WYKŁAD 9 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd.
Było: Przykład 1. Badano krąŝek o wymiarach zbliŝonych do monety jednozłotowej ze stronami oznaczonymi: A, B. NaleŜy ustalić, czy krąŝek jest symetryczny? (w wyniku rzutów tym krąŝkiem z jednakową częstością będzie pojawiać się kaŝda ze stron). Wykonano n = 10 rzutów, otrzymano k A = wyników A. Cecha X liczba wyników A, X ~ B(n=10; p), p- nieznane. Hipoteza zerowa H 0 : p = 0,5 Poziom istotności α = 0,05; obszar krytyczny dla hipotezy: { 0, 1,, 8, 9, 10}; wniosek statystyczny: hipotezę zerową odrzucamy; wniosek merytoryczny: krąŝek nie jest symetryczny.
ZałoŜenia: 1. cecha X ~ N(µ, σ ), µ, σ - nieznane parametry,. próba losowa: x 1, x,...x n ; n liczebność próby; H 0 : µ = µ 0 (porównanie z normą), test t-studenta; poziom istotności α. x µ Funkcja testowa: t emp = 0 n s Wnioskowanie 1: jeŝeli t emp > t α, n-1, to hipotezę H 0 odrzucamy, w przeciwnym przypadku H 0 nie moŝna odrzucić. Wnioskowanie (równowaŝne z wnioskowaniem 1): jeŝeli wartość p < α, to hipotezę H 0 odrzucamy, w przeciwnym przypadku H 0 nie moŝna odrzucić.
Przykład. Cecha X masa owocu pewnej odmiany. ZałoŜenie: X ~ N(µ, σ ), gdzie µ, σ nieznane. Hipoteza zerowa H 0 : µ = 00, test t-studenta, poziom istotności α = 0,05. Próba: 191,; 193,0; 195,1; 184,3; 197,6; 00,8; 194,; 198,7; 189,5; 00,; n=10; parametry próby: x = 194, 46 g, s = 5,19 g. Wartość empiryczna funkcji testowej x µ 0 194, 46 00 t emp = n = 10 = 3, 3755 s 519,. Wartość krytyczna funkcji testowej t α,n-1 = t 0,05, 9 =,6. Wniosek statystyczny): t emp =3,3375>,6 = t 0,05,9, zatem hipotezę zerową H 0 odrzucamy. Wniosek merytoryczny: nie moŝna przyjąć, Ŝe średnia masa owocu tej odmiany wynosi 00 g.
Uwaga 1...ODRZUCIĆ / NIE ODRZUCIĆ Uwaga... HIPOTEZY: ZEROWA ALTERNATYWNA
Przykład. 3. Średnia zawartość skrobi w bulwach ziemnaków w pewnym rejonie uprawy kształtuje się na poziomie 18%. Hodowca nowej odmiany twierdzi, Ŝe zawartość skrobi u tej odmiany jest mniejsza niŝ 18%. Pobrano 10-elementową próbę, w której średnia wyniosła 16%, a odchylenie standardowe 3%. Zweryfikuj odpowiednią hipotezę na poziomie istotności 0,05. Przyjmij, Ŝe zawartość skrobi ma rozkład normalny z nieznanymi parametrami.
ZałoŜenia: 1. cecha X ~ N(µ, σ ), µ, σ - nieznane parametry,. próba losowa: x 1, x,...x n ; n liczebność próby; H 0 : µ = µ 0 (porównanie z normą), test t-studenta; poziom istotności α. x µ Funkcja testowa: t emp = 0 n s H 0 odrzucamy, gdy: H 1 : µ > µ 0, t emp > t α, n-1 ; H 1 : µ < µ 0, t emp < -t α, n-1 ; H 1 : µ µ 0, t emp > t α, n-1. w przeciwnym przypadku H 0 nie moŝna odrzucić.
Błędy wnioskowania o prawdziwości hipotezy zerowej Stan rzeczywisty Wniosek odrzucić H 0 nie odrzucać H 0 H 0 prawdziwa błąd I rodzaju, pstwo = α wniosek prawidłowy H 0 nieprawdziwa (fałszywa) wniosek prawidłowy błąd II rodzaju, pstwo = β Błąd I rodzaju - błąd wnioskowania polegający na odrzuceniu hipotezy zerowej, która jest prawdziwa; pstwo wystąpienia tego błędu powinno być małe, np. α = 0,05 lub α = 0,01; α - poziom istotności testu. Błąd II rodzaju - błąd wnioskowania polegający na nieodrzuceniu hipotezy zerowej, która jest fałszywa. Uwaga 3...
