Prawdopodobieństwo geometryczne

Prawdopodobieństwo geometryczne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Uniwersyteckie Koło Matematyczne 23 kwietnia 2009 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 1/30

Doświadczenia losowe Doświadczenie losowe doświadczenie, którego wyniku nie da się z góry przewidzieć, a jednocześnie dające się powtarzać w tych samych warunkach. Zbiór zdarzeń elementarnych zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia, oznaczamy go zazwyczaj symbolem Ω. Zdarzenia podzbiory zbioru Ω. Przykład 1. Rzucamy jeden raz monetą. zbiór zdarzeń elementarnych Ω = {Orzeł,Reszka} = {O, R}. przykłady zdarzeń: zdarzenie A wypadł orzeł, tzn. A = {O}, zdarzenie B wypadł orzeł lub wypadła reszka, tzn. B = {O, R}. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 2/30

Doświadczenia losowe Przykład 2. Rzucamy jeden raz kostką do gry. zbiór zdarzeń elementarnych Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. przykłady zdarzeń: zdarzenie A wypadła liczba parzysta, tzn. A = {2, 4, 6}, zdarzenie B wypadła liczba mniejsza od trzech, tzn. B = {1, 2}. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 3/30

Prawdopodobieństwo Każdemu zdarzeniu A przyporządkowujemy liczbę P(A) [0, 1]. Liczba ta określa szansę, że to zdarzenie zajdzie i nazywamy ją prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A. Inaczej mówiąc określamy pewną funkcję, której dziedziną jest zbiór zdarzeń, a zbiorem wartości przedział [0, 1]. Własności prawdopodobieństwa. Niech A i B będą dowolnymi zdarzeniami P(A) [0, 1], P(Ω) = 1, Jeżeli A B =, to P(A B) = P(A) + P(B). Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 4/30

Prawdopodobieństwo Przykład 1. Rzut monetą. Ω = {O, R}. Prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych określamy zazwyczaj następująco P({O}) = 1 2, P({R}) = 1 2. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 5/30

Prawdopodobieństwo Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych określamy zazwyczaj następująco P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Korzystając z tego możemy obliczyć prawdopodobieństwa innych zdarzeń, np. P( wypadnie liczba parzysta ) = P({2, 4, 6}) = = P({2} {4} {6}) = = P({2}) + P({4}) + P({6}) = = 1 6 + 1 6 + 1 6 = 1 2. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 6/30

Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/30

Klasyczny model prawdopodobieństwa Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, A wypadła liczba parzysta, A = {2, 4, 6}, A = 3, P(A) = A Ω = 3 6 = 1 2, B wypadła liczba mniejsza od 3, B = {1, 2}, B = 2, P(B) = B Ω = 2 6 = 1 3, Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 8/30

Problem Dany jest przedział [0, 1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Pytania: Jak wygląda zbiór zdarzeń elementarnych? Ile jest zdarzeń elementarnych? Ile wynosi prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia elementarnego? Czy możemy stosować klasyczną definicję prawdopodobieństwa? Jak obliczać prawdopodobieństwa różnych zdarzeń, np. P({x 1 2 }) = P({x > 1 4 }) = P({ 1 2 x < 3 4 }) = P({x = 1 3 }) = Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 9/30

Problem Odpowiedzi: Ω = [0, 1] Jest nieskończenie wiele zdarzeń elementarnych, Ω = +, P({x}) = 0 dla dowolnego x [0, 1], Nie możemy stosować klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Wynika z tego, że aby określić np. P({x 1 2 }) potrzebna jest inna definicja prawdopodobieństwa. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 10/30

Prawdopodobieństwo geometryczne Wiemy, że na podzbiorach R n mamy określone pewne miary. Na R 1 jest to długość, na R 2 pole, a na R 3 objętość. Załóżmy, że Ω jest podzbiorem R n o skończonej mierze. Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem zbioru Ω). Wówczas P(A) = miara(a) miara(ω). Jest to tzw. geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary (długości, pola, objętości) tego zbioru. Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A, to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że trafi on do zbioru A. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 11/30

