Zeszyty Naukowe nr 726 Akademii Ekonomicznej w Krakowie 2006 Katedra Statystyki Analiza zależności ekstremalnych. Wprowadzenie W dobie globalizacji gospodarki zarządzający ryzykiem w instytucjach finansowych stoją przed nowymi wyzwaniami. Kryzysy w jednych częściach świata mają negatywne i nierzadko natychmiastowe konsekwencje dla rynków w innych częściach. Załamanie kursów na giełdach w Azji może powodować spadki cen w Europie lub Ameryce. Dlatego aby zabezpieczyć się przed stratą wartości portfela, zarządzający ryzykiem nie mogą ograniczać się do wyboru instrumentów z różnych sektorów czy rynków, ale muszą również analizować, czy pomiędzy nimi nie zachodzą tzw. ekstremalne zależności, które oznaczają równoczesny ekstremalny ruch cen. W niniejszym artykule przedstawiono elementy teorii wartości ekstremalnych, które mogą być wykorzystywane w szacowaniu i analizowaniu zależności ekstremalnych. Twierdzenia przedstawione w pracy zostaną zilustrowane przykładem, w którym wykorzystano procedurę analizy ekstremalnych zależności pomiędzy indeksami giełdowymi WIG20 i Dow Jones. 2. Elementy teorii wartości ekstremalnych Teoria wartości ekstremalnych (TWE) jako gałąź statystyki opisuje graniczne własności wartości ekstremalnych. Klasyczne podejście charakteryzuje zachowanie normalizowanych maksimów zmiennych losowych i może być sformułowane w postaci niżej podanego twierdzenia [Coles 200]. Twierdzenie. Niech X,, X n będą zmiennymi losowymi niezależnymi o takim samym rozkładzie z dystrybuantą F. Oznaczmy M n := max(x,, X n ).
92 Niech a n, b n będą takimi ciągami, że dla pewnej dystrybuanty G zachodzi: lim n P M n b n a n x = G(x), x R. () Wtedy G jest jedną z dystrybuant typu: Frechet 0, x 0 (x) = exp x,, Weibull Gumbel ( ) x > 0 > 0 ( ( ) ) x < 0 (x) = exp x,, x 0, > 0 (2) (3) Λ(x) = exp( x x ), x R. (4) Powyższe dystrybuanty są nazywane dystrybuantami wartości ekstremalnych. Możliwe jest przedstawienie powyższych funkcji w syntetycznej postaci, zwanej dystrybuantą uogólnionego rozkładu wartości ekstremalnych (generalized extreme value distribution, GEV): H,μ, (x) = exp + x μ +, 0 x R, (5) exp exp x μ, = 0 gdzie: x + = max(x, 0). Przypadek: ξ > 0 odpowiada rozkładowi Frecheta, gdzie ξ = α, ξ < 0 odpowiada rozkładowi Weibulla, gdzie ξ = α, ξ = 0 odpowiada rozkładowi Gumbela. Modelowanie zachowania normalizowanych maksimów w praktyce realizuje się poprzez wykorzystanie maksimów zmiennych w rozłącznych przedziałach czasu (metody te są nazywane metodami blokowymi) w kolejnych miesiącach, kwartałach czy latach.
