Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do laboratorium Przykład obliczeniowy geometrii mas i analiza wytrzymałości Środek ciężkości Moment bezwładności Wskaźnik wytrzymałości na zginanie Naprężenia kryterialne Naprężenia dopuszczalne Andrzej J. Zmysłowski, dr inż. Politechnika Śląska Wydział Organizacji i Zarządzania Instytut Inżynierii Produkcji
Mechanika i Budowa Maszyn, Mechanika Stosowana Stronica 2 z 15 Spis treści. 1 Przykładowy przekrój...3 2 Środek ciężkości pola przekroju belki zginanej...4 3 Centralny moment bezwładności pola przekroju belki zginanej....5 3.1 Moment bezwładności pola przekroju belki zginanej...6 3.1.1 Moment bezwładności dużego trójkąta względem osi...6 3.1.2 Moment bezwładności małego trójkąta względem osi...7 3.1.3 Moment bezwładności półokręgu względem osi...7 3.1.4 Moment bezwładności pola przekroju belki zginanej....8 3.2 Centralny moment bezwładności pola przekroju belki zginanej....8 4Wskaźnik wytrzymałości na zginanie...9 5Naprężenie zginające belkę...9 6 Warunek wytrzymałości belki zginanej...10 7 Numeryczne rozwiązanie problemu...11 Referencje....15
Mechanika i Budowa Maszyn, Mechanika Stosowana Stronica 3 z 15 1 Przykładowy przekrój. Przykładowy przekrój belki zginanej przedstawiono na Rys. 1. Przekrój jest symetryczny względem osi pionowej, zatem środek ciężkości będzie położony na osi symetrii w odległości od podstawy figury. Jak pokazano na Rys. 1, podstawa figury ma wymiar, wysokość trapezu wynosi, a promień półokręgu wynosi. Wysokość figury jest równa podstawie i wynosi, czyli cała figura mieści się na planie kwadratu o wymiarach. Dla wyznaczenia środka ciężkości, momentu Rys. 1 Parametryczny zarys przekroju belki; bezwładności oraz wskaźnika wytrzymałości na! parametr wymiarowy zginanie dokonuje się podziału złożonego pola przekroju na figury proste i dokonuje się superpozycji cech elementarnych na cechy ogólne. Wobec figury przedstawionej na Rys. 1 mają uzasadnienie dwa sposoby podziału:! trapez o podstawie dolnej, podstawie górnej i wysokości, z półokręgiem o promieniu umieszczonym symetrycznie na górnej podstawie trapezu,! trójkąt o podstawie i wysokości, trójkąt ujemny 1 o podstawie i wysokości, z półokręgiem o promieniu umieszczonym symetrycznie w obszarze trójkąta ujemnego. Do dalszej analizy wybrano podział drugi, przedstawiony na Rys. 2. Rys. 2 Figury składowe analizowanego przekroju 1 )Trójkąt mały określa się jako ujemny, ponieważ jego pole powierzchni, moment statyczny oraz moment bezwładności będą w superpozycji uwzględniane ze znakiem minus.
Mechanika i Budowa Maszyn, Mechanika Stosowana Stronica 4 z 15 2 Środek ciężkości pola przekroju belki zginanej Zgodnie z Rys. 2, oznaczając pole powierzchni trójkąta dużego przez, pole powierzchni trójkąta małego przez oraz pole powierzchni półokręgu przez, natomiast położenia ich środków ciężkości względem dowolnie wybranej osi przez, oraz, środek ciężkości pola przekroju belki zginanej, pokazanej na Rys. 1, wyznacza się ze wzoru (1). (1) Licznik ułamka we wzorze (1) przedstawia moment statyczny pola przekroju belki pokazanej na Rys. 1, a mianownik ułamka we wzorze (1) przedstawia całkowite pole przekroju tejże belki. Przyjmując, że:,,, zatem wzór (1) po podstawieniu powyższych zależności przyjmuje postać (2). (2) Dzieląc licznik i mianownik przez i porządkując otrzymane wyrażenie prowadzi do ostatecznego wzoru (3) na położenie globalnego środka ciężkości przekroju belki
