Warsztaty metod fizyki teoretycznej Zestaw Chłodzenie laserowe - cz. I Adam Wojciechowski, Michał Heller 19.03.009 1 Wprowadzenie Wraz z nadejściem laserów otwarły się nowe możliwości dokonywania bardzo subtelnych pomiarów spektroskopowych, a wkrótce potem zaprzęgnięto lasery do chłodzenia próbek atomowych. Zimne atomy oferują niezwykle atrakcyjne środowisko do badań spektroskopowych, z uwagi na dramatycznie spowolniony ruch atomów a zatem i brak poszerzenia Dopplerowskiego oraz przestrzenne uwięzienie wewnątrz pułapki magnetooptycznej (MOT. Z drugiej strony, chłodzenie laserowe jest powszechnie wykorzystywane w świecie jako pierwszy krok do wytworzenia kondensatu Bosego-Einsteina (BEC. Za odkrycie metod laserowego chłodzenia i pułapkowania atomów komitet noblowski przyznał nagrodę Nobla w 1997 roku Stevenowi Chu, Claudowi Cohen-Tannoudji, i Williamowi Phillipsowi. W naszym instytucie badaniami doświadczalnymi przy użyciu pułapek magnetooptycznych zajmuje się Zakład Fotoniki oraz Zakład Optyki Atomowej. Ponadto, w Krajowym Laboratorium Fizyki Atomowej, Molekularnej i Optyki (KL FAMO w Toruniu działa układ, w którym wytwarzany jest kondensat. Opis zjawiska W 1933 roku Frisch przeprowadził eksperyment, w którym wykorzystał pęd fotonów do odchylenia wiązki atomów. Wiązka atomów sodu lecących wewnątrz aparatury próżniowej była w tym ekserymencie oświetlana z boku, powodując zakrzywienie ruchu atomów. Można to wyjaśnić poprzez fakt, iż absorbcja wiąże się z przekazam pędu w jednym kierunku (wszystkie absorbowane fotony mają ten sam pęd, zaś emisja spontaniczna jest izotropowa i przekaz pędu z nią związany uśrednia się do zera. Eksperyment musiał być bardzo dobrze zaprojektowany, by był czuły na małe odchylenia, bowiem proste rachunki pozwalają oszacować prędkość atomów na rzędu 10 10 3 m/s, zaś zmiana prędkości atomów na skutek absorbcji fotonu jest rzędu 1 cm/s. Pamiętajmy przy tym, że w tamtych czasach nie było jeszcze laserów. Od połowy lat 70-tych ubiegłego wieku sprawy nabrały przyspieszenia. W 1975 Hänsch i Schawlow zaproponowali użycie laserów do chłodzenia atomów. Powstały prace teoretyczne opisujące chłodzenie laserowe, a także sposoby na pułapkowanie neutralnych atomów, np. [1]. Jednakże przejście 1
Rysunek 1: Schemat pułapki magnetooptycznej pokazujący trzy pary przeciwbieżnych wiązek oraz cewki kwadrupolowe wytwarzające pole magnetyczne. Po prawej zdjęcie działającej pułapki z widoczną fluorescenją od wiązek MOT oraz chmury atomów w centrum pułapki. Obrazy zaczerpnięte z [8]. od stosunkowo prostego spowalniania wiązki atomowej, do prawdziwego schładzania atomów o izotropowym rozkładzie prędkości zajęło jeszcze kilka lat. Pierwsze pułapki magnetooptyczne powstały zatem dopiero w drugiej połowie lat 80-tych. Obecnie, na całym świecie wykorzystuje się pułapki magnetooptyczne jako podstawę do dalszego chłodzenia atomów (dla kondensacji Bosego-Einsteina lub też do budowy optycznych zegarów atomowych. W obu tych przypadkach zimne atomy pozwalają na dokonywanie pomiarów z niespotykaną dotąd precyzją. 