Naprężenia, przemieszczenia, odkształcenia Właściwości materiałów dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji
Naprężeniem (p) nazywa się iloraz nieskończenie małej wypadkowej siły spójności ds przez nieskończenie małe pole rozważanego przekroju da: p lim A 0 S A ds da p S A n p cos, p sin Siła S nie musi być prostopadła do przekroju A i może zmieniać się po polu tego przekroju 2
Średnim naprężeniem normalnym (sr) w danym przekroju ciała nazywa się iloraz siły normalnej N w tym przekroju przez pole jego powierzchni A: N n sr N A C A Jednostki naprężenia: N N kn [Pa=, MPa=, 10MPa= ] 2 2 2 m mm cm 3
Przemieszczeniem (b) punktu materialnego A ciała sprężystego nazywa się wektor, którego początkiem jest ten punkt w stanie pierwotnym ciała, a końcem punkt A1, określający nowe położenie punktu A (po zmianie stanu ciała). b AA 1 4
w prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z wartości składowych wektora przemieszczenia punktu A oznacza się na ogół symbolami odpowiednio u, v, w; wprowadzając wersory i, j, k odpowiednich osi układu odniesienia można zapisać wektor przemieszczenia jako: b ui vj wk 5
Liniowym odkształceniem względnym () ciała materialnego w punkcie A w kierunku AB nazywa się granicę do której dąży stosunek długości A1B1 odcinka AB, zmienionej działaniem sił zewnętrznych, do jego długości pierwotnej AB, gdy długość odcinka AB dąży do zera, tzn. gdy punkt B dąży do punktu A. lim A1B 1 AB lim AB 0 l0 l l 6
Średnim (liniowym) odkształceniem względnym (sr) ciała materialnego w kierunku AB nazywa się iloraz przyrostu długości odcinka AB do jego długości pierwotnej: sr l l 7
Odkształceniem postaciowym lub kątem odkształcenia postaciowego ( [rad]) ciała materialnego w punkcie 0 nazywa się granicę, do której dąży zmiana kąta pomiędzy początkowo prostopadłymi odcinkami przecinającymi się w punkcie 0, gdy długości tych odcinków dążą do zera. lim A0B-A 0 B xy 0A 0 1 1 1 0B 0 8
Prawo Hooke a: E 9
Jednowymiarowy model Hooke a ciał sprężystych Prawo Hooke a: E G E moduł Younga G moduł Kirchoffa Przewężenie względne: p E - współczynnik Poissona 10
Jednowymiarowy model Hooke a ciał sprężystych...ale l l oraz sr sr N A stąd l Nl AE Powyższy wzór ma zastosowanie do rozwiązywania zadań z rozciągania i ściskania 11
Przykład słupa ściskanego N A P A1 P N A1 3P A2 3P A2 12
Zasada Barré de Saint-Venanta (1855r.) Jeżeli na pewien niewielki obszar ciała sprężystego pozostającego w równowadze działają kolejno rozmaicie rozmieszczone, ale statycznie równowarte obciążenia, to w odległości od obszaru przewyższającej wyraźnie jego rozmiary powstają praktycznie jednakowe stany naprężenia i odkształcenia (zasada sprężystej równoważności). 13
Układ Clapeyrona 14 Układ Clapeyrona (układ liniowosprężysty) jest to takie ciało sprężyste znajdujące się pod działaniem zrównoważonego układu sił, w którym przemieszczenie dowolnego punktu materialnego można wyrazić jako liniową funkcję działających nań sił: b AA P P... P 1 AP 1 AP 2 AP 1 2 n n 14
Zasada małych przemieszczeń Założenie o małych przemieszczeniach - zasada zesztywnienia przemieszczenia punktów konstrukcji są małe w porównaniu z jej charakterystycznymi wymiarami (np. mniejsze od 1/250 długości belki, 1/4 grubości płyty itp.). Zasada zesztywnienia : wpływ przemieszczeń konstrukcji na wartość sił biernych (reakcji podpór) i sił wewnętrznych (przekrojowych) jest pomijalnie mały. Oznacza to, że przy obliczaniu tych sił nie rozróżniamy konfiguracji aktualnej od wyjściowej. 15
