1 Wstęp Lindeberga-Levy ego Lindeberga- Levy ego.

Transkrypt

1 1 Wstęp W grach liczbowych jak np. w dużym lotto czy expres lotto trudno trafić istotne wygrane to jeszcze zabiera się 60% pieniędzy z wpływów za zawierane zakłady. Istotnym pytaniem jest czy o te 40% wpływów toczy się uczciwa gra zgodnie z regulaminem i czy pewna grupa /ludzie prowadzący tą grę lub grupy pomocnicze/ kosztem pozostałych nie realizuje grę na swoją korzyść. Gra jest tak skonstruowana, że po dłuższej grze powinni wszyscy być przegrani. Pomimo to istnieje fama o ludziach żyjących tylko z gry dzięki systemom. Artykuł ten ma na celu dostarczyć aparat pozwalający analizować prawidłowość przebiegu gry i oszacować jaka jest szansa nawet po dłuższym okresie gry być wygranym. W grach liczbowych znamy teoretyczne prawdopodobieństwa trafienia poszczególnego stopnia. Zawieranie -tego zakładu prostego odbywa się to zgodnie z rozkładem zmiennej losowej zero-jedynkowej : i gdzie teoretyczne prawdopodobieństwo trafienia badanego stopnia. Dla tej zmiennej losowej podstawowe parametry to wartość przeciętna i wariancja. Z granicznego twierdzenia Lindeberga-Levy ego przy założeniu, że ciąg zmiennych losowych jest niezależny wynika, że statystyka ma rozkład asymptotycznie normalny standardowy i dla odpowiedniego dużego gdzie dystrybuanta rozkładu. Gdyby zakłady proste były zawierane w sposób niezależny tzn. gdy zmienne losowe były niezależne to statystyka dla odpowiednio dużego mogłaby służyć do weryfikacji hipotezy zerowej, tzn. obstawianie zakładów odbywa się zgodne z prawdopodobieństwem. Wartość statystyki można obliczyć na podstawie losowej próby składającej się części zawartych zakładów lub z wszystkich zawartych zakładów w losowaniu, czy też z sumy wszystkich zawartych zakładów w łączonych losowaniach. Wartość zmiennej losowej to liczba jedynek w ciągu zmiennych losowych a w zawartych zakładach prostych to liczba trafień badanego stopnia wśród tych zakładów. Ponadto wielkość próby i teoretyczne prawdopodobieństwo trafienia liczb z badanego stopnia. Przeprowadzając weryfikację na podstawie wyników w dużym lotto można łatwo przekonać się, że prawie wszystkie testy należałoby odrzucić na korzyść hipotezy alternatywnej z bardzo dużym prawdopodobieństwem. Symulacja przez mnie przeprowadzona, gdy zakłady proste były zawierane w sposób niezależny potwierdza prawdziwość hipotezy zerowej. Przyczyną odrzucania hipotezy zerowej mogą być nieprawidłowości w przeprowadzaniu gry lub nie są spełnione założenia twierdzenia Lindeberga- Levy ego. W pracy pokażę, że na graniczny rozkład statystyki mają duży wpływ systemy liczbowe /i inne/ zawierając zakładów prostych gdzie liczba skreśleń w zakładzie prostym i zmienne losowe związane z tymi zakładami prostymi są istotnie zależne. Wyznaczę również graniczny rozkład tych statystyk przy założeniu, że znamy procentowy udział poszczególnych systemów liczbowych w stosunku do wszystkich zakładów prostych. Ponieważ gry liczbowe przeważnie realizuje komputer to takie udziały procentowe mogą być na bieżąco obliczane. Znając graniczny rozkład tych statystyk to dla odpowiednio dużego można te statystyki wykorzystać do weryfikacji hipotezy zerowej.

2 Wyprowadzę wzory dla ogólnego przypadku nie ograniczając się do wymienionych gier liczbowych. 2 Graniczny rozkład zmiennej losowej zawierając zakłady systemem liczbowym. 2.1 Zmienna losowa związana z zawieraniem zakładów systemem liczbowym. Obowiązywać będą następujące oznaczenia: - zakres liczb występujący w zakładach liczbowych - liczba losowanych liczb i skreślanych liczb w zakładzie prostym - liczba skreśleń za pomocą systemu - liczbowego. - badana liczba trafień ; ;. Ponieważ to i dla. W nawiasach liczby występujące w dużym lotto. ciąg zmiennych losowych związany z zawieraniem zakładów prostych o rozkładzie zerojedynkowym, dla : i gdzie teoretyczne prawdopodobieństwo trafienia badanego stopnia. Niech oznacza zmienną losową przyjmująca wartości: liczbę trafień liczb zawierając zakłady systemem - liczbowym. Zmienna ta może przyjąć następujące wartości: Jeżeli to zmienna losowa przyjmuje wartość tylko zerową i. Jeżeli to zmienna losowa przyjmuje wartości: gdy systemem trafimy liczb oraz wartość gdy systemem trafimy mniej niż liczb. Wtedy prawdopodobieństwa. Przedostatnia równość wzoru wynika licząc prawdopodobieństwo znajdując liczbę wszystkich zdarzeń i liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających a ostatnią równość uzyskamy dzieląc licznik i mianownik przez. Ponadto. Przypadek zachodzi np. gdy i. Wtedy i i skreślając liczb i wszystkie liczby są wygrane to nie możemy trafić liczb gdyż trafimy zawsze liczb. W dalszych rozważaniach zajmiemy się tylko przypadkiem tzn. gdy. Wartość oczekiwana zmiennej losowej zawierając zakłady systemem liczbowym.

3 Korzystając z wzoru na wartość oczekiwaną dla zmiennej losowej zdefiniowanej w poprzednim punkcie mamy: gdzie i - prawdopodobieństwo trafienia liczb zawierając zakład prosty liczbowy. Wzór ten można uzyskać ze wzoru na wartość oczekiwaną wykorzystując fakt, że zmienna losowa jest sumą zmiennych losowych o rozkładzie zero-jedynkowym o prawdopodobieństwie sukcesu związanym z jednym zakładem prostym występującym w systemie liczbowym. Można również wyrachować wykorzystując wzory: (1.2.2) (1,2.3) Jest to prawdopodobieństwo trafienia liczb zawierając zakład prosty skreślając liczb. Wzory te będą wykorzystywane również w obliczaniu wariancji tej zmiennej losowej. ponieważ każda kombinacja da się zapisać jako kombinacja dla z dwóch grup elementów o liczebności i. Zatem. Wariancja zmiennej losowej zawierając zakłady systemem liczbowym. Wariancja zmiennej losowej wynosi:

4 Jest to ogólny wzór za pomocą którego można obliczać wszystkie interesujące nas wariancje. Jeżeli wprowadzimy wtedy. Taka postać wariancji będzie mi potrzebna do dalszych rozważań i wyznaczę wzory na wariancję wygranych niższych stopni. dla Wariancja trafień stopnia pierwszego /najwyższego/. Jest to wariancja gdy. Wtedy i gdzie Wariancja trafień stopnia drugiego. Jest to wariancja gdy. Wtedy, dla. gdzie i W pozostałych przypadkach wariancja istnieje gdy i wyraża się tym samym wzorem Wariancja trafień stopnia trzeciego. Jest to wariancja gdy. Wtedy, dla.

