Tematy zadań sprawdziany klasa III poziom rozszerzony

Transkrypt

1 Tematy zadań sprawdziany klasa III poziom rozszerzony Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna Sprawdzian a) Dla jakiej wartości parametru m wykresy funkcji g() m przecinają się w punkcie o odciętej? f() m oraz b) Dla znalezionej wartości parametru m naszkicuj wykresy obu funkcji we wspólnym układzie współrzędnych RozwiąŜ: a) równanie 6 7, b) nierówność 5 RozwiąŜ nierówność: ( )( ) > 9 5 Dla jakich wartości parametru m R, równanie m ma tylko jedno rozwiązanie? 5 WykaŜ, Ŝe jest liczbą naturalną Sprawdzian RozwiąŜ równania: 5 0,6 5 9 b) Wyznacz zbiór A\B, jeśli: a) ( ) { : C } A Wyznacz zbiór A\B, jeśli: A { : C }, B { : R 6 } 7 > 8 9, B { : R 6 } 7 > 8 9 Dla jakich wartości parametru m, m R, równanie 9 ( m) ma dwa róŝne rozwiązania rzeczywiste? 5 Oblicz wartość sumy, wiedząc, Ŝe Sprawdzian Uporządkuj malejąco następujące liczby: log 5 a log5 7 log7 65 log5, b log 7 9, c, d log log RozwiąŜ: log(5 ) a) równanie: log(5 ) 6 b) nierówność: log ( ) < log Dla jakich R log, log, log 9 w podanej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny? Wyznacz róŝnicę tego ciągu Zaznacz zbiór punktów płaszczyzny, których współrzędne,y spełniają nierówność: log y < log, liczby ( ) ( ) ( ) y y

2 5 RozwiąŜ układ równań: logy log y log y Sprawdzian W prostokątnym układzie współrzędnych zaznacz zbiór tych punktów płaszczyzny, których współrzędne,y spełniają warunek: ( log )( log y) ( log y ) RozwiąŜ równania: a) log log log 8 b) ; log log( ) log RozwiąŜ graficznie nierówność: log > RozwiąŜ nierówność: log ( ) 5 Ciąg ( ) n n a określony jest wzorem rekurencyjnym: a, a ( ) Oblicz lim ( a a a ) n n n log a Sprawdzian 5 W prostokątnym układzie współrzędnych przedstaw zbiór tych wszystkich punktów, których współrzędne,y spełniają warunek: y y 5 6 y y Wyznacz dziedzinę funkcji: f() Naszkicuj wykres funkcji rozwiązań równania RozwiąŜ równania: log 5 a) ( ) log ( 5) b) log ( ) log ( ) 9 f(), a następnie na jego podstawie zbadaj liczbę m 5 Udowodnij, Ŝe jeŝeli ciąg (,b,c) to ciąg ( log a,log b,logc) jest ciągiem arytmetycznym Trygonometria Sprawdzian π a) Wiedząc, Ŝe α π, π, β, π, oraz cos( α β) w zaleŝności od wartości parametru m ( m R) a jest ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich, sin α i cosβ sin0 cos 0 cos0 sin 0 b) Oblicz wartość wyraŝenia: cos9 cos sin9 sin Sprawdź, czy prawdziwa jest następująca toŝsamość, podaj konieczne załoŝenia: sin α cos α α tg cos α cos α a) Wyznacz zbiór wartości funkcji y cos sin, R, oblicz

3 π b) Narysuj wykres funkcji: y sin, ( π, π) 6 RozwiąŜ równanie sin sin cos 5 RozwiąŜ równanie: log0,5cos sin Sprawdzian 5 Oblicz sin α π, jeśli tg α i α π, π RozwiąŜ równania: a) cos cos 0 b) sin cos cos WykaŜ, Ŝe sin0 sin 0 sin 50 sin 70 6 Dla jakich wartości parametru m ( m R), równanie sin cos m ma rozwiązanie? π 5 Oblicz ( tgα) ( tgβ), jeśli α β Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Sprawdzian Ile róŝnych słów (mających sens lub nie) moŝna utworzyć, przestawiając litery w wyrazie RENEGOCJACJE? Odpowiedź uzasadnij Na peronie czeka na pociąg 0 osób NadjeŜdŜa skład złoŝony z 6 wagonów Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe te osoby zajmą miejsca w dwóch wagonach, po 5 osób w kaŝdym wagonie (zakładamy, Ŝe wszystkie rozmieszczenia pasaŝerów w wagonach pociągu są jednakowo prawdopodobne)? Ania i Krzysiek wymyślili taką grę: Ania rzuci losowo dwiema symetrycznymi monetami i jedną sześcienną kostką do gry Jeśli wypadnie co najmniej jeden orzeł i liczba oczek większa od, to wygrywa Ania Jeśli wypadną dwie reszki lub oczko na kostce, to wygrywa Krzysiek Natomiast w pozostałych przypadkach będzie remis a) Porównaj szanse wygrania Ani i Krzyśka b) Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania remisu Wiadomo, Ŝe P (A') 0,7 ; P(A B) 0,6 ; P(A' B') 0, 9 Oblicz P (B \ A) 5 Ile rozwiązań złoŝonych z liczb całkowitych dodatnich ma równanie a b c d 0? Sprawdzian Niesforny Kubuś rozrzucił siedmiotomową encyklopedię na podłogę Przestraszony, szybko ustawił ją na półce, zupełnie nie zwracając uwagi na kolejność tomów Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe tomy i nie stoją obok siebie? W klasie jest 5 chłopców Ile jest co najwyŝej dziewcząt, jeŝeli prawdopodobieństwo wybrania dwuosobowej delegacji składającej się wyłącznie z dziewcząt jest mniejsze od? W przedziale jest 8 ponumerowanych miejsc po w kaŝdym rzędzie Do tego przedziału wsiadło 6 pasaŝerów Jakie jest prawdopodobieństwo, ze zajmując losowo

