Wypór i równowaga ciał pływających po powierzchni Reakcja cieczy na ciało w niej zanurzone nazywa się wyporem. Siła wyporu działa pionowo i skierowana jest w górę. Wypór hydrostatyczny (można też mówić o wyporze ciała znajdującego się w przestrzeni wypełnionej powietrzem i powodującym zmniejszenie ciężaru ciała) utożsamiamy ze składową pionową parcia W = P y. Rys. 1. Pływanie ciał - identyfikacja objętość części zanurzonej i objętości bryły parcia 1. Wprowadzenie Wypór hydrostatyczny jest siłą [N]. Wypór ciała zanurzonego w cieczy zależy od rodzaju cieczy oraz objętości zanurzonej części ciała i opisany jest wzorem: W = γv b (1) gdzie: V b objętość części ciała zanurzonej w cieczy - równa bryle parcia. Porównując ze sobą wypór W i ciężar ciała G można wyróżnić trzy przypadki: W > G, W < G oraz W = G. Ciało pływa po powierzchni cieczy gdy nie tylko ciężar ciała jest zrównoważony siłą wyporu ale istnieje nadwyżka siły wypory nad jego ciężarem (W > G). W przeciwnym przypadku ciało tonie i opada na dno zbiornika (W < G). Gdy siły wyporu i ciężaru ciała zanurzonego w cieczy zachodzi równość (W = G) to ciało może pływać w całej objętości zbiornika nie wynurzając się na powierzchnię. Punkty zaczepienia wypadkowych sił wyporu i ciężaru znajdują się w środkach ciężkości odpowiednio. W zależności od wzajemnego ułożenia punktów przyłożenia wypadkowych siły wyporu i ciężkości względem siebie można wyróżnić trzy stany równowagi ciała; równowaga trwała, chwiejna i obojętna (Rys. 2).
Rys.2. Pływanie ciał przykłady zaczepienia wypadkowych sił w różnych stanach równowagi: a) równowaga chwiejna, b) trwała, c) obojętna W przypadku gdy punkt zaczepienia siły wyporu znajduje się poniżej punktu przyłożenia siły ciężkości siły te będą wywoływać moment obrotowy, który będzie obracał ciało wokół własnej osi. Równowaga jest trwała gdy kierunek działania obu sił jest taki sam oraz gdy punkt zaczepienia wyporu znajduje się wyżej niż punk zaczepienia siły ciężkości. Wynika z tego, że im odległość pomiędzy punktami zaczepienia sił jest większy (W ponad G) to stan równowagi jest pewniejszy i ciało można odchylić od pionu o większą wartość. Miarą pozwalającą ocenić stan równowagi ciał pływających (W>G) i porównywać ze sobą różne obiekty jest wysokość metacentryczna (metacentrum): J m = x h (2) V Gdzie: J x moment bezwładności przekroju bryły pływającego ciała względem osi obrotu, V objętość części zanurzonej ciała (bryły parcia), h odległość środka wyporu od środka ciężkości bryły (Rys. ). Ze wzoru (2) wynika, że parametr m jest kryterium stateczności ciał pływających (w wodzie?). Wysokość metacentryczna uzależniona jest od kształtu i wielkości ciała oraz od rozmieszczenia jego obciążenia: J x /V>0 i h<0 równowaga trwała, po wychyleniu ciała środek ciężkości zlokalizowany jest poniżej środka wyporu (m>0). Ciało wytrącone z równowagi wraca do stanu pierwotnego. h>0 i h<j x /V (2h<m??)- gdy środek ciężkości zlokalizowany jest powyżej środka wyporu równowaga trwała tylko w tym zakresie, h=j x /V wtedy m=0 i ciało jest w równowadze obojętnej.
