Modelowanie przepływu płynu przez przestrzeń porową skały na przykładzie piaskowca karbońskiego

Modelowanie przepływu płynu przez przestrzeń porową skały na przykładzie piaskowca karbońskiego Paulina KRAKOWSKA 1, Paweł MADEJSKI 2, Jadwiga JARZYNA 1 1 AGH Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica, Wydział Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska, Kraków Katedra Geofizyki 2 AGH Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica, Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki, Kraków Katedra Systemów Energetycznych i Urządzeń Ochrony Środowiska e-mails: krakow@agh.edu.pl, madejski@agh.edu.pl, jarzyna@agh.edu.pl 1. WPROWADZENIE Wydobycie gazu i ropy naftowej w Polsce odbywa się głównie ze złóż konwencjonalnych. Jednak od paru lat uwaga przemysłu naftowego jest skoncentrowana na poszukiwaniu złóż gazu zamkniętego w łupkach (shale gas) lub piaskowcach (tight gas). Jednym z podstawowych zadań petrofizyków, realizujących prace dla przemysłu naftowego i wydobywczego, jest określenie parametrów fizycznych skał do oszacowania ich potencjału zbiornikowego, czyli możliwości migracji i akumulacji węglowodorów. Porowatość efektywna i przepuszczalność są jednymi z najważniejszych parametrów determinujących potencjał zbiornikowy skał, a także ich własności filtracyjne. Wartości porowatości efektywnej i przepuszczalności wyznaczane są na podstawie badań laboratoryjnych na próbkach z rdzeni wiertniczych. Oprócz parametrów fizycznych ważnym zagadnieniem w określeniu potencjału zbiornikowego jest zdolność skały do przepływu mediów. W ostatnich latach dokonano bardzo intensywnego rozwoju dziedziny komputerowego modelowania przepływów CFD (Computational Fluid Dynamics) [1], która stała się potężnym narzędziem pozwalającym na szczegółowe analizy przepływu płynu również w ośrodkach porowatych. W przypadku badań laboratoryjnych na rdzeniach wiertniczych mówi się o skali mezo, w której przepływem mediów rządzi równanie Darcy ego lub nieliniowe równanie Darcy- Forcheheimer a, w zależności od zakresu prędkości przepływu. Po przejściu do skali mikro równaniem rządzącym przepływem mediów w przestrzeni porowej staje się równanie Navier- Stokes a. Aby móc wykorzystać w modelowaniu równanie Navier- Stokes a niezbędne jest dokładne odwzorowanie przestrzeni porowej skały. Zobrazowanie 2D lub 3D przestrzeni porowej skał możliwe jest dzięki wykorzystaniu komputerowej mikrotomografii rentgenowskiej, która jest bezinwazyjnym badaniem laboratoryjnym. Metoda mikrotomografii stanowi bazę do utworzenia modelu geometrycznego przestrzeni porowej do analizy przepływu płynów. Połączenie wyników mikrotomografii komputerowej i modelowania przepływu w ośrodku porowatym dostarcza odpowiedzi na pytania na temat potencjału zbiornikowego oraz filtracyjnego skał. W pracy dokonano obliczenia przepuszczalność i walidacji założonych parametrów w symulacji przepływu płynu (wody) przez fragment 2D przestrzeni porowej piaskowca, wieku karbon górny (skala mikro). Analizie poddano także rozkład prędkości przepływu, ciśnienia, a

