Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1
2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Punkt - najmniejszy bezwymiarowy obiekt w przestrzeni. Prosta - ślad punktu, który porusza się po najkrótszej drodze łączącej dwa punkty. Płaszczyzna - obiekt geometryczny, który przechodzi przez trzy niewspółliniowe punkty w przestrzeni. Proste równoległe biegną w tym samym kierunku i nie mają żadnego punktu wspólnego. Dr inż. Janusz Dębiński 2
2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Półprosta jest zbiorem dokładnie tych wszystkich punktów prostej, które leżą po ustalonej stronie pewnego wyróżnionego punktu tej prostej, wraz z tym punktem. Punkt ten jest początkiem półprostej. Odcinek jest zbiorem dokładnie tych wszystkich punktów prostej, które leżą pomiędzy dwoma punktami prostej wraz z tymi punktami. Jest on więc najkrótszą drogą łączącą dwa punkty. Dr inż. Janusz Dębiński 3
2.2. Prawoskrętny kartezjański układ współrzędnych Układ współrzędnych w przestrzeni Z Z Z A(x, y, z) O O z x y x, y, z - współrzędne punktu A Dr inż. Janusz Dębiński 4
2.2. Prawoskrętny kartezjański układ współrzędnych Układ współrzędnych na płaszczyźnie x A(x, y) y II O I O III IV Oś - oś odciętych, oś - oś rzędnych. Dr inż. Janusz Dębiński 5
2.3. Kąt płaski Definicja kąta płaskiego b a S α a S α b α >0 α <0 S - wierzchołek kąta, a oraz b - ramiona kąta Dr inż. Janusz Dębiński 6
2.3. Kąt płaski Podstawowe kąty b S a=b b S a S a kąt pełny kąt półpełny kąt prosty b b S a S a S a kąt ostry b kąt wklęsły kąt rozwarty Dr inż. Janusz Dębiński 7
2.3. Kąt płaski Miara stopniowa kąta płaskiego Miara stopniowa kąta płaskiego opiera się na podziale kąta pełnego na 360 stopni. Stopień następnie dzieli się na 60 ' (minut), natomiast minutę na 60'' (sekund). 1 O ma więc 3600''. Sekundy dzieli się w sposób dziesiętny. Możliwy jest podział stopnia w sposób dziesiętny. Dr inż. Janusz Dębiński 8
2.3. Kąt płaski Miara łukowa kąta płaskiego A L B R α R O A R R O α =1 rad R B Obwód okręgu U =2 R Długość łuku L=R = 180 = 180 1 rad = 57 O 17'44,8'' = 57,2957 O Dr inż. Janusz Dębiński 9
2.3. Kąt płaski Nazwa kąta Miara stopniowa Miara łukowa ostry o 90 o 2 prosty rozwarty półpełny o =90 o 90 o o 180 o o =180 o = 2 2 = wklęsły 180 o o 360 o 2 pełny o =360 o =2 Dr inż. Janusz Dębiński 10
2.3. Kąt płaski Kąty przyległe i wierzchołkowe b β γ δ α a Kąty przyległe (α, β) (β, γ) (γ, δ) (δ, α) Kąty wierzchołkowe (α, γ) (β, δ) Dr inż. Janusz Dębiński 11
2.3. Kąt płaski Kąty naprzemianległe i odpowiadające c β 1 α 1 γ 1 δ 1 a Kąty naprzemianległe (α 1, γ 2 ) (β 1, δ 2 ) (α 2, γ 1 ) (β 2, δ 1 ) Kąty odpowiadające (α 1, α 2 ) (β 1, β 2 ) (γ 1, γ 2 ) (δ 1, δ 2 ) β 2 α 2 b γ 2 δ 2 Dr inż. Janusz Dębiński 12
2.4. Podstawowe twierdzenia geometrii Trójkąt prostokątny α c β a b γ α c a γ β b a+b > c b+c > a c+a > b a, b - przyprostokątne c - przeciwprostokątna P= 1 2 a b Twierdzenie Pitagorasa a 2 b 2 =c 2 Dr inż. Janusz Dębiński 13
2.4. Podstawowe twierdzenia geometrii Twierdzenie Talesa P 1 Q 1 P 2 S S Q 1 P 2 Q 2 P 1 Q 2 a b a b SP 1 SQ 1 = SP 2 SQ 2 SP 1 SQ 1 = P 1 P 2 Q 1 Q 2 Dr inż. Janusz Dębiński 14
2.5. Definicje funkcji trygonometrycznych Definicje na okręgu O α A B sin = AB OB cos = OA OB tg = AB OA ctg = OA AB Dr inż. Janusz Dębiński 15