5 gdzie W pozostałych przypadkach wariancja istnieje gdy wzorem. i wyraża się tym samym Wariancja trafień stopnia czwartego. Jest to wariancja gdy. Wtedy. Postępując analogicznie można uzyskać podobny wzór. Jak widać z powyższego wyprowadzenie analogicznego wzoru będzie bardzo pracochłonne. W liczniku wyrażenie D będzie wielomianem zmiennej k stopnia 6. Dla otrzymamy: l gdzie

6 2.2 Graniczny rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej związanej z systemami liczbowymi. prostych. Niech będzie zmienną losowa związaną z zawarciem zakładów W tym punkcie ustalmy następujące dane: - badana liczba trafień zakładem prostym liczbowym. - ustalona liczba skreśleń liczb w systemie. ciąg zmiennych losowych związanych z niezależnym zawieraniem zakładów systemami - liczbowymi dla których mamy:,. Tym parametrom zmiennych losowych poświęcone są powyższe punkty. Z granicznego twierdzenia Lindeberga-Levy ego wynika asymptotyczna normalność zmiennej losowej, przy czym graniczny rozkład normalny ma parametry. Zbieżność tych zmiennych losowych do zmienne j losowej o rozkładzie normalnym standaryzowanym jest zbieżnością według dystrybuant. Zatem gdzie ponieważ. Wtedy dla dowolnego mamy gdzie dystrybuanta rozkładu a dystrybuanta rozkładu. Podsumowując uzyskaliśmy: Twierdzenie Graniczny rozkład zmiennej lisowej powstałej z zawarcia zakładów prostych niezależnymi systemami liczbowymi / dla odpowiedniego / jest normalny z parametrami i tzn. dla odpowiednio dużego. 3 Graniczny rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej związanej z stałym procentowym udziale systemów liczbowych. Wartość zmiennej losowej po zawarciu zakładów prostych, gdzie zmienna losowa ma rozkład: gdy zakładem prostym trafimy liczb i w przeciwnym przypadku, nie zależy od kolejności zawartych zakładów. Dlatego kolejność zakładów prostych można ustawić tak aby były zawierane w kolejności systemami liczbowymi następnie liczbowymi itd. kończąc na liczbowymi i ponadto. Zawierane zakłady proste można traktować jako zakłady zawarte systemem liczmowym.

7 Innych możliwości zawierania zakładów nie ma. Niech oznacza liczbę wszystkich zawartych systemów liczbowych. Wtedy jest liczbą wszystkich zakładów prostych. Niech gdzie są zmiennymi losowymi zawierając zakłady systemem liczbowym. Wtedy gdzie. Wtedy. Liczby oznaczają procentowy udział zakładów prostych zawartych za pomocą systemów liczbowych. Przy ustalonych liczbach a stąd przy stałych udziałach zakładów prostych zawartych za pomocą systemów liczbowych zmienne losowe, mają jednakowe parametry i są zmiennymi niezależnymi. Z twierdzenia Lindeberga-Levy ego wynika asymptotyczna normalność zmiennej losowej gdzie i, przy czym graniczny rozkład normalny ma parametry Mamy również punkcie 1.4 dla odpowiednio dużego uzyskujemy. Postępując analogicznie jak w Ponadto i jest liczbą systemów liczbowych w zmiennej losowej

8 oraz. Podsumowując uzyskaliśmy twierdzenie. Twierdzenie 4.1 Graniczny rozkład zmiennej lisowej powstałej z zawarcia zakładów prostych niezależnymi systemami liczbowymi przy stałych procentowych udziałach zakładów prostych zawartych za pomocą systemów liczbowych jest normalny z parametrami i tzn. dla odpowiednio dużego gdzie, oraz oznacza liczbę wszystkich zawartych systemów liczbowych. Ponadto. W naszych rozważaniach aby uzyskać dobre przybliżenie dla próby np. jednego losowania możemy dobrać takie odpowiednio małe liczby takie, że. i i dla odpowiednio dużego dającego dobre przybliżenie będziemy mieć. Można takie liczby uzyskać prawie bez przybliżenia. Ponadto próba składającego się z jednego losowania ma takie duże liczby zmienna losowa gdzie są zmiennymi losowymi zawierając zakłady systemem liczbowym związana z tą próbą składniki ma rozkład prawie normalny o żądanych parametrach ponieważ wszystkie, że mają już rozkłady prawie normalne z dużym przybliżeniem /patrz punkt 1.4 /. Natomiast suma zmiennych losowych o rozkładach normalnych jest zmienną losową o rozkładzie normalnym. Zatem statystyka dla związana z tą próbą jest w większości dobrą statystyką do weryfikowania hipotezy o prawidłowości trafień. Występuje to w przypadku badania prawidłowości trafień niższych stopni. W przypadku badania prawidłowości trafień najwyższego stopnia próba z jednego losowania nie jest wystarczająca i należy łączyć losowania obliczając ilość trafień z sumy wszystkich zakładów w tych losowaniach. Np. w dużym lotto jak wykazała przez mnie symulacja należy połączyć co najmniej 40 losowań. Liczbę trafień poszczególnych stopni zawsze się oblicza i podaje do publicznej wiadomości a stąd można obliczyć ilość zawartych zakładów prostych. Natomiast liczby zakładów zawartych przez systemy /potrzebne do obliczenia procentowych udziałów zawieranych przez poszczególne systemy/ nie