Mechanika i Budowa Maszyn, Mechanika Stosowana Stronica 5 z 15 (3) We wzorze (3) wyróżniono celowo czynnik, którego wartość odpowiada położeniu środka ciężkości dużego trójkąta względem jego podstawy. Wtedy, wyrażenie we wzorze (3) nabiera znaczenia współczynnika przesuwającego położenie środka ciężkości największej figury składowej, czyli dużego trójkąta, do położenia globalnego środka ciężkości pola przekroju belki. 3 Centralny moment bezwładności pola przekroju belki zginanej. Moment bezwładności centralny składowych, można wyznaczyć na dwa sposoby: 1. Sposób pierwszy:, wyznaczany jako superpozycja momentów figur a. Wyznaczenie centralnych momentów własnych dla każdej figury składowej, b. przeliczenie własnych momentów centralnych do wielkości względem globalnego środka ciężkości stosując twierdzenie Steinera, c. wyznaczenie globalnego momentu bezwładności przez superpozycję momentów składowych. 2. Sposób drugi: a. Wyznaczenie centralnych momentów własnych dla każdej figury składowej, b. przeliczenie własnych momentów centralnych do wielkości względem dowolnej osi stosując twierdzenie Steinera, c. wyznaczenie globalnego momentu bezwładności, względem dowolnej osi, przez superpozycję momentów składowych, d. wyznaczenie centralnego momentu bezwładności względem globalnego środka ciężkości stosując powtórnie twierdzenie Steinera. Pierwszy sposób stosuje się do bezpośrednich obliczeń w oparciu o wartości liczbowe wszystkich parametrów. Drugi sposób jest korzystniejszy w przypadku wyznaczania wzoru zawierającego jeden lub więcej parametrów, ponieważ w koniecznych przekształceniach i wzorach pośrednich unika się parametrycznego wzoru na położenie globalnego środka ciężkości, który może mieć złożoną postać. Również odpowiedni wybór osi pozwala operować wyrażeniami o prostszej postaci, co ułatwia wykonanie całego zadania. Dla wyznaczenia wzoru na moment bezwładności z parametrem wybrano drugi
Mechanika i Budowa Maszyn, Mechanika Stosowana Stronica 6 z 15 sposób postępowania, a oś przyjęto w podstawie dużego trójkąta. 3.1 Moment bezwładności pola przekroju belki zginanej Moment bezwładności całej analizowanej figury względem osi, przechodzącej przez podstawę dużego trójkąta, wyznacza się jako superpozycję momentów składowych, jak pokazuje równanie (4), (4) gdzie:! moment bezwładności dużego trójkąta względem osi.! moment bezwładności małego trójkąta względem osi.! moment bezwładności półokręgu względem osi. Dla dowolnej figury płaskiej, moment bezwładności względem osi środka ciężkości o wielkość, wyraża twierdzenie Steinera (5)., oddalonej od (5) 3.1.1 Moment bezwładności dużego trójkąta względem osi. Dla trójkąta o podstawie oraz wysokości, centralny moment bezwładności wyraża się wzorem (6) [1] [2]. Zgodnie z Rys. 2 podstawa dużego trójkąta ma wymiar, wysokość ma także wymiar. Zatem centralny moment bezwładności wyrażony jest wzorem (7). (6) (7) Natomiast, zgodnie z Rys. 2, przesunięcie środka ciężkości względem osi wynosi. Zatem, zgodnie z twierdzeniem Steinera (5), moment bezwładności względem osi wyraża wzór (8). (8)
Mechanika i Budowa Maszyn, Mechanika Stosowana Stronica 7 z 15 3.1.2 Moment bezwładności małego trójkąta względem osi. Zgodnie z Rys. 2 podstawa małego trójkąta ma wymiar, wysokość ma także wymiar. Zatem centralny moment bezwładności wyrażony jest wzorem (9). (9) Natomiast, zgodnie z Rys. 2, przesunięcie środka ciężkości względem osi wynosi. Zatem, zgodnie z twierdzeniem Steinera (5), moment bezwładności względem osi wyraża wzór (10). (10) 3.1.3 Moment bezwładności półokręgu względem osi. Zgodnie z Rys. 2 promień półokręgu ma wymiar. Centralny moment bezwładności okręgu o promieniu dany jest wzorem (11). (11) Moment bezwładności półokręgu względem średnicy stanowi połowę momentu bezwładności okręgu, dany wzorem (12). (12) Położenie środka ciężkości ma wartość daną wzorem. Zatem centralny moment bezwładności półokręgu wyrażony jest wzorem (13). (13) Natomiast, zgodnie z Rys. 2, przesunięcie środka ciężkości względem osi wynosi. Zatem, zgodnie z twierdzeniem Steinera (5), moment bezwładności względem osi wyraża wzór (14).
