MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

Podobne dokumenty
Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Matematyka ETId Elementy logiki

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki matematycznej

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Klasyczny rachunek zdań 1/2

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 1/2

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów

WSTĘP ZAGADNIENIA WSTĘPNE

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

Logika pragmatyczna dla inżynierów

Rachunek zdań. Zdanie w sensie logicznym jest to wyraŝenie jednoznacznie stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iŝ tak a

Rachunek zdań i predykatów

Logika Matematyczna (2,3)

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH

Drzewa Semantyczne w KRZ

Logika Matematyczna (1)

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.

Klasyczny rachunek predykatów

Logika Matematyczna (1)

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów

Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu

Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.

LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe:

Metodologia prowadzenia badań naukowych Semiotyka, Argumentacja

Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań

Wstęp do logiki. Semiotyka cd.

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 1 października Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października / 26

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 2 października Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października / 33

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 3 października Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października / 26

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań

Lista 1 (elementy logiki)

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. I Wprowadzenie do Klasycznego Rachunku Zdań

ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje

Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu

Rachunek zdao i logika matematyczna

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I

Adam Meissner.

Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań

Sylabus dla przedmiotu Logika i ogólna metodologia nauk

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny

Przewodnik do ćwiczeń z logiki dla prawników

Logika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S.

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Elementy logiki

4 Klasyczny rachunek zdań

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej

Języki programowania zasady ich tworzenia

Przewodnik do ćwiczeń z logiki dla prawników

Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.

Znak, język, kategorie syntaktyczne


Logika Matematyczna 16 17

Instrukcja do testu z matematyki zdania logiczne, wyrażenia algebraiczne, równania kwadratowe Zakres materiału

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki

dr ANNA NIEWULIS CENTRUM NAUCZANIA MATEMATYKI i KSZTAŁCENIA na ODLEGŁOŚĆ pokój 310

Schematy Piramid Logicznych

Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne

DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP

RACHUNEK PREDYKATÓW 7

Rachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Dalszy ciąg rachunku zdań

Semantyka rachunku predykatów

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007

Kultura logicznego myślenia

Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

SZTUCZNA INTELIGENCJA

Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)

Dowody założeniowe w KRZ

Elementy rachunku lambda. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1

Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ

Transkrypt:

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości rachunek zbiorów, relacje, funkcje. Aspekty kombinatoryki: obiekty kombinatoryczne pojęcie obiektu, reprezentacje, metody przeliczania obiektów kombinatorycznych. Równania rekurencyjne. Zagadnienia istnienia obiektów o zadanych własnościach. Algorytmy kombinatoryczne. Grafy: reprezentacje i własności grafów, grafy eulerowskie i hamiltonowskie, drzewa, grafy planarne, kolorowanie grafów, digrafy, skojarzenia. szersze znaczenie: LOGIKA - nauka podająca prawa i reguły poprawnego myślenia oraz poprawnego wypowiadania myśli. Trzy główne działy: logika formalna, semiotyka, metodologia nauk semiotyka: nauka o języku jako środku formułowania i przekazywania myśli metodologia nauk: nauka o ogólnych metodach naukowych LOGIKA FORMALNA (symboliczna, matematyczna) problematyka rachunku logicznego i języka tych rachunków oraz zagadnienia struktury i własności systemów dedukcyjnych. Logika klasyczna (dwuwartościowa): system logiczny, w którym zdaniom przypisuje się jedną z dwu wartości logicznych - prawdę () lub fałsz (). Barbara Głut