9 podaje się i nie można bez wglądu w zawierane zakłady uzyskać. Komputer może te liczby liczyć na bieżąco przy przyjmowaniu zakładów. Istotnym pytaniem jest czy inne czynniki nie wpływają na graniczny rozkład statystyki. Można takie sytuacje wymyśleć. Np. gdy pewna grupa zawiera ten sam zakład i powiela dużą ilość razy. Gdy to odbywa się w jednym losowaniu to można pokazać, że istotnie wpływa na rozrzut granicznego rozkładu statystyki i wzór na rozrzut metodą podobną można skorygować dołączając zmienne losowe związane z takim postępowaniem. Wtedy rozrzut zwiększa się. Jeżeli coś takiego może zaistnieć to w stosunku do zawartych wszystkich zakładów byłby minimalny i procentowy udział byłby bardzo mały. Wtedy minimalnie wpłynąłby na rozrzut granicznej statystyki. Gdy grający to czynią w różnych losowaniach to nie ma to wpływu na graniczny rozkład statystyki, gdyż w różnych losowaniach pojawiają się nowe wylosowane liczby, wylosowane zgodnie z rozkładem równomiernym. To zdanie można matematycznie uzasadnić. Także czy przy zawieraniu zakładów grający nie sugerują się częstością pojawiających się liczb w losowaniach. Np. W zakładach piłkarskich obstawianie poszczególnych pozycji odbywa się biorąc pod uwagę ranking poszczególnych drużyn i to utrudnia analizę trafień. Nie oznacza to, że taką analizę nie można przeprowadzić. Aby odpowiedzieć na wszystkie pytania należy mieć wgląd do obstawianych zakładów. Uzyskany wzór w twierdzeniu można wykorzystywać do innych obliczeń np. obliczać prawdopodobieństwa, że odegram 2 razy więcej od tych co grają zakładami prostymi. Ponadto w sumie uzyskany wzór na odchylenie standardowe granicznego rozkładu zmiennej losowej, który pokazuje jak różne sytuacje i systemy wpływają na rozkład prawdopodobieństwa granicznej zmiennej losowej a nawet w stosunku granicznej zmiennej losowej, gdyby wszystkie zakłady były zawierane pojedynczo w sposób niezależny. 4 Rozkład granicznych zmiennych losowych w Dużym Lotto. Z ogólnych wzorów w przypadku Dużego Lotto uzyskujemy następujące wzory: - zakres liczb występujący w zakładach liczbowych. - liczba losowanych i skreślanych w zakładzie prostym liczb - liczba skreśleń za pomocą systemu - liczbowego. - badana liczba trafień ; ;. Ponieważ to i dla. 4.1 Parametry zmiennej losowej zawierając zakłady systemem liczbowym Wartość oczekiwana zmiennej losowej Wariancja trafień stopnia pierwszego /najwyższego/ zmiennej losowej.,,.

10 gdzie Wariancja trafień stopnia drugiego zmiennej losowej.,,. gdzie i Wariancja trafień stopnia trzeciego zmiennej losowej.,,. gdzie Wariancja trafień stopnia czwartego zmiennej losowej.,,. gdzie Wartości odchyleń standardowych zmiennej losowej Zgodnie z tymi wzorami wartość wariancji dla różnych systemów zależy od wartości przy ustalonym badaniu stopnia trafień. Wyniki zamieszczam w poniższej tabeli. Wartości te są potrzebne do obliczania rozkładów granicznych statystyk. Tabela , ,475 35,129 86, , ,447 1,758 1, , ,730 37,022 92, , ,849 2,609 3, , ,970 38,868 98, , ,231 3,564 4, , ,193 40, , , ,601 4,622 6, , ,396 42, , , ,964 5,777 8, , ,576 43, , , ,321 7,025 11, , ,731 45, , , ,675 8,362 14, , ,858 46, , , ,025 9,781 17, , ,951 48, , , ,372 11,279 20, , , , , ,717 12,850 24, , ,020 49, , , ,058 14,490 28, , ,983 50, , , ,397 16,191 32, , ,890 50, ,490

11 19 0, ,731 17,950 37, , ,730 50, , , ,062 19,758 42, , ,491 49, , , ,389 21,611 47, , ,157 48, , , ,710 23,500 52, , ,706 46, , , ,025 25,418 57, , ,104 43, , , ,333 27,357 63, , ,301 39, , , ,633 29,308 69, , ,197 34, , , ,925 31,260 75, , ,553 25,268 75, , ,206 33,205 80, Graniczny rozkład zmiennej losowej przy stałym udziale procentowym systemów liczbowych w Dużym Lotto dla odpowiednio dużego gdzie, oraz oznacza liczbę wszystkich zawartych systemów liczbowych. Ponadto. Niech W dużym lotto zakłady można zawierać tylko systemami liczbowymi Przykładowe wartości: 0,45 0,15 0,10 0,05 0,05 0,05 0,15 0, , , , ,80 0,15 0,05 0, , , , ,60 0,15 0,10 0,05 0,05 0,05 0, , , , ,30 0,15 0,10 0,05 0,05 0,15 0,20 0, , , , ,20 0,30 0,50 0, , , , ,60 0,14 0,07 0,05 0,02 0,01 0,11 0, , , , Poniżej przedstawię symulację związaną z grą w dużego lotka zachowując podobną sytuację występującą w poszczególnych losowaniach. W symulacji łączę 40 kolejnych losowań zaczynając od ilości obstawień podobną jaka występuje w przypadku braku puli, następnie sukcesywnie wzrasta liczba obstawień wraz z wzrostem puli. Po zabraniu puli cykl powraca. 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0, Rys Kolorem niebieskim - wykres funkcji gęstości empirycznej uzyskany na podstawie krotnej symulacji /12000 elementowej próby/ bez łączenia losowań /na podstawie jednego losowania jest obliczna wartość statystyki/, przy badaniu liczby trafionych trójek. Zakłady są zawierane w jednym losowaniu sposobem mieszanym o stałym procentowym udziale systemów:

12 Kolorem czerwonym - funkcja gęstości o rozkładzie.. Poniżej są przedstawione wykresy: Kolorem niebieskim - wykres funkcji gęstości empirycznej uzyskany na podstawie 1000 krotnej symulacji /1000 elementowej próby/ przy łączeniu 40 losowań. Zakłady są zawierane w jednym losowaniu sposobem mieszanym o stałym procentowym udziale systemów:. 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,25 0,20 0,20 0,15 0,15 0,10 0,10 0,05 0,05-3,5-3 -2,5-2 -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3, Rys Rys Dotyczy badania ilości trafionych szóstek Dotyczy badania ilości trafionych piątek Kolorem czerwonym - funkcja gęstości Kolorem czerwonym - funkcja gęstości rozkładu. rozkładu. 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 Rys.4 Rys Rys Dotyczy badania ilości trafionych czwórek Dotyczy badania ilości trafionych trójek Kolorem czerwonym - funkcja gęstości Kolorem czerwonym - funkcja gęstości rozkładu.. rozkładu. Przykład W kolejnych 41 losowaniach od dn r. do dn r. uzyskałem następujące dane: n = liczba zawartych zakładów czyli wielkość próby. liczby odpowiednio trafionych szóstek, piątek, czwórek, trójek. Dla tych danych uzyskuje się odpowiednio następujące wartości statystyk : 0,10 0,08 0,06 0,04 0, Przykład W kolejnych 77 losowaniach od dn r. do dn r. uzyskałem następujące dane: n = liczba zawartych zakładów czyli wielkość próby. liczby odpowiednio trafionych szóstek, piątek, czwórek, trójek. Dla tych danych uzyskuje się odpowiednio następujące wartości statystyk :

