzymujemy nastepuj ace pochodne u,c,t u,m,t 1 1 u,n ψ u,χ,t ϕ 1 χ,t 1 c,t 1 1 c,t 1 1 c 1,t 1,t 1 1 m 1,t 1,t 1 c,t 1 c,t,t 1,t,t 1,t Niecierpliwe reprezentatywne gospodarstwo domowe wybiera {c,t, χ,t, n,t, m,t, D t } daż ac do maksymalizacji [ E 0 βuc t,t, χ,t, n,t, m,t pod warunkiem ograniczenia budżetowego ograniczenia kredytowego oraz t c,t + M,t + χ,t χ,t 1 δ χ χ,t 1 + R L,t 1 L t 1 + t T t W t n,t + M,t 1 + L t R L,t L t ξe t [ χ,t+1 1 δ χ χ,t n,t [0, 1 gdzie L kredyty otrzymane w systemie bankowym, ξ LTV kredyt do wartości: stosunek wartości kredytu do wartości nieruchomości oraz T podatki konsument traktuje jako dane. Lagranżjan L E 0 β t uc,t, χ,t, n,t, m,t β t λ,t [c,t + m,t +p χ,t χ,t 1 δ χ χ,t 1 + R L,t 1 L t 1 t + T t w t n,t m,t 1 1 L t t β t λ,t ν,t t [R L,t L,t ξ χ,t+1 1 δ χ χ,t 3

Warunki pierwszego rz edu c,t :β t u,c,t β t λ,t m,t :β t u,m,t β t λ,t E t [ λ,t+1 +1 Upraszczajac n,t :β t u,n β t λ,t w t χ,t :βu t,χ,t βλ t,t p χ,t β t+1 E t [λ,t+1 p χ,t+1 1 δ χ βν t t λ t ξe t [p χ,t+1 1 δ χ D t : βλ t 1,t + β t+1 R L,t E t λ,t+1 ν t λ,t R L,t t t+1 t β t 1 λ,t+1 λ,t β R L,t E t ν t λ,t R L,t 0 t +1 Banki u,c,t λ,t Z problemu konsumenta otrzymujemy oraz ograniczenie budżetowe u,m,t u,c,t R L,t 1 R L,t + u,c,t ν t u,n u,c,t w t u,χ,t u,c,t p χ,t β E t [u,c,t+1 p χ,t+1 1 δ χ u,c,t ν t ξe t [p χ,t+1 1 δ χ u,c,t β R L,t E t u,c,t+1 +1 u,c,t u,m,t 1 c,t 1 c,t u,n ψ u,χ,t ϕ 1 χ,t u,m,t u,c,t R L,t 1 R L,t + u,c,t ν t R L,t,t 1,t,t 1,t + u,c,t ν t u,n u,c,t w t u,χ,t u,c,t p χ,t β E t [u,c,t+1 p χ,t+1 1 δ χ u,c,t ν t ξe t [p χ,t+1 1 δ χ u,c,t+1 u,c,t βr L,t E t + u,c,t ν t R L,t +1 R L,t l t ξe t [p χ,t+1 +1 1 δ χ χ,t c,t + m,t + p χ,t χ,t 1 δ χ χ,t 1 + R L,t 1 l t 1 + T t w t n,t + m,t 1 Zak ladamy, że banki operuja w warunkach konkurencji monopolistycznej co przek lada sie na spread ρ pomiedzy stopa depozytowa a kredytowa R L,t ρr t + l t 4