Wszystkie czysto formalne aspekty myślenia mają swoje odpowiedniki w języku. Rozważa się więc sformalizowaną część języka naturalnego. Dla języka ustala się alfabet (symbole). Z symboli alfabetu tworzy się wyrażenia. Interesujące są jedynie wyrażenia poprawnie zbudowane (zbudowane zgodnie z wymogami składni, sensowne). Wyrażenia dzieli się na kategorie składniowe (syntaktyczne). Dwa wyrażenia należą do tej samej kategorii składniowej wtedy i tylko wtedy, gdy po zastąpieniu jednego przez drugie z wyrażeń sensownych otrzymujemy wyrażenie sensowne. (uwaga na wyrażenia wieloznaczne!) Na przykład: Kraków, Warszawa należą do tej samej kategorii składniowej, bo po zastąpieniu jednego przez drugi w zdaniu Kraków jest miastem otrzymamy - Warszawa jest miastem, tj. wyrażenie sensowne. Kraków, jest nie należą do tej samej kategorii składniowej, bo Jest jest miastem nie jest wyrażeniem sensownym. Podobnie: symbole arytmetyczne 2 i 5 należą do tej samej kategorii, a 2 i = nie 2 + 4 = 6 5 + 4 = 6 - zdanie poprawne, choć fałszywe = + 4 = 6 - bez sensu Barbara Głut 2

Podstawowe kategorie składniowe: WYRAŻENIA NAZWOWE WYRAŻENIA ZDANIOWE OPERATORY FUNKTORY A) Do kategorii WYRAŻEŃ NAZWOWYCH zalicza się wyrażenia, które mogą być podmiotem lub orzecznikiem zdań typu M jest N. Mogą więc należeć do tej kategorii rzeczowniki, przymiotniki, zaimki i inne odpowiednio zbudowane wyrażenia złożone. B) Do kategorii WYRAŻEŃ ZDANIOWYCH zalicza się: zdania, zmienne zdaniowe, funkcje zdaniowe. ZDANIE W języku naturalnym (np. polskim) przez zdanie rozumie się poprawnie zbudowane wyrażenie zawierające podmiot, orzeczenie itp. Rodzaje zdań: - oznajmujące -pytające - rozkazujące. Z logicznego punktu widzenia interesujące jedynie zdania oznajmujące i to tylko te, którym możemy nadać wartość logiczną (!), czyli w logice klasycznej - wartość prawdy lub fałszu. (zasada dwuwartościowości) Barbara Głut 3

Np.: zdanie w powyższym sensie: w przeciwieństwie do: Kraków leży nad Wisłą. Miasto leży nad rzeką. bo: drugie, choć poprawne w sensie gramatycznym, ale nie możemy stwierdzić prawdziwości (nadać wartości logicznej). Ta nieformalna definicja odnosi się również do języków sztucznych. W matematyce (w języku matematyki): 2 + 5 = 7 2 + 3 = 7 zdania x + 5 = 7 nie, ale tak, po podstawieniu w miejsce x symbolu konkretnej liczby ZMIENNA ZDANIOWA jest to zmienna, za którą można podstawiać dowolne zdanie. FUNKCJA ZDANIOWA jest to wyrażenie zawierające zmienne, z którego otrzymujemy zdania po podstawieniu za zmienne odpowiednich stałych. np.: Żadne S nie jest P a + b = b + a x + 4 = 7 Funkcje zdaniowe nazywa się także: formami zdaniowymi lub warunkami. Barbara Głut 4

OPERATORY Wjęzykach, w których wprowadza się zmienne i funkcje zdaniowe mogą wystąpić jeszcze wyrażenia innej kategorii składniowej tj. operatory. Operatorami są np.: kwantyfikatory, symbole abstrakcji {x: }, znaki dodawania i mnożenia zbiorów itp.. Wspólną cechą operatorów jest to, że ich częściami są wskaźniki. Można też powiedzieć, że operatory wiążą zmienne. Operatory, tak jak funktory występują łącznie z wyrażeniami określonych kategorii składniowych i tworzą wraz z nimi wyrażenia złożone określonej kategorii. Np. kwantyfikator operator zdaniotwórczy o jednym argumencie zdaniowym, symbol abstrakcji operator nazwotwórczy o jednym argumencie zdaniowym itd. FUNKTORY Funktory są wyrażeniami, które w połączeniu z pewnymi innymi wyrażeniami, zwanymi ich argumentami, tworzą złożone wyrażenia sensowne. Funktory dzieli się na kategorie składniowe ze względu na: kategorię składniową wyrażenia złożonego, które dany funktor tworzy wraz ze swymi argumentami, liczbę argumentów, kategorie składniowe kolejnych argumentów. Funktory tworzące wraz ze swymi argumentami wyrażenia zdaniowe nazywa się funktorami zdaniotwórczymi. Funktory tworzące wraz ze swymi argumentami wyrażenia nazwowe nazywa się funktorami nazwotwórczymi. Barbara Głut 5