13 Przykład W kolejnych wierszach tabeli wartości statystyk dotyczących jednego losowania : losowania od dnia r. do dnia r. Lp. Lp. Lp. Lp. 1-0,28 3,11 17, ,70 3,26 19, ,51-0,42 8, ,01-0,75 7,98 2 0,96-1,11-7, ,93 2,87 7, ,81 11,65 28, ,56-6,78-18,06 3 0,23-0,82 9, ,67-3,77-8, ,11 5,84 7, ,17-2,15-5,82 4-1,01-6,83-19, ,26 0,86 2, ,71-3,22-6, ,29-3,04-7,24 5 0,61 8,19 18, ,62-8,38-17, ,29-8,37-22, ,85 1,31 13,09 6-0,84-3,01-12, ,10-7,83-21, ,82-0,37 0, ,99-6,72-22,89 7-1,03 5,26 19, ,58-11,29-23, ,47-4,79-6, ,23-17,73-56,79 8-1,46-11,16-29, ,58-11,29-23, ,14-0,32 4, ,11 27,31 53,19 9-1,25-0,40-7, ,24-3,33-19, ,37-6,05-23, ,77-11,95-35, ,17-4,30-13, ,14-6,56-9, ,21-8,28-26, ,48 11,42 21, ,79 1,13 17,41 losowania od dnia r. do dnia r. Lp. Lp. Lp. Lp. 1 1,25 5,74 24, ,77-2,27-9, ,60-9,40-27, ,25 0,57-2,02 2-3,22-11,34-27, ,87-8,62-50, ,43-5,83-18, ,11-2,74 3-2,02-8,89-23, ,15 14,25 47, ,50-0,80-17, ,18 25,40 57,41 4-2,60-8,23-17, ,07-0,10-7, ,57 7,66 16, ,96-4,10 5 2,82 24,94 43, ,35 4,24 13, ,25-6,80-20, ,70-3,67-15, ,48 33,91 70, ,20-1,78-1, ,98-3,79 1, ,43-2,39-5,14 7 0,19 6,66 16, ,45-3,96-6, ,30-6,26-18, ,37-1,69-7,01 8-0,91-9,22-16, ,15 23,48 55, ,91 3,71 15, ,83-12,16-36,41 9-2,64-0,38-3, ,31-9,64-23, ,94 5,40 27, ,26 3,78 1, ,27-3,52-14, ,35-7,01-15, ,32-3,61-13, ,95-4,67-9, ,06-11,08-31, ,42-0,29 1, ,70-9,21-29, ,08-13,20-42, ,82-8,99-14, ,40-10,43-27, ,31 8,72 26, ,16 7,54 27, ,43 3,32-5, ,21-2,97-11, ,64-4,51-5, ,86-12,16-41, ,14-11,57-30, ,54 4,11 13, ,74-11,50-34, ,45-9,42-34, ,23 1,24 11, ,85 22,89 57, ,50 7,01 25, ,27-6,96-15, ,99 7,19 17, ,80 13,47 32, ,49 40,84 98, ,27-3,47-11, ,07 6,14 31, ,94-1,86-6, ,13-2,75-10, ,99 13,96 23, ,30 5,38 13, ,78 9,67 30, ,41-15,09-52,95 1 szóstka 19 3,24 18,04 41, ,13-11,02-36, ,50-1,01 0,41 2 szóstki 20 0,06-6,98-22, ,30-5,52-19, ,96-6,75-19,80 3 szóstki 5 Uogólnienie na przypadek gdy liczba losowanych liczb jest większa od liczby typowanych liczb w zakładzie prostym. 5.1 Zmienna losowa związana z zawieraniem zakładów systemem liczbowym. W poniższych punktach obowiązywać będą następujące oznaczenia: - zakres liczb występujący w zakładach liczbowych - liczba skreślanych liczb w zakładzie prostym - liczba losowanych liczb.. - liczba skreśleń za pomocą systemu - liczbowego. - badana liczba trafień. W nawiasach liczby występujące w Multi lotto..

14 Niech oznacza zmienną losową przyjmująca wartości: liczbę trafień liczb zakładem prostym zawierając zakłady systemem - liczbowym. Zmienna losowa przyjmuje wartości: gdy systemem - liczbowym trafimy liczb ; oraz wartość gdy systemem - liczbowym trafimy mniej niż liczb. Wtedy prawdopodobieństwa. Przedostatnia równość wzoru wynika licząc prawdopodobieństwo znajdując liczbę wszystkich zdarzeń i liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających a ostatnią równość uzyskamy dzieląc licznik i mianownik przez. Ponadto. W niektórych przypadkach zmienna losowa może przyjmować tylko wartość zero z prawdopodobieństwem jeden, np. gdy i. 12. Klasyfikacja wszystkich systemów w grach liczbowych. Przedstawione zostały dotychczas pewne systemy do gier liczbowych z opisem ich możliwości i podstawowych charakterystyk. Systemów istnieje nieskończenie wiele ale każdy system należy do określonej grupy o podobnym działaniu i własnościach. Nasuwa się pytanie, czy każdy sposób zawierania zakładów można nazwać systemem. Przedstawione powyżej sposoby zawierania zakładów mają cechą, że zawieramy zakłady w zależności jaka sytuacja wynikła z poprzednio zawieranych zakładach i ilość zawartych zakładów jest zmienna. Czy taki sposób postępowania można nazwać systemem?. Zdecydowanie nie i jest taktyką grania coś w rodzaju blefu. Następne nasuwa się pytanie, czy nasz sukces zależy od pewnego sposobu zawierania zakładów w jednym losowaniu, czy jedne sposoby są lepsze a inne gorsze i co o tym decyduje. Pewne sposoby zawierania zakładów, które można nazwać systemem powinny spełniać następujące własności: 1. Reguła według której zawieramy zakłady określa jednoznacznie zbiór zakładów prostych. 2. Cechy badające skuteczność gry systemem dają się zapisać za pomocą zmiennych losowych łącznie z rozkładem prawdopodobieństwa. 3. Cecha badająca skuteczność gry systemem występuje również dla każdego zakładu prostego, wyrażona za pomocą zmiennej losowej i ma jednoznacznie określony rozkład prawdopodobieństwa. 4. Zmienna losowa związana z systemem powinna być sumą zmiennych losowych związanych z zakładami prostymi występującymi w systemie.

