Modelowanie Stochastyczne I

Losowe gry liczbowe - TOTOLOTEK Paweł Cibis pcibis@o2.pl 11 stycznia 2006

1 Plan referatu 2 Informacje ogólne 3 4 Dlaczego ludzie grają w totka? Wartość oczekiwana gry Teoria użyteczności Teoria perspektywy 5 Dobór liczb Systemy 6 Literatura

Totalizator Informacje ogólne

Totalizator Sportowy Totalizator Sportowy sp. z o.o. ze 100% udziałem Skarbu Państwa. Na podstawie Ustawy o grach i zakładach wzajemnych Totalizator Sportowy realizuje monopol Państwa w dziedzinie gier liczbowych i loterii pieniężnych.

Totalizator Sportowy Totalizator Sportowy sp. z o.o. ze 100% udziałem Skarbu Państwa. Na podstawie Ustawy o grach i zakładach wzajemnych Totalizator Sportowy realizuje monopol Państwa w dziedzinie gier liczbowych i loterii pieniężnych. Na wygraną przeznacza się 50% kwot wpłaconych stawek za udział w grze. Do wszystkich opłat obowiązuje 25% dopłaty na rozwój kultury fizycznej w kraju oraz promowanie i wspieranie przedsięwzięć kulturalnych.

Podatek Informacje ogólne Jednorazowe wartości wygranych nie przekraczające 2 280 zł wolne od podatku.

Podatek Informacje ogólne Jednorazowe wartości wygranych nie przekraczające 2 280 zł wolne od podatku. Jednorazowye wartości wygranych powyżej 2 280 zł zryczałtowany podatek dochodowy w wysokości 10% wygranej kwoty. Podatek potrącany jest automatycznie przy wypłacie wygranej.

Gry liczbowe prowadzone przez Totalizator Sportowy Duży Lotek Multi Lotek Express Lotek Twój Szczęśliwy Numerek Zakłady Specjalne

Duży Lotek 6 liczb z 49 w zakładach prostych lub od 7 do 12 liczb z 49 w zakładach systemowych koszt zakładu prostego: 1,25 zł brutto koszty zakładów systemowych: od 8,75 do 9240 zł brutto losowanie w każdą środę i sobotę o 21.30 w Polsacie

Multi Lotek 1-10 z 80 liczb, losowanych jest 20 liczb grający wybiera stawkę, za którą chce grać: od 1 zł do 10 zł wysokość opłaty = stawka * 1,25 * ilość zakładów ilość typowanych liczb nie wpływa na koszt zakładu, lecz na wysokość potencjalnej wygranej losowanie codziennie o 21.30 w Polsacie

Express Lotek 5 liczb z 42 w zakładach prostych lub od 6 do 12 liczb z 42 w zakładach systemowych koszt zakładu prostego: 1,25 zł brutto koszty zakładów systemowych: od 7,50 do 7920 zł brutto losowanie w każdą środę i sobotę o 21.30 w Polsacie

Twój Szczęśliwy Numerek losowanie odbywa się na dwóch maszynach losujących 4 liczby z 45 oraz 1 liczba z 36 koszt zakładu prostego: 1,25 zł brutto koszty zakładów systemowych: od 7,50 do 7920 zł brutto wygrana trafienie 1 liczby z 1/36 lub co najmniej 3 z 4/45 losowanie w każdy poniedziałek, wtorek, czwartek i piątek o 21.30 w Polsacie

Zakłady specjalne 5 liczb z 45 tylko zakłady proste koszt zakładu prostego: 1,25 zł brutto zakłady okazjonalne termin losowania ustalany każdorazowo przez Totalizator Sportowy, na ogół w Dzień Dziecka, Nowy Rok, itp.