Analiza zależności ekstremalnych 93 Podobnie jak w przypadku jednowymiarowym, wielowymiarowy rozkład wartości ekstremalnych może być opisywany metodami blokowym. Niech (X, Y ), (X 2, Y 2 ), oznacza ciąg niezależnych wektorów o rozkładzie z dystrybuantą F(x, y). W wypadku opisu dystrybuanty F metodami blokowymi należy oznaczyć: M x, n = max { X i }, M y, n = max { Y i }, M n = ( M x, n, M y, n ). (6) i=,, n i=,, n Wektor M n jest wektorem, którego składowymi są maksymalne wartości zmiennych losowych X i Y. Opis wielowymiarowego rozkładu wartości ekstremalnych jest najprostszy w przypadku, gdy rozkłady brzegowe są standaryzowanymi rozkładami Frecheta. Standaryzacji tej dokonuje się dzieląc wektor M n przez n. Rozważa się zatem wektor M * n = ( M x, n n, M y, n n). Poniższe twierdzenie opisuje wielowymiarowego rozkładu wartości ekstremalnych, w przypadku gdy n. Twierdzenie 2 [Coles 200]. Niech wektor M * * * n = ( M x, n, M y, n ), gdzie (X, Y ) są i i niezależne, będzie miał składowe brzegowe opisywane standaryzowanym rozkładem Frecheta. Wtedy, jeśli: * Pr((M x, n * < x, M y, n, y) G(x, y), (7) to ( ) = exp V ( x, y) G x, y { }, x > 0, Y > 0, (8) gdzie: V(x, y) = 2 max x w, w y a H jest dystrybuantą spełniającą warunek: 0 dh (w), (9) wdh (w) = 0,5. (0) 0 Dystrybuanty spełniające warunek (8) są nazywane dwuwymiarowymi dystrybuantami wartości ekstremalnych. W odróżnieniu od przypadku jednowymiarowego, gdzie opis jednowymiarowej dystrybuanty ograniczał się do trzech typów (Frechet, Gumbel, Weibull) wielowymiarowy rozkład jest opisywany poprzez możliwe warianty dystrybuanty H. Dowolna dystrybuanta spełniająca warunek (0) (takich dystrybuant jest nieskończenie wiele) generuje kolejne typy funkcji G, zatem w przypadku wielowymiarowym nie ma skończonej liczby rodzin generujących wszystkie możliwe typy wielowymiarowych rozkładów wartości ekstremalnych. W praktyce postać dystrybuanty G jest szczególnym przypadkiem funkcji należą-
94 cych do jednej ze znanych rodzin dystrybuant wartości ekstremalnych. Najpopularniejszą z nich jest rodzina rozkładów logistycznych dana formułą: G(x, y) = exp x + y, x, y > 0, (0,). () Zaletą takiego opisu jest możliwość zaobserwowania i łatwej interpretacji zależności pomiędzy badaną parą zmiennych. W przypadku gdy α, badane zmienne są niezależne, gdy α 0, występuje przypadek dodatniej zależności pomiędzy zmiennymi. Innymi rodzinami opisującymi dystrybuantę G są: model bilogistyczny, model Dirichleta [Coles 200, s. 47], w których nie zakłada się symetrycznej zależności pomiędzy badanymi zmiennymi. Alternatywą do stosowania wyżej przedstawionych metod modelowania wielowymiarowego rozkładu wartości ekstremalnych jest użycie funkcji połączeń (copula function). Funkcje połączeń to dystrybuanty wielowymiarowych rozkładów jednostajnych. W wypadku gdy rozważany jest wektor (X,, X n ) o dystrybuancie F, to o ile wszystkie jednowymiarowe rozkłady brzegowe F,, F n są ciągłe, wówczas istnieje jedyna funkcja połączeń C F rozkładu F, taka że (tw. Sklara, 959) [Embrechets, Lindskog, McNeil 200]: F ( x,, x n ) = C F ( F ( x ),, F ( x n )). (2) Ponieważ funkcja połączeń nie zależy od rozkładów brzegowych, więc zawiera wszystkie informacje dotyczące zależności pomiędzy składnikami wektora (X,, X n ). Możliwość wykorzystania funkcji połączeń w analizie wielowymiarowego rozkładu wartości ekstremalnych, w przypadku gdy rozważane są maksima blokowe, przedstawia poniższe twierdzenie [Bouye 2002]. Twierdzenie 3. Niech M n = ( M x, n,, M xd, n ) = max X, k,, max X d, k k=,, n k=,, n gdzie (X, n,, X d, n ) jest wektorem losowym o rozkładzie F, dystrybuantach brzegowych F,, F d oraz funkcji połączenia C. Wówczas warunek:, lim n P M x, n b, n a, n x,, M x d, n b d, n a d, n x d = G (x,, x d ), (x,, x d ) R d, a j, n > 0 (3) Wykorzystanie funkcji połączeń w metodach progowych analizy wartości ekstremalnych zawiera np. praca [Yamai, Yoshiba 2002].