15 Pierwsza własność nie oznacza, że określony zbiór zakładów prostych składa się zawsze z tych samych zakładów prostych. Ponieważ wartość oczekiwana zmiennej losowej związanej z cechą i zakładem prostym jest jednoznacznie określona i jest taka sama to z czwartej własności mamy, że wartość oczekiwana zmiennej losowej związanej z systemem i cechą jest sumą wartości oczekiwanych zmiennych losowych zakładów prostych występujących w systemie. Zatem w systemie występuje zawsze ta sama liczba zakładów prostych. Ponadto przy tej samej ilości zakładów prostych w systemie istnieją systemy o tej samej wartości oczekiwanej ale z różnymi odchyleniami standardowymi. Jest to równoważne, że mamy różne odchylenia standardowe granicznego rozkładu statystyki standaryzowanej porównawczej sumy wszystkich zakładów prostych. Patrz wykresy i Z tabeli : mamy również dla natomiast dla. Ponadto i. Dla dwóch różnych ostatnich systemów równość podstawowych parametrów zachodzi dla wszystkich cech ilości trafień,2,1,0 liczb jak i również badając tymi systemami wielkość wygranej. A więc mamy różne systemy przy tej samej ilości zakładów prostych o różnych i tych samych odchyleniach standardowych granicznych. Różni ich zdecydowanie definicja tworzenia. Można mówić o systemach różnych ale podobnych /o podobnym działaniu/ gdy składają się z tylu samych zakładów prostych i prawie takim samym odchyleniu standardowym granicznym oraz w przeciwnym przypadku istotnie różnych. Efekt działania nawet tego samego systemu jest zależny od ilości zagrań tym systemem a zatem od ilości zakładów prostych zawartych tym systemem w sposób niezależny. Równość wartości oczekiwanej i odchylenia standardowego systemów nie oznacza jeszcze takiego samego działanie tych systemów dla mniejszych Czy większe odchylenie standardowe granicznej statystyki porównawczej daje istotnie lepsze rezultaty. Dla odpowiednio dużego zakładów prostych, gdy mamy odpowiednio dobre przybliżenie rozkładu granicznego będzie większa grupa grających, która odegra przynajmniej taką samą ustaloną wartość, ale i tak wszyscy będą przegrani. Również będzie większa grupa grających, która trafi przynajmniej taką samą ustaloną ilość trafień liczb, ale to działa i w odwrotną stronę. Tą własność można rozciągnąć na mniejszą liczbę zagrań, gdzie pewna większa grupa grających może być wygrana przynajmniej o ustaloną taką samą wartość a nawet istotnie wygrana. Potwierdza to częściowo symulacja i pewne parametry rozkładu statystyki ale nie granicznej. O wygraniu można mówić wtedy gdy szybko trafimy najwyższy stopień czy mamy również fart w wygranych stopnia niższego i prawie na tym zaprzestać. Grając ciągle tym samym systemem będziemy ostatecznie przegrani co gwarantuje rozkład statystyki granicznej. Grając różnymi systemami z ograniczoną wartością odchyleń standardowych granicznych rozkładów statystyk systemów można wszystkie systemy pogrupować i użyć wzoru na obliczenie odchylenia standardowego granicznego rozkładu /patrz uogólnienie 8.0.3/ z którego wynika, że wszyscy będą przegrani dla odpowiednio dużego. Stąd aby być wygranym nawet dla dużego to odchylenia standardowe granicznych rozkładów statystyk systemu muszą być coraz większe i niektóre dążyć do nieskończoności przy dążącym do nieskończoności. Jedynymi systemami za pomocą których możemy uzyskać nieskończenie wielkie odchylenie standardowe granicznego rozkładu systemu to systemy polegające na powielaniu zakładu prostego czy też ustalonego systemu. W niektórych istniejących grach powielanie to zwiększanie stawki ale to ma ograniczony charakter. Dlatego są tylko możliwe gry liczbowe dla których dla dużych będziemy również wygrani to gry

16 liczbowe analogiczne z przykładu 11.1 polegające na zawieraniu zakładów powielając ustalony system aby odegrać poprzednie przegrane i koszt zawarcia zakładu. Jak uzasadniałem takie postępowanie będzie prowadzić po pewnym czasie do dużej długości cyklu a więc z dużą ilością powieleń i wielkich kosztów zawarcia zakładów, co spowoduje duże przegrane, gdy zrezygnujemy z grania. Ale taka gra to nie jest gra systemem tylko taktyką gry za pomocą systemów. Teoretycznie dla dużej ilości zakładów prostych można uzyskać, że będziemy wygrani poprzez powielanie. Inni grając tak samo ale trochę w innej kolejności nie zważając jaka sytuacja jest w poprzednich graniach, czyli grając niezależnie od poprzednich zagrań przegra, gdyż można stosować twierdzenie graniczne dla skończonej ilości systemów biorących w udział w grze. Granie poprzez powielanie systemów, aby odegrać poprzednie przegrane i koszt zawarcia zakładów powoduje, że w ciąg zmiennych losowych związanych z zawieranymi zakładami będzie zależny. Nasuwa się pytanie czy warto grać i czy można przeciwdziałać tym wszystkim przeciwnością. Jeżeli potrafimy dobrze analizować losowane liczby w grach liczbowych i zaobserwujemy pewne prawidłowości w losowaniach to można stworzyć system który te prawidłowości wykorzysta. Np. w Lotto jeżeli potrafimy częściej niż normalnie wytypować liczbę która będzie wylosowana to możemy grać systemem np. tzn. tą liczbę umieszczamy we wszystkich zakładach prostych systemu a w pozostałych pozycjach typujemy wszystkie możliwości z dowolnie wybranych liczb i tych możliwości będzie 126. Niestety te wszystkie możliwości trzeba rozpisać za pomocą zakładów prostych i jest to połączenie typowania jednej liczby i 9 liczb. Przy trafianiu jednej liczby częściej i przeciętnym trafianiu pozostałych liczb powinniśmy być wygrani. Np. jeżeli potrafimy często wytypować liczb które nie będą wylosowane, a z pozostałych liczb typujemy np. systemem 10 liczbowym kilka obstawień (5-14) to powinniśmy być wygrani. Jest to połączenie systemu liczbowego dużego z systemami liczbowymi małymi wybieranymi w sposób równomierny. Ten sposób gry można rozpisać nawet na jednym lub dwóch kuponach. Zatem możemy wykorzystać własne przewidywania i obserwacje z zaletami systemów, co może przynieść sukces. Dlatego poniżej przedstawię pewną klasyfikację systemów uporządkowane ze względu na wielkość rozrzutu systemu czyli na wielkość odchylenia standardowego systemu, co może wyjaśnić co powoduje ten rozrzut. Przypomnę podstawowe pojęcia używane w artykule. Odchylenie standardowe systemu jest to odchylenie standardowe zmiennej losowej cechy związanej z systemem. Odchylenie standardowe cechy to odchylenie standardowe zmiennej losowej cechy związanej z zawartym zakładem prostym tzn. i wartość oczekiwana cechy. Ponadto statystyka standaryzowana porównawcza / /, odchylenie standardowe graniczne systemu to odchylenie standardowe rozkładu granicznego statystyki dla której dla odpowiednio dużego. Wtedy gdzie liczba zakładów prostych systemu czyli. Zatem odchylenie standardowe systemu i odchylenie standardowe graniczne jest ściśle między sobą powiązane. 1. Największe odchylenie standardowe graniczne przy najmniejszej ilości zakładów prostych dają systemy związane z powielaniem zakładu prostego czy systemy krotnie. Za pomocą tego systemu można otrzymać dowolnie wieki rozrzut. Jest to grupa jakby zamknięta, gdyż powielanie krotnie systemu powstałego z powielania krotnego systemu otrzymujemy system powielający krotnie system. Powielanie w