Wartość oczekiwana gry Teoria użyteczności Teoria perspektywy 1 Plan referatu 2 Informacje ogólne 3 4 Dlaczego ludzie grają w totka? Wartość oczekiwana gry Teoria użyteczności Teoria perspektywy 5 Dobór liczb Systemy 6 Literatura

Blaise Pascal (1623-1662) Wartość oczekiwana gry Teoria użyteczności Teoria perspektywy Zakład Pascala Życie religijne Życie niereligijne Prawdopodobieństwo Bóg istnieje + p Bóg nie istnieje KP 0 1 p

Blaise Pascal (1623-1662) Wartość oczekiwana gry Teoria użyteczności Teoria perspektywy Zakład Pascala EV = n p i w i i=1 Życie religijne Życie niereligijne Prawdopodobieństwo Bóg istnieje + p Bóg nie istnieje KP 0 1 p

Blaise Pascal (1623-1662) Wartość oczekiwana gry Teoria użyteczności Teoria perspektywy Zakład Pascala EV = n p i w i i=1 Życie religijne Życie niereligijne Prawdopodobieństwo Bóg istnieje + p Bóg nie istnieje KP 0 1 p E(życie religijne) = (+ p) + ( KP (1 p)) = + E(życie niereligijne) = ( p) + (0 (1 p)) =

Wartość oczekiwana gry Teoria użyteczności Teoria perspektywy Multi Lotek wysokość wygranej w stosunku do stawki 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 100 000x 9 5 000x 24 000x 8 260x 1 000x 10 000x 7 70x 150x 300x 2 500x 6 6x 20x 30x 100x 600x 5 2x 4x 10x 10x 60x 330x 4 1x 1x 2x 2x 4x 10x 40x 3 1x 1x 2x 4x 26x 2 1x 1x 8x 1 2x

Wartość oczekiwana gry Teoria użyteczności Teoria perspektywy Multi Lotek a rachunek prawdopodobieństwa Niech: stawka = 10 zł koszt gry = 12,5 zł

Wartość oczekiwana gry Teoria użyteczności Teoria perspektywy Multi Lotek a rachunek prawdopodobieństwa Niech: stawka = 10 zł koszt gry = 12,5 zł ilość typowanych liczb E(X ) [zł] P(X > 0) 1 5,0000 0,2500 2 4,8101 0,0601 3 4,9951 0,1526 4 5,0816 0,2589 5 4,8034 0,0967 6 4,9936 0,1616 7 4,9387 0,2366 8 4,9947 0,1023 9 4,9263 0,1531 10 5,0116 0,2120

Wartość oczekiwana gry Teoria użyteczności Teoria perspektywy Multi Lotek a rachunek prawdopodobieństwa Niech: stawka = 10 zł koszt gry = 12,5 zł ilość typowanych liczb E(X ) [zł] P(X > 0) P(X > K) 1 5,0000 0,2500 0,2500 2 4,8101 0,0601 0,0601 3 4,9951 0,1526 0,0139 4 5,0816 0,2589 0,0463 5 4,8034 0,0967 0,0967 6 4,9936 0,1616 0,0318 7 4,9387 0,2366 0,0616 8 4,9947 0,1023 0,1023 9 4,9263 0,1531 0,0389 10 5,0116 0,2120 0,0647

Wartość oczekiwana gry Teoria użyteczności Teoria perspektywy Multi Lotek a rachunek prawdopodobieństwa c.d. Wniosek Jeżeli więc ludzie kierują się wartością oczekiwaną, to nie powinni grać w Multi Lotka, ponieważ nakłady ponoszone na grę są większe niż oczekiwane dochody.

Wartość oczekiwana gry Teoria użyteczności Teoria perspektywy Multi Lotek a rachunek prawdopodobieństwa c.d. Wniosek Jeżeli więc ludzie kierują się wartością oczekiwaną, to nie powinni grać w Multi Lotka, ponieważ nakłady ponoszone na grę są większe niż oczekiwane dochody. Przypuszczenie Może więc ludzie nie kierują się przy podejmowaniu decyzji wartością oczekiwaną wyniku?