Np.: funktory zdaniotwórcze o jednym argumencie zdaniowym - wyraz nie w zdaniu Nie mam., spójnik negacji w zdaniu ( 2 + 2 4 ) o dwóch argumentach zdaniowych - spójnik i łączący dwa wyrażenia zdaniowe, spójnik koniunkcji o dwóch argumentach nazwowych: wyraz oświeca w zdaniu Słońce oświeca ziemię, symbol < w zdaniu 2 < 3 funktor nazwotwórczy o jednym argumencie nazwowym sin w wyrażeniu sin(3 ) Funktory ekstensjonalne - czyli takie, które sprawiają, że wartość logiczna złożonego wyrażenia utworzonego przy ich pomocy zależy wyłącznie od wartości logicznej zdań składowych ( z pominięciem wszelkich innych czynników, w szczególności ich treści). Uzależniają w stały, sobie tylko właściwy sposób wartość logiczną zdań złożonych od wartości zdań składowych. Barbara Głut 6

Negacja: funktor zdaniotwórczy jednoargumentowy, używane symbole: ~ p - p Np p... Wyrażenie zbudowane ze znaku negacji i następującego po nim wyrażenia zdaniowego nazywamy negacją lub zaprzeczeniem. Czytamy: nie p, nieprawda, że p, nie jest tak, że p Pozostałe używane stałe - funktory dwuargumentowe Koniunkcja: używane symbole: p q p q K pq p & q p q Wyrażenie zdaniowe utworzone z dwóch wyrażeń zdaniowych połączonych znakiem koniunkcji nazywa się koniunkcją lub iloczynem logicznym. Człony koniunkcji nazywamy czynnikami. Czytamy p i q. Barbara Głut 7

Alternatywa: używane symbole: p q p q A pq p + q Wyrażenie zdaniowe utworzone z dwóch wyrażeń zdaniowych połączonych znakiem alternatywy nazywa się alternatywą lub sumą logiczną. Człony alternatywy nazywamy składnikami. Czytamy p lub q. Implikacja: używane symbole: p q p q C pq p q Wyrażenie zdaniowe utworzone z dwóch wyrażeń zdaniowych połączonych znakiem implikacji nazywa się implikacją lub okresem warunkowym. Pierwszy człon implikacji nazywamy poprzednikiem, a drugi następnikiem. Czytamy Jeżeli p to q. Barbara Głut 8

Równoważność: używane symbole: p q p q E pq p q Wyrażenie zdaniowe utworzone z dwóch wyrażeń zdaniowych połączonych znakiem równoważności nazywa się równoważnością. Pierwszy człon równoważności nazywamy lewą stroną równoważności, a drugi prawą stroną. Czytamy p wtedy i tylko wtedy, gdy q. Inne funktory: dysjunkcja (funktor Sheffera), binegacja (funktor jednoczesnego zaprzeczenia, funktor Łukasiewicza), alternatywa wykluczająca itd. Barbara Głut 9

Klasyczny rachunek zdań prawa i schematy logiczne, w których oprócz stałych logicznych występują tylko zmienne zdaniowe Alfabet języka rachunku zdań: zmienne zdaniowe -o określonej wartości logicznej {, } oznaczone symbolami liter p, q, r, p, p 2... spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze, stałe rachunku zdań) o symbolach... symbol pomocniczy -nawiasy ( ) V = { p, q, r,..., p, p 2,... } X = {,,,, } Z = { (, ) } A = V X Z alfabet języka rachunku zdań Wyrażenie: dowolny, skończony, niepusty ciąg symboli alfabetu np.: ((p q) r (p r) ( p) p q r (p r) p Wyrażenie poprawnie zbudowane (sensowne - syntaktycznie) gdy spełniony jeden z warunków: o jest jedną z liter, 2 o jeśli wyrażenia α oraz β są poprawnie zbudowane, to wyrażenie α α β α β α β α β (α) są również poprawnie zbudowane. F - zbiór formuł rachunku zdań Barbara Głut