4 miejsca, usiądą w taki sposób, Ŝe będą tylko dwie pary osób siedzących naprzeciw siebie? Ze zbioru liczb {,,5,6,7,8,9} wylosowano kolejno, ze zwracaniem, dwie liczby i utworzono z nich liczbę dwucyfrową Oblicz prawdopodobieństwo, Ŝe utworzona liczba jest podzielna przez lub przez 5 Dany jest wielomian W() w postaci iloczynowej: W () ( ) ( ) Wielomian ten został wymnoŝony i uporządkowany Jaki współczynnik jest przy jednomianie 0? Odpowiedź uzasadnij Sprawdzian Z talii 5 kart losujemy jednocześnie dwie karty Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe co najmniej jedna karta jest damą, jeśli wiadomo, Ŝe Ŝadna z nich nie jest waletem? Rzucamy sześć razy dwiema kostkami do gry Oblicz prawdopodobieństwo, Ŝe otrzymamy sumę oczek podzielną przez : a) tylko cztery razy, b) co najwyŝej jeden raz Koparka pracuje w warunkach normalnych z prawdopodobieństwem 0,9, a w warunkach trudnych z prawdopodobieństwem 0, Prawdopodobieństwo awarii w trakcie pracy w warunkach normalnych wynosi 0,05, a w trakcie pracy w warunkach trudnych 0, Oblicz prawdopodobieństwo awarii koparki Wiadomo, Ŝe zdarzenia A i B są niezaleŝne, oraz P ( A' B' ), P(A) 8 a) Oblicz P(B) b) Czy zdarzenia A i B są rozłączne? Odpowiedź uzasadnij 5 Urządzenie elektryczne U składa się z czterech jednakowych elementów E, E, E,, połączonych jak na rysunku poniŝej E Prawdopodobieństwo, Ŝe kaŝdy element będzie pracował bezawaryjnie wynosi 9 Elementy ulegają uszkodzeniu niezaleŝnie od siebie 0 Oblicz prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy urządzenia U Sprawdzian Dwóch strzelców oddało po jednym strzale do tego samego celu Pierwszy z nich trafia średnio 9 razy na strzałów, a drugi 8 razy na 0 strzałów Oblicz prawdopodobieństwo, Ŝe: a) cel został trafiony dwa razy, b) cel został trafiony przynajmniej raz 9 Oblicz P (B / A), wiedząc, Ŝe P (A' B), P(A' B'), P(A B) Z talii 5 kart losujemy dwie karty Oglądamy je i wkładamy z powrotem do talii Tak postępujemy sześć razy Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe dwa razy otrzymamy jednego pika lub jednego kiera? W sklepie znajdują się soki jabłkowe pewnej firmy z trzech zakładów Z, Z, Z Stosunek ilości soku (w sklepie) wyprodukowanego przez te zakłady jest równy odpowiednio :: Poza tym wiadomo, Ŝe pierwszego gatunku jest 80% soku z zakładu Z, 90% z zakładu Z i 75% z zakładu Z Ekspedientka sprzedała losowo