Analiza zależności ekstremalnych 95 zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy:. Dla każdego j =,, d istnieją a j, n, b j, n i dystrybuanta graniczna G j, takie że: lim n P M x j, n b j,n a j, n x j = G j (x j ), x R. (4) 2. Istnieje funkcja połączenia C, taka że: C (u,, u d ) = lim C n (u /n,, u /n d ). (5) n Jeżeli powyższe warunki są spełnione, zachodzi równość: G (x,, x d ) = C ( G (x ),, G d (x d )). (6) Funkcja połączenia, dla której spełniony jest warunek: C(u t,, u N t ) = C t (u,, u N ), (7) nazywana jest funkcją połączenia dla wartości ekstremalnych (extreme value copula). Analogicznie jak w przypadku klasycznego modelowania wielowymiarowej dystrybuanty wartości ekstremalnych, nie istnieje skończona liczba rodzin funkcji połączeń dla wartości ekstremalnych. 3. Wybór optymalnej funkcji połączenia Wielowymiarowy rozkład zmiennej losowej może być reprezentowany przez dystrybuanty brzegowe oraz funkcję połączeń. Wybór odpowiedniej funkcji połączeń sprowadza się do wytypowania najlepszej funkcji spośród skończonego zbioru kandydatów S (który jest podzbiorem zbioru wszystkich możliwych funkcji połączeń). Optymalna, najlepsza funkcja to ta, której odległość, mierzona np. odległością opartą na normach L p od empirycznej funkcji połączeń, jest najmniejsza spośród wszystkich dystrybuant w zbiorze S. W celu rozpoczęcia procesu porównywania odległości pomiędzy funkcjami połączeń należy wyznaczyć empiryczną funkcję połączenia. Problem pojawiający się w tym miejscu polega na tym, że skończona próba wyznacza empiryczne dystrybuanty brzegowe będące funkcjami skokowymi, z czego wynika, że funkcja połączenia opisująca zależności pomiędzy zmiennymi brzegowymi nie jest określona w sposób jednoznaczny (tw. Sklara). Może się wiec zdarzyć, że różne funkcje połączeń brane ze zbioru kandydatów są najbliższe różnym empirycznym
96 funkcjom połączeń. Aby ominąć tę niejednoznaczność, P. Deheuveles w 979 r. zaproponował następującą definicję [Durrleman 2000]. Definicja. Niech X = x t T t {(, x 2 )} będzie próbą pochodzącą z wektora losowego (X t=, X 2 ) o dystrybuantach brzegowych odpowiednio F, F 2 i funkcją połączenia C. Dwuwymiarową empiryczną funkcją połączenia na kracie L, gdzie: nazywa się funkcję postaci: L = t Ĉ (T ) T, t 2 T t T, t 2 T : t n = 0,, T (8) = T T t = x t x ( t ), x 2 t x 2 (t ), (9) (t gdzie x ) i jest t-tą kolejną obserwacją w ciągu x () i, x (2) (n) (k ( i,, x i ), gdzie x ) i jest elementem próby, dla którego x () i x (2) (n) ( i x i ), i {, 2}. Tak zdefiniowana funkcja połączenia nie zależy od rozkładów brzegowych i jest zbieżna do dystrybuanty C ( Ĉ(T ) C ). 4. Szacowanie asymptotycznej zależności W celu określenia zależności w ogonie rozkładu dwuwymiarowej zmiennej losowej analizuje się tzw. współczynnik zależności górnego ogona (analogicznie bada się zależność dolnego ogona) dany jako: lub w alternatywnej postaci: = lim u χ = lim Pr { F (X) > u F 2 (Y ) > u} (20) u ( ) 2 log Pr F X (X) < u, F Y (Y ) < u log u. (2) Współczynnik ten mierzy prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia ekstremalnego jednej zmiennej pod warunkiem wystąpienia zdarzenia ekstremalnego dla drugiej. Definicja 2. Zmienne losowe są asymptotycznie niezależne, gdy współczynnik zależności górnego ogona jest równy zeru. Zmienne losowe są asymptotycznie zależne, gdy χ > 0, a wzrost natężenia zależności jest tożsamy ze wzrostem wartości χ.