Matrycowe ujęcie logiki zdań polega na podaniu liczbowych (,) charakterystyk dla poszczególnych związków prawdziwościowych zachodzących między zdaniami oraz na zastosowaniu tych charakterystyk do rozstrzygania formuł logiki zdań. metoda zero-jedynkowa: dla oznaczania prawdziwości zdania dla oznaczania fałszywości zdania Matryca negacji: p p Matryca koniunkcji: p q p q Koniunkcja jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba jej czynniki są prawdziwe. Barbara Głut

Matryca alternatywy: p q p q Alternatywa jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy oba jej składniki są fałszywe. Matryca implikacji: p q p q Implikacja jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy jej poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy. Barbara Głut 2

Matryca równoważności: p q p q Równoważność jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy obie jej strony mają taką samą wartość logiczną. Matryca dysjunkcji : p q p q Dysjunkcję nazywa się też funktorem Sheffera. Czytamy: nie zarazem p i q. Ma tę samą wartość logiczną co wyrażenie (p q). Barbara Głut 3

Matryca binegacji: p q p q Binegację nazywa się też funktorem jednoczesnego zaprzeczenia lub funktorem Łukasiewicza. Czytamy: ani p ani q. Ma tę samą wartość logiczną co wyrażenie (p q). Matryca alternatywy wykluczającej: p q p q Czytamy: albo p albo q. Ma tę samą wartość logiczną co wyrażenie (p q). Barbara Głut 4

wartościowanie zmiennych: dowolna funkcja określona na V o wartościach w zbiorze Y = {,} ω : V {, } ω(p) = dla oznaczenia prawdy, ω(p) = dla oznaczenia fałszu wartościowanie formuł : funkcja ω * : F {, } taka, że: (i) jeśli α jest zmienną zdaniową (α V), to ω * (α) = ω(α), (ii) jeśli α F jest postaci α lub α α 2 lub α α 2 lub α α 2, gdzie α oraz α 2 są formułami, a ω * (α ) i ω * (α 2 ) są już zdefiniowane, to odpowiednio: ω * (α) = ω * ( α ) = ω * (α ) ω * (α) = ω * (α α 2 ) = min(, + ω * (α 2 ) ω * (α ) ) ω * (α) = ω * (α α 2 ) = min(ω * (α ), ω * (α 2 ) ) ω * (α) = ω * (α α 2 ) = max(ω * (α ), ω * (α 2 ) ). Obliczanie wartości ω * (α) oznacza wyznaczanie wartości logicznej formuły: { p, p 2,..., p n } {, } Istnieje dokładnie 2 n wartościowań formuły zawierającej zmienne zdaniowe { p, p 2,..., p n }. Istnieje dokładnie n 2 2 n argumentowych funktorów. Czyli istnieją cztery funktory jednoargumentowe i szesnaście funktorów dwuargumentowych. A A A 2 A 3 Barbara Głut 5

B B B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8 B 9 B B B 2 B 3 B 4 B 5 Pytanie: czy można zapisać wszystkie funktory używając jedynie zbioru X = {,,,, }? Tak - np. dysjunkcja B 4 równoważna (p q) binegacja B 8 równoważna (p q) alternatywa wykluczająca B 6 równoważna (p q)... Pytanie: czy można zmniejszyć zbiór X = {,,,, }? Barbara Głut 6

Czy można wyeliminować symbol? ( p q ) = ( p q ) ( q p ) Czy można wyeliminować symbol? ( p q ) = ( p q ) Czy można wyeliminować symbol lub? ( p q ) = ( p q ) ( p q ) = ( p q ) ( p q ) = ( p q ) ( p q ) = ( p q ) Czyli można przyjąć za zbiór X : X = {,, } lub X = {, } lub X = {, } lub X = {, } A może wystarczy jeden funktor? Odpowiedź tak w dwóch przypadkach - funktor dysjunkcji funktor binegacji p p p p q (p q) (p q) p p p p q (p q) (p q) Barbara Głut 7