Zasada niezmienności wymiarów W obliczeniach wytrzymałościowych zaniedbuje się zmianę głównych wymiarów geometrycznych elementów konstrukcji (np. obliczając z pominięciem zmiany długości początkowej rozciąganego pręta stalowego popełnia się tylko nieznaczny błąd o wartości 0,02%, albo obliczając naprężenia pomija się zmianę pola przekroju poprzecznego pręta) Przybliżona wartość liniowego odkształcenia względnego: p l l 0 16
Zasada niezmienności wymiarów Wartość dokładna: d 0 2 3 l1 dl l1 l 1 l l 1 l 1 l ln l ln ln 1 l 0 l l0 l0 l0 2 l0 3 l l 0 1 2 d p p 2 d p 17
Energia odkształcenia sprężystego w pręcie rozciąganym 18 Pręt rozciągany quasistatycznie; pomija się ciężar własny pręta 18
Energia odkształcenia sprężystego w pręcie rozciąganym Prawo Hooke a: P l Praca elementarnego przyrostu siły dpu na wydłużeniu elementarnym du: zróżniczkowanie wzoru (1) daje: u u 1 EA dl P dp d P d 2 u u u u u d l dp EA u u 3 19
Energia odkształcenia sprężystego w pręcie rozciąganym Wstawiając (3) do (2) otrzymuje się: l dl Pu dpu 4 EA Scałkowanie powyższego wyrażenia w granicach od 0 do Pstat daje wzór na pracę całkowitą, wykonaną przez siłę Pu na wydłużeniu stat: P stat P 1 stat 2 1 2 u d u u stat 2 0 0 2 l l l L P P P P 5 EA EA EA 20
Energia odkształcenia sprężystego w pręcie rozciąganym Uwzględnienie faktu, że: stat l Pstat 6 EA pozwala zapisać wzór (5) w jednej z następujących postaci: 1 2 l 1 2 EA 1 L Pstat stat Pstat stat 7 2 EA 2 l 2 21
Energia odkształcenia sprężystego w pręcie rozciąganym 22 Tw.: Praca wykonana przez statycznie działającą siłę P na wydłużeniu pręta rozciąganego osiowo tą siłą w zakresie liniowej sprężystości (stosowalności prawa Hooke a) jest równa polu pod wykresem P- (polu trójkąta o podstawie i wysokości P). Stąd wynika pewna właściwość układu liniowosprężystego: przy quasi-statycznym odciążaniu (od Pstat do zera) układ taki jest zdolny wykonać pracę równą zmagazynowanej energii potencjalnej odkształcenia sprężystego (energii sprężystej, V). 22
Zagadnienie obciążenia pręta ciężarem własnym Pręt jednorodny, rozciągany wyłącznie ciężarem własnym m Dane: E, ciężar właściwy Wydłużenie odcinka ( plasterka ) o długości dx wynosi, zgodnie z prawem Hooke a: Q dx dx EA l x dx x A EA Qx jest ciężarem dolnej (szarej) części pręta N 3 23
Zagadnienie obciążenia pręta ciężarem własnym Całkowite wydłużenie pręta (suma wydłużeń nieskończonej liczby elementarnych odcinków dx w zakresie całej długości pręta (od zera do l ) wynosi: l l 2 2 A l x dx l x l l dx EA E 2 2E 0 0 Wniosek: wydłużenie spowodowane ciężarem własnym pręta jest równe wydłużeniu, jakie wywołałaby siła równa ciężarowi pręta (np. G [N]) przyłożona w środku ciężkości pręta. l 0 24
Warunek równowagi rozciąganego (ściskanego) osiowo pręta: da N P A 25
Statyczna próba rozciągania Próba rozciągania jest podstawowym doświadczeniem w wytrzymałości materiałów mającym doprowadzić do określenia właściwości mechanicznych materiału. Najszersze zastosowanie w budownictwie mają stale niskowęglowe, tj. stopy żelaza z węglem o zawartości C do 0,3%. Są to stale miękkie, nie dające się hartować. 2,5 d0 d L 0 L c m L t 26