roducenci. W laścicielami firm sa cierpliwe gospodarstwa domowe. roducenci dzia laj a w otoczeniu doskonale konkurencyjnym. roducenci sa w laścicielami kapita lu i wybieraja {y t, l t, k t, x t } maksymalizujac wartość firmy E 0 β t Λ 0,t y t x t w t n t dyskontujac przysz lość zgodnie z dyskontem w laścicieli Λ 0,t u,c,t /u,c,0 pod warunkami gdzie w t W t / t. Lagranżjan y t z t kt 1n α 1 α t k t 1 δ k k t 1 + x t L E 0 warunki pierwszego rz edu β t Λ 0,t y t x t w t n t β t λ t y t z t k α t 1n 1 α t β t ν t k t 1 δ k k t 1 x t y t : β t Λ 0,t β t λ t k t : β t+1 E t λ t+1 f k k t, n t+1 + β t+1 E t ν t+1 1 δ k β t ν t n t : β t Λ 0,t w t β t λ t f n k t 1, n t x t : β t Λ 0,t β t ν t roducenci nieruchomości Λ 0,t λ t Λ 0,t ν t Λ 0,t βe t Λ 0,t+1 f k k t, n t+1 + βe t Λ 0,t+1 1 δ k w t f n k t 1, n t u,c,t βe t [u,c,t+1 f k k t, n t+1 + 1 δ k w t f n k t 1, n t W laścicielami firm produkujacych nieruchomości sa cierpliwe gospodarstwa domowe. roducenci nieruchomości dzia laj a w otoczeniu doskonale konkurencyjnym. Kupuja niezdeprecjonowane stare nieruchomości χ d t i zamieniaja je stosunku 1:1 na nowe nieruchomości. onadto moga przekszta lcać dobra finalne inwestycje w nieruchomości w nieruchomości zgodnie z nastepuj ac a technologia [ χ t χ d iχ,t t 1 S χ roducenci nieruchomości maksymalizuja wartość firmy E t β s Λ 0,t p χ,t χ t p χ,t χ d t dyskontujac przysz lość zgodnie z dyskontem w laścicieli Λ 0,t u,c,t /u,c,0 pod warunkiem [ χ t χ d iχ,t t 1 S χ iχ,t gdzie S χ 1 iχ,t 2. 2κ χ 1 Zauważ, że Sχ 1 S χ 1 0 oraz S χ 1 1 κ χ. 5

Lagranżjan warunki pierwszego rz edu L E 0 λ χ,t χ t χ d t β t Λ 0,tp χ,t χ t p χ,t χ d t [ 1 S χ χ t :β t Λ 0,tp χ,t λ χ,t odstawiajac otrzymujemy χ d t :β t Λ 0,tp χ,t λ χ,t i t :β t Λ 0,t λ χ,t S iχ,t χ [ + 1 S χ + E t [λ χ,t+1 S χ β t Λ 0,t β t Λ 0,tp χ,t S χ iχ,t + E t [β t+1 Λ 0,t+1p χ,t+1 S χ iχ,t iχ,t+1 iχ,t+1 + +1 iχ,t+1 i 2 χ,t [ 1 S χ iχ,t i 2 χ,t iχ,t 1 p χ,t 1 S χ S iχ,t χ [ u,c,t+1 + βe t p χ,t+1 S χ u,c,t iχ,t iχ,t+1 iχ,t+1 i 2 χ,t wykorzystujac warunek równowagi 1 δ χ χ t 1 χ d t χ t 1 δ χ χ t 1 + 1 S Definicja prywatnej równowagi doskonale konkurencyjnej Równowaga doskonale konkurencyjna to alokacja {c,t, χ,t, n,t, m,t, c,t, χ,t, n,t, m,t, L t } oraz ceny { t, χ,t, W t, R t, R L,t } spe lniajace {c,t, χ,t, n,t, m,t } rozwiazuje problem cierpliwych gospodarstw domowych przy danych cenach [ max E 0 β t uc,t, χ,t, n,t, m,t {c,t,χ,t,n,t,m,t } max {c,t,χ,t,n,t,m,t,l t} sb. to t c,t + M,t + χ,t χ,t 1 δ χ χ,t 1 + D t + t T t W t n,t + Π t + +M,t 1 + R t 1 D t 1 n,t [0, 1 {c,t, χ,t, n,t, m,t, L t } cenach [ E 0 βuc t,t, χ,t, n,t, m,t rozwiazuje problem niecierpliwych gospodarstw domowych przy danych sb. to t c,t + M,t + χ,t χ,t 1 δ χ χ,t 1 + R L,t 1 L t 1 + t T t W t n,t + +M,t 1 + L t R L,t L t ξe t [ χ,t+1 1 δ χ χ,t n,t [0, 1 6