ZałoŜenia: 1. cecha X 1 ~N(µ 1, σ ), cecha X ~N(µ, σ ), µ 1, µ, σ - nieznane parametry,. pobrano n 1 elementową próbę losową z pierwszej populacji oraz n -elementową próbę losową z drugiej populacji. H 0 : µ 1 = µ (porównanie średnich w dwóch populacjach), test t-studenta, poziom istotności α. x1 x Funkcja testowa: temp = s gdzie: 1 1 s = r se + n1 n błąd stand. róŝnicy średnich, ( n 1) + s ( n 1) r s1 1 s e = n1 + n wspólna wariancja Wnioskowanie 1: jeŝeli t emp >t α,n1+n-, to hipotezę H 0 odrzucamy, w przeciwnym przypadku H 0 nie moŝna odrzucić. Wnioskowanie : jeŝeli p<α, to hipotezę H 0 odrzucamy, w przeciwnym przypadku H 0 nie moŝna odrzucić.
ZałoŜenia: 1. cecha X 1 ~N(µ 1, σ 1 ), cecha X ~N(µ, σ ), µ 1, µ, σ 1, σ - nieznane parametry,. pobrano n 1 elementową próbę losową z pierwszej populacji oraz n elementową próbę losową z drugiej populacji. H 0 : σ 1 = σ (porównanie wariancji w dwóch populacjach), test F-Fishera, poziom istotności α. max ( s, s ) 1 F Funkcja testowa: emp = min ( s, s ) Wnioskowanie 1: jeŝeli F emp > F α/, v licz, v mian, to hipotezę H 0 odrzucamy, w przeciwnym przypadku H 0 nie moŝna odrzucić. UWAGA: v licz liczba stopni swobody dla licznika, v mian - liczba stopni swobody dla mianownika, v i = n i 1. Wnioskowanie : jeŝeli wartość p<α, to hipotezę H 0 odrzucamy, w przeciwnym przypadku H 0 nie moŝna odrzucić. 1
ZałoŜenia: 1. cecha X 1 ma rozkład dwupunktowy z nieznanym parametrem p 1,. cecha X ma rozkład dwupunktowy z nieznanym parametrem p, 3. pobrano n 1 elementową próbę losową z pierwszej populacji oraz n elementową próbę losową z drugiej populacji, k i liczba elementów k i k1 + k wyróŝnionych w i-tej próbie; p i =, p = n + n. n i 1 H 0 : p 1 = p (porównanie frakcji w dwóch populacjach), test przybliŝony u (dla duŝych prób), poziom istotności α. p1 p uemp = Funkcja testowa: 1 1 ( ) p 1 p + n1 n Wnioskowanie: jeŝeli u emp u w przeciwnym przypadku H 0 nie moŝna odrzucić. α 1, to hipotezę H 0 odrzucamy,
Przykład. Porównywano odmiany bobiku A oraz B pod względem średniej liczby nasion w strąku. Otrzymano wyniki: x A = 4,05, s A =, 89, n = 0, x B = 3, 53, s B =, 981, n = 15. A Zweryfikuj odpowiednią hipotezę na poziomie istotności 0,05. Przyjmij, Ŝe badane cechy mają niezaleŝne rozkłady normalne z jednakowymi wariancjami. Wartości krytyczne rozkładu t-studenta X ~ t ν - X zmienna losowa o rozkładzie t-studenta z liczbą stopni swobody v, α - poziom istotności, t α, ν - wartość krytyczna - liczba taka, Ŝe P( X > t α, ν ) = α B ν \ α 0,400 0,300 0,00 0,100 0,050 0,05 0,05 0,010 0,005 0,001 1 1,3764 1,966 3,0777 6,3137 1,706 5,4519 5,4519 63,6559 17,311 636,5776 : 6 0,8557 1,0575 1,3150 1,7056,0555,3788,3788,7787 3,0669 3,7067 7 0,8551 1,0567 1,3137 1,7033,0518,3734,3734,7707 3,0565 3,6895 8 0,8546 1,0560 1,315 1,7011,0484,3685,3685,7633 3,0470 3,6739 9 0,854 1,0553 1,3114 1,6991,045,3638,3638,7564 3,0380 3,6595 30 0,8538 1,0547 1,3104 1,6973,043,3596,3596,7500 3,098 3,6460 35 0,850 1,050 1,306 1,6896,0301,340,340,738,9961 3,5911 40 0,8507 1,0500 1,3031 1,6839,011,389,389,7045,971 3,5510 45 0,8497 1,0485 1,3007 1,6794,0141,3189,3189,6896,951 3,503 50 0,8489 1,0473 1,987 1,6759,0086,3109,3109,6778,9370 3,4960 55 0,848 1,0463 1,971 1,6730,0040,3044,3044,668,947 3,4765 60 0,8477 1,0455 1,958 1,6706,0003,990,990,6603,9146 3,460
