Ćwiczenie 11. Moduł Younga Małgorzata Nowina-Konopka, Andrzej Zięba Cel ćwiczenia Wyznaczenie modułu Younga metodą statyczną za pomocą pomiaru wydłużenia drutu z badanego materiału obciążonego stałą siłą. Wprowadzenie Pojęcie bryły sztywnej jest tylko użytecznym przybliżeniem, rzeczywiste ciała zmieniają swój kształt pod wpływem przyłożonych sił. Jeżeli po usunięciu siły ciało wraca do kształtu pierwotnego mówimy o odkształceniu sprężystym. Sformułowane jeszcze w XVII stuleciu prawo Hooke a mówi, że odkształcenie sprężyste ciała jest proporcjonalne do przyłożonych sił. Prawo Hooke a dotyczy dowolnego kształtu ciała i konfiguracji przyłożonych sił. Rozpatrzmy najprostszy przypadek rozciągania jednorodnego pręta (wstawka na rysunku 1). Przyrost długości pręta l jest proporcjonalny do jego długości l i siły F, a odwrotnie proporcjonalny do przekroju poprzecznego S l = F l ES. (11.1) Stała materiałowa E nosi nazwę modułu Younga. Prawo Hooke a dla rozciągania (lub ściskania) może być też zapisane w postaci funkcji σ = Eε (11.2) charakteryzującej stan naprężeń i odkształceń w rozciąganej próbce w sposób niezależny od jej kształtu. Symbol σ oznacza naprężenie normalne zdefiniowane jako stosunek siły do pola przekroju pręta, σ = F/S, natomiast ε oznacza normalne odkształcenie względne, równe stosunkowi przyrostu długości do długości początkowej, ε = l/l. Przymiotnik normalne oznacza, że dla przypadku rozciągania pręta tak siła, jak i wektor przyrostu długości są prostopadłe do przekroju poprzecznego. Przypadek naprężeń i odkształceń stycznych omawiany będzie w ćwiczeniu 12. Robert Hooke (1635-1703), matematyk, fizyk i biolog, żył w Anglii w czasach Newtona. Thomas Young (1773-1829), uczony angielski, zajmował się m.in. badaniem własności sprężystych ciał stałych. Jego największym dokonaniem w fizyce było zbadanie zjawiska interferencji światła na dwu szczelinach, na podstawie którego jako pierwszy określił długość fali świetlnej. 11-1
Rys. 1. Zależność naprężenie-odkształcenie, typowa dla większości metali. Punkty A-D objaśniono w tekście, pogrubiono zakres funkcji badanej w ćwiczeniu. Wstawka pokazuje kształt próbki używanej do doświadczalnego wyznaczenia pełnej zależności σ(ε) Wartość modułu Younga określić też można jako naprężenie, przy którym długość rozciąganego ciała ulega podwojeniu. W rzeczywistości prawo Hooke a przestaje obowiązywać (może z wyjątkiem gumy) przy znacznie mniejszych wartościach odkształcenia. Rysunek 1 pokazuje doświadczalną zależność naprężenie-odkształcenie typową dla większości metali. (Uwaga: zgodnie ze zwyczajem przyjętym w inżynierii materiałowej naprężenie σ jest odkładane na osi pionowej a nie poziomej.) Na krzywej zależności σ(ε) odcinek liniowy kończy się na tzw. granicy proporcjonalności (punkt A na rysunku 1). Po przekroczeniu granicy plastyczności (punkt B) rozpoczyna się nieodwracalne odkształcenie materiału. Wreszcie po przekroczeniu maksymalnego naprężenia (punkt C) materiał ulega zerwaniu (punkt D). W przypadku materiałów określonych jako kruche przebieg rozciągania jest prostszy prawo Hooke a obowiązuje do określonego naprężenia, po przekroczeniu którego materiał pęka. Wartości modułu Younga i przybliżone wartości naprężenia σ s odpowiadającego granicy plastyczności podano w tabeli 1. W ćwiczeniu badamy tylko początkową część zależności liniowej σ(ε), nie przekraczając naprężenia σ m < σ s. Wyznaczenie modułu Younga metodą statyczną Zastosowana metoda polega na bezpośrednim pomiarze wielkości wchodzących do wzoru definicyjnego (11.1). Do pomiarów skonstruowano statyw (rys.2), do którego przymocowuje się badany drut w górnym uchwycie A. Drugi koniec drutu uchwytem B połączono sztywno z szalką znajdującą się poniżej poprzeczki statywu. 11-2