2.5. Definicje funkcji trygonometrycznych Definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym c β b sin = b c sin = a c α a γ cos = a c cos = b c tg = b a tg = a b ctg = a b ctg = b a Dr inż. Janusz Dębiński 16
2.5. Definicje funkcji trygonometrycznych Znaki funkcji trygonometrycznych Ćwiartka I II III IV sin(α) cos(α) tg(α) ctg(α) Dr inż. Janusz Dębiński 17
2.5. Definicje funkcji trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne kąta ujemnego sin = sin cos =cos tg = tg ctg = ctg Dr inż. Janusz Dębiński 18
2.5. Definicje funkcji trygonometrycznych Wartości funkcji trygonometrycznych Miara stopniowa Miara łukowa sin(α) cos(α) tg(α) ctg(α) 0 30 45 60 90 0 6 4 1 2 3 0 1 2 2 2 1 0 3 2 3 3 2 2-3 1 3 1 2 1 3-3 3 2 0 0 Dr inż. Janusz Dębiński 19
2.6. Funkcje Definicja funkcji Załóżmy, że x i y są dwiema zmieniającymi się wielkościami, przy czym każdej wartości x przyporządkowujemy co najwyżej jedną wartość y. Mówimy wówczas, że y jest funkcją x y= f x x - zmienna niezależna albo argument funkcji y - zmienna zależna. Wszystkie wartości x, którym przyporządkowujemy wartości y nazywamy dziedziną funkcji. Daną funkcję przedstawiamy w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą zbioru punktów o współrzędnych (x, y), który nazywamy wykresem funkcji. Dr inż. Janusz Dębiński 20
2.6. Funkcje Funkcja rosnąca Jeżeli dla x 2 >x 1 funkcja spełnia warunek f(x 2 )>f(x 1 ). f(x 2 ) f(x 1 ) x 1 x 2 Dr inż. Janusz Dębiński 21
2.6. Funkcje Funkcja malejąca Jeżeli dla x 2 >x 1 funkcja spełnia warunek f(x 1 )>f(x 2 ). f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 Dr inż. Janusz Dębiński 22
2.6. Funkcje Ciągłość funkcji Funkcja ciągła - przy niewielkich zmianach argumentu x wartości funkcji y zmieniają się także bardzo mało. Wykresem takiej funkcji jest linia ciągła. Przy pewnych wartościach x funkcja może nie być ciągła i wtedy wykres funkcji ma przerwę. Wartości argumentu x, przy których to zachodzi nazywamy punktami nieciągłości funkcji. Dr inż. Janusz Dębiński 23
2.6. Funkcje Funkcja prawo- i lewostronnie ciągła Skończony skok f(x) Dr inż. Janusz Dębiński 24
2.6. Funkcje Pochodna funkcji Pochodną funkcji f(x) jest nowa funkcja zmiennej x, która przyporządkowuje jej wartość ilorazu różnicowego, to znaczy stosunek przyrostu y do odpowiadającego mu przyrostu x przy x dążącym do zera. y f(x) x y '= dy dx = f ' x = d f x dx Dr inż. Janusz Dębiński 25
2.6. Funkcje Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji Styczna jest to prosta, która posiada jeden punkt wspólny z wykresem funkcji. Interpretacją geometryczną pochodnej funkcji f(x) w punkcie o odciętej równej a jest tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji f(x) w tym punkcie. f(a) f(x) α f ' a =tg α a Dr inż. Janusz Dębiński 26
2.6. Funkcje Właściwości pochodnej funkcji [ f x g x h x ] ' = f ' x g ' x h' x [a f x ] ' =a f ' x Dr inż. Janusz Dębiński 27
2.6. Funkcje Pochodna prawo- i lewostronna Jeżeli w jakimś punkcie nie możemy policzyć pochodnej funkcji, ale możemy ją policzyć nieskończenie blisko z lewej i prawej strony tego punktu, to takie pochodne nazywamy pochodną lewostronną i prawostronną. Funkcja posiada wtedy punkt kątowy. f(x) α 1 a α 2 f ' a 0 =tg 1 f ' a 0 =tg 2 Dr inż. Janusz Dębiński 28