Analiza zależności ekstremalnych 97 Asymptotyczna niezależność występuje dla bogatej klasy rozkładów. Przykładem jest dwuwymiarowy rozkład normalny, którego zmienne są skorelowane, a współczynnik korelacji zawiera się w przedziale (, ). Dla tego rozkładu niemożliwe jest wystąpienie skrajnie dużych wartości dla obu zmiennych brzegowych jednocześnie. Mimo to dla współczynnika korelacji, którego wartość bezwzględna jest bliska jedności, występowanie zależności można zaobserwować nie tylko w jądrze rozkładu, ale także na umiarkowanie ekstremalnym poziomie [Coles 200, s. 68]. Dlatego też, aby badać natężenie zależności w klasie rozkładów asymptotycznie niezależnych, wprowadza się następujący miernik: = lim u 2 log( u) log Pr(F X (X) > u, F Y (Y ) > u). (22) W przypadku gdy zmienne są asymptotycznie niezależne, χ = 0, zaś χ [, ) wskazuje na natężenie zależności ekstremalnej. Jeśli np. rozważany jest dwuwymiarowy rozkład normalny, wówczas wartość χ jest równa współczynnikowi korelacji pomiędzy zmiennymi brzegowymi. Dla zmiennych asymptotycznie zależnych miernik χ przyjmuje wartość i natężenie zależności ekstremalnych jest wskazywane przez wartość χ. Ponieważ funkcje połączeń niosą ze sobą wszystkie informacje dotyczące zależności pomiędzy zmiennymi losowymi, których rozkłady opisują, można więc przy ich użyciu badać zależności asymptotyczne. Mierniki χ i χ mogą zostać wyrażone w języku funkcji połączeń w następujący sposób: = lim u 2 C(u,u) u (23) = lim u ln( u) 2 ln( 2u + C(u,u)). (24) Analiza pary (χ i χ) daje pełny obraz formy i natężenia asymptotycznej zależności. 5. Przykład empiryczny W niniejszym przykładzie elementy TWE i analiza funkcji połączeń zostaną wykorzystane w celu określenia formy i oszacowania natężenia zależności ekstremalnych. Dane użyte w przykładzie to logarytmiczne stopy zwrotów wartości indeksów Dow Jones i WIG20 z okresu od 3 stycznia 995 r. do 28 listopada 2003 r. W celu uzyskania porównywalności dane zostały zestandaryzowane. Na rys.
98 a) 600 400 2200 b) 0 5 0 5 0 995 996 997 998 999 2000 200 2002 2003 2004 995 996 997 998 999 2000 200 2002 2003 2004 c) 4000 6000 8000 00 d) 6 4 0 2 4 6 2 995 996 997 998 999 2000 200 2002 2003 2004 995 996 997 998 999 2000 200 2002 2003 2004 Rys.. a) Wartość indeksu WIG20 na zamknięciu w badanym okresie, b) Logarytmiczne standaryzowane stopy zwrotu indeksu WIG20, c) Wartość indeksu Dow Jones na zamknięciu w badanym okresie, b) Logarytmiczne standaryzowane stopy zwrotu indeksu Dow Jones Źródło: opracowanie własne. przedstawiono wykresy wartości badanych indeksów, a także analizowane logarytmiczne standaryzowane stopy zwrotów. Parametry rozkładu ogonów zmiennych losowych opisujących ujemne zmiany wartości indeksów (oznaczone symbolem min ) oszacowano metodą największej wiarygodności przy użyciu metody blokowej. Obserwacje zostały podzielone na 07 podokresów, odpowiadających kolejnym miesiącom. Wyniki estymacji parametrów uogólnionej dystrybuanty wartości ekstremalnych (wzór (5)) przedstawia tabela. Tabela. Wyniki estymacji parametrów uogólnionej dystrybuanty wartości ekstremalnych dla badanej pary indeksów Parametr WIG20 min Dow Jones min ˆμ 2,58,549 Źródło: obliczenia własne. ˆσ,263 0,7863 ˆξ 0,397 0,4
Analiza zależności ekstremalnych 99 Parametr kształtu ξ uogólnionej dystrybuanty wartości ekstremalnych dla badanych spadków indeksów jest dodatni, co oznacza, że rozkłady analizowanych zmiennych mają grube ogony. 