Przykład Dany jest przedział [0, 1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że x [0, 1 3 ]? Rozwiązanie: Ω = [0, 1], A = [0, 1 3 ], 1 P(A) = P(x [0, 1 długość(a) 3 ]) = długość(ω) = 3 1 = 1 3. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 12/30

Zadanie Wewnątrz koła o promieniu 5 wybrano losowo jeden punkt. Oblicz prawdopodobieństwo, że znajduje się on w odległości mniejszej niż 2 od środka koła. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 13/30

Zadanie W koło wpisany jest kwadrat. Oblicz prawdopodobieństwo, że punkt rzucony losowo na koło znajdzie się wewnątrz kwadratu. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 14/30

Zadanie W koło wpisany jest kwadrat. Na koło rzucono losowo i niezależnie od siebie dwa punkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwszy z nich znajdzie się w kwadracie, a drugi w górnym odcinku koła. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 15/30

Zadanie Pan Kowalski przychodzi codziennie na przystanek w losowo wybranym momencie pomiędzy godziną 9, a 11. Autobus przyjeżdża o każdej pełnej godzinie. Tramwaj przyjeżdża 20 minut po każdej pełnej godzinie. Pan Kowalski zawsze wsiada w to co przyjedzie pierwsze. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pojedzie tramwajem? Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 16/30

Zadanie Jaś i Małgosia umówili się, że spotkają się w parku pomiędzy godziną 17, a 18. Osoba, która przyjdzie pierwsza ma poczekać na drugą najwyżej 15 minut. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Jaś i Małgosia spotkają się? Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 17/30

Zadanie Na płaszczyźnie poprowadzono dwie rodziny prostych równoległych, które dzielą ją na prostokąty o bokach 5 cm i 8 cm. Na płaszczyznę rzucono losowo monetę o średnicy 2 cm. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie przetnie ona żadnej z prostych? Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 18/30

Zadanie Tarcza strzelecka o promieniu 10 cm podzielona jest na trzy koncentryczne pierścienie o promieniach 2 cm, 6 cm i 10 cm, za trafienie w które zdobywa się odpowiednio 1,2 i 3 punkty. Zakładamy, że strzelec zawsze trafia w tarczę i że robi to w sposób losowy. Jakie jest prawdopodobieństwo zdobycia dwóch punktów w jednym strzale? Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 19/30

Igła Buffona Problem. Wyobraźmy sobie planszę z zaznaczonymi na niej równoległymi liniami odległymi od siebie o d. Na planszę upuszczamy igłę o długości l (zakładamy, że l d). Jakie jest prawdopodobieństwo, że igła przetnie jedną z linii? d l Problem ten sformułował w XVIII wieku francuski filozof, przyrodnik i matematyk Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon (1707 1788). Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 20/30

Igła Buffona Rozwiązanie. Niech x oznacza odległość środka igły od najbliższej linii, a α kąt ostry między igłą a linią. d l/2 α y x Zauważmy, że x [0, d/2], α [0, π/2] (tzn. α [0, 90 ]), y = l 2 sin(α), igła przetnie linię gdy x y tzn. gdy x l 2 sin(α). Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 21/30

Igła Buffona Z poprzednich rozważań wynika, że odpowiednikiem losowego rzutu igły na planszę jest losowy wybór punktu z prostokąta o [0, π/2] [0, d/2]. Jeżeli wylosowany punkt leży pod krzywą x = l/2 sin(α), oznacza to, że igła przecięła linię, a jeżeli nad krzywą to, że jej nie przecięła. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 22/30