17 niektórych zakładach jest dopuszczalne i jest związane z zwiększaniem stawki. Ale to ma charakter ograniczony. Zawieranie w tym samym losowaniu takiego zakładu krotnie jest to powielanie krotnie zakładu powielanego poprzez zwiększenie stawki. Więcej informacji można znaleźć w punkcie Następną grupą systemów w kolejności dających przy takiej samej ilości zakładów prostych większy rozrzut są systemy typu gdzie oznacza ilość numerów ustalonych występujących we wszystkich zakładach prostych systemu a pozostałe numery tworzą wszystkie kombinacje ze dowolnego zbioru liczb typowanych innych od ustalonych. Zatem ten system posiada zakładów prostych. Tym systemom jest poświęcony punkt 7.1. Wykresy 7.1.3, 7.1.5, przykład 9.2 gdzie zamieszczone tam tabele i wykresy potwierdzają tą własność w stosunku do klasycznego systemu pełnego /gdy /, a w stosunku do powyższego systemu to własność jest oczywista. Rozrzut tutaj jest ograniczony, np. dla przy badaniu ilości trafień czwórek zawsze. Tutaj też następuje powielanie, ale tylko pewnych numerów w zakładach a zakłady proste nie są powielane. 3. Trzecią grupą systemów w kolejności pod względem rozrzutu jest pełny system liczbowy w którym występują wszystkie kombinacje dowolnie wybranych liczb. W skrócie nazywamy ten system, system lub system liczbowy. Jest to szczególny przypadek poprzedniego systemu dla. Zatem ma mniejsze rozrzuty od poprzednich systemów przy trochę większej ilości zakładów prostych w systemie a przy mniejszej ilości zakładów prostych rozrzuty systemów są prawie takie same. Tym systemom poświęcone są wszystkie punkty do 6 włącznie. Rozrzut tutaj jest ograniczony, np. dla zawsze. 4. Czwartą grupą w kolejności pod względem rozrzutu jest kombinacja systemu z punktu 3 lub punktu 2 z innymi mniejszymi systemami. Tzn. większym systemem ograniczamy się do pewnego dużego zbioru zakładów prostych a z tego zbioru mniejszymi systemami tego samego typu czy innymi, ograniczamy się do mniejszego podzbioru. Np. z dużego systemu wybieramy w sposób równomierny mniejszymi systemami liczbę tych systemów lub zakładów prostych. Można wybierać jeszcze bardziej w sposób równomierny np. pozostawiając wybrane zakłady, które mają co najwyżej pewną liczbę wspólnych elementów z istniejącymi zakładami, mniejszą istotnie od - ilości liczb w zakładzie prostym. Przykład takiego wyboru istnieje w punkcie 7.2. Gdy takim postępowaniem wybierzemy wszystkie możliwości większego systemu bez powielania, to jest to rozpiszemy większy system na dopuszczalne mniejsze i będzie on działać jak większy wyjściowy system, rozrzut rozpisania będzie taki sam. Zatem te systemy będą mieć rozrzuty gdzie rozrzut systemu wyjściowego i zależne od ilości zakładów prostych systemu ale nie w sposób proporcjonalny liniowy. Patrz Wykres Takich systemów podawanych w Internecie jest mnóstwo i prawie wszyscy stosują podzbiory w których zakłady różnią się co najmniej trzema numerami czy też dwoma i czterema numerami. Tym sposobem strzelają sobie w piętę, gdyż jak większym systemem trafimy np. 5 liczb w Lotto to wybierając w sposób równomierny ale z zakładami różniącymi się co najwyżej trzema numerami, to system utrudni prawie do zera trafienie piątki. Zawierając tyle samo zakładów w sposób równomierny mamy zdecydowanie większe trafienie piątki. Np. dla trafiając systemem większym piątkę mamy prawie pewną piątkę lub nawet więcej zawierając

18 zakłady równomiernie bez ograniczeń, a wybór tak aby wszystkie różniły się co najmniej trzema numerami mamy prawdopodobieństwo trafienia piątki prawie zero. Jak trafimy czwórkę których jest zdecydowanie więcej to nie może być już trafiona piątka. 5. Można zawierać zakłady w jednym losowaniu w sposób równomierny czyli sposobem na chybił trafił. Losując liczby na chybił trafił pomijając wylosowane już liczby w zakładzie prostym, zmienne losowe związane z zakładami prostymi tak utworzonego zbioru zmiennych losowych /który można traktować jak jako system/ są niezależne i są niezależne z innymi zmiennymi tak zawieranymi w innych losowaniach. Wtedy rozrzut tego systemu. Czyli statystyka porównawcza w granicy ma rozkład normalny standaryzowany. Opisane powyżej systemy mają rozrzut większy od jedności. 6. Istnieją systemy, które zmniejszają rozrzut w stosunku do rozkładu równomiernego. Patrz punkt 7.4. Istotą tych systemów jest, że każdy zakład prosty ma z innym zakładem prostym mało numerów wspólnych nie przekraczającą pewną ustaloną wartość. Powstają przeważnie przez losowanie równomierne odrzucając te które z już istniejącym zakładem ma numerów wspólnych większą od ustalonej liczby, lub z pewnej układanki o podobnej własności. Zatem analizując typy systemów, na wielkość rozrzutu wpływa ilość zakładów takich samych /jest to największy czynnik zwiększający rozrzut/ oraz ilość zakładów prostych spokrewnionych mających dużo liczb wspólnych z dużą ilością zakładów prostych systemu. Jest to logiczne, gdyż wartość oczekiwana zmiennej losowej związanej z systemami o tej samej ilości zakładów prostych jest taka sama a rozrzut wynika z trafienia w skupisko zakładów spokrewnionych czy takich samych w systemie. Występowanie w systemie dużej ilości zakładów spokrewnionych czy takich samych oznacza, że jest trudniej trafić, ale jak trafimy to mamy dużo trafień, czego nie ma w przypadku rozkładu równomiernego. Operacja odwrotna przy wyborze równomiernym zakładów prostych /dla której / odrzucanie zakładów spokrewnionych czy takich samych prowadzi do zmniejszenia odchylenia granicznego. 13 Podsumowanie Artykuł można powiedzieć, że zaczął się od zebrania danych z gry w Lotto Przykład z 41 losowań od dn r. do dn r., gdzie było zawartych n = zakładów prostych i uzyskano liczby trafionych odpowiednio były następujące: szóstek, piątek, czwórek, trójek dla których wartości statystyk dla odpowiednich stopni wygranych. Przy założeniu, że zmienne losowe związane z zawieranymi zakładami są niezależne to z twierdzenia Lindeberga-Levy ego mielibyśmy uzyskane wartości bardzo mało prawdopodobne /oprócz drugiego związanego z badaniem ilości trafnych piątek/ co z kolei rzucałoby cień na prawidłowość przeprowadzenia zakładów. Osoby którym przedstawiałem te wyniki i którym jest znana dobrze statystyka odpowiadali, że w grach zachodzą bliżej nieokreślone prawidłowości i z tak uzyskanych wyników niczego nie można wnioskować. Przedstawione i uzyskane w pracy wyniki oraz przedstawiona pewna idea postępowania i analizowania, w tej sytuacji i wielu innych daje nam odpowiedz na wynikłe niejasności z uzyskanych powyżej wyników, w wielu innych przypadkach. Odstępstwa od twierdzenia Lindeberga-Levy ego tutaj są rzeczą normalną, gdyż zawierane zakłady proste za pomocą systemów są już zależne.

