Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011
Rewolucja cyfrowa i jej skutki Rewolucja cyfrowa - dane cyfrowe: podstawowy rodzaj informacji multimedialnych, medycznych, geologicznych itp. Takie dane - najczęściej pozyskiwane z analogowych danych w procesie akwizycji Konieczność pozyskiwania (akwizycji) danych cyfrowych większe wymagania na sprzęt i oprogramowanie wspierajace: rosnac a rozdzielczość, konieczność głębszego próbkowania (przetworniki A/C, matryce aparatów, kamer itp.) wzrost ilości sensorów pomiarowych zwiększajaca się róznorodność sygnałów (akustyczne, radiowe, podczerwone, optyczne, UV, X-ray, gamma niektóre kanały pozyskiwania danych cyfrowych - duży koszt (n.p. CT, MRI, rozległe sieci sensorów) Rezultat - zalew danych, konieczność opanowania tego już u źródła (czyli w procesie akwizycji danych)
Akwizycja danych - podejście klasyczne Akwizycja - digitalizacja składajaca się z: próbkowania - podstawowy parametr: częstotliwość próbkowania f s kwantyzacji - podstawowe parametry: głębokość bitowa bpc, ilość kanałów nk kodowania binarnego podstawa - twierdzenie o próbkowaniu (Nyquist, Kotelnikow, Shannon) ustala skalę rozmiaru danych Jeżeli funkcja nie zawiera w swoim widmie częstości większych niż B, to można ja wiernie zrekonstruować z próbek wziętych z częstościa co najmniej 2 B (częstość Nyquista)
Podejście klasyczne realizacja Tw. o próbkowaniu - określa standarowy sposób akwizycji danych i dalszego ich przetwarzania Stosuje się do próbkowania danych jedno (głos), dwu (obraz)... - wymiarowych Realizacja akwizycji danych w oparciu o tę zasadę: mierz wszystko (z częstościa Nyquista) rozmiar danych N kompresuj (czyli usuń nadmiarowa informację) - operacja nieliniowa, zależna od sygnału rozmiar danych K aby zrekonstruować sygnał operacja odwrotna
Podejście klasyczne - analiza Podejście klasyczne - gwarantuje sukces - ale kosztem konieczności rejestracji ogromnej ilości danych Shannon był pesymista - wymagania wysokiej częstości próbkowania f s B dotycza najgorszej ewentualności (np. obrazów które dla nas sa szumem) zwykle - silna nadmiarowość; możliwość (a nawet konieczność) jej redukcji (kompresja) metoda kompresji - kodowanie transformacyjne (wybór odpowiedniej reprezentacji sygnału) zazwyczaj istotna wielkość "transferu informacji" K - wielkość znacznie mniejsza (K << N) niż rozmiar N informacji zadany przez pasmo N B szeroka klasa ważnych danych nie wymaga ilości danych wynikajacych z reguły Nyquista
Wady podejścia klasycznego 1 Mierzymy współczynniki falkowe 2 Odrzucamy mało znaczace (mniejsze niż zadany próg) 1.8% 2.5% 3.9% 100%
Akwizycja danych wady podejścia klasycznego 1 Mierzymy wszystko, po czym większość wyrzucamy czy to ma sens? obraz uzyskany z 6500 współczynników falkowych (2.5%) niewiele gorszy od obrazu z pełnych danych nieistotne dla zdjęć fotograficznych, ale ważne tam, gdzie pozyskiwanie danych jest trudne, kosztowne lub ryzykowne (np. akwizycja danych medycznych) 2 Czy da się mierzyć tylko to, co niezbędne? problem: nie wiemy z góry, które współczyniki będa ważne wniosek: protokół pomiaru musi być niezależny od danych 3 Compressive Sensing próba realizacji tego zadania chcemy by ilość pomiarów K «N, gdzie N naturalny rozmiar problemu wynikajacy z szerokości pasma pomimo tego wymagamy, by sygnał dał się zrekonstruować z tej ilości pomiarów kiedy to jest możliwe?