Daniel Bernoulli (1700-1782) Wartość oczekiwana gry Teoria użyteczności Teoria perspektywy Paradoks petersburski Gra polega na kolejnych rzutach monetą i kończy się w momencie, gdy wypadnie reszka. Wygrana w grze wynosi 2 n 1 jednostek pieniężnych, gdzie n jest liczbą wykonywanych rzutów. Ile kosztuje udział w grze, jeśli ma ona być grą sprawiedliwą? EV = 1 2 1 + 1 4 2 + 1 8 4 + + i=1 1 2 i 2 i 1 = i=1 1 2 =

Teoria użyteczności Informacje ogólne Wartość oczekiwana gry Teoria użyteczności Teoria perspektywy Obserwacja Bernoulliego Choć teoretycznie za udział w takiej grze powinno się zapłacić dowolnie wysoką kwotę, badani gracze na ogół ograniczali się do co najwyżej kilku jednostek pieniężnych.

Teoria użyteczności c.d. Wartość oczekiwana gry Teoria użyteczności Teoria perspektywy Funkcja użyteczności Funkcja przyporządkowująca wartości pieniężnej wartość użyteczności (satysfakcji, zadowolenia, komfortu psychicznego człowieka).

Teoria użyteczności c.d. Wartość oczekiwana gry Teoria użyteczności Teoria perspektywy Krzywa użyteczności Dla zdecydowanej większości ludzi jest ona: Rosnąca pierwsza pochodna dodatnia(ale w pewnych przypadkach może maleć dla dużych wartości obiektu, którego użyteczność opisuje) Wklęsła malejąca krańcowa użyteczność (druga pochodna ujemna) odzwierciedla ludzką awersję do ryzyka

Teoria użyteczności c.d. Wartość oczekiwana gry Teoria użyteczności Teoria perspektywy Wniosek Człowiek nie dąży do maksymalizacji wartości oczekiwanej wyniku lecz do maksymalizacji jego oczekiwanej użyteczności. EV = m p i U(w i ) i=1

Wartość oczekiwana gry Teoria użyteczności Teoria perspektywy Daniel Kahnemann 1934-, Amos Tversky 1937-1996 Transformacja prawdopodobieństwa Ludzie zawyżają małe prawdopodobieństwa oraz zaniżają duże. Transformacja ta następuje jednak tylko w momencie podejmowania decyzji przedtem i potem człowiek poprawnie kalkuluje szansę na odniesienie zwycięstwa. Gracz maksymalizuje więc oczekiwaną subiektywną wartość transformacji prawdopodobieństwa: EV = n w(p i ) v(o i ) i=1

Teoria perspektywy Informacje ogólne Wartość oczekiwana gry Teoria użyteczności Teoria perspektywy

Teoria perspektywy c.d. Wartość oczekiwana gry Teoria użyteczności Teoria perspektywy

Dobór liczb Systemy 1 Plan referatu 2 Informacje ogólne 3 4 Dlaczego ludzie grają w totka? Wartość oczekiwana gry Teoria użyteczności Teoria perspektywy 5 Dobór liczb Systemy 6 Literatura

Dobór liczb Informacje ogólne Dobór liczb Systemy 5, 14, 27, 16, 39, 45

Dobór liczb Informacje ogólne Dobór liczb Systemy 5, 14, 27, 16, 39, 45 1, 2, 3, 19, 20, 21

Dobór liczb Informacje ogólne Dobór liczb Systemy 5, 14, 27, 16, 39, 45 1, 2, 3, 19, 20, 21 Prawdopodobieństwo uzyskania obu zestawów wynosi 1:13 983 816

Dobór liczb Informacje ogólne Dobór liczb Systemy 5, 14, 27, 16, 39, 45 1, 2, 3, 19, 20, 21 Prawdopodobieństwo uzyskania obu zestawów wynosi 1:13 983 816 Żadna z tych szóstek nigdy jeszcze nie padła.