3 Sformułowanie problemu Chcemy opisać w sposób półklasyczny oddziaływanie wiązki światła laserowego na atom. Dla uproszczenia posłużymy się modelem atomu dwupoziomowego oddziałującego z liniowo spolaryzowaną wiązką światła, dostrojoną w pobliże rezonansu. Rozszerzenie jednowymiarowego modelu chłodzenia na przypadek 3D nie stanowi problemu, natomiast znacząco komplikuje rachunki. Problem sprowadza się do rozwiązania optycznych równań Blocha, a następnie obliczeniu z ich użyciem sił działających na atom. Rozwiązanie wzorowane jest na pracy [], choć w wielu innych pracach można znaleźć alternatywne obliczenia a część wyników można wyprowadzić na palcach. Zad. 1. Optyczne równania Blocha. Należy wyprowadzić i rozwiązać optyczne równania Blocha dla elementów macierzy gęstości atomu dwupoziomowego: ( ρee ρ ρ = eg, (1 ρ ge gdzie używamy oznaczeń e dla stanu wzbudzonego i g dla stanu podstawowego. Zacznij od zapisania Hamiltonianu uwzględniającego oddziaływanie z polem elektrycznym H = D E, gdzie d - elektryczny moment dipolowy atomu. Załóż postać pola elektrycznego E = E 0 ê z (e iωt + c.c/, zaś energię stanu wzbudzonego: E e = hω 0. Następnie zapisz równania na po- ρ gg
chodne czasowe elementów macierzy gęstości: dρ/dt = ī [H, ρ] + L(ρ, ( h gdzie przez L(ρ oznaczamy macierz uwzględniającą relaksację w układzie (w ogólności nie koniecznie hermitowską. Relaksacja koherencji ρ eg następuje z szybkością równą średniej arytmetycznej szybkości relaksacji stanu wzbudzonego i podstawowego. Zastanów się jak powinna wyglądać ta macierz, jeśli zakładamy, że stan podstawowy nie relaksuje. W następnym kroku użyj przybliżenia fali wirującej (Rotating Wave Approximation, RWA, tj. wprowadź σ eg = ρ eg e iωt, a następnie przyrównaj pochodne czasowe do zera, tzw. przybliżenie stanu stacjonarnego (Steady State Approximation. Zad.. Siła działająca na atom w spoczynku. Wychodząc od postaci Hamiltonianu H = D E i pola elektrycznego fali biegnącej (płaskiej E = E 0 ê z (e i(ωt kz +c.c/ wyprowadź wzór na półklasyczną siłę działającą na atom: F = d p/dt. Skorzystaj przy tym z ogólnego wzoru na pochodną czasową operatora A: da/dt = i/ h[h, A] oraz wzoru na wartość średnią operatora A: < A >= T r[ρa]. Wyraź ostateczny wzór na siłę poprzez populację stanu wzbudzonego ρ ee (skorzystaj z zad. 1. Jaka jest maksymalna wartość tej siły? Zastanów się nad fizyczną interpretacją wyprowadzonego wzoru. Zad. 3. Uwzględnienie ruchu atomów. Przeanalizuj oddziaływanie atomu o pędzie hk z fotonem o pędzie hk. Zastanów się jak pogodzić zasady zachowania energii i pędu? Znajdź różnicę między energią przejścia, a energią potrzebną do wzbudzenia atomu. Rozpoznaj człon odpowiedzialny za efekt Dopplera i energię odrzutu. To zadanie polega na uwzględnieniu ruchu atomów poprzez wprowadzenie dwóch przeciwbieżnych wiązek świetlnych i wprowadzenie zależności rozwiązań równań Blocha od prędkości atomów. Zastanów się czemu odpowiada uzyskana postać siły? Zad.. Pułapkowanie atomów. W podobny do poprzedniego zadania sposób można również uzwględnić wpływ pola magnetycznego na chłodzenie laserowe. Pokaż, że dodając do odstrojenia człon gz, gdzie g = gµ B db uzyskuje h dz się efekt pułapkowania atomów. Czemu odpowiada taka postać siły? Czy można się spodziewać oscylacji w pseudopotencjale pułapki? Zad. 5. Temperatura graniczna. Uśredniony przekaz pędu atomów na skutek absorbcji fotonów z wiązek pułapki MOT wynosi 0 (przeciwbieżne wiązki, zatem wartość < p > jest stała. Rozmycie wartości pędów < p > jest zmniejszane na skutek chłodzenia ale równocześnie zwięsza się na skutek przypadkowych zmian pędu zachodzących podczas aktów emisji spontanicznej. Znajdź temperaturę T D dla której < p > osiąga wartość równowagową. Porównaj T D dla 87 Rb (λ = 780nm z temperaturą odrzutu T recoil, odpowiadającą energii odrzutu. 3