CS nowe podejście do problemu akwizycji 1 Compressed Sensing (oszczędne próbkowanie) - nowe podejście do problemu akwizycji i rekonstrukcji danych bez konieczności spełnienia warunku Nyquista 2 Możliwe tylko wtedy, gdy: mamy specjalny rodzaj sygnału (rzadkość) zapewnimy spełnienie pewnych wymagań w procesie akwizycji danych ("niekoherencja") 3 Definicja: Sygnał rzadki taki, dla którego istnieje baza w której ilość składowych różnych od zera << N naturalnego rozmiaru tego sygnału Sygnał S-rzadki - dokładnie S składowych 0 Sygnał kompresowalny - gdy rozkład w odpowiedniej bazie ma tylko kilka dużych i wiele małych współczynników rzadkość - sytuacja, w której sygnal niesie znacznie mniej informacji niż to wynika z szerokości jego pasma (ilość rzeczywistych stopni swobody << N - rozmiaru sygnału) CS ważne, bo wiele naturalnych sygnałów to sygnały rzadkie lub kompresowalne)
Pomiar sygnału by dokonać pomiaru wybieramy pewna ilość sygnałów wzorcowych ϕ i wyznaczamy korelacje miedzy mierzonym wektorem a wzorcami y i = ϕ T x, i = 1,...M - interesuje nas sytuacja M << N gdzie M - ilość pomiarów, N - rozmiar wektora x - jest to pomiar połaczony z kompresja (compressed sensing)
Pomiar i rekonstrukcja jako problem algebraiczny W zapisie macierzowym: y = Ax x - poszukiwane rozwiazanie; wektor o wymiarze N y - wektor pomiaru o wymiarze M równym ilości pomiarów A - macierz pomiaru o wymiarze M N, której wiersze to wektory ϕ Wyznaczenie rozwiazania x - rozwiazanie równania liniowego. Możliwe przypadki: M > N układ nadokreślony rozwiazanie jednoznaczne, łatwe do wyliczenia (w sensie minimalizcji błędu) M = N, macierz A nieosobliwa dokładnie jedno rozwiazanie K < N odpowiada CS układ niedookreślony istnieje nieskończenie wiele rozwiazań; jak wybrać właściwe?
Określenie systemu CS By określić protokół CS należy zadać: macierz pomiaru A o rozmiarach MxN która jest niezależna od danych zapewnia uzyskiwanie stabilnych rozwiazań dla K -rzadkiego sygnału na podstawie M kilka K << N pomiarów algorytm rekonstrukcji rozwiazania z małej M K ilości pomiarów intuicyjnie - dobra macierz pomiaru "nie gubi informacji" dla sygnałów rzadkich matematycznie - zapewnia niekoherencję, warunek RIP jest jakby funkcja skrótu dla mierzonego sygnału typowo - macierz pomiaru to czysto losowa macierz (szum biały) nie musimy wiedzieć: w której bazie sygnał jest rzadki ile jest "dużych składowych"
Algorytm rekonstrukcji Rzadkość - dodatkowy warunek, które pozwala wybrać właściwe rozwiazanie Zasada: spośród rozwiazań niedookreślonego równania Ax = y wybierz to, które ma najmniej składowych niezerowych: (P0) min x x l0 Ax = y Problem (P0) trudny obliczeniowo (NP zupełny) Dla wielu przypadków P0 równoważny (P1) (P1) min x x l1 Ax = y (P1) równoważny problemowi programowania liniowego istnieje efektywne rozwiazanie, gdy problem rzadki, a liczba pomiarów K Cµ 2 S log N, C 1
Compressed Sensing przykłady, zastosowania
Compressed Sensing przykłady, zastosowania Tomografia Komputerowa Rekonstrukcja przykład numeryczny Przypadki klasyfikacji - rozpoznawanie twarzy