2.6. Funkcje Funkcja rosnąca Niech f(x) będzie funkcją ciągłą w pewnym przedziale i posiadającą ciągłą przynajmniej pierwszą pochodną w każdym punkcie tego przedziału. Aby funkcja ta była rosnąca w tym przedziale, warunkiem koniecznym i wystarczającym jest f ' x 0 f(x) α Dr inż. Janusz Dębiński 29
2.6. Funkcje Funkcja malejąca Niech f(x) będzie funkcją ciągłą w pewnym przedziale i posiadającą ciągłą przynajmniej pierwszą pochodną w każdym punkcie tego przedziału. Aby funkcja ta była malejąca w tym przedziale, warunkiem koniecznym i wystarczającym jest f ' x 0 f(x) α Dr inż. Janusz Dębiński 30
2.6. Funkcje Ekstremum funkcji Funkcja f(x) z dziedziną D ma w punkcie a maksimum absolutne lub globalne, jeżeli dla wszystkich zmiennych x należących do dziedziny f a f x Funkcja f(x) ma w punkcie a maksimum względne lub lokalne, jeżeli nierówność powyższa jest prawdziwa w pewnym otoczeniu punktu a. Dr inż. Janusz Dębiński 31
2.6. Funkcje Ekstremum funkcji Funkcja f(x) z dziedziną D ma w punkcie a minimum absolutne lub globalne, jeżeli dla wszystkich zmiennych x należących do dziedziny f a f x Funkcja f(x) ma w punkcie a minimum względne lub lokalne, jeżeli nierówność powyższa jest prawdziwa w pewnym otoczeniu punktu a. Dr inż. Janusz Dębiński 32
2.6. Funkcje Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji Dla funkcji ciągłych maksimum lub minimum lokalne może być tylko w tych punktach, w których pochodna funkcji równa się zero, lub w ogóle nie istnieje. W miejscu maksimum lub minimum lokalnego styczna jest równoległa do osi lub do osi, lub w tym miejscu jest punkt kątowy. f(x) f(x) f(x) Dr inż. Janusz Dębiński 33
2.6. Funkcje Warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji Mówi on, że pochodna funkcji musi zmieniać znak przy przejściu przez punkt, w którym funkcja może mieć ekstremum. f'(x)=0 E f'(x)>0 f(x) f'(x)<0 f(x) f'(x)<0 E f'(x)=0 f'(x)>0 Dr inż. Janusz Dębiński 34
2.6. Funkcje Funkcja liniowa Postać funkcji liniowej f x =a x b a - współczynnik kierunkowy prostej Miejsce zerowe x 0 = b a Dr inż. Janusz Dębiński 35
2.6. Funkcje Funkcja liniowa Pochodna funkcji liniowej f ' x =a Aby jednoznacznie narysować wykres funkcji liniowej należy wyznaczyć jej wartości w dwóch dowolnych punktach. Dr inż. Janusz Dębiński 36
2.6. Funkcje Funkcja liniowa a>0, b>0 a>0, b<0 a<0, b>0 a<0, b<0 a>0, b=0 a<0, b=0 a=0, b>0 a=0, b<0 Dr inż. Janusz Dębiński 37
2.6. Funkcje Funkcja kwadratowa Postać funkcji kwadratowej f x =a x 2 b x c Współczynnik a musi być różny od zera. Wykresem tej funkcji jest krzywa, którą nazywamy parabolą. Jeżeli współczynnik a>0, to brzuszek paraboli skierowany jest w dół, jeżeli a<0, to brzuszek paraboli skierowany jest do góry. Dr inż. Janusz Dębiński 38
2.6. Funkcje Funkcja kwadratowa O ilości miejsc zerowych funkcji kwadratowej decyduje wyróżnik, który ma następującą postać =b 2 4 a c Jeżeli jest on ujemny, to funkcja kwadratowa nie posiada miejsc zerowych. Jeżeli równy jest on zero, to funkcja kwadratowa posiada jedno miejsce zerowe o odciętej równej x 0 = b 2 a Dr inż. Janusz Dębiński 39
2.6. Funkcje Funkcja kwadratowa Jeżeli jest on dodatni, to funkcja kwadratowa posiada dwa miejsca zerowe o odciętych równych x 01 = b 2 a x 02 = b 2 a Dr inż. Janusz Dębiński 40
2.6. Funkcje Funkcja kwadratowa Pochodna funkcji kwadratowej f ' x =2 a x b Funkcja kwadratowa posiada jedno ekstremum. Znajduje się ono w punkcie o odciętej równej x ext = b 2 a Aby jednoznacznie narysować wykres funkcji kwadratowej należy wyznaczyć jej wartości w trzech dowolnych punktach. Dr inż. Janusz Dębiński 41