także linie kierunku przepływu płynu przez analizowana przestrzeń porową piaskowca karbońskiego. Uzyskane wyniki modelowania przepływu płynu przez dokładnie odwzorowaną przestrzeń porową zostały przeniesione do próbki w skali mezo. Porównano wyniki symulacji dla dwóch przypadków- skala mikro i mezo, w postaci gradientu ciśnienia na długości próbki. Porównanie potwierdziło słuszność przyjętych założeń i możliwość przeprowadzenia symulacji i skali mikro i mezo z wykorzystaniem CFD. 2. MODELOWANIE PRZEPŁYWÓW PRZEZ OŚRODKI POROWATE- TEORIA I PODSTAWY MODELOWNIA Przepływ płynów przez materiał porowaty jest jednym z oddzielnych i obszernych podrozdziałów mechaniki płynów, którego podstawy leżą w prawie Darcy ego. Modelowanie matematyczne przepływów oparte jest na 3 podstawowych prawach: równaniu zachowania masy (równaniu ciągłości), równaniu stanu dla płynu, równaniu zachowania pędu opartym na II zasadzie dynamiki Newtona. Podstawowe zależności matematyczne służące do opisu zjawiska przepływu płynu przez ośrodek porowaty są oparte na założeniu, że przepływ jest ustalony i odbywa się tylko w jednym kierunku. Równanie zachowania masy (ciągłości) zapisane jest w postaci: m q const (1) m - strumień masy płynu [kg/s], q- strumień objętości płynu [m 3 /s], ρ- gęstość płynu [kg/m 3 ]. Strumień masy przepływającego płynu ( m ) przez analizowany ośrodek dla stanu ustalonego (niezmienny w czasie) jest wartością stałą. Jeżeli w równaniu (1) uwzględni się zależność pomiędzy strumieniem objętości płynu a prędkością filtracji q v A, równanie zachowania masy przybierze postać: f v A const f (2) Kolejnym równaniem, które posłuży do analizowania zjawisk przepływowych jest równanie stanu, które opisuje termodynamiczne parametry stanu gazu w funkcji temperatury i ciśnienia. Jeżeli analizowanym medium jest gaz traktowany jako gaz doskonały, stosowane jest równanie Clapeyrona: m p RT q (3) p- ciśnienie bezwzględne gazu [Pa],

R- indywidualna stała gazowa [J/(kg K)], T- temperatura gazu [K]. Jeżeli przez ośrodek porowaty przepływa ciecz, jest ona taktowana jako płyn nieściśliwy o stałej gęstości w funkcji ciśnienia. Gęstość cieczy wyznaczana jest dla temperatury analizowanego medium w oparciu o wyniki doświadczalne. Ostatnim podstawowym prawem jest równanie zachowania pędu, opisujące zależności pomiędzy prędkością przepływającego płynu a działającymi na niego siłami powierzchniowymi (lepkościowymi i bezwładnościowymi) oraz masowymi. Zależność wyprowadzona przez Darcy ego była pierwszą matematyczną próbą opisania zjawisk zachodzących podczas przepływu płynu przez ośrodek o strukturze porowej. Najbardziej popularna postać tego równania wygląda następująco: p q L k A (4) q- strumień objętości płynu [m 3 /s], A- pole przekroju analizowanego obszaru [m 2 ], k- współczynnik przepuszczalności [m 2 ], Δp- różnica ciśnienia [Pa], ΔL- długość analizowanego obszaru [m], μ- lepkość dynamiczna płynu [Pa s]. Podczas wyznaczania parametrów zbiornikowych skał, równanie (4) wykorzystywane jest do obliczania wartości współczynnika przepuszczalności k, który jest charakterystyczny dla danej analizowanej skały. Jeżeli z kolei znana jest wartość współczynnika przepuszczalności k możliwe staje się wyznaczenie prędkości filtracji v f dla danej różnicy ciśnienia Δp, o znanej geometrii analizowanego obszaru ΔL oraz znanej wartości lepkości dynamicznej μ płynu: v f - prędkość filtracji [m/s]. v f pk L (5) Jeżeli uwzględnimy w równaniu (5), że ΔL L, jest długością analizowanej próbki, a różnica ciśnienia jest równa Δp p2 p1 (p 1, p 2 - ciśnienie panujące odpowiednio na wlocie i wylocie z próbki) równanie Darcy ego przybierze postać (rys. 1): q k( p1 p2) A L (6)