Igła Buffona Ponieważ wylosowanie dowolnego punktu z prostokąta [0, π/2] [0, d/2] jest jednakowo prawdopodobne, więc P({igła przetnie linię}) = Pole całego prostokąta wynosi oczywiście pole pod krzywą x = l/2 sin(α) pole prostokąta [0, π/2] [0, d/2] π 2 d 2 = πd 4. A jak obliczyć pole pod krzywą x = l/2 sin(α)? Dla znających rachunek całkowy jest oczywiste, że pole to wynosi: Stąd π/2 0 l 2 sin α dα = l 2 ( cos(π/2) ( cos(0))) = l 2 P({igła przetnie linię}) = l/2 (πd)/4 = 2l πd. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 23/30

Jak obliczyć pole nie znając rachunku całkowego? Problem. Dana jest funkcja f : [a, b] R +. Jak obliczyć pole figury ograniczonej osią OX prostymi x = a i x = b oraz krzywą y = f (x)? Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 24/30

Obliczanie pól metodą Monte Carlo Wybieramy losowo N punktów z prostokąta [a, b] [0, Max] (N duże). r N liczba punktów, które znalazły się wewnątrz obszaru S, tzn. pod wykresem funkcji f (na rysunku zostały oznaczone kolorem czerwonym). Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 25/30

Obliczanie pól metodą Monte Carlo r NN określa jaka część punktów trafiła w obszar S. Ponieważ punkty są rozłożone równomiernie na całym prostokącie, więc możemy rozsądnie przyjąć, że obszar S stanowi r N N część obszaru całego prostokąta tzn. Stąd Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) r N N. Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) rn N = Max (b a) rn N Im więcej punktów wylosowaliśmy tym przybliżenie to powinno być dokładniejsze. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 26/30

Igła Buffona Niech P oznacza prawdopodobieństwo, że igła przetnie jakąś linię. Wiemy już, że P = 2l πd. Przekształcając ten wzór otrzymujemy, że π = 2l Pd. Wynika stąd, że znając długość igły, odległość między liniami i prawdopodobieństwo P możemy wyznaczyć liczbę π. Powtórzmy N razy eksperyment polegający na rzucie igły na planszę. Załóżmy, że igła przecięła którąś z linii r N razy (0 r N N). Wydaje się naturalnym przyjąć, że Stąd P r N N π 2lN r N d. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 27/30

Igła Buffona Wynika stąd, że przy odpowiednio dużej liczbie rzutów igłą liczba 2lN r N d będzie dobrym przybliżeniem liczby π. Im większa liczba rzutów tym przybliżenie powinno być lepsze. W 1901 roku włoski matematyk Mario Lazzarini rzucił igłą 3408 razy i otrzymał bardzo dokładne przybliżenie liczby π π 355 3, 141592920 113 Błąd występuje dopiero na 7 miejscu po przecinku. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 28/30

Metody Monte Carlo historia Metodami Monte Carlo nazywamy klasę metod, które do numerycznego rozwiązywania złożonych zagadnień wykorzystują komputerowe generowanie liczb pseudolosowych odpowiadających możliwym parametrom wejściowym badanego układu (opisanego modelem matematycznym). Metody Monte-Carlo stosowane są w różnych dziedzinach np. przy projektowaniu eksperymentów fizycznych (np. doświadczeń z cząstkami elementarnymi), modelowaniu procesów fizycznych (np. powstawania struktur we wszechświecie itp.), wyznaczania cen różnych instrumentów finansowych. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 29/30

Metody Monte Carlo historia Idee tej metody przedstawili w latach 40-tych XX wieku naukowcy pracujący w laboratorium w Los Alamos przy projekcie Manhattan Stanisław Ulam, John von Neumann, Enrico Fermi i Nicholas Metropolis. Nazwa pochodzi od słynnego kasyna w Monte Carlo, w którym podobno grywał często wujek Stanisława Ulama. Wielokrotne powtarzanie tych samych eksperymentów losowych można porównać do regularnego uczestnictwa w grach hazardowych. Takie symulacje losowe przeprowadzane były już wcześniej, ale służyły raczej do weryfikacji znanych rezultatów (uzyskanych innymi metodami), a nie do właściwego rozwiązywania problemów. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 30/30