ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE TRZECIEJ. I. Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa ) Ile liczb pięciocyfrowych można utworzyć, wykorzystując wszystkie cyfry liczby 476? ) Pięciu przyjaciół wybrało się do kina. Na ile sposobów mogą usiąść na miejscach w rzędzie? ) Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, w których cyfry : a) nie powtarzają się? B) cyfry mogą się powtórzyć? 4) Do windy zatrzymującej się na piętrach wsiadły 4 osoby. Na ile sposobów osoby te mogą opuścić windę, jeśli każda z nich wysiada: a) na innym piętrze b) na innym piętrze i nikt nie wysiada na trzech ostatnich piętrach? ) Na ile sposobów osób może wysiąść z pociągu, który zatrzymuje się na 6 stacjach? 6) W turnieju szachowym rozegrano partii. Ilu było uczestników, jeśli każdy uczestnik rozegrał jedną partię z każdym z pozostałych? 7) W partii 4 monitorów 4 są uszkodzone. Wybieramy monitory. Na ile sposobów można dokonać takiego wyboru, żeby tylko jeden z wybranych był uszkodzony? 8) Na płaszczyźnie zaznaczono n punktów (n>4) z których dowolne nie są współliniowe. Ile punktów zaznaczono, jeśli wyznaczyły one różnych prostych? ) W klasie jest 8 chłopców i dziewcząt. Ile jest sposobów wybrania pięcioosobowej delegacji z tej grupy, tak by znalazły się tam: a) dziewczynki i jeden chłopiec? b) co najmniej jeden chłopiec? ) Ze zbioru liczb,,, 4,, losujemy jednocześnie dwie. Ile jest możliwych wyników losowania, tak by: a) suma obu liczb była parzysta? b) iloczyn obu liczb był podzielny przez 8? ) Ze zbioru liczb =,,,,8 losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a) jest ona podzielna przez, b) jest ona liczbą parzystą, c) jest ona parzystą lub podzielną przez. ) Rzucamy kolejno sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że a) suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą nieparzystą b) iloczyn oczek otrzymany w obu rzutach jest podzielny przez 4. ) Rzucamy raz dwunastościenną kostką z oczkami,,. Rozważ zdarzenia: A={ ω Ω : ω 8}, B= { ω Ω : ω 6}.Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: P(A), P(A B), P(A B), P(B - A). 4) Z talii kart, losujemy jednocześnie karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, wylosowania dwóch asów i króla? ) Na loterii jest 4 losów w tym 4 wygrywające. Kupujemy dwa losy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) wśród zakupionych losów jest dokładnie jeden wygrywający? b) wśród zakupionych losów jest co najmniej jeden los wygrywający. 6) Czy zdarzenia A i B mogą się wykluczać jeśli P(A)=, P(B)=,6? 7) Oblicz prawdopodobieństwo sumy zdarzeń i B jeśli P(A)=,, P(B \ )= i P(A B)=,. 8) Niech A, B Ω oraz P(A B )=,, P(A \ )=,6. Oblicz P(A-B). ) Niech A, B Ω P(A)=,6 P(B)=,. Uzasadnij, że, P(A B),? ) W wycieczce bierze udział osób: % jej uczestników stanowią Belgowie, 4% - Holendrzy a pozostali są Polakami. Telewizja ostanowiła przeprowadzić wywiad z dwoma losowo wybranymi osobami. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że przynajmniej jedna z wybranych osób będzie Polakiem? ) Ustawiono w dowolnej kolejności 7 osób, jedna za drugą, a wśród nich Anię i Kasię. Oblicz prawdopodobieństwo, że pomiędzy Anią i Kasią stoją dokładnie inne osoby. ) Wymień trzy znane ci własności prawdopodobieństwa. Rzucamy dwa razy czworościenną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do: iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą podzielną przez trzy. ) W urnie jest n kul, w tym białe, a pozostałe czarne. Losujemy kolejno bez zwracania dwie kule. Prawdopodobieństwo tego, że obie wylosowane kule są białe jest równe. Ile kul czarnych jest w urnie? 4) Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że suma wyrzuconych oczek jest parzysta, jeśli wiadomo, że w pierwszym rzucie wypadły trzy oczka. ) Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wypadnie co najmniej raz szóstka pod warunkiem, że w drugim rzucie wypadła szóstka.