Rys.. Wysokość metacentryczna (dla ciał pływających) 1. Zadanie Na dnie naczynia znajduje się sześcian o boku a=20 cm. Obliczyć wartość wyporu w przypadku gdy: a) położony jest na szorstkiej powierzchni i nie przylega podstawą do dna naczynia, b) ściśle przylega podstawą do dna naczynia. Rys.4. Schemat obliczeniowy 1.1. Rozwiązanie Przedstawione na Rys. 4 ciała spoczywają na dnia zbiornika. Sześciany te zanurzone są w cieczy można spodziewać się, że działa na nie siła wyporu. Jeżeli skorzystamy z tradycyjnego podejścia, w którym wielkość V b traktujemy jako objętość części ciała zanurzonej w cieczy możemy dojść do niepoprawnych wyników. W takim przypadku: a) V b objętość części ciała zanurzonej w cieczy W = γ a b) V b objętość części ciała zanurzonej w cieczy V b = a V b = a W = γ a Przy bardziej wnikliwym podejściu do wyporu, tj. kiedy wypór traktujemy jako składową pionową parcia W=P y okaże się że zaprezentowane wyniki są obarczone dużą niepewnością (błędem). Po wykonaniu wykresów składowej pionowej parcia (Rys. 5) i traktowaniu V b jako
objętości bryły parcia okazuje się, że w przypadku drugim siła wyporu nie występuje. Co więcej sześcian ten jest przyciskany do podłoża. Po uwzględnieniu faktu, że wypór to inaczej składowa pionowa parcia wyniki przedstawiają się następująco: a) W = γ b) W = 0 a Rys.5. Schemat składowej pionowej parcia P y (widok 2D w układzie D) 1.2. Dyskusja wyników Kluczowym zagadnieniem przy rozstrzygnięciu o wielkości parcia w przypadku, gdy przedmiot przylega do dna naczynia jest brak dostępu wody do dolnej powierzchni ciała. Oznacza to, że brak jest parcia na dolną powierzchnie sześcianu. Warunek ścisłego przylegania przedmiotu do dna naczynia może wydawać się tylko postulatem lub wręcz, że przedmiot ten jest przyklejony do dna. W praktyce warunek braku kontaktu dolnej powierzchni z wodą a tym samym braku parcia na dolną powierzchnie może to być spełniony w przypadku klapy zamykającej otwór (Rys. 6). Rys.6. Składowa pionowej parcia na klapę (widok 2D) 2. Siła wyporu w nowej roli Skoro na każde ciało zanurzone w cieczy działa siła, której wartość i kierunek działania potrafimy określić to spróbujmy wykorzystać ją do stworzenia układu napędzanego siłą wyporu. Pomysł na taki układ jest następujący: na bloczkach, które mogą obracać się wokół własnej osi bez zbędnego tarcia rozciągnięty jest elastyczny pas. Jedna strona tego pasa zanurzona jest w wodzie. Pas ten przechodzi przez otwór w dnie naczynia. Przejście to nie wytwarza oporu a ewentualne ubytki wody są na bieżąco uzupełniane.
Na część pasa znajdującego się w wodzie działa siła wyporu W, która powoduje przesuwanie się kolejnych jego fragmentów i obrót bloczków zgodnie z ruchem wskazówek zegara (Rys. 7). Rys.7. Wykorzystanie wyporu do napędu układu Wydaje się, że zaprezentowany opis działania tego układu układa się w poprawny ciąg myślowy. Gdy uświadomimy sobie, że wypór jest składową pionową parcia, oczywiste staje się, że ten układ nie będzie działał. Nie będzie działał ponieważ brak jest siły napędowej. Niesłusznie założono że istnieje wypór, w rzeczywistości W=0 ze względu na to, że P y =0 (brak składowej pionowej parcia). Gdyby jednak udało się zmodyfikować ten układ tak aby wykorzystać siłę, która działa na każde zanurzone w cieczy ciało stworzono by perpetuum mobile. Nie ustawajcie w wysiłkach. Literatura: Błażejewski R., 1991, 100 prostych ćwiczeń z wodą i powietrzem, Wyd. Nauk.-Techn., Warszawa, Kubrak J.,1998, Hydraulika techniczna, Wyd. SGGW, Warszawa, Podniesiński A., 1958, Zbiór zadań z hydrauliki, PWN, Łódź. Katedra Inżynierii Wodnej, Wydział Inżynierii Środowiska i Geodezji Uniwersytet Rolniczy w Krakowie rmksiaze@cyf-kr.edu.pl