Rys. 1. Geometria przykładowego modelu (A, L) z zaznaczonymi warunkami brzegowymi (p 1, p 2 ) i własnościami fizycznymi (k, Φ, μ). Objaśnienie symboli w tekście. Źródło: opracowanie własne Równanie (6) jest prawdziwe w przypadku gdy analizowanym płynem jest ciecz, traktowana jako płyn nieściśliwy (ρ=const), a objętościowy strumień płynu q jest niezmienny w całym analizowanym obszarze. Jeżeli analizowanym płynem jest gaz, traktowany jako gaz doskonały, w równaniu Darcy ego należy uwzględnić równanie stanu (3), uzależniające gęstość gazu od parametrów stanu. Zakładając stałą temperaturę w analizowanym obszarze (T=const) oraz fakt, że indywidualna stała gazowa charakteryzuje dany gaz (R=const), otrzymuje się równanie: 2 2 qm k( p1 p2 ) A 2Lp m (7) p m - wartość ciśnienia w punkcie, w którym jest wyznaczany strumień objętości gazu q m. Równanie Darcy ego przedstawia liniową zależność pomiędzy prędkością filtracji v f a spadkiem ciśnienia na odcinku ΔL, dlatego jego zakres zastosowalności do wyznaczania współczynnika przepuszczalności lub prędkości filtracji jest ograniczony do przepływu laminarnego. Zakres stosowalności odpowiednich równań można przedstawić (rys. 2) za pomocą liczby Reynoldsa [2, 3] dla przepływów przez ośrodki porowate Re p. Liczba Reynoldsa dla materiałów porowatych Re p może być wyznaczona za pomocą równania: vd f Rep (8) d- średnica ziaren, określona dla wyidealizowanego ośrodka równoważnego (stawiającego taki sam opór) [m].

Rys. 2. Przepływ (prędkość filtracji) płynów przez ośrodki porowate w funkcji różnicy ciśnienia, z zaznaczonym zakresami stosowalności poszczególnych równań Źródło: [2] Zakres liczb Reynolds a, dla których obowiązują poszczególne zakresy stosowalności równań przepływu, nie jest jednoznaczny i w literaturze można znaleźć jego różne graniczne wartości [2, 3, 4]. Można założyć, że granice liczbowe dla przepływów przedstawionych na rysunku 2 przedstawiają się następująco: Tablica 1. Zakresy stosowalności liczby Reynoldsa Re p dla materiałów porowatych zakres Pre-Darcy zakres prawa Darcy ego zakres prawa Forchheimer a zakres przepływu turbulentnego <Re p <(1-3) (1-3)<Re p <(10-15) (10-15)<Re p <(80-120) (80-120)<Re p < Źródło: [2, 3, 4] Równanie Darcy ego (4-7) dobrze opisuje przepływ przez ośrodki porowate dla małych prędkości, wówczas gdy występuje przepływ laminarny. Jeżeli prędkości przepływu v f (również strumień przepływu q) zwiększą się zaczyna występować przepływ przejściowy (wstępny przepływ turbulentny), a równanie Darcy ego musi być rozszerzone o człon uwzględniający występującą nieliniowość w przepływie. Wprowadzając taką zależność do równania Darcy ego otrzymuje się równanie Darcy- Forchemier a: p 2 vf vf L k (9) β- współczynnik Forchheimera [1/m]. Równanie (9) można zapisać również w formie: p 2 vf vf L (10)

1 - współczynnik zakresu obowiązywania prawa Darcy ego [1/m 2 ]. k Występujące w równaniu (10) człony, liniowy (αμ) oraz nieliniowy (βρ), reprezentują powstające podczas przepływu płynu opory, odpowiednio opór lepkościowy oraz bezwładnościowy. Wynika to z faktu, iż podczas przepływu płynu w zakresie obowiązywania prawa Darcy ego (przepływ laminarny) głównym czynnikiem generującym opór jest lepkość płynu. Gdy prędkość się zwiększa a spadek ciśnienia przestaje być funkcja liniową, bezwładność przepływającego płynu ma coraz większy wpływ na generowanie oporów i musi być uwzględniona w równaniu przepływu. Współczynniki α i β mogą zostać również wyznaczone definiując formułę uzależniającą te współczynniki od charakterystycznych wielkości dla ośrodków porowatych jak współczynnik przepuszczalności k, porowatość ϕ, współczynnik krętości kanałów porowych τ oraz stałych współczynników C. Znane w literaturze wyprowadzenia zostały zestawione i opisane w pozycji [3]. Wyprowadzone powyżej zależności pozwalają wyznaczać spadek ciśnienia podczas przepływu płynu przez materiał porowaty traktowany jako obiekt makroskopowy wykorzystując równania zarówno dla przepływów laminarnych (Darcy) jak i przejściowych (Darcy- Forcheimer). Przedstawione powyżej równania pozwalają wykonać obliczenia przepływowe dla obszaru traktowanego jako ośrodek ciągły, uwzględniając przepływ tylko w jednym kierunku, a w przypadku płynów nieściśliwych z założeniem stałej prędkości filtracji v f, na całej długości próbki. Dokładniejsze wyniki obliczeń uzyskać można poprzez dyskretyzacje analizowanego obszaru i wykorzystanie narzędzi do numerycznej mechaniki płynów CFD. Podstawowymi prawami wykorzystywanymi w modelowaniu CFD są prawa zachowania masy (równanie ciągłości), pędu (równanie dynamiki przepływu- równanie Navier- Stokes a) i energii (pierwsza zasada termodynamiki). W przypadku modelowania przepływów przez ośrodek porowaty równanie energii zazwyczaj jest pomijane, jeżeli nie analizowane są zjawiska wymiany ciepła w materiale porowatym. Równanie zachowania masy oraz pędu w przypadku laminarnych przepływów płynu nieściśliwego w stanie ustalonym, zapisane w formie różniczkowej mają postać: divv 0 (11) div( v v) grad ( p) div( Γ) f p (12) v- wektor prędkości filtracji [m/s], Γ - tensor naprężeń powierzchniowych [Pa], f p - wektor sił oporu [Pa/m]. W równaniu zachowania pędu (12) człon źródłowy f p reprezentuje spadek ciśnienia wywołany oporami lepkościowymi oraz bezwładnościowymi, charakterystycznymi dla przepływu przez ośrodek porowaty. Opory P dla przepływu przejściowego opisanego równaniem Darcy- Forcheimer a (10) można podzielić na opór lepkościowy P v oraz opór bezwładnościowy P i, reprezentowane odpowiednio przez liniowy człon (αμ) oraz nieliniowy (βρ): P P P v (13) v i

P- całkowity generowany opór przepływu [Pa s/m 2 ], P v - opór lepkościowy [Pa s/m 2 ], P i - opór bezwładnościowy [Pa s 2 /m 3 ]. Człon źródłowy f p można przedstawić w postaci iloczynu oporów przepływu P i prędkości filtracji v: f P v P P v v (14) p v i Rys. 3. Podział geometrii przykładowego modelu na objętości kontrolne. Źródło: opracowanie własne Modelowanie przepływów z wykorzystaniem równania Navier- Stokes a i członu źródłowego f p w postaci sumy oporów lepkościowych i bezwładnościowych pozwala wyznaczać parametry przepływu (prędkość filtracji, ciśnienie) w każdym elemencie siatki, na jaką został podzielony analizowany obszar (rys. 3). Parametry ośrodka porowatego mogą być wyznaczane z wykorzystaniem modelownia CFD w oparciu o podstawową formę równań zachowania masy i pędu (równanie Navier- Stokes a). Równanie zachowania masy dla stanu ustalonego oraz płynu nieściśliwego posiada taką samą formę jak w równaniu (11). W równaniu Navier- Stokes a nie musi być uwzględniany człon f p reprezentujący opory przepływu, ponieważ modelowaniu poddana jest tylko objętość zajmowana przez płyn. W tym przypadku nie uwzględniana jest żadna z form równań opisujących przepływ przez ośrodek porowaty, a całe zagadnienie sprowadza się do obliczenia parametrów przepływu płynu przez przestrzeń porową, którą można wyidealizować jako kanał o znanych parametrach geometrycznych (rys. 8). W przypadku modelowania przepływów z zastosowaniem podstawowej formy równania Navier- Stokes a niezbędna jest znajomość dokładnej geometrii przestrzeni porowej, a co za tym idzie również współczynnika porowatości ϕ. Porowatość próbki można zdefiniować jako: A p (15) A p przekrój poprzeczny przez przestrzeń porową [m 2 ], A s

A s przekrój poprzeczny przez całą próbkę [m 2 ]. Bazując na wynikach symulacji możliwe jest wyznaczenie objętościowego strumienia przepływu w każdym przekroju (w tym przypadku na wylocie z analizowanej próbki) korzystając ze wzoru: q vda (16) A p Wykorzystując wyżej wymienione zależności (15-16) w równaniu Darcy ego (6), możliwe staje się wyznaczenie współczynnika przepuszczalności k: k L vda Ap p1 p (17) 2 Ap W równaniu (17) parametry geometryczne próbki (A p - przekrój poprzeczny przez przestrzeń porową, L- długość próbki, ϕ- porowatość), własności płynu (μ- lepkość dynamiczna) oraz warunki brzegowe (p 1, p 2 - ciśnienie na wlocie i wylocie próbki) są znane. Prędkość v jest rzeczywistą prędkością przepływającego płynu i jest wynikiem symulacji komputerowej. Jeżeli relacja pomiędzy przepuszczalnością k a współczynnikiem filtracji K: k- współczynnik przepuszczalności [m 2 ], ρ- gęstość płynu [kg/m 3 ], g- przyśpieszenie ziemskie [m/s 2 ], μ- lepkość dynamiczna płynu [Pa s] g K k (18) zostanie zastosowane, wtedy otrzyma się wzór na średni współczynnik filtracji wyprowadzony m.in. w [5]. 3. KOMPUTEROWA MIKROTOMOGRAFIA RENTGENOWSKA Jedną z najbardziej nowoczesnych metod badawczych w analizie petrofizycznej skał jest komputerowa mikrotomografia rentgenowska. Metoda ta jest bezinwazyjna, co oznacza że analizowana próbka skalna nie ulega zniszczeniu (mechanicznemu lub w wyniku nasycenia cieczą, gazem) lub deformacji. Próbka skalna poddawana jest promieniowaniu rentgenowskiemu, dzięki czemu możliwe jest uzyskanie trójwymiarowego obrazu przestrzeni porowej porowej. Mikrotomografia rentgenowska dostarcza informacji na temat porowatości badanej skały, rozkładu przestrzeni porowej, a także informacji o krętości kanalików porowych, istotnych przy zagadnieniu zdolności skały do przepływu. Analiza obrazu przestrzeni porowej pozwala wyodrębnić jej geometrię, która może zostać zastosowana do symulacji przepływu płynu w przestrzeni porowej skały. Pomiar komputerowej mikrotomografii rentgenowskiej rozpoczyna się w momencie emisji wiązki promieniowania X przez lampę rentgenowską. Prześwietlana próbka rzuca cień na detektor, tworząc projekcję 2D. Promieniowanie przechodząc przez próbkę ulega absorpcji,

czyli w zależności od badanego obiektu, w różnym stopniu jest osłabiane. Osłabienie wiązki wynika z większej gęstości próbki, lub jej fragmentu. Zasada pomiaru próbki bazuje na zapisywaniu kolejnych projekcji (rzut całej próbki na płaszczyznę detektora) promieniowania X, różniących się pozycją kątową w zakresie od 0 do 360 o. Im mniejszy kąt obrotu próbki, tym większa jest dokładność obrazu, ale także i dłuższy czas pomiaru. Aby uzyskać przekroje mikrotomograficzne próbki, czyli cięcie złożonych projekcji (przekroje poprzeczne projekcji), konieczne jest zastosowanie algorytmu projekcji wstecznej, który w efekcie pozwala na uzyskanie obrazu zmienności współczynnika pochłaniania liniowego. Algorytm projekcji wstecznej (back- projection) stanowi grupę algorytmów rekonstrukcji, czyli procesu matematycznego polegającego umożliwiającego pozyskanie przetworzonego obrazu. W miarę jak próbka była obracana w trakcie pomiaru, zbierane są sekwencyjnie przekroje tworzące zrekonstruowane obrazy 3D. Dzięki komputerowej mikrotomografii rentgenowskiej uzyskuje się pełny obraz przestrzeni porowej badanej próbki skalnej. W zależności od rozdzielczości mikrotomografu zobrazowane są pory o wymiarach w granicy nanometrów (nonotomografy) lub mikrometrów (mikrotomografy). Daje to możliwość obliczenia współczynnika porowatości (Φ): Vp (19) V V p V p - objętość warstwy porów, V- objętość warstwy szkieletu. Wyniki komputerowej mikrotomografii rentgenowskiej są prezentowane w postaci wizualizacji przestrzeni porowej 3D (rys. 4 i 5). Wizualizacja przestrzeni porowej 3D pozwala na jakościową interpretację jej rozkładu, natomiast interpretacja ilościowa obejmuje wyznaczenie parametrów petrofizycznych m.in. wartość porowatości, krętości kanałów porowych, a także statystyki. Wizualizowana próbka (rys. 4 i 5) jest prostopadłościanem o wymiarach 950x950x400 wokseli w kierunku X, Y i Z. Woksel w grafice 3D to najmniejszy element przestrzeni i w przypadku wykonanych badań mikrotomograficznych ma wymiary 5.8x5.8x5.8 μm 3 (1 woksel=195 μm 3 ).

Rys. 4. Wizualizacja szkieletu piaskowca karbońskiego (bez porów), próbka nr 888 Źródło: [6] Rys. 5. Wizualizacja przestrzeni porowej piaskowca karbońskiego, próbka nr 888 Źródło: [6] Komputerowa mikrotomografia rentgenowska stanowi klucz do modelowania przepływu w ośrodku porowatym, dając możliwość odwzorowania przestrzeni porowej na potrzeby symulacji przepływu. Kluczem do poprawnego przeprowadzenia modelowania przepływu płynów przez skałę jest dokładność geometrii przestrzeni porowej. Obecnie pracuje się nad rozwijaniem możliwości pozyskania wysokorozdzielczych (skala nano) tomografów komputerowych oraz możliwości obliczeniowych komputerów w celu odtworzenia przestrzeni porowej skał, w tym eksportu geometrii przestrzeni porowej i mocy obliczeniowej programów do symulacji przepływów. Pomiar komputerowej mikrotomografii rentgenowskiej, a także interpretacja wyników była wykonana w Instytucie Nafty i Gazu w Krakowie przy zastosowaniu mikrotomografu rentgenowskiego Benchtop CT160, ze źródłem rentgenowskim emitującym stożkową wiązkę fotonów o energii z zakresu 40-160kV i rozdzielczości dochodzącej do 3 µm.

4. MODELOWANIE PRZEPŁYWU PRZEZ FRAGMENT PRZESTRZENI POROWEJ PIASKOWCA KARBOŃSKIEGO Do przeprowadzenia modelowania przepływu, określenia przepuszczalności i sprawdzenia poprawności założonych parametrów w symulacji wybrano próbkę piaskowca karbońskiego o porowatości całkowitej równej 15%, która została pobrana z rdzenia wiertniczego z głębokości 3154 m. Otwór wiertniczy zlokalizowany jest w rejonie antyklinorium pomorskiego. W celu otrzymania geometrii przestrzeni porowej użyte zostały obrazy mikrotomograficzne (rys. 4 i 5). Wybrano fragment 2D przestrzeni porowej z rysunku 4, w miejscu, w którym pory były względnie największe oraz połączone. Fakt ten ma znaczenie, gdyż obliczona wartość porowatości i przepuszczalności jest zawyżona i nie ma odniesienia do całości próbki piaskowcowej. Kształt porów został uproszczony w sposób optymalny. Pory zostały zastąpione najbardziej zbliżonym do rzeczywistości, prostym kształtem, w tym przypadku prostokątem. Porowatość efektywna, czyli porowatość, która bierze udział w przepływie płynu, wynosi 15%. Uproszczony fragment próbki piaskowca karbońskiego, użyty do symulacji przedstawiony jest na rysunku 6. Rys. 6. Geometria przestrzeni porowej piaskowca karbońskiego, próbka 888 Źródło: [7] W celu kalkulacji przepuszczalności zastosowano modelowanie przepływu wody przez przestrzeń porową piaskowca karbońskiego. Przed przystąpieniem do symulacji przepływu zostały ustawione następujące parametry symulacji w programie Star- CCM+ [8]: lepkość dynamiczna płynu (µ=8.8*10-4 Pa*s) i spadek ciśnienia ( p=0.79 Pa, 7.9 Pa, 79 Pa i 799 Pa). Wynikami symulacji są wartości strumienia objętości płynu q otrzymane dla kolejnych gradientów ciśnienia p. Wartość przepuszczalności została obliczona przy użyciu równania (17) zakładając parametry geometrii przestrzeni porowej (A s = 1.37*10-3 m, L= 2.3*10-3 m). Wynikiem modelowania przepływu w przestrzeni porowej jest objętość przepływającego płynu q oraz przepuszczalność k zaprezentowane w tablicy 2. Tablica 2. Wyniki symulacji przepływu wody przez fragment przestrzeni porowej piaskowca karbońskiego 1 2 3 4 p [Pa] 0.79 7.9 79 799

Źródło: [7] q [m 3 /s] 1.29*10-9 1.29*10-8 1.29*10-7 1.29*10-6 k [md] 2441 2441 2441 2441 Objętość przepływającego płynu q wzrasta liniowo podczas zwiększania gradientu ciśnienia p co jest charakterystyczne dla przepływów w zakresie stosowalności równania Darcy ego. Wartość przepuszczalności dla czterech symulacji pozostawała stała, co potwierdziło założenia wprowadzone do modelowania przepływu w przestrzeni porowej. Wartość otrzymanej przepuszczalności mieści się w przedziale spodziewanych w rzeczywistości wartości przepuszczalności dla skał o porowatości 15% i nieskomplikowanej budowie przestrzeni porowej. Jednakże wyestymowana wartość przepuszczalności w tym przypadku jest zawyżona, z powodu uproszczonej geometrii przestrzeni porowej. Dla wszystkich założonych różnic ciśnień przepływ płynu jest laminarny i zastosowanie prawo Darcy ego jest uzasadnione. Rysunek 7 prezentuje objętość przepływającego płynu q jako funkcje liniową zmian ciśnienia p, co charakteryzuje użyte prawo Darcy ego. Rys. 7. Strumień objętości płynu jako funkcja gradientu ciśnienia Źródło: [7] Oprócz możliwości estymacji parametrów przepływu (Tablica 2) modelowanie przepływu w przestrzeni porowej pozwoliło na określenie pola prędkości (rys. 8) dla gradientu ciśnienia p=79 Pa, rozkładu ciśnienia (rys. 9) oraz linie kierunku przepływu płynu (rys. 10). Szczegółowa analiza rozkładu pola prędkości, ciśnień oraz linii kierunku przepływu płynu niosą informację na temat wpływu stopnia komplikacji geometrii przestrzeni porowej i krętości kanałów porowych na przepuszczalność skał. Symulacja została także przeprowadzona dla ciekłego azotu i potwierdziła poprawność jej założeń, otrzymując ten sam wynik.

Rys. 8. Rozkład pola prędkości płynu dla gradientu ciśnienia p =79 Pa Źródło: [7] Rys. 9. Rozkład ciśnienia dla symulacji przeprowadzonej dla gradientu ciśnienia p=79 Pa Źródło: [7]

Rys. 10. Rozkład linii kierunku przepływu płynu dla gradientu ciśnienia p=79 Pa Źródło: [7] Na podstawie uzyskanych wyników modelowania przepływu cieczy przez przestrzeń porową przeprowadzono kolejną symulacje przepływu, bez odzwierciedlania dokładnej geometrii. Geometrię próbki dla której przeprowadzono obliczenia przedstawia rysunek 11. W celu zamodelowania ośrodka porowatego, założono wartość oporów lepkościowych P v (10), gdzie wartość współczynnika α obliczono przy użyciu wyznaczonej wartości współczynnika przepuszczalności k=2441 md. Lepkość analizowanego płynu μ pozostaje bez zmian. Na wlocie próbki założona została wartość prędkości filtracji v f, obliczona bazując na wyznaczonym objętościowym strumieniu przepływu q i przekroju poprzecznym próbki A dla wariantu 3 ( p=79pa), wg zależności v f = q/a. Wartości użyte do obliczeń zestawione zostały w tablicy 3. Rys. 11. Dyskretyzacja analizowanego obszaru próbki Źródło: opracowanie własne

Tablica 3. Dane przyjęte do obliczeń przepływu przez obszar próbki przedstawiony na rysunku 11 p [Pa] P v [kg/m 3 s] k [md] μ [Pa s] q/a [m/s] 1700 3.64*10 8 2441 8.8*10-4 9.416*10-5 Źródło: opracowanie własne Dla tak założonych parametrów wyznaczony został spadek ciśnienia na długości próbki, co przedstawione zostało na rysunku 12. Porównanie założonej wartości spadku ciśnienia na długości próbki dla symulacji przy dokładnym odwzorowaniu przestrzeni porowej (Próbka 1) z wynikiem obliczeń uzyskanym dla założonego oporu przepływu P v (Próbka 2) przedstawia tablica 4. Tablica 4. Porównanie wyników symulacji dla dwóch różnych przyjętych geometrii analizowanej próbki piaskowca karbońskiego Próbka p [Pa] p/l [Pa/m] 1 1714 34051 2 79 34280 Źródło: opracowanie własne Uzyskane wyniki potwierdzają wiarygodność założonych parametrów o poprawność wykonanych symulacji. Parametry materiału porowatego wyznaczone w oparciu o obraz mikrotomograficzny i symulacje przepływu pozwalają przeprowadzać symulacje dla dużo większego obiektu z zachowaniem bardzo wysokiej dokładności. Rys. 12. Wynik w postaci rozkładu ciśnienia w analizowanym obszarze próbki dla zdanej wartości prędkości filtracji v f i oporów przepływu P v 5. WNIOSKI Modelowanie przepływu płynu w przestrzeni porowej skały wnosi nowe spojrzenie na stosowane metody otrzymywania parametrów petrofizycznych skał, w szczególności przepuszczalności. Połączenie komputerowej mikrotomografii rentgenowskiej i modelowania przepływu koresponduje z standardowymi badaniami laboratoryjnymi na rdzeniach wiertniczych i stanowi konkurencyjną metodę w przypadku skał niskoporowatych i niskoprzepuszczalnych (tight gas, shale gas). Zastosowanie mikrotomografu pozwala odwzorować dokładną przestrzeń porową, a jej znajomość- wyznaczyć współczynnik przepuszczalności za pomocą komputerowej mechaniki płynów [9]. Jeżeli uda się wyznaczyć współczynniki przepuszczalność i będą on reprezentatywne dla większej ilość próbek, możliwe staje się obliczanie parametrów przepływu, a w szczególności spadku ciśnienia w skałach na odpowiednio dużych głębokościach.

Symulacja przepływu daje możliwość wnikliwej analizy wpływu stopnia skomplikowania geometrii przestrzeni porowej na rozkład pola prędkości, ciśnienia i linii kierunku przepływu płynu. 6. PODZIĘKOWANIA Autorzy pragną podziękować Ministerstwu Ochrony Środowiska za udostępnienie rdzeni wiertniczych, a także Wydziałowi Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH Akademii Górniczo-Hutniczej im. Stanisława Staszica w Krakowie za dostęp do programu Star- CCM+. Badania laboratoryjne na rdzeniach wiertniczych zostały wykonane w Instytucie Nafty i Gazu w Krakowie. Projekt badawczy nr 18.18.140.244, obejmujący zagadnienie modelowania przepływu w ośrodku porowatym, jest finansowany przez Narodowe Centrum Nauki i prowadzony na Wydziale Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska AGH Akademii Górniczo-Hutniczej im. Stanisława Staszica w Krakowie. Autorzy są bardzo wdzięczni Pani prof. dr hab. inż. Jadwidze Jarzynie za pomoc, wsparcie i rady przy realizacji projektu. LITERATURA [1] Andersson B., Andersson R., Hakansson L., Mortensen M., Sudiyo R., Wachem B.: Computational Fluid Dynamics for Engineers, Cambridge University Press, Cambridge, Wielka Brytania 2012 [2] Amao A.M.: Mathematical model for Darcy Forchheimer flow with applications to well performance analysis, Praca doktorska, Texas Tech University, Misato 2007 [3] Peszyńska M., Trykozko A., Sobieski W.: Forchheimer law in computational and experimental studies of flow through porous media at porescale and mesoscale, GAKUTO International Series Mathematical Sciences and Applications, vol. 32, Tokyo 2010, 463-482 [4] Darby. R.: Chemical Engineering Fluid Mechanics, Marcel Dekker Inc., New York 2001 [5] Narsilio G., Buzzi O., Fityus S., Yun T., Smith D.: Upscaling of Navier- Stokes equations in porous media: Theoretical, numerical and experimental approach, Computers and Geotechnics, 36, Elsevier, 1200-1206 [6] Zalewska J., Dohnalik M., Łykowska G., Kiernicki J.: Sprawozdanie Nr 37/11/2011. Badanie własności petrofizycznych skał wybranych formacji gazonośnych, Instytut Nafty i Gazu, Kraków 2011 [7] Krakowska P., Madejski P., Jarzyna J.: Fluid flow modeling in tight Carboniferous sandstone, Materiały konferencyjne 75 th EAGE Conference and Exhibition incorporating SPE EUROPEC 2013, baza publikacji EAGE EartDoc www.earthdoc.org, Londyn, Wielka Brytania 2013 [8] Star- CCM+ software, Computational Dynamics Ltd., Londyn 2011 [9] Zalewska J.: Rentgenowska mikrotomografia komputerowa w badaniu skał węglanowych, Prace naukowe Instytutu Nafty i Gazu nr 171, Wydawnictwo INiG, Kraków 2010.