Mechanika i Budowa Maszyn, Mechanika Stosowana Stronica 8 z 15 (14) 3.1.4 Moment bezwładności pola przekroju belki zginanej. Zgodnie ze wzorem (4) ostateczny wzór do obliczania przyjmuje postać (15) (15) 3.2 Centralny moment bezwładności pola przekroju belki zginanej. Centralny moment bezwładności pola przekroju belki zginanej wyznacza się z twierdzenia Steinera (5) zgodnie ze wzorem (16). (16) Podstawiając (15) oraz (3), a pole powierzchni, otrzymuje się wzór (17). wprowadzając jako superpozycję pól (17) Upraszczając wyrażenie (17), otrzymuje się postać rozwiązania (18). (18) W nawiasie wyrażenia (18) znajduje się rozwinięta forma postaci, gdzie i stanowią miejsca zerowe rozwiniętego wielomianu. Rozwiązując wielomian w nawiasie otrzymuje się ostateczny wzór na centralny moment bezwładności przekroju belki zginanej w postaci (19). pola (19)
Mechanika i Budowa Maszyn, Mechanika Stosowana Stronica 9 z 15 4 Wskaźnik wytrzymałości na zginanie. Wskaźnik wytrzymałości na zginanie dany jest wzorem (20). (20) Mianownik ułamka (20), dla analizowanego przekroju, wyznacza się jako największą z dwóch wartości zgodnie z formułą logiczną (21). (21) 5 Naprężenie zginające belkę. Naprężenia zginające wyznacza się dzieląc moment zginający przez wskaźnik wytrzymałości na zginanie. Z punktu widzenia bezpieczeństwa belki zginanej, wskazanym jest do wyznaczania naprężeń zginających na podstawie największej wartości momentu zginającego. Zatem, naprężenia zginające wyznacza się ze wzoru (22). (22) Maksymalny moment zginający pochodzi z rozkładu momentu zginającego na długości belki.
Mechanika i Budowa Maszyn, Mechanika Stosowana Stronica 10 z 15 6 Warunek wytrzymałości belki zginanej. Warunek wytrzymałości belki zginanej jest spełniony, jeżeli naprężenia kryterialne mniejsze albo równe naprężeniom dopuszczalnym, co przedstawia nierówność (23). są (23) Podstawiając (22) do (23) otrzymuje się (24): (24) Wskaźnik wytrzymałości jest funkcją w postaci (25), (25) zatem możliwe jest wyznaczenie wartości parametru jako (26). (26) Zakłada się statyczne obciążenie analizowanej belki, bez wyraźnej zmienności. Zatem, przy wyznaczaniu naprężenia dopuszczalnego nie bierze się pod uwagę zjawisk spiętrzenia naprężeń oraz odporności tworzywa na zmęczeniowe pękanie. Do sprawdzenia warunku przyjęto poniższą wartość naprężeń dopuszczalnych: (27)
Mechanika i Budowa Maszyn, Mechanika Stosowana Stronica 11 z 15 7 Numeryczne rozwiązanie problemu. Zagadnienie wyznaczenia minimalnej wartości parametru, gwarantującego zadowalający poziom wytrzymałości belki zginanej można rozwiązać numerycznie, stosując jedną ze znanych metod rozwiązywania równań. Szczególnie korzystnie jest wykorzystać dostępny arkusz kalkulacyjny. Schemat obliczeniowy przedstawiono na Rys. 3. Krok pierwszy ustawia zadane wartości parametrów wytrzymałościowych, jak: parametr wymiarowy przekroju belki zginanej, maksymalny moment zginający belkę, naprężenia dopuszczalne dla zginania. Krok drugi oblicza pola powierzchni figur składowych: pole powierzchni trójkąta dużego o podstawie i wysokości, pole powierzchni trójkąta małego o podstawie i wysokości, pole powierzchni półokręgu o promieniu, oraz pole powierzchni całkowitej dane wzorem (28). Pola powierzchni figur składowych wylicza się ze wzorów na stronicy 4. (28) Krok trzeci oblicza odległości środków ciężkości figur składowych względem osi przechodzącej przez podstawę dużego trójkąta. Wzory do wyznaczania wielkości, oraz zostały wypisane na stronicy 4. Krok czwarty oblicza momenty statyczne figur składowych: moment statyczny trójkąta dużego, moment statyczny trójkąta małego, moment statyczny półkola. Moment statyczny całkowity dany wzorem (29).