Dobór liczb Informacje ogólne Dobór liczb Systemy 5, 14, 27, 16, 39, 45 1, 2, 3, 19, 20, 21 Prawdopodobieństwo uzyskania obu zestawów wynosi 1:13 983 816 Żadna z tych szóstek nigdy jeszcze nie padła. Prawdopodobieństwo empiryczne (częstość) wylosowania przynajmniej jednej pary kolejnych liczb wynosi:

Dobór liczb Informacje ogólne Dobór liczb Systemy 5, 14, 27, 16, 39, 45 1, 2, 3, 19, 20, 21 Prawdopodobieństwo uzyskania obu zestawów wynosi 1:13 983 816 Żadna z tych szóstek nigdy jeszcze nie padła. Prawdopodobieństwo empiryczne (częstość) wylosowania przynajmniej jednej pary kolejnych liczb wynosi: dla Dużego Lotka: 0,501

Dobór liczb Informacje ogólne Dobór liczb Systemy 5, 14, 27, 16, 39, 45 1, 2, 3, 19, 20, 21 Prawdopodobieństwo uzyskania obu zestawów wynosi 1:13 983 816 Żadna z tych szóstek nigdy jeszcze nie padła. Prawdopodobieństwo empiryczne (częstość) wylosowania przynajmniej jednej pary kolejnych liczb wynosi: dla Dużego Lotka: 0,501 dla Multi Lotka: 0,998

Dobór liczb Informacje ogólne Dobór liczb Systemy 5, 14, 27, 16, 39, 45 1, 2, 3, 19, 20, 21 Prawdopodobieństwo uzyskania obu zestawów wynosi 1:13 983 816 Żadna z tych szóstek nigdy jeszcze nie padła. Prawdopodobieństwo empiryczne (częstość) wylosowania przynajmniej jednej pary kolejnych liczb wynosi: dla Dużego Lotka: 0,501 dla Multi Lotka: 0,998 W Dużym Lotku pule nagród I, II i III stopnia są dzielone pomiędzy wszystkich, którzy trafili odpowiednią ilość liczb. Dlatego skreślenie nietypowego zestawu zwiększa szanse na wyższą nagrodę.

Dobór liczb Systemy Dobór liczb - najczęściej występujące Multilotek - 10 skreśleń Próba ucząca: lata 2003-2004 (730 losowań) Próba testowa: lata 2003-2004 (730 losowań, stawka 10zł) Liczby: 23, 17, 18, 60, 27, 68, 19, 29, 58, 24 lub 47 Trafienia (24): 129 czwórek, 68 piątek, 9 szóstek Wynik: 3190 9125 = 5935 Trafienia (47): 129 czwórek, 62 piątki, 2 szóstki i 4 siódemki Wynik: 6650 9125 = 2475

Dobór liczb Systemy Dobór liczb - najczęściej występujące Multilotek - 4 skreślenia Próba ucząca: lata 2003-2004 (730 losowań) Próba testowa: lata 2003-2004 (730 losowań, stawka 10zł) Liczby: 23, 17, 18, 60 Trafienia: 196 par, 46 trójek, 3 czwórki Wynik: 5000 9125 = 4125

Dobór liczb Systemy Dobór liczb - czy jest złoty środek? losowania są niezależne; każda kombinacja liczb ma takie samo prawdopodobieństwo pojawienia się w danym dniu; maszyna nie posiada pamięci;

Dobór liczb Systemy Dobór liczb - czy jest złoty środek? losowania są niezależne; każda kombinacja liczb ma takie samo prawdopodobieństwo pojawienia się w danym dniu; maszyna nie posiada pamięci; wyjątek: uzasadnione podejrzenie, iż niektóre liczby mają odmienne prawdopodobieństwo wylosowania;

Systemy Informacje ogólne Dobór liczb Systemy Gra systemem polega na wyborze pewnej grupy obstawianych liczb. Podzbiory tej grupy liczb są obstawiane później na kuponach. Podstawowe parametry systemu to: ilość obstawianych liczb (moc zbioru) ilość skreśleń na kuponie (moc podzbioru) ilość kuponów (podzbiorów) Jeżeli system opiera się na zasadzie wykorzystania wszystkich możliwych kombinacji liczb z wybranego zbioru, nazywany jest systemem pełnym, w przeciwnym wypadku system taki określa się mianem skróconego.