Przykład. Z dwóch zbiorników wodnych pobrano siedmioelementowe próbki wody do analizy gęstości fitoplanktonu na podstawie koncentracji 1, zielononiebieskich alg. Otrzymano wyniki: 6 9495, s =, s = 40 148. Na poziomie istotności 0,1 zweryfikuj hipotezę o jednakowej zmienności fitoplanktonu w obu zbiornikach wobec hipotezy alternatywnej zakładającej, Ŝe zmienność jest róŝna. Przyjmij, Ŝe gęstości mają niezaleŝne rozkłady normalne. Wartości krytyczne rozkładu F-Snedecora X ~ F ν1, ν - X zmienna losowa o rozkładzie F- Snedecora z liczbami stopni swobody (ν1, ν) poziom istotności α =0,05, F α, ν1, ν - wartość krytyczna - liczba taka, Ŝe P(X > F α, ν1, ν ) = α v1 v 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 1 161,446 199,499 15,707 4,583 30,160 33,988 36,767 38,884 40,543 41,88 4,981 43,905 44,690 45,363 45,949 18,513 19,000 19,164 19,47 19,96 19,39 19,353 19,371 19,385 19,396 19,405 19,41 19,419 19,44 19,49 3 10,18 9,55 9,77 9,117 9,013 8,941 8,887 8,845 8,81 8,785 8,763 8,745 8,79 8,715 8,703 4 7,709 6,944 6,591 6,388 6,56 6,163 6,094 6,041 5,999 5,964 5,936 5,91 5,891 5,873 5,858 5 6,608 5,786 5,409 5,19 5,050 4,950 4,876 4,818 4,77 4,735 4,704 4,678 4,655 4,636 4,619 6 5,987 5,143 4,757 4,534 4,387 4,84 4,07 4,147 4,099 4,060 4,07 4,000 3,976 3,956 3,938
Przykład. W dwóch dzielnicach miasta przeprowadzono ankietę na temat sortowania odpadków w gospodarstwach domowych. Otrzymano następujące wyniki: w pierwszej na 10 ankietowanych gospodarstw w 55 sortowano odpadki, natomiast w drugiej na 130 gospodarstw w 51 sortowano odpadki. Na poziomie istotności 0,01 zweryfikuj hipotezę o jednakowej frakcji gospodarstw sortujących odpadki w obu miastach. Dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego X zmienna losowa, f(x) funkcja gęstości, F(x) dystrybuanta X~N (0, 1), f (x) x 1 = e, F(x)= π x f (t) dt x 0,00 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,539 0,5790 0,53188 0,53586 :,0 0,9775 0,97778 0,97831 0,9788 0,9793 0,9798 0,98030 0,98077 0,9814 0,98169,1 0,9814 0,9857 0,98300 0,98341 0,9838 0,984 0,98461 0,98500 0,98537 0,98574, 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899,3 0,9898 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158,4 0,99180 0,990 0,994 0,9945 0,9966 0,9986 0,99305 0,9934 0,99343 0,99361,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,99477 0,9949 0,99506 0,9950,6 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,9961 0,9963 0,99643,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,9970 0,99711 0,9970 0,9978 0,99736,8 0,99744 0,9975 0,99760 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807