6) Z talii kart wyciągamy losowo jedną kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest ona figurą, jeśli wiadomo, że jest koloru kier? 7) Niech A, B Ω a) Oblicz P(B), jeśli P(A)=, P(A B )= 6 i P(B A )= 4 b) Oblicz P(A B ) jeśli: P(A)=, P(B)=,4 P(B A )=, 8) Sprawdź czy prawdą jest że jeśli P(A B )=P(B A \ ) i P(A)>, P(A )> to zdarzenia A i B są niezależne. ) Wykaż, że jeśli P(B)> to P(A \ B)= P(A B ). ) W hurtowni zabawek % pluszowych smoków pochodzi z fabryki SMYK, a pozostałe w równych częściach z fabryk UŚMIECH oraz WESOŁEK. Wadliwych jest %smoków z fabryki SMYK, % z UŚMIECH oraz % z WESOŁEK. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany smok nie ma wad? ) Rzucamy kolejno sześcienną kostką do gry. Zdarzenie A polega na wyrzuceniu za pierwszym razem szóstki, B- za drugim razem szóstki. Zbadaj czy zdarzenia A i B są niezależne. ) Jeżeli P(A)=, P(B)=! P(A B)= 4 Oblicz P(B A ). Czy zdarzenia A i B są niezależne? ) Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzy wybrane losowo wierzchołki sześcianu są wierzchołkami trójkąta równobocznego? 4) Rzucamy sześcienną kostką do gry. Jeśli wypadnie 4 lub 6 oczek zyskujemy punkty. W przeciwnym przypadku tracimy punkt. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po pięciu rzutach będziemy mieli dokładnie punkt? ) Na półce ułożono obok siebie 6 książek, w tym Iliadę i Odyseję. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pomiędzy tymi dwiema książkami będzie dokładnie książek? 6) Koszykarz trafia do kosza z prawdopodobieństwem w każdym rzucie. Oblicz prawdopodobieństwo, że w trzech próbach trafi do kosza dokładnie razy oraz prawdopodobieństwo, że trafi co najwyżej dwa razy. 7) Dane zbiory A=,,,...6 B=,,...,4. Losujemy zbiór a następnie z tego zbioru liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że liczba + jest podzielna przez. 8) Wśród n losów na loterii jest 6 losów wygrywających. Dla jakich wartości n prawdopodobieństwo tego, że zakupione dwa losy będą wygrywające jest większe od?. ) Wiadomo, że A, B Ω i A, B są zdarzeniami niezależnymi oraz P(A \ )=, i P(A B)=,. Oblicz prawdopodobieństwo: P(A B), P(B - A), P( A - B). 4) Wiadomo, że P(A)= 4 oraz P(B \ )= 6. Czy zdarzenia A i B wykluczają się? II. Stereometria ) Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany tworzy: a) z krawędzią podstawy kąt o b) z przekątną graniastosłupa kąt o ) Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 6 cm i tworzy z krawędzią podstawy kąt α. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa, wiedząc, że cosα =. ) Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez o bokach długości 4cm, 4 cm, 4 cm i 8 cm. Oblicz objętość tego graniastosłupa, jeśli jego wysokość jest równa 7 cm. 4) Długości krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny, którego pierwszy wyraz jest równy cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu, jeśli jego objętość jest równa 6 cm. ) Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego i wysokość jego ściany bocznej tworzą kąt α, taki że sinα =. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa, jeśli jego wysokość jest równa cm. 6) Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego tworzy z krawędzią boczną tego ostrosłupa kąt α, taki że cosα =,8. Krawędź podstawy ma długość cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa 7) Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkątem równoramiennym, w którym ramiona mają długości cm, a kąt miedzy nimi jest równy o. Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
8) Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego tworzy z wysokością ściany bocznej kąt o. Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli krawędź podstawy ma długość a. ) Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego czworokątnego są trójkątami równobocznymi. Oblicz kosinus kąta, jaki tworzą dwie sąsiednie ściany boczne tego ostrosłupa. ) Graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy cm przecięto płaszczyzną zawierającą przeciwległe krawędzie jego podstaw. Otrzymany przekrój tworzy z jedną ze ścian bocznych kąt α, taki że cosα =,8. Oblicz objętość tego graniastosłupa. ) Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 7 cm, a jego wysokość wynosi cm. Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. ) Czworościan foremny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej. Oblicz kosinus kąta zawartego między tą płaszczyzną a jego podstawą. ) Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 4 cm i tworzy z podstawą walca kąt α. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca, jeśli sinα = 4) Ile metrów sześciennych gazu mieści się w rurze o długości km i średnicy wewnętrznej cm? ) Kąt rozwarcia stożka ma 6, a pole jego powierzchni bocznej jest równe 8π cm. Oblicz objętość tego stożka. 6) Objętość stożka o wysokości cm jest równa 8π cm.wyznacz kąt między tworzącą stożka a jego podstawą. 7) Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe 6π cm, a średnica jego podstawy ma długość cm. Oblicz objętość tego stożka. 8) Wycinek koła o promieniu i kącie środkowym zwinięto w powierzchnię boczną stożka. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka. ) Pole powierzchni bocznej stożka stanowi ego powierzchni całkowitej. Wyznacz miarę kąta, jaki tworzy wysokość stożka z jego tworzącą. ) Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem o przekątnej długości. Przekątna tego prostokąta tworzy z jego bokiem, będącym wysokością walca kąt 6. Oblicz objętość walca. ) Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną zawierającą przekątną podstawy i wierzchołek ostrosłupa nie należący do podstawy jest trójkątem równobocznym o polu. Oblicz objętość tego ostrosłupa. ) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość jest równa 6 i tworzy z krawędzią boczną kąt 4. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do podstawy pod kątem 6. Oblicz pole otrzymanego przekroju. ) Dany jest romb o boku długości a i kącie ostrym α. Oblicz objętość bryły otrzymanej przez obrót tego rombu wokół dłuższej przekątnej. 4) Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny o podstawach długości 8 cm i cm oraz wysokości równej cm. Oblicz objętość graniastosłupa, wiedząc, że jego przekątna ma długość cm. ) Objętość walca jest równa π 6, a jego powierzchnia boczna po rozwinięciu jest kwadratem. Oblicz wysokość walca. 6) Oblicz objętość stożka, w którym pole podstawy jest równe 6, a pole powierzchni bocznej wynosi. 7) W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym pole ściany bocznej jest cztery razy większe od pola podstawy. Oblicz kosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa. 8) Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do jego podstawy jest równy :.Objętość stożka jest równa objętości kuli o średnicy 6. Oblicz wysokość tego stożka. ) Trójkąt o polu S obrócono wokół najdłuższego boku. Wysokość opuszczona na ten bok ma długość h. Znajdź objętość otrzymanej w wyniku obrotu bryły. )Objętość kuli o promieniu R= cm jest równa objętości walca, którego przekrój osiowy jest kwadratem. Oblicz wysokość tego walca.
) Podaj definicję funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta prostokątnegoo znając długości jego przyprostokątnych: a), b), 6 c), ) Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego ABC oraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta α mając dane: a) a=6, tgα =, b) a=, sinα =,8 c) b= tgα =. ) Podaj definicję funkcji trygonometrycznych kąta dowolnego oraz znane ci związki między nimi. Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kąta AOB, gdzie A=(4,), O=(,) oraz: a) B=(,4), b) B=( -4,), c) B=( -, -4), d) B=(4, -4 ) 4) Oblicz: a) sin76 o, b) ctg8 o, c) sin( -7 o ), d) cos o, e) cos( - o ), f) ctg( -4 o ), g) tg( -7 o ) h) cgt +tg( - ) i) ) Wyznacz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych a) sin = i ( π,π) b) cos= 6) Naszkicuj wykresy funkcji i omów ich własności: a) f()= sin(- π ) b) g()= tg(+ π 4 ) c) h()= cos - d) w()= cos(+ π 4 )+ e) y=sin+ sin 7) Uprość wyrażenia a) ctg(8 + ) sin(4 - ) b) 8) Sprawdź czy są j tożsamościami c) tg -sin =tg sin. d) (tg+ctg) +( tg -ctg) =4 e) f) sin+ cos=sin(+ π ) g) ) Rozwiąż równania: a) sin=-. b) cos( _ f) tg(+ π )= g) 4 cos + = h) 4cossin _ cos= i) sin = cos j) cos + cos+= k) cos + cos = l) sin = - sin m) sin _ sin+= n) cos =sin - ) Rozwiąż równania: a) cos π =sin b) cos += cos c) sin+sin= d) cos8+cos= e) sin sin( - )= f) tg tg= tg. ) Rozwiąż nierówności: a) sin< b) cos c) sin d) cos > e) sin(+ π 6 ) f) tg g) ctg> h) tg < _ i) sin < j) 4cos _ k) tg l) sin < m) tg o) 4 sin + < p) 4 cos > ) Wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe funkcji: III. Trygonometria. sin + cos j) cos. ctg kąta jeśli: ( π π, ) c) tg=- i ( π,π) a) sincos(tg+ctg)= b) sin cos = + cos sin. π ( + ) cos ( tg ( π ) π + cos + cos + + tg + ctg π ) = c) sin= 4 d) cos(+ π 4 ) = cos cos + 6 cos y=. sin ) = sin = e) sin ( _ π )= 4 n) cos 4 > sin 4
) Określ dziedzinę funkcji: a) sin 4) Wykaż, że funkcja f()= sin y= b) cos jest parzysta sin y=. c) cos cos y = tg ) Sprawdź parzystość funkcji: a) y= sin b) g()= cos + 6) Wyznacz takie argumenty, że: A) ctg= i ( π ; π) b) tg = - i ( 4π ; 4π) 7) Na podstawie wykresu funkcji f wyznacz jej największą i najmniejszą wartość w podany, przedziale. Odczytaj przedziały monotoniczności. a) f ( ) = sin( π ) ; π b) π π f ( ) = + tg( π ) ; 4 4 4 8) Wyznacz długości przekątnych rombu o kącie ostrym 6 i boku długości.jaka jest długość promienia okręgu wpisanego w ten romb. ) Naszkicuj wykres funkcji. Podaj przedziały w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie: a) f()= sin + sin b) f()= tg + tg ) Korzystając z wykresu funkcji g opisz jej ekstrema jeśli g()= tg ( ) ) Oblicz wartość liczby a) IV. Funkcja wykładnicza i logarytmiczna 6 8, b) + log 4 ( ) d) log 4 c) 7 7 7 4 + log 7 d) e) log 4 f) log 6 4 + log 6 g) log,,6 - log,, h) log 4 + log 4 ) Zapisz w postaci jednej potęgi: 4 8 a) b) [ : 4 ] : ( 8) : 4 4 c) a a + 6 4 6 ) Wiedzą, że log a= oblicz log a. 4) Podaj definicję, sporządź wykres oraz omów własności funkcji wykładniczej ) Podaj definicję, sporządź wykres oraz omów własności funkcji logarytmicznej 6) Narysuj wykres, wyznacz dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe i przedziały monotoniczności funkcji: a) ( ) + + f = + b) g ( ) = ( ) c) f ( ) = ( ) + d) g ( ) = 4 e) f() = + f) g() = log ( ) g) g() = + h) f() = log, ( ) 4 ) Rozwiąż równania + a) = b) = 4 + 4 + 4 g) ( ) 6= 6) Rozwiąż równanie 7) Rozwiąż nierówności; f) 4 + 7 + a)( ) ( ) + 8> 7 g) + + c) + = 8 7 = b) 7 + + 7 < 4 + 7+ d) 6 = 6 + 6 e) = (,) + f) 8 + = 7 i podaj twierdzenia z których korzystałeś h) 4 c)( ) 4 < ( ) d) 6 + e) 7+ i) + + 7< j)
8) Rozwiąż równania: a) log ( + ) = b) log,( ) = 4 c) log ( ) log6 = d) log8 + 4log = log log + log + e) log (-)+log 4=-log ( +) log log f) + 8= g) log ( + ) log ( ) + = log log, ) Rozwiąż nierówności a) log () > b) log + log ( 6 - )= c) ) > ( ) d) log ( ) log ( ) log ( log,, e) ) ( ) < g) log () > h) log (+ 7) < j) ) ( ) + 8< log k) log < j) ( ) ) Rozwiąż układ równań: a) log + log y= + y = log + log y= b) log log y= ) Wyznacz dziedzinę funkcji: a) f()= c) f() = log + + + log + log( 4 (, + F) log (+) + log (-) < - log ( log k) log log c) ) + 8 y 4 = 6 ( ) 8y= log + log y = d) + y= b) f()=log + ( -4)+ 6 d) f() = log [-log ( -+6)] ) a) Dla jakich liczby log, log( -), log( +) w podanej kolejności tworzą wyrazy ciągu arytmetycznego? b) Dla jakich liczby log, log( -), log( +) w podanej kolejności tworzą wyrazy ciągu arytmetycznego? ) W układzie współrzędnych zaznacz zbiór punktów, których współrzędne spełniają warunek: log + (y-4)< 4) Dane są zbiory A={; R log (+)<} B={; R log (+)<} wyznacz zbiory A i B oraz zbiór A B. ) Podaj dla jakich wartości parametru m. równanie + m= ma dwa różne pierwiastki? 6