2.6. Funkcje Funkcja kwadratowa f(x)=a x 2 +b x+c x ext E f'(x)=2 a x+b E f'(x)=2 a x+b x ext f(x)=a x 2 +b x+c Dr inż. Janusz Dębiński 42
2.6. Funkcje Funkcja kwadratowa a>0, <0 a>0, =0 a>0, >0 a<0, <0 a<0, =0 a<0, >0 Dr inż. Janusz Dębiński 43
2.7. Macierze Definicja macierzy Macierzą A wymiaru m n nazywamy m n elementów, będących liczbami rzeczywistymi, tworzących tablicę, która składa się z m wierszy i n kolumn. a 11 a 12 a 1n a A=[ 21 a 22 a 2 n a m1 a m2 a mn] Dr inż. Janusz Dębiński 44
2.7. Macierze Macierz kwadratowa Jeżeli liczba kolumn równa się liczbie wierszy, to taką macierz nazywamy macierzą kwadratową. A=[a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2 n a n1 a n 2 a nn] Dr inż. Janusz Dębiński 45
2.7. Macierze Wektor kolumnowy Macierzą wymiaru n 1 nazywamy wektorem kolumnowym. a=[a 1 a 2 a n] Dr inż. Janusz Dębiński 46
2.7. Macierze Wyznacznik macierzy Każdej macierzy kwadratowej możemy jednoznacznie przyporządkować pewną liczbę, którą nazywamy wyznacznikiem n-tego stopnia macierzy. det A= a 11 a 12 a 1 n a 21 a 22 a 2n a n1 a n 2 a nn Dr inż. Janusz Dębiński 47
2.7. Macierze Wyznacznik macierzy Wyznacznik drugiego stopnia obliczymy ze wzoru a 11 a 12 a 21 a 22 =a 11 a 22 a 12 a 21 Dr inż. Janusz Dębiński 48
2.7. Macierze Wyznacznik macierzy Wyznacznik trzeciego stopnia obliczymy z zastosowaniem reguły Sarrusa, która ma postać a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a11 a12 a 31 a 32 a 33 a 21 a 22 a 31 a 32 a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 =a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 a 31 a 22 a 13 a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a 12 Dr inż. Janusz Dębiński 49
2.7. Macierze Iloczyn macierzy Iloczyn dwóch macierzy A i B jest dobrze określony jedynie w przypadku, kiedy liczba kolumn pierwszej macierzy równa się liczbie wierszy drugiej macierzy. Wymiar macierzy wynikowej - [n m] [m k] = [n k] C=A B A=[ a 11 a 12 a 11 b 12 b 13 b 14 13 a 21 a 22 a 23] B=[b b 21 b 22 b 23 b [2 4] 24 b 31 b 32 b 33 b 34] [2 3] C=[ c 11 c 12 c 13 c 14 [3 4] c 21 c 22 c 23 c 24] Dr inż. Janusz Dębiński 50
2.7. Macierze Iloczyn macierzy Iloczyn macierzy wyznaczamy z pomocą schematu Falcka. Element c 11 macierzy C wyznaczymy sumując iloczyny elementów pierwszego wiersza macierzy A i pierwszej kolumny macierzy B. A=[ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23] B=[b 11 b 12 b 13 b 14 b 21 b 22 b 23 b 24 b 31 b 32 b 33 b 34] c 11 =a 11 b 11 a 12 b 21 a 13 b 31 C=[ c 11 c 12 c 13 c 14 c 21 c 22 c 23 c 24] Dr inż. Janusz Dębiński 51
2.7. Macierze Iloczyn macierzy Element c 23 macierzy C wyznaczymy sumując iloczyny elementów drugiego wiersza macierzy A i trzeciej kolumny macierzy B. A=[ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23] B=[b 11 b 12 b 13 b 14 b 21 b 22 b 23 b 24 b 31 b 32 b 33 b 34] c 23 =a 21 b 13 a 22 b 23 a 23 b 33 C=[ c 11 c 12 c 13 c 14 c 21 c 22 c 23 c 24] Dr inż. Janusz Dębiński 52
2.7. Macierze Wyrażenie algebraiczne i tożsamość algebraiczna Wyrażeniem algebraicznym nazywamy jedną lub całą grupę wielkości algebraicznych: liczb, symboli literowych, połączonych znakami +, itd. oraz różnego rodzaju nawiasami. Nawiasy pozwalają ustalić kolejność wykonywania działań arytmetycznych. 2 a 3 x y 3 [1 2 z t 1 1 u ] 2 s Tożsamością algebraiczną nazywamy taką równość dwóch wyrażeń algebraicznych, że po wstawieniu dowolnych wartości liczbowych w miejsce symboli literowych równość jest prawdziwa. a b=b a Dr inż. Janusz Dębiński 53