19 Ponadto w artykule przedstawione jest jak poszczególne systemy wpływają na odstępstwa. Natomiast w przypadku badania za pomocą tej statystyki trafienia stopnia najwyższego, gdy ilość losowanych liczb jest taka sama jak ilość typowanych liczb w zakładzie prostym mamy, że systemy oprócz systemu powielania czy zwiększania stawki nie wpływają na rozrzut. W Lotto toczy się gra o najwyższy stopień a powielanie powoduje, że zdecydowanie zmniejsza szansę trafienia stopnia najwyższego a jak trafilibyśmy powielaniem to i tak nie wygramy więcej. Także w Lotto nie ma sensownych gier opisanych w punkcie 11 o w miarę przyzwoitej przeciętnej długości cyklu. Powielanie zdecydowanie lepiej można stosować w innych gach. Co prawda w próbie mieliśmy dwa razy po trzy trafienia i jedno z dwoma trafieniami, ale one nie wynikły z powielania /można sprawdzić/ tylko brania pól po równo aby później nie dzielić się. Zatem wynik w przypadku badania ilości trafień szóstek upoważnia mówić, że z prawdopodobieństwem co najmniej 95% wynikł z nieprawidłowości przeprowadzania losowań. Był to okres gdy nastąpiły istotne zmiany w obsadzie Lotto i pewna grupa osób na początek zadbała o siebie mniejszymi pulami aby nie rzucało się to zbytnio w oczy. Może tutaj zaistnieć błąd testu ale w tym przypadku byłby z małym prawdopodobieństwem. Wyniki statystyczne nie są dowodami w sprawie przestępstwa ale mogą być sygnałem do zbadania sprawy przez organy ścigania. W przypadku badania ilości trafień niższych stopni statystyki mają dobre przybliżenie rozkładowi granicznemu na podstawie jednego losowania, ale nie znamy procentowych udziałów poszczególnych systemów /w trakcie przyjmowania zakładów komputer może policzyć procenty/ w całości zawartych zakładów. Dlatego ta statystyka nie może służyć do przeprowadzania testów na prawidłowość przeprowadzania zakładów. Natomiast może służyć do analizy jak działają systemy gdybyśmy grali ciągle tym samym systemem czy też grupą systemów. Wartości statystyk z przykładu punktu 5.2 w drugiej tabeli o numerach 6 i 56 są dziwnie duże i nie można ich osiągnąć za pomocą wzoru na odchylenie standardowe dopuszczalnych systemów. Losowanie dla jednej osoby kończyły się sukcesem, ale chyba za pomocą dużego systemu który został rozpisany mniejszymi. Może być tak, że zostaje dopuszczona do wylosowania duża grupa numerów aby przy przypadkowym losowaniu drugi raz tym zestawem nie powtórzyły się te same liczby jak to bywało. Prawidłowość przeprowadzania losowania można sprawdzić za pomocą komisji i testu Pearsona, przeprowadzając pewną liczbę losowań tymi samymi kulami zaraz po zakończeniu losowania. Chyba coś takiego jeszcze nie wydarzyło się. W przypadku testu na prawidłowość pojawiania się wygranej najwyższego stopnia losowania należy łączyć, gdyż dla bardzo małych prawdopodobieństw próba powinna być duża. Inną nieprawidłowością przeprowadzania gry jest możliwość podkładania kuponów po losowaniu. W artykule są przedstawione również inne systemy niż systemy liczbowe z ogólnymi wzorami rozkładów zmiennych losowych związanych z tymi systemami dla dowolnych gier, ich wzajemne związki oraz klasyfikacja systemów ze względu na rozrzut i podstawowe własności. Ponadto przedstawiony został ogólny sposób badania dowolnych cech występujących w grze nie tylko w przypadku badania cechy związanej z ilością trafień w poszczególnych stopniach czy też dotyczącej wielkości wygranej pieniężnej za pomocą dowolnego systemu. Istotnym elementem artykułu jest odpowiedz na istniejącą famę, że istnieje grupa ludzi która żyje tylko z gier liczbowych. Ja bym dodał: owszem prowadzący gry liczbowe i zabierając przeważnie 60% pieniędzy za zawarte zakłady, nic im nie grozi płacąc z góry za trafienia w poszczególnych stopniach określone stawki. Natomiast grający systemami czy też na chybił trafił nie mają żadnych

20 szans grając dłużej być wygranym. Stwierdzenie poparte jest co prawda obliczeniami dla niektórych systemów i gier ale z przedstawionej ogólnej analizy ilości wygranych wynika, że to dotyczy wszystkich systemów i gier. Chyba, że przeciętna ilość wygranej przez zakład jest większa od kosztu zawarcia zakładu. Co prawda istnieje pewna strategia zawierania zakładów w grze liczbowej poprzez systemy, która pozwala być po dłuższej grze być wygranym dla ludzi mających nieograniczoną liczbę pieniędzy. Patrz punkt 11. Ale ona jest niebezpieczna i można stać się bankrutem niewypłacalnym przez całe życie. W miarę bezpieczną grą metodą poprzez powielanie aby odegrać to co się przegrało i koszt zawarcia zakładów jest pewna gra w FENO ale chyba tam losowanie liczb wygranych przez komputer odbywa się przy znajomości obstawień przez grających i dla intruzów chcących tą metodą wygrać za dużo pieniędzy może zrobić niespodziankę. Strategia postępowania poprzez powielanie jest związana z sytuacją zaistniałą dotychczasową grą i nie można nazwać systemem. Zatem nie ma systemów które gwarantowałyby nam wygrane. Przedstawione są pewne symulacje i obliczenia pokazujące, że do pewnego momentu pewna nie mała grupa grających może być wygrana i wskazuje się granice do której można ryzykować. Dalsze granie doprowadzi nas do pewnej przegranej. W artykule są przedstawione pewne rady i możliwości szukania pewnego wyjścia z beznadziejnej perspektywy np. dobierając pewne systemy do naszych umiejętność analizy losowanych wygranych liczb. Np. gdy potrafimy trafić pojawianie się w losowaniu liczby częściej niż przeciętnie lub potrafimy częściej wytypować kilka czy kilkanaście liczb które nie będą wylosowane. Są przedstawione systemy, które to wykorzystają z odpowiednim rozrzutem dającym większe wygrane z pewnymi radami w tych przypadkach. Zaskakujące ale logiczne jest stwierdzenie, że systemy istotne zmniejszają prawdopodobieństwo trafienia poszczególnych stopni w stosunku do prawdopodobieństwa gdybyśmy grali sposobem na chybił trafił obstawiając tyloma zakładami co istnieje w systemie. Natomiast grając systemem o większym rozrzucie niż jeden będzie większa grupa wygranych do pewnego momentu grając za te same pieniądze. W grach gdy ilość losowanych liczb i obstawianych w zakładzie prostym jest taka sama to prawdopodobieństwo trafienia stopnia najwyższego jest takie same i systemy nie działają na rozrzut ilości trafień tego stopnia. To wpływa na korzyść systemów licząc, że będziemy w tej większej grupie wygranych. Istnieje druga strona medalu, że możemy być w większej grupie która mniej odegra a więc więcej przegra. W przypadku gdy ilość losowanych liczb jest większa od obstawianych w zakładzie prostym to prawdopodobieństwa trafienia najwyższego stopnia jest istotnie na korzyść metody chybił trafił. Czy zakaz zawierania zakładów w tym przypadku systemami jest podyktowany dobrem grających czy lękiem przed trafieniem np. 14 liczb w systemie 14 liczbowym Multi Multi czy FENO?. W tym przypadku prowadzący grę musieliby wypłacić zł. co mogłoby przynieść istotny kryzys. Nie wytłumaczalnym dla mnie jest fakt, że przy istniejących dwóch grach prawie analogicznych z niewielką różnicą w wielkości wygranych odpowiednich stopni, istotną różnicą w przeciętnej wygranej obstawiając zakład prosty który mówi, że przeciętnie powinniśmy odegrać w Multi Multi 40% a w FENO 57% pieniędzy przeznaczonych na zawarcie zakładów, istnieje duża grupa a nawet zdecydowanie większa grająca w Multi Multi. Ja bym zdecydowanie wybrałbym grę FENO tym bardziej, że tam można najbezpieczniej stosować powielanie. Chyba, że istnieje coś co ja nie znam. Może moje przypuszczenie, że losowania odbywają się z znajomością obstawień, dla niektórych jest znane i przekazują znajomym. Może jest to podyktowane mała znajomością teorii gier. Artykuł może przyczyni się do większego zrozumienia praw zachodzących w grach liczbowych.