Literatura [1] A. Ashkin, Trapping of Atoms by Resonance Radiation Pressure, Phys. Rev. Lett. 0, 1 (1978. Liczba cytowań: ponad 00. [] H. J. Metcalf, P. van der Straten, Laser Cooling and Trapping of Neurtal Atoms., The Optics Encyclopedia, str. 975-101, Wiley-VCH, Weinheim, Niemcy, 00. Liczba cytowań: ponad 770. [3] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu i F. Laloe, Quantum Mechanics, tom. 1, Hermann, Paryż, Francja, 1977. [] S. Chu, Nobel Lecture: The manipulation of neutral particles, Rev. Mod. Phys. 70, 685 (1998 [5] C. Cohen-Tannoudji, Nobel Lecture: Manipulating atoms with photons, Rev. Mod. Phys. 70, 707 (1998 [6] W. Phillips, Nobel Lecture: Laser cooling and trapping of neutral atoms, Rev. Mod. Phys. 70, 71 (1998 [7] W. Gawlik, Fizyka zimnych atomów: temperatury niższe niż w kosmosie, Postępy Fizyki 53D, 5 (00 [8] J. Zachorowski, T. Pałasz, W. Gawlik, Krakowska pułapka magnetooptyczna, Postępy Fizyki 9, 338 (1998
Rozwiązania Zad. 1. W modelu atomu dwupoziomowego, w którym nie uwzględniamy tuchu atomu, możemy zapisać hamiltonian układu jako macierz: ( Ee 0 H 0 =, (3 0 E g gdzie zakładamy, że stanowi górnemu odpowiada energia E e, zaś dolnemu E g. Można od razu założyć energię stanu podstawowgo równą zeru, co tylko ograniczy ogólność rozwiązań. Postać macierzy momentu dipolowego można w dość prosty sposób przewidzieć. Klasycznie dipol odpowiada rozsunięciu ładunku q na odległość r. Analogicznie w mechanice kwantowej operator momentu dipolowego ˆd jest proporcjonalny do r. Wynika stąd iż elementy diagonalne macierzy momentu dipolowego: D nn ψn( r rψ n ( rd 3 r ( są równe zeru, gdyż funkcja podcałkowa jest nieparzystą funkcją położenia r. Zauważ, że dla n m parzystość ψ n ( r może być różna od parzystości ψ m ( r, a zatem funkcja podcałkowa w ogólności może mieć dowolną parzystość względem r. Otrzymujemy zatem macierz: D = ( 0 deg d ge 0, (5 gdzie możemy wprowadzić d ge = d eg = d. Wtedy hamiltonian oddziaływania możemy zapisać jako: H = E 0 cos(ωt ( 0 d d 0. (6 Warto w tym miejscu zastanowić się jak wygląda macierz momentu dipolowego dla bardziej skomplikowanych układów. Ponieważ indukowana polaryzacja nie musi być równoległa do kierunku pola elektrycznego, to w ogólności należałoby rozważać moment dipolowy jako wielkość tensorową. Dodatkową komplikacją jest konieczność obliczenia wielu całek dla poszczególnych elementów macierzowych. Sprawę można sobie znacząco uprościć znając tzw. reguły wyboru dla przejść elektrycznych dipolowych. Mówią one, które z przejść są dozwolone i gdzie trzeba obliczyć element macierzowy, a którym elementom można od razu przypisać wartość zero. Przejdźmy teraz do zapisania równań ruchu na elementy macierzy gęstości. Skorzystamy przy tym z równania Master: dρ/dt = ī h [H, ρ]1 + L(ρ (7 Na początek załóżmy brak jakiejkolwiek relaksacji, co odpowiada położeniu L(ρ 0. Istotne równania przyjmują wtedy postać: ρ ee = ī h ( Ed(ρ ge ρ eg = ī h Ed(ρ eg ρ eg = h EdI(ρ eg (8 ρ eg = i E e E g ρ eg ī h h ( Ed(ρ gg ρ ee = iω eg ρ eg + ī h Ed(1 ρ ee. (9 1 Proszę zwrócić uwagę, że w treści zestawu wydrukowanego na zajęciach brakowało znaku - przed komutatorem. 5