2.7. Macierze Równanie Równaniem nazywamy taką równość dwóch wyrażeń algebraicznych, że po wstawieniu w miejsce symboli literowych wartości liczbowych z pewnego określonego zakresu jest ono spełnione. Dla jednej zmiennej możemy równanie zapisać w postaci g x = f x Zmienną x występującą w tym równaniu nazywamy niewiadomą, a jej szczególne wartości x 1, x 2,..., x n nazywamy pierwiastkami równania. Dr inż. Janusz Dębiński 54
2.7. Macierze Równanie liniowe i układ równań liniowych Równaniem liniowym z jedną niewiadomą nazywamy równanie w postaci a x b=0 Układ n równań liniowych z n niewiadomymi {a11 x1 a12 x 2 a1 n xn=a1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n =a 2 a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n =a n Dr inż. Janusz Dębiński 55
2.7. Macierze Układ równań liniowych Wykorzystując iloczyn macierzy układ równań możemy zapisać tym samym w postaci A x=a {a11 x1 a12 x 2 a1 n xn=a1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n =a 2 a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n =a n w której macierz A nazywamy macierzą główną układu równań. 11 a 12 a 1n a A=[a 21 a 22 a 2 n x x=[x1 2 a n1 a n 2 a nn] n] x a=[a1 a 2 a n] Dr inż. Janusz Dębiński 56
2.7. Macierze Układ równań liniowych 11 a 12 a 1n a A=[a 21 a 22 a 2 n x x=[x1 2 a n1 a n 2 a nn] n] x a=[a1 a 2 a n] Rozpatrujemy tylko układy równań, w których przynajmniej jeden element wektora a jest różny od zera. Układy takie nazywamy układami równań niejednorodnych. Aby miał on rozwiązanie wyznacznik z macierzy głównej A musi być różny od zera. Dr inż. Janusz Dębiński 57
2.7. Macierze Układ równań liniowych - metoda Cramera 11 a 12 a 1n a A=[a 21 a 22 a 2 n x x=[x1 2 a n1 a n 2 a nn] n] x a=[a1 a 2 a n] 11 a 12 a 1 n a D= a 21 a 22 a 2n a n1 a n 2 a nn 1 a 12 a 1n a12 a1 a D 1 = a 2 a 22 a 2 n a a n a n 2 a nn D 21 a 22 a 2 n= a11 a n 1 a n 2 a n x 1 = D 1 D x n = D n D, Dr inż. Janusz Dębiński 58
2.8. Wektory Definicja wektora Wielkości charakteryzowane jedynie liczbami rzeczywistymi nazywamy skalarami. Przykładem wielkości skalarnej są: masa, temperatura, energia, moc. Wektorem nazywamy wielkość, do której pełnego opisu oprócz wartości liczbowej konieczne jest określenie kierunku oraz zwrotu w przestrzeni. Przykładem wielkości wektorowej jest prędkość. Wektor prędkości jest styczny do toru ruchu ciała. Dr inż. Janusz Dębiński 59
2.8. Wektory Definicja wektora Do ilościowego opisu wektora służą: 1. zwrot wektora określany poprzez podanie punktu początkowego A oraz końcowego B 2. długość wektora czyli długość odcinka AB 3. kierunek wektora określany przez prostą, na której znajdują się punkty A i B. Dr inż. Janusz Dębiński 60
2.8. Wektory Wektor biegunowy Wektory biegunowe służą do opisu wielkości określonych przez liczbę rzeczywistą, kierunek i zwrot. a B A Dr inż. Janusz Dębiński 61
2.8. Wektory Wektor osiowy Wektory osiowe służą do opisu wielkości, które dodatkowo wymagają określenia kierunku obrotu. Zwrot wektora osiowego jest zgodny z kierunkiem przesuwu śruby prawoskrętnej kręcącej się zgodnie z obrotem danej wielkości, a jego kierunek jest prostopadły do płaszczyzny, na której działa dana wielkość. B A a a A B Dr inż. Janusz Dębiński 62