Mechanika i Budowa Maszyn, Mechanika Stosowana Stronica 12 z 15 (29) Krok piąty oblicza położenie środka ciężkości całej figury ze wzoru (30) (30) Krok szósty wyznacza wartość mimośrodu, służącego do obliczenia wskaźnika wytrzymałości na zginanie. Zasadniczo mimośród musi spełnić warunek (21), który w metodzie numerycznej należy wyznaczyć ze wzoru (31). (31) Krok siódmy oblicza centralne momenty bezwładności figur składowych względem ich lokalnych środków ciężkości. Moment centralny dla dużego trójkąta wyznacza się ze wzoru (7). Moment centralny dla małego trójkąta wyznacza się ze wzoru (9). Moment centralny bezwładności dla półokręgu wyznacza się stopniowo. Ze wzoru (12) wylicza się moment względem podstawy półokręgu. Następnie stosując twierdzenie Steinera wylicza się moment centralny ze wzoru (32). (32) Krok ósmy oblicza momenty bezwładności figur składowych względem wybranej osi. Z oczywistych względów powinna to być oś kolinearna z podstawą dużego trójkąta, jak przy obliczaniu statycznych momentów figur składowych. Zatem dla dużego trójkąta, moment bezwładności wg wzoru (33). wyznacza się z twierdzenia Steinera (33) Dla małego trójkąta, moment bezwładności wzoru (34). wyznacza się z twierdzenia Steinera wg (34) (35). Dla półokręgu moment bezwładności wyznacza się z twierdzenia Steinera wg wzoru (35) Moment bezwładności całego przekroju belki zginanej wyznacza się przez
Mechanika i Budowa Maszyn, Mechanika Stosowana Stronica 13 z 15 superpozycję momentów składowych ze wzoru (4). Krok dziewiąty oblicza ostateczną wartość centralnego momentu belki zginanej zgodnie ze wzorem (36). całego pola przekroju (36) (20). Krok dziesiąty wyznacza wartość wskaźnika wytrzymałości na zginanie ze wzoru Krok jedenasty wyznacza wartość naprężeń kryterialnych ze wzoru (22). Krok dwunasty wylicza różnicę i przyrównuje do zera, co jest równoznaczne ze sprawdzeniem warunku wytrzymałości. Jeżeli wynik jest równy zero, obliczenia są przerywane, wartość parametru uważa się za minimalną, satysfakcjonującą warunek wytrzymałości. Jeżeli różnica jest różna od zera, obliczenia realizują sprzężenie zwrotne korygujące wartość parametru. Następnie cały cykl obliczeń realizowany jest ponownie aż kroku dwunastego, gdzie warunek wytrzymałości pniwnie jest sprawdzany. Programując obliczenia w arkuszu kalkulacyjnym, wykonuje się kolejno obliczenia od kroku drugiego do dwunastego. Pętla sprzężenia zwrotnego jest realizowana za pomocą procedury SOLVER, dostępnej w zbiorze standardowych procedur arkusza kalkulacyjnego. Tablica poniżej pokazuje sekwencję obliczeniową prowadzącą do ostatecznego wyniku. Mgmax 50 knm k 100 MPa c 0,029673 m F1 0,015849 m 2 Ix1 8,373E-05 m 4 F2 0,001761 m 2 Ix2 3,411E-05 m 4 F3 0,005532 m 2 Ix3 0,000116 m 4 F 0,019620 m 2 Ix 0,000166 m 4 d1 0,059346 m I01 2,791E-05 m 4 d2 0,138475 m I02 3,446E-07 m 4 d3 0,143880 m Ixx 4,871E-06 m 4 I03 1,361E-06 m 4 S1 0,000941 m 3 S2 0,000244 m 3 I0 5,098E-05 m 4 S3 0,000796 m 3 S 0,001493 m 3 Wx 0,000500 m 3 Wartość parametru d 0,076080 m Fg 100 MPa e 0,101959 m Fg - k 0 MPa satysfakcjonuje w sposób minimalny warunek wytrzymałości (23). Praktyczne, do realizacji należy przyjąć wartość.
Mechanika i Budowa Maszyn, Mechanika Stosowana Stronica 14 z 15 Rys. 3 Schemat obliczeniowy wyznaczania minimalnej wartości parametru metodą numeryczną.
Mechanika i Budowa Maszyn, Mechanika Stosowana Stronica 15 z 15 Referencje. Biały W.: mechanika Stosowana. ÿÿÿÿÿ 1. Biały W.: Mechanika i Budowa Maszyn. ÿÿÿÿ