Proste zginanie belek, łuków, ram dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji
Siły zewnętrzne to siły skupione, momenty oraz obciążenia ciągłe o stałym lub zmiennym natężeniu. Obok sił czynnych występują siły bierne, czyli reakcje więzów R Ax A R Ay y q l M l/2 P l/2 B R B x 2
Siły wewnętrzne (tzw. wysiłek przekroju) dzielą się na siły normalne, poprzeczne (tnące) oraz momenty: skręcające lub gnące T C N n M s M g 3
Siły wewnętrzne Dowolny przestrzenny układ sił, obciążających dany element konstrukcyjny, można zredukować do wektora głównego (W) i momentu głównego (M) w środku geometrycznym ( śr. ciężkości ) przekroju (pkt. C). Wynika to z faktu, iż siły zewnętrzne (czynne i bierne) powodują powstawanie w przekrojach elementu (pręta, belki, wału) pewnego układu sił wewnętrznych, które można zastąpić wektorem głównym W i momentem głównym M, przyłożonymi w środku geometrycznym przekroju; siły wewnętrzne oznaczają oddziaływanie odrzuconej części elementu na część rozważaną. 4
Siły wewnętrzne Wektor główny ( wypadkową ) W można rozłożyć na dwie wzajemnie składowe: normalną N i styczną T. 5
Siły wewnętrzne Wektor momentu głównego M można rozłożyć na składową styczną do przekroju (M g ) i normalną (M s ). 6
Siły wewnętrzne Zastosowano więc zasadę superpozycji, zgodnie z rysunkiem poniżej 7
Definicje sił wewnętrznych Siłą (wewnętrzną) normalną (N) w danym przekroju elementu (pręta) nazywa się sumę rzutów wszystkich sił działających po jednej stronie przekroju na kierunek normalny do tego przekroju Siłą tnącą (poprzeczną) (T) w danym przekroju elementu (belki) nazywa się sumę rzutów wszystkich sił działających po jednej stronie przekroju na kierunek styczny do tego przekroju 8
Definicje sił wewnętrznych Momentem gnącym (M g ) w danym przekroju poprzecznym elementu (belki) nazywa się składową styczną wektora momentu wszystkich sił działających po jednej stronie tego przekroju, względem jego środka ciężkości/śr. geometrycznego Momentem skręcającym (M s ) w danym przekroju poprzecznym elementu (wału) nazywa się składową normalną wektora momentu wszystkich sił działających po jednej stronie tego przekroju, względem jego środka ciężkości/śr. geometrycznego 9
Siły wewnętrzne przypadki szczególne Jeżeli w danym przekroju elementu występuje tylko M g, to jest to przypadek czystego zginania; moment gnący można wówczas rozłożyć (dla ułatwienia obliczeń) na dwie prostopadłe składowe, działające wzdłuż osi y i z: M y i M z 10
Siły wewnętrzne przypadki szczególne Jeżeli w danym przekroju elementu występuje tylko M g i T, to jest to przypadek zginania z udziałem sił poprzecznych (tnących); siłę tnącą również można rozłożyć na dwie prostopadłe składowe, działające wzdłuż osi y i z: T y i T z 11
Siły wewnętrzne przypadki szczególne Jeżeli siła tnąca (T) i para sił o momencie M g działają w jednej i tej samej płaszczyźnie, a płaszczyzna ta zawiera osie główne centralne bezwładności przekroju poprzecznego, to zginanie takie nazywa się płaskim lub prostym; w myśl tej definicji obydwa poprzednie przypadki to przypadki tzw. zginania ukośnego, czyli zginania, w którym płaszczyzna działania pary sił nie pokrywa się z osią główną (odśrodkowy moment bezwładności przekroju (I yz ) nie równa się zero. 12
Siły wewnętrzne przypadki szczególne Przykład płaskiego/prostego zginania przedstawia poniższy rysunek P A B R A R B 13
Umowa dotycząca znaków sił wewnętrznych!! umowa dotyczy zarówno prawej, jak i lewej części belki!! Moment gnący jest dodatni, gdy belka wygina się do dołu M g Siła tnąca jest dodatnia, gdy stara się obrócić część belki odciętą przekrojem w prawo (CW) T T M g 14
Umowa dotycząca znaków sił wewnętrznych Wektor Ms pozornie rozciąga wał Siła normalna jest dodatnia, gdy powoduje rozciąganie pręta N Moment skręcający jest dodatni, gdy wektor momentu jest zwrócony na zewnątrz wycinka wału Ms N Ms 15
16 Proste zginanie belek, łuków, ram Użyteczne definicje i twierdzenia dotyczące zginania Płaszczyzna zginania płaszczyzna, w której leżą siły zewnętrzne (czynne i bierne) powodujące płaskie zginanie (w przypadku zginania ukośnego oś pręta staje się krzywą przestrzenną!). belka pręt pracujący głównie na zginanie; łuk belka o osi zakrzywionej (przed obciążeniem); rama belka o osi łamanej (kąty naroży nie zmieniają się po obciążeniu) lub: układ belek sztywno połączonych ze sobą. 16
Użyteczne definicje i twierdzenia dotyczące zginania Zginanie nierównomierne ma miejsce, gdy moment gnący nie jest stały wzdłuż osi belki. Czyste zginanie (rys. poniżej) zachodzi wtedy, gdy w danym przedziale długości belki moment gnący jest stały, tzn. gdy siła tnąca równa się zero (T=0). 17
Związki między siłami wewnętrznymi w belce zginanej Na długości dx belki zginanej następuje znikomo mały przyrost (zmiana) siły tnącej (dt) i momentu gnącego (dm g ). 18
19 Proste zginanie belek, łuków, ram Związki między siłami wewnętrznymi w belce zginanej Równania równowagi wycinka belki o długości dx: Pi y T qx dx T dt 0 M ic M izc 1 M g qx dx dx 2 M g dm g T dt dx 0 przy czym q x =q(x) 19
Proste zginanie belek, łuków lub ram Związki między siłami wewnętrznymi w belce zginanej Z pierwszego równania wynika zależność: Tw. 1.: Natężenie q x [N/m] obciążenia ciągłego jest równe pochodnej siły tnącej (T) względem współrzędnej x ( po długości belki ), wziętej ze znakiem minus; znak ten wynika z przyjętej umowy, dotyczącej znaków sił tnących. Z drugiego równania, pomijając małe wyższego rzędu, otrzymuje się: Tw. 2.: Siła tnąca (T) w danym przekroju belki jest równa pochodnej momentu gnącego (M g ) występującego w tym przekroju, względem współrzędnej x. q x T dt dx dm g dx 20
Proste zginanie belek, łuków, ram Momenty bezwładności i wskaźniki wytrzymałości na zginanie typowych przekrojów belek bh Iz I c z I 12 3 I 4 4 D R D 4 d 4 R 4 r 4 64 4 I 64 4 3 bh I 36 21
Proste zginanie belek, łuków, ram Momenty bezwładności i wskaźniki wytrzymałości na zginanie typowych przekrojów belek