Nie jest konieczne rozwiązanie pozostałych równań, gdyż mamy: ρ ee + ρ gg = 1 ρ ee + ρ gg = 0 (10 ρ eg = ρ ge ρ ge = ρ eg, (11 co pozwala na łatwe obliczenie pozostałych elementów macierzy gęstości, czy też ich równań ruchu. Uwzględnijmy teraz relaksację. W przypadku braku pola elektromagnetycznego atomy pozostają w stanie podstawowym, a macierz gęstości układu dąży do macierzy: ( 0 0 ρ ρ 0 =. (1 0 1 Macierz L(ρ odpowiadająca za relaksację powinna być proporcjonalna do różnicy ρ ρ 0. Dopiszemy zatem do równań (8-9 człony odpowiedzialne za zanik odpowiednich elementów: ρ ee = ī h Ed(ρ eg ρ eg Γ(ρ ee 0 (13 ρ eg = iω eg ρ eg + ī h Ed(1 ρ ee Γ (ρ eg 0, (1 a naszą macierz relaksacji możemy zatem zapisać jako: ( ( Γ(ρee 0 Γ/(ρ L(ρ = eg 0 Γρee Γ/ρ = eg Γ/(ρ ge 0 Γ(ρ gg 1 Γ/ρ ge Γρ ee, (15 gdzie przyjęliśmy relaksację stanu podstawowego jako Γ, i relaksację koherencji z szybkością Γ/. Mając wszystkie elementy równań ruchu można już przystąpić do ich rozwiązywania. Problemem jest obecność w równaniach czynnika cos(ωt. Aby ułatwić rozwiązanie zadania zapiszmy cos(ωt = 1 (eiωt + e iωt i wprowadzimy nową zmienną σ eg, równą: σ eg = ρ eg e iωt. (16 Odpowiada to fizycznie pzejściu do układu w którym faza koherencji wiruje z częstością ω, natomiast elementy diagonalne macierzy gęstości pozostają niezmienione (nie są one wrażliwe na globalną zmianę fazy!. Dostajemy zatem następujące równania: ρ ee = ie 0d h (eiωt + e iωt (σege iωt σ eg e iωt Γρ ee (17 ( σ eg iωσ eg e iωt = iω eg σ eg e iωt + ie 0d h (eiωt + e iωt (1 ρ ee Γ σ ege iωt, (18 co po przekształceniach i podstawieniu ω eg = ω 0 oraz Ω = E 0d h daje: ρ ee = iω(σ eg(1 + e iωt σ eg (1 + e iωt Γρ ee (19 σ eg = i(ω ω 0 σ eg + iω(1 + e iωt (1 ρ ee Γ σ eg. (0 Następnie zaniedbujemy wyrazy szybko oscylujące e ±iωt, jako uśredniające się do zera. Interesuje nas stan stacjonarny, do jakiego dochodzi cały układ, więc możemy również położyć lewe strony równań (pochodne czasowe jako równe zeru. Otrzymamy wtedy następujący układ równań: 0 = iω(σ eg σ eg Γρ ee (1 0 = i(ω ω 0 + i Γ σ eg + iω(1 ρ ee, ( 6
co po dalszym przekształceniu daje nam układ sprzężonych równań: Γρ ee = iω(σ eg σ eg (3 (ω ω 0 + i Γ σ eg = Ω(1 ρ ee ( który można już łatwo rozwiązać algebraicznie. Wprowadźmy jeszcze odstrojenie δ ω ω 0 i zamieńmy kolejność równań: 1 σ eg = Ω(1 ρ ee δ + i Γ = Ω(1 ρ ee ρ ee = i Ω Γ (σ eg σ eg = i Ω Γ (1 ρ ee ( δ i Γ δ + ( Γ (( δ i Γ δ i Γ = (1 ρ ee teraz pozostaje już tylko przekształcić nieco drugie z równań, by dostać koncowy wynik: ρ ee (1 + Ω = Ω ρ ee = Ω Ω (5, (6 + Ω. (7 Wprowadzając teraz parametr nasycenia, równy S = 8Ω Γ dostaniemy: ρ ee = (S/ Γ (1 + S = S/ (δ/γ + 1 + S. (8 Postać równania 8 pokazuje, że populacja stanu wzbudzonego wykazuje zależność od odtrojenia δ w postaci funkcji Lorenza, wyśrodkowanej dla δ = 0, czyli dla dostrojenia świałta do rezonansu (ω = ω 0. Ponadto szerokość rezonansu jest zadana dla małych natężeń światła (małego Ω albo S 1 poprzez szybkość relaksacji stanu wzbudzonego, co jest konsystentne z założeniami. Dla większych natężeń światła, czyli S = 1 obserwuje się rezonans o szerokości poszerzonej przez moc, równej Γ, zaś interesujący jest przypadek S 1. Wtedy populacja górnego poziomu zmierza do: ρ ee 1, (9 co także jest zgodne z intuicją, gdyż maksymalne obsadzenie górnego poziomu może wynosić 1/. Gdybyśmy otrzymali wyższą wartość oznaczałoby to inwersję obsadzeń w układzie, a taki stan nie może być stanem stacjonarnym. Zad. -5. Zadania -5 pojawią się w nowym zestawie, zatem nie publikujemy teraz ich rozwiązań. 7