21 Istotnymi elementami artykułu jest aparat matematyczny i wzory ogólnej postaci pokazujący jak zagadnienie praktyczne można zapisać, za pomocą których można przeprowadzić analizę. Wyprowadzone wzory na rozkłady zmiennych losowych systemów można zastosować w Excelu do natychmiastowych obliczeń dla dowolnej gry liczbowej, wprowadzając tylko odpowiednie liczby dla parametrów związanych z grą. Takie wzory w Excelu wykonałem dla wszystkich zmiennych losowych w artykule, za pomocą nich mogę tworzyć nieskończenie wiele tabel i wykresów analogicznych zamieszczonych w artykule dla dowolnej gry liczbowej. Można te wzory lepiej wykorzystać do uzupełnienia funkcji bibliotecznych programów wytworzonych w języku programowania wyższego rzędu, gdyż w stosunku do Excela zawierają one lepszą funkcję sumowania For. Wykresy i tabele pojawiałyby się na ekranie czy zostałyby wydrukowane jednym poleceniem. Z wzorów na wartość oczekiwaną zmiennej losowej można utworzyć wzory na sumę szeregów dobierając odpowiednie ciekawe liczby niektórych parametrów. Przedstawiona została metoda do tworzenia wzorów na rozkłady systemów za pomocą innych systemów. Jest wiele innych problemów związanych z przedstawionym materiałem, które można dalej uściślać i rozwiązywać. Michał Gremaniuk Zakład Analizy Zespolonej Niektóre tabele i wykresy związane z systemem z numerami stałymi w badaniu ilości pieniędzy wygranych zakłady tym systemem czy wyborem równomiernym z ustalonego k systemu. Tabela i wykres : 6 1 0,41 1, ,41 1, ,41 1, ,87 1, ,46 1, ,05 1, ,46 1, ,60 1, ,14 1, ,39 1, ,93 1, ,33 1, ,98 1, ,59 1, ,66 1, ,17 1, ,18 1, ,59 1, ,33 1, ,17 1, ,98 1, ,62 1, ,29 1, ,12 1, ,58 1, ,96 1, ,68 1, ,31 1, ,72 1, ,76 1, ,89 1, ,58 1, ,86 1, ,38 1, ,49 1, ,90 1, ,07 1, ,69 1, ,20 1, ,25 1, ,18 1, ,50 1, ,36 1, ,11 1, ,92 1, ,50 1, ,14 1, ,04 1, ,43 1, ,94 1, ,79 1, ,94 1, ,51 1, ,57 1, ,59 1, ,65 1, ,14 1, ,93 1, ,34 1, ,70 1, ,11 1, ,18 1, ,84 1, ,86 2, ,75 1, ,57 1, ,91 2, ,05 1, ,31 1, ,84 2, ,93 1, ,88 1, ,30 2, ,46 1, ,53 1, ,65 2, ,35 2, ,89 1, ,03 2, ,38 2, ,03 1, ,82 2, ,79 2, ,40 1, ,50 2, ,68 2, ,89 1, ,94 2, ,45 2, ,77 1, ,13 2, ,19 2, ,74 1, ,22 2, ,09 2, ,90 1, ,07 2, ,85 2, ,76 2, ,18 2, ,10 2, ,25 2, ,98 2, ,80 2, ,69 2, ,03 2, ,43 2, ,81 2, ,24 2, ,58 2, ,95 2, ,82 2, ,54 3, ,50 2, ,88 1, ,23 3, ,41 2, ,12 3, ,89 2,6240

22 Odchylenie standardowe τ Rozrzut k systemów dla różnych u - ilości numerów stałych 1,14 1,12 1,10 1,08 1,06 1,04 1,02 1, Liczba zakładów prostych w k systemie u-0 u=1 u=2 Dla i następuje zmiana kolejności przy 462 zakładach prostych. Dla i następuje zmiana kolejności przy 210 zakładach prostych. Dla i następuje zmiana kolejności przy 162 zakładach prostych. Po tych granicach wartość odchylenia standardowego jest rosnąca w następującej odpowiednio kolejności ; ;. Analogiczna prawidłowość występuje w innych grach dla systemów z stałą ilością numerów stałych. Tabela i wykresy : ,0 1, ,0 0, ,0 0, ,3 1, ,2 1, ,2 1, ,5 2, ,3 2, ,1 2, ,7 4, ,1 3, ,9 3, ,4 5, ,7 4, ,6 4, ,1 7, ,7 6, ,0 5, ,9 9, ,8 7, ,1 6, ,9 12, ,0 9, ,2 8, ,3 15, ,4 12, ,4 9, ,0 19, ,7 14, ,4 12, ,0 24, ,0 18, ,3 14, ,0 36, ,0 27, ,0 21, ,4 52, ,3 39, ,1 30, ,7 73, ,7 54, ,0 39, ,2 100, ,1 72, ,7 51, ,8 133, ,6 95, ,6 66, ,9 175, ,8 122, ,5 83, ,7 225, ,4 154, ,9 103, ,5 285, ,2 193, ,7 126, ,7 356, ,2 239, ,2 154, ,8 439, ,5 292, ,8 185, ,1 703, ,0 462, ,5 283, ,3 1053, ,3 695, ,0 415, ,6 1486, ,9 1004, ,3 587, ,8 1979, ,8 1402, ,6 806, ,1 2472, ,0 1900, ,4 1080, ,3 2832, ,2 2511, ,6 1417, ,1 2881, ,4 2790, ,0 1571, ,7 2828, ,2 3090, ,9 1737, ,2 2608, ,1 3411, ,6 1915, ,2 2077, ,7 3753, ,4 2107, ,0 1556, ,8 3933, ,1 2208, , ,0 4119, ,2 2312,646