Tabela 1 Wartości modułu Younga E, modułu sztywności G (do ćwiczeń 12 i 7) i granicy plastyczności σ s na rozciąganie. Cytowane w literaturze wartości E i G wykazują rozrzut rzędu 10%, wartości σ s mają charakter orientacyjny, gdyż silnie zależą od składu i sposobu obróbki termicznej i mechanicznej materiałów MATERIAŁ E [GPa] G [GPa] σ s [GPa] guma 0,001 0,00002 0,001 ołów 17 5,9 6,4 aluminium 70 26 0,24 (dural) miedź 110 130 38 0,07 mosiądz 100 42 0,3 stal węglowa pospolita 210 220 78 82 0,4 stal węglowa sprężynowa jw. jw. 1,65 diament 1200 480 Rys. 2. Urządzenie do pomiaru modułu Younga metodą statyczną 11-3
Do pomiaru wydłużenia drutu wykorzystano czujnik mikrometryczny D (dokładność 0,01 mm), sprzężony z badanym prętem przy użyciu dźwigni C. Dźwignia podpiera się na wsporniku związanym sztywno z szalką w połowie odległości między osią obrotu a punktem jej styku z czujnikiem. Wydłużenie drutu jest zatem dwukrotnie mniejsze od wartości wskazywanej przez czujnik. Badany drut powinien być możliwie prosty i zawieszony pionowo. Siła rozciągająca drut powstaje przez użycie odważników o masie m, F = mg. Funkcją bezpośrednio mierzoną jest zależność zmian długości l od masy odważników m. Zgodnie z prawem Hooke a funkcja l(m) winna być linią prostą, dla której określić można współczynnik nachylenia a. Ostatecznie wartość modułu Younga obliczamy jako E = g l a S. (11.3) Literatura Podstawy teorii sprężystości przedstawione są we wszystkich podręcznikach, patrz np.: Feynman R.P., Leighton R.B., Sands M.: Feynmana wykłady z fizyki. T. II. Cz. 2. Warszawa, PWN 1970, 2000; Szczeniowski S.: Fizyka doświadczalna. T. I. Warszawa, PWN 1980; Massalski J.M.: Fizyka dla inżynierów. T. I. Warszawa, WNT 1973. Aparatura Statyw do pomiaru z przymocowanym na stałe czujnikiem zegarowym, odważniki, śruba mikrometryczna, przymiar milimetrowy. Wykonanie ćwiczenia 1. Ustawić pionowo statyw przyrządu, regulując głębokość zakręcania nóżek podstawy i obserwując wskazania pionu. 2. Przymiarem liniowym zmierzyć długość drutów stalowego i miedzianego z dokładnością 1 mm. Za pomocą śruby mikrometrycznej zmierzyć średnicę drutów. Pomiar średnicy należy wykonać 10 razy wzdłuż całej długości drutów i obliczyć wartość średnią. 3. Wyznaczyć zależność wydłużenia drutu stalowego od wartości siły rozciągającej. Masę obciążającą zmieniać co 1 kg w granicach od 0 do 10 kg. Pomiar wykonać dla rosnących, następnie dla malejących wartości ciężaru. 4. Wykonać analogiczny pomiar dla drutu miedzianego lub mosiężnego. 11-4
Opracowanie wyników Uwaga ogólna. Ćwiczenie 11 jest zwykle pierwszym, w którym spotykamy się z problemem dopasowania prostej do zbioru punktów doświadczalnych. W celu poznania metod rozwiązania tego problemu wymaga się, by dla jednego przypadku (drut stalowy) wykonać pełne obliczenia metodą najmniejszych kwadratów, natomiast dla drugiego materiału użyć metody graficznej. 1. Sporządzić wykres l(m) dla obu drutów. 2. Dla drutu stalowego metodą najmniejszych kwadratów znaleźć wartość i niepewność współczynnika nachylenia dla prostoliniowej części wykresu. (Początkowa część wykresu może nie być prostoliniowa ze względu na zjawisko prostowania się drutu. Odpowiednich punktów nie należy brać do obliczeń.) 3. Obliczone nachylenie prostej a wykorzystać do obliczenia modułu Younga dla stali. Wartość u(e) obliczyć za pomocą prawa przenoszenia niepewności, biorąc pod uwagę niepewność współczynnika a, długości l i przekroju S. 4. Obliczyć moduł Younga dla drugiego drutu określając a metodą graficzną. 5. Porównać znalezione wartości E z wartościami tablicowymi. 6. Obliczyć wartość maksymalnego naprężenia σ m powstałego w każdym z badanych materiałów. Porównać z wartością granicy plastyczności σ s. 11-5