2.8. Wektory Równość wektorów Mówimy, że dwa wektory biegunowe lub osiowe a i b są równe, jeżeli mają te same długości, kierunki i zwroty. Wektory przeciwne mają z kolei tą samą długość oraz kierunek, ale przeciwne zwroty. W przypadku wektorów osiowych przeciwny zwrot oznacza, że wektory te kręcą się w przeciwnych kierunkach. Dr inż. Janusz Dębiński 63
2.8. Wektory Typy wektorów Wektor swobodny jest to taki wektor, który nie zmienia swoich właściwości, to znaczy długości, kierunku i zwrotu, przy dowolnym równoległym przesunięciu w przestrzeni niezależnie do tego, gdzie umieścimy jego punkt początkowy. Jeżeli właściwości wektora związane są z pewnym punktem, to wektor taki nazywamy wektorem związanym. Wektor ślizgający jest to wektor, który można przesuwać wzdłuż prostej pokrywającej się z jego kierunkiem działania. Wektorem zerowym nazywamy wektor o długości zero. Jego punkty początkowy i końcowy pokrywają się. Nie potrafimy ponadto określić jednoznacznie jego kierunku. Dr inż. Janusz Dębiński 64
2.8. Wektory Iloczyn skalara i wektora Jeżeli mnożymy dany wektor a przez skalar s, to taki nowy wektor ma ten sam kierunek, natomiast jego długość jest równa iloczynowi wartości s przez długość wektora a. Zwrot nowego wektora zależy od wartości skalara. Jeżeli s>0, to zwrot nowego wektora jest taki sam jak zwrot wektora a. Jeżeli s<0, to zwrot ten jest przeciwny do zwrotu wektora a. Dr inż. Janusz Dębiński 65
2.8. Wektory Suma wektorów Sumą dwóch wektorów jest wektor c, którego kierunek przechodzi przez punkt przecięcia się kierunków wektorów a i b. Długość wektora c jest przekątną równoległoboku, którego bokami są wektory a oraz b. Zwrot wektora c zależy od zwrotów wektorów a i b. Dodawanie dwóch wektorów jest działaniem przemiennym, czyli zachodzi związek a b=b a=c Dr inż. Janusz Dębiński 66
2.8. Wektory Suma wektorów b b c b c a a a Dr inż. Janusz Dębiński 67
2.8. Wektory Suma wektorów b c b a a c b a Dr inż. Janusz Dębiński 68
2.8. Wektory Iloczyn skalarny wektorów Iloczynem skalarnym dwóch wektorów a oraz b nazywamy skalar, który ma wartość a b= a b cos a α b Dr inż. Janusz Dębiński 69
2.8. Wektory Iloczyn wektorowy wektorów Mnożenie wektorowe jest działaniem, które dwóm wektorom a i b przyporządkowuje ich iloczyn wektorowy a b=c którym jest wektor c prostopadły do wektorów a i b. Zwrot wektora c pokrywa się z kierunkiem przesuwu śruby prawoskrętnej, która kręci się od wektora a do wektora b. Długość wektora c wyznaczamy z zależności c = a b sin Dr inż. Janusz Dębiński 70
2.8. Wektory Iloczyn wektorowy wektorów a b=c c b α a Dr inż. Janusz Dębiński 71
2.8. Wektory Iloczyn wektorowy wektorów b a= c b α a c Iloczyn wektorowy nie jest działaniem przemiennym, zachodzi zależność a b= b a Dr inż. Janusz Dębiński 72
2.8. Wektory Warunek prostopadłości i równoległości dwóch wektorów Na podstawie definicji iloczynu skalarnego możemy stwierdzić, że dwa wektory są do siebie prostopadłe, jeżeli ich iloczyn skalarny wynosi zero. Jest to więc warunek prostopadłości dwóch wektorów. Jeżeli iloczyn wektorowy dwóch wektorów wynosi zero, to wektory te są do siebie równoległe. Jest to zatem warunek równoległości dwóch wektorów. Dr inż. Janusz Dębiński 73