2 WIG20 8 4 0 0 2 3 4 5 6 7 Dow Jones Rys. 2. Diagram korelacyjny maksymalnych logarytmicznych standaryzowanych zmian indeksów Dow Jones i WIG20 Źródło: opracowanie własne. Rozkład dwuwymiarowy maksymalnych spadków badanych indeksów, które zostały przedstawione na rys. 2, zostanie opisany funkcją połączenia. Przedstawiony diagram korelacyjny wskazuje na niewielki stopień zależności, chociaż z drugiej strony, największe spadki wartości badanych indeksów występowały w tych samych okresach. W celu wybrania optymalnej funkcji połączenia stworzony został zbiór kandydatów S. Elementami zbioru S są wybrane funkcje połączeń dla wartości ekstremalnych oraz (dla porównania) funkcja połączenia normalnego (niespełniająca warunku (7)). Nazwy funkcji połączeń, których parametry będą oszacowane, są przedstawione wraz z ich dystrybuantami w tabeli 2. Oceny parametrów funkcji połączeń otrzymane metodą największej wiarygodności zostały przedstawione w tabeli 3. W celu wybrania najlepszej dystrybuanty oszacowane funkcje zostały porównane do empirycznej funkcji połączenia zdefiniowanej na następującej kracie: i L = 07, j 07 normie L 2 w dyskretnej wersji) ma następującą postać: : i, j {,, 07 }. Odległość użyta do porównania (oparta na
00 d(c i, Ĉ) = 07 07 C i i 07, j Ĉ i 2 07 07, j i= j= 07 gdzie: C i funkcja połączenia należąca do zbioru S, Ĉ empiryczna funkcja połączenia., (25) Tabela 2. Dystrybuanty funkcji połączeń elementy zbioru kandydatów S Funkcja połączenia C(u, v) Gumbel exp ( u + v ) Galambos uv exp ( u + v ) bb5 exp u + v ( u + v ) C Normalna Φ β ( Φ (u), Φ (v)) Źródło: opracowanie własne. uv Tabela 3. Oceny parametrów funkcji połączeń i odległości dystrybuant od empirycznej funkcji połączeń Funkcja połączenia Parametry Odległość Gumbel,287,844 Galambos 0,559,840 bb5 (, 0,55),840 C 2,254 Normalna 0,338 2,737 Źródło: obliczenia własne. Odległość dystrybuant kandydatów od dystrybuanty empirycznej podano w tabeli 3. Wyniki przedstawione w tabeli dowodzą, że dystrybuanty Gumbela, Galambosa oraz bb5 są niemal tak samo odległe od empirycznej funkcji połączenia. Większy dystans od wzorca dzieli dystrybuantę połączenia normalnego. Zdecydowanie najdalej od porównywanej dystrybuanty znalazła się funkcja
Analiza zależności ekstremalnych 0 połączenia odpowiadająca za przypadek niezależności zmiennych brzegowych. W interpretacji zostanie użyta dystrybuanta Galambosa. Ponieważ oszacowany parametr β jest większy od zera, należy przyjąć, że opisywane maksymalne spadki badanych indeksów są asymptotycznie zależne. Natężenie ekstremalnej zależności oszacowane zostało zatem za pomocą wzoru (23) i wyniosło 0,29. 6. Podsumowanie Określanie formy i natężenia asymptotycznej zależności pomiędzy składnikami portfela wydaje się niezbędne w bezpiecznym i skutecznym zarządzaniu ryzykiem. Metodologia przedstawiona w niniejszym artykule pozwala badać zależność w ogonach rozkładów w przypadkach występowania zależności i niezależności asymptotycznej, przez co wydaje się bardzo skuteczna w kontekście zastosowań. Literatura Bouye E. [2002], Multivariate Extremes at Work for Portfolio Risk Management, preprint. Coles S.G. [200], An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values, Springer, London. Durrleman V., Nikeghbali A., Roncalli T. [2000], Which Copula is the Right One?, preprint. Embrechets P., Lindskog F., McNeil A. [200], Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk Management, Report, ETHZ, Zurich. Statystyczne metody oceny ryzyka w działalności gospodarczej [998], red. A. Zeliaś, Wydawnictwo AE w Krakowie, Kraków. Yamai Y., Yoshiba T. [2002], Comparative Analyses of Expected Shortfall and Value-at-Risk under Market Stress, preprint. An Analysis of Extreme Correlations Determining the form and intensity of asymptotic correlation among portfolio components is crucial to safe and effective risk management. In this article, the author reviews extreme value theory and analyses the function of connections that enable the form and intensity of correlations in distribution tails to be estimated. The author presents indicators that afford a complete description of the correlations divided into asymptotically dependent and independent distributions. The article includes a translation of the theory used to determine the extreme correlations between the WIG20 and Dow Jones stock market indices.