5 wzięty karton tego soku Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe był to sok w pierwszym gatunku? 5 Okazało się, Ŝe sprzedany sok (patrz zadanie ) był pierwszego gatunku Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe został wyprodukowany przez zakład Z? Stereometria Sprawdzian Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuŝsza od krawędzi jego podstawy Przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i wierzchołek ostrosłupa jest trójkątem o polu 6 cm Oblicz cosinus kąta między ścianą boczną a płaszczyzną podstawy oraz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa NajdłuŜsza przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość p i tworzy z krótszą przekątną podstawy wychodzącą z tego samego wierzchołka kąt o mierze α Oblicz objętość graniastosłupa Dla jakich α zadanie ma rozwiązanie? Oblicz pole powierzchni kuli wpisanej w stoŝek o tworzącej długości l i kącie rozwarcia α W trójkącie ABC bok AB ma długość a, natomiast kąty ostre do niego przyległe mają miary α i β Trójkąt ten obracamy wokół osi równoległej do boku AB i przechodzącej przez wierzchołek C Oblicz objętość otrzymanej bryły obrotowej 5 W trójkącie ABC bok AB ma długość a, natomiast kąty ostre do niego przyległe mają miary α i β Trójkąt ten obracamy wokół osi równoległej do boku AB i przechodzącej przez wierzchołek C Oblicz objętość otrzymanej bryły obrotowej Sprawdzian Krawędź boczna prawidłowego ostrosłupa trójkątnego jest dwa razy dłuŝsza od krawędzi podstawy Oblicz cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o boku a i kącie ostrym α DłuŜsza przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt β Oblicz objętość walca wpisanego w ten graniastosłup Wysokość trójkątnego ostrosłupa prawidłowego ma długość h, a krawędzie boczne są do siebie prostopadłe Wyznacz długość promienia i pole powierzchni kuli opisanej na tym ostrosłupie StoŜek o promieniu podstawy długości 6 cm i tworzącej długości 9 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez jego wierzchołek i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze π Oblicz pole otrzymanego przekroju 5 Siatkę ostrosłupa tworzą dwa przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnej długości 8 cm i dwa trójkąty równoboczne Oblicz objętość ostrosłupa, przyjmując za podstawę trójkąt prostokątny Ciągłość i pochodna funkcji Sprawdzian Wyznacz równania wszystkich asymptot wykresu funkcji f(), R \ { } Oblicz granicę (o ile istnieje) Jeśli nie istnieje granica, zbadaj, czy istnieją granice jednostronne w podanym punkcie a) lim ( 5 )

6 9 8 b) lim 8 6 c) lim 6 9 Wyznacz te wartości parametru m, dla których funkcja f jest ciągła: 9 dla < f() m m dla 9 dla > 5 6 Na podstawie definicji (Heinego) granicy funkcji w punkcie, wykaŝ, Ŝe nie istnieje 5 granica lim W okrąg o danym promieniu R wpisujemy n-kąty foremne Wyznacz pole S(n) sin takiego n-kąta Oblicz lim S(n) Wskazówka: lim n 0 Sprawdzian Oblicz granicę (o ile istnieje): a) lim b) lim cos c) lim 8 d) lim ( ) f 0 posiada asymptoty Jeśli tak, wyznacz ich równania Zbadaj, czy istnieje granica lim Zilustruj zadanie rysunkiem Zbadaj, czy wykres funkcji (), R \ { 0,} Wyznacz największy podzbiór zbioru R, w którym ciągła jest funkcja: dla < dla,0) f() dla 0 dla > 0 5 Dla jakich wartości parametru a ( R) równa? a, granica lim ( ) a jest

7 Sprawdzian Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji: f(), R \ {,} Na podstawie definicji zbadaj róŝniczkowalność funkcji f() 9, R w punkcie: a) 0 b) 0 Naczynie w kształcie walca o promieniu podstawy 6 cm i wysokości cm zawierające pewną substancję chemiczną wpisano w naczynie w kształcie stoŝka Podstawa walca zawiera się w podstawie stoŝka, a okrąg górnej podstawy walca zawiera się w powierzchni bocznej stoŝka Jaką długość powinien mieć promień podstawy stoŝka o najmniejszej objętości? a 5 Punkt P(,7) naleŝy do wykresu funkcji f(), gdzie b Styczna do b wykresu funkcji f, poprowadzona w punkcie P jest prostopadła do prostej o równaniu y 0 Oblicz współczynniki a i b, oraz napisz równanie tej stycznej 5 Wyznacz te wartości parametru m, dla których wielomian W () 6 6m ma tylko jedno ekstremum lokalne Sprawdzian Dana jest funkcja f (),, ) a) Korzystając z definicji, oblicz pochodną funkcji f w punkcie 0 b) Napisz równanie prostej prostopadłej do stycznej do wykresu funkcji f w punkcie 0 i przechodzącej przez punkt o odciętej 5 a dla 0 Dla jakich wartości a i b, ( a,b R), funkcja f() jest ciągła b dla > 0 i róŝniczkowalna w R? Wyznacz najmniejszą i największa wartość funkcji f() w przedziale 0, Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 7 cm Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest funkcją długości jego krawędzi podstawy Napisz wzór tej funkcji i wyznacz jej przedziały monotoniczności 5 Zbadaj róŝniczkowalność funkcji y [], R w punkcie 0 0