{y t, n t, k t, x t } rozwiazuje problem producenta dóbr finalnych przy danych cenach max {y t,n t,k t,x t} sb. to E t s0 β s Λ t,t+s y t x t W t t n t y t z t k α t 1n 1 α t k t 1 δ k k t 1 + x t {χ t, χ d t, } rozwiazuje problem producenta nieruchomości przy danych cenach max E t β s Λ 0,t p χ,t χ t p χ,t χ d t sb to χ t χ d t + 1 S Banki R L,t ρr t olityka pienieżna podaża procesem AR1 µ t M t / M t 1 mt m t 1 ln µ t 1 ρ ln µ + ρ M ln µ t 1 + ε M,t W ladze fiskalne balansuja budżet dostaja seniorat Rynki sie oczyszczaja 1.3 Rozwiazanie modelu Warunki pierwszego rzedu Cierpliwe GD t g t t T t + M t M t 1 c t + g t + x t + y t ω χ,t + ω χ,t χ t 1 ω m,t + ω m,t m t ω n,t + ω n,t n t ω c,t + ω c,t c t u,c,t u,m,t χ d t 1 δ χ χ t 1 1 c,t 1 c,t u,n ψ u,χ,t ϕ 1 χ,t,t 1,t,t 1,t 7

R t 1 u,m,t u,c,t R t u,n u,c,t w t u,χ,t u,c,t p χ,t βe t [u,c,t+1 p χ,t+1 1 δ χ u,c,t βr t E t u,c,t+1 +1 Niecierpliwe GD oraz ograniczenie budżetowe roducenci u,c,t u,m,t 1 c,t 1 c,t u,n ψ u,χ,t ϕ 1 χ,t,t 1,t,t 1,t R L,t 1 u,m,t u,c,t + ν t u,c,t R L,t u,n u,c,t w t u,χ,t u,c,t p χ,t β E t [u,c,t+1 p χ,t+1 1 δ χ ν t u,c,t ξe t [p χ,t+1 1 δ χ u,c,t+1 u,c,t β R L,t E t + ν t u,c,t R L,t +1 R L,t l t ξe t [p χ,t+1 +1 1 δ χ χ,t c,t + m,t + p χ,t χ,t 1 δ χ χ,t 1 + R L,t 1 l t 1 u,c,t βe t [u,c,t+1 f k k t, n t+1 + 1 δ k w t f n k t 1, n t y t zeẑt kt 1n α 1 α t k t 1 δ k k t 1 + x t gdzie z t zz t z 1 ze log zt log z zeẑt oraz ẑ t ρ z ẑ t 1 + ε z,t. roducenci nieruchomości S χ S χ + T t w t n,t + m,t 1 1 p χ,t 1 S χ S iχ,t iχ,t χ [ +1 iχ,t+1 +βe t χ t 1 δ χ χ t 1 + u,c,t+1 p χ,t+1 S χ u,c,t 1 2 1 2κ χ 1 1 κ χ 1 S i 2 χ,t + l t 8

Domkni ecie modelu olityka pieni eżna i szok produktywności ˆµ t ρ m ˆµ t 1 + ε m,t m t m t 1 ẑ t ρẑ t 1 + ε z,t µeˆµt olityka ieni eżna System bankowy g t T t + m t m t 1 R L,t ρr t Rynki oczyszczaja sie c t + g t + x t + y t ω χ,t + ω χ,t χ t 1 ω m,t + ω m,t m t ω n,t + ω n,t n t ω c,t + ω c,t c t Stan ustalony Z problemu producenta 1 β[zα k n α 1 + 1 δk co daje w z1 α k n x δ k k α y zk α n 1 α zk α k 1 n 1 α k z k n k n zα β 1 1 δ k 1 1 α α 1k w z1 α k n α roblem producenta nieruchomości x δ k k y z k α 1k n 1 p χ δ χ χ i χ Domkni ecie modelu Banki R L ρr 9