Dobór liczb Systemy System pełny i skrócony przykłady System pełny 3/7/35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 5 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 5 5 6 3 3 3 3 4 4 4 5 5 6 4 4 4 5 5 6 5 5 6 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 5 6 7 6 7 7 4 5 6 7 5 6 7 6 7 7 5 6 7 6 7 7 6 7 7 7

Dobór liczb Systemy System pełny i skrócony przykłady System pełny 3/7/35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 5 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 5 5 6 3 3 3 3 4 4 4 5 5 6 4 4 4 5 5 6 5 5 6 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 5 6 7 6 7 7 4 5 6 7 5 6 7 6 7 7 5 6 7 6 7 7 6 7 7 7 System skrócony 3/7/7 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 2 2 3 3 2 4 6 4 5 4 5 3 5 6 6 7 7 6

Dobór liczb Systemy System pełny i skrócony przykłady System pełny 3/7/35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 5 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 5 5 6 3 3 3 3 4 4 4 5 5 6 4 4 4 5 5 6 5 5 6 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 5 6 7 6 7 7 4 5 6 7 5 6 7 6 7 7 5 6 7 6 7 7 6 7 7 7 System skrócony 3/7/7 System preferencyjny 5/10/15 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 2 2 3 3 2 4 6 4 5 4 5 3 5 6 6 7 7 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 6 6 4 6 4 4 5 5 5 5 6 6 6 7 8 7 8 6 7 6 10 6 7 8 10 7 8 10 10 10 10 10 8 10

Dobór liczb Systemy System wielostopniowy przykład System wielostopniowy dziesiątkowy 12 liczb 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 11 12 Gwarancja: przy trafnie wytypowanych 6 liczbach przynajmniej 1x4/10

Dobór liczb Systemy System wielostopniowy przykład System wielostopniowy dziesiątkowy 12 liczb 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 11 12 Gwarancja: przy trafnie wytypowanych 6 liczbach przynajmniej 1x4/10 3. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Gwarancja: przy trafnie wytypowanych 5 liczbach przynajmniej 1x4/10 4. 1 2 3 4 5 6 9 10 11 12 5. 1 2 3 4 7 8 9 10 11 12 Gwarancja: przy trafnie wytypowanych 4 liczbach przynajmniej 1x4/10 6. 1 2 5 6 7 8 9 10 11 12 Gwarancja: przy trafnie wytypowanych 5 liczbach przynajmniej 1x5/10

Dobór liczb Systemy System stuprocentowy (no, prawie... ) Codziennie skreślamy tę samą liczbę, w razie porażki zwiększamy stawkę trzykrotnie. l.p. stawka koszt losowania koszt gry do wygrania zysk 1 1x 1,25 1,25 2,00 0,75 2 3x 3,75 5,00 6,00 1,00 3 9x 11,25 16,25 18,00 1,75 4 27x 33,75 50,00 54,00 4,00 5 81x 101,25 151,25 162,00 10,75 6 243x 303,75 455,00 486,00 31,00 7 729x 911,25 1366,25 1458,00 91,75 W czasie takiej gry nie wolno zmienić systemu, ani skreślanej liczby. Ponadto należy ustalić moment, w którym opuszczamy grę w przypadku braku wygranej (inaczej rosnące koszty gry mogą doprowadzić nas do ruiny). Średnio każda liczba wypada co 4 losowania, ale mogą też zdarzyć się dłuższe przerwy.

Literatura Informacje ogólne Cieśliński P. Niezbędnik hazardzisty: Jak grać, żeby wygrać, Kasyno.org.uk, 2005. Hyzlotto.pl. Jajuga K., Kuziak K., Markowiecki P. Inwestycje finansowe, AE, Wrocław 1997. Lotto.pl. Pratchett T., Stewart I., Cohen J. Nauka Świata Dysku, Prószyński i S-ka SA, Warszawa 2003. Serafinowicz F. Systemy matematycznie idealne. Wikipedia, the free encyclopedia. Wikipedia, wolna encyklopedia. Zielonka P. Krótka historia ryzyka czyli jak podejmować decyzje w warunkach niepewności (wykład), AE, Wrocław 2005. Zielonka P. Teoria perspektywy, Nasz rynek kapitałowy nr 10, 2002.