Statyczna próba rozciągania Wykres rozciągania stali niskowęglowej prop (RH) - granica proporcjonalności (stosowalności prawa Hooke a) spr - umowna granica sprężystości, czyli wartość naprężenia powodująca trwałe wydłużenie o wartości =0,001% W praktyce przyjmuje się prop = spr 27
Statyczna próba rozciągania 28 Wykres rozciągania stali niskowęglowej Re - granica plastyczności: na odcinku CD odkształcenie rośnie przy niemal stałej wartości naprężenia jest to tzw. płynięcie plastyczne, powodujące trwałe zmiany struktury materiału 28
Statyczna próba rozciągania 29 Wykres rozciągania stali niskowęglowej Rm wytrzymałość doraźna na rozciąganie, czyli największe naprężenia, jakie mogła przenieść rozciągana próbka na odcinku DK d/d jest kilkaset razy mniejsze niż na odcinku 0A na odcinku KL następuje przewężenie próbki rozciąganej (tzw. szyjka), a następnie zerwanie 29
Statyczna próba rozciągania 30 Dla większości metali i stopów (stale o zaw. C pow. 0,4%, stale stopowe, miedź, aluminium i ich stopy) nie obserwuje się wyraźnej granicy plastyczności (brak odcinka CD). Wówczas wprowadza się tzw. umowną granicę plastyczności R0,2, czyli naprężenie, przy którym trwałe odkształcenie =0,2% dla innych metali i stopów wprowadza się jeszcze tzw. umowną granicę sprężystości R0,05; jest to naprężenie powodujące wystąpienie w materiale odkształceń trwałych o wartości 0,05% 30
Uniwersalna zrywarka ZwickZ100 31
Próby ściskania wykresy podobne do wykresów z prób rozciągania 32
Przykład procedury obciążania z odciążaniem 33
Obliczenia wytrzymałościowe Podstawowy warunek projektowy max norm max norm 34
Obliczenia wytrzymałościowe. Metoda naprężeń dopuszczalnych (liniowych) 35 Naprężenia dopuszczalne (k) jest to wartość naprężeń nieprzekraczalna w warunkach normalnej pracy elementu konstrukcyjnego. Warunek wytrzymałościowy w przypadku rozciągania: P kr A Naprężenia dopuszczalne na rozciąganie kr uwzględniają rzeczywistą wytrzymałość materiału oraz tzw. współczynnik bezpieczeństwa (n>1) k r R n m m k r R n e e 35
Współczynniki bezpieczeństwa dobiera się na podstawie norm, np. PN-90/B-03200 Przykładowe wartości podanych wyżej wielkości dla stali St3S to: Rm=375MPa, Re=220MPa, kr=200mpa=>nm=1,875, ne=1,1 Podobnie jak warunek dotyczący rozciągania wyglądałby warunek wytrzymałościowy w przypadku ściskania: Analogicznie wyglądają też warunki w przypadku zginania, ścinania, czy skręcania. Odpowiednie naprężenia dopuszczalne oznacza się wówczas kg, kt, ks. kr0,48re, kg0,53re, ks=kt0,27re P kc A 36
37 Obliczenia wytrzymałościowe Istnieją inne metody wymiarowania konstrukcji żelbetowych: - naprężeń liniowych (NL), - odkształceń plastycznych (OP), zwana także metodą obciążeń krytycznych, -stanów granicznych (SG). Wymienione metody różnią się między sobą sposobem zapewnienia bezpieczeństwa konstrukcji. Bezpieczeństwo wymiarowanych konstrukcji jest zapewnione przede wszystkim: - w metodzie NL przez przyjęcie naprężeń dopuszczalnych odpowiednio mniejszych od wytrzymałości materiału; siły wewnętrzne oblicza się od obciążeń normowych; - w metodzie OP przez przyjęcie globalnych współczynników zwiększających siły wewnętrzne obliczone od obciążeń normowych; w obliczeniach przyjmuje się wytrzymałości materiałów; - metodzie SG przez przyjęcie częściowych współczynników bezpieczeństwa odpowiednio zwiększających (w niektórych wypadkach zmniejszających) obciążenia normowe i zmniejszających wytrzymałości materiałów. 37