olityka pieni eżna µ π Cierpliwe gospodarstwa domowe. u,c u,m 1 c 1 c u,n ψ 1 1 u,χ ϕ 1 χ u,m R 1 u,c R ψ u,c w u,χ u,c [1 β1 δ χ π βr 1 ψ c 1 Zaczynajac od wyboru pieniadz - konsumpcja m 1 c 1 1 R 1 R w u,χ u,c [1 β1 δ χ π βr 1 m 1 c 1 R 1 R nast epnie c [ R 1 m R 1 1 ψ c 1 ψ c 1 1 1 c ψ + ψ 1 1 m c 1 w c w w c 10

rzekszta lcaj ac oraz ozosta le zmienne c w ψ + ψ 1 m c 1 m c R 1 R ψ + ψ 1 1 z1 α k n R 1 R α 1 1 u,c u,m 1 c 1 c u,χ [1 β1 δ χ u,c χ ϕ 1 u,χ Niecierpliwe gospodarstwa domowe. Warunki pierwszego rz edu u,c,t u,m,t 1 c,t 1 c,t u,n ψ u,χ,t ϕ 1 χ,t,t 1 1 1,t,t 1,t R L,t 1 u,m,t u,c,t + ν t u,c,t R L,t u,n u,c,t w t u,χ,t u,c,t p χ,t β E t [u,c,t+1 p χ,t+1 1 δ χ ν t u,c,t ξe t [p χ,t+1 1 δ χ u,c,t+1 u,c,t β R t E t + ν t u,c,t R L,t +1 R L,t l t ξe t [p χ,t+1 +1 1 δ χ χ,t w stanie ustalonym przyjmuja postać u,c u,m 1 c 1 c 1 1 u,χ ϕ 1 χ 11

rzekszta lcaj ac 1 ψ c oraz ograniczenie budżetowe 1 m 1 c 1 1 R L 1 R L w + ν u,χ u,c 1 β 1 δ χ νξ1 δ χ 1 β R L + νr L π R L l ξπ1 δ χ χ c,t + m,t + p χ,t χ,t 1 δ χ χ,t 1 + R L,t 1 l t 1 Rozwiazuj ac zauważ Nast epnie oraz latwo policzyć c [ m 1 ψ c ν 1 β R L π RL 1 1 R L 1 +1 + ν w c ψ + ψ 1 m 1 w c c w c [ ψ + ψ 1 RL 1 1 R L + ν [ RL 1 m c + ν 1 u,c u,m 1 c 1 c R L 1 1 + T t w t n,t + m,t 1 1 u,χ u,c [1 β 1 δ χ νξ1 δ χ χ ϕ 1 u,χ l ξπ1 δ χχ R L 1 c + m + δ χ χ + R L π 1l + T wn + m π n 1 c + m π 1 w π + δ χχ + ρβ 1 1l + T + l t 12

Domkni ecie modelu Banki R L ρr olityka pieni eżna µ π olityka fiskalna Oczyszczanie rynków T g m π 1 π χ ω χ + ω χ m ω m + ω m wykorzystujac równanie zasobowe otrzymujemy oraz na koniec c + g + δ k k + i χ z k α 1k n c + g + i χ k z k α 1 n δk n k n 1 k n 1 ω n ω n Wnioski Otrzymaliśmy latwy do zakodowania w dynare model z frykcjami finansowymi. Kalibracja oparta na literaturze pokazuje ca lkiem przyzwoite dopasowanie do danych. Możemy go wykorzystywać do różnych pytań np. rola szoków finansowych, polityka makroostrożnościowa. Literatura [1 acoviello, Matteo 2005 House prices, borrowing constraints, and monetary policy in the business cycle. American Economic Review 953, 739 764. [2 Kiyotaki, Nobuhiro, i John Moore 1997 Credit cycles. Journal of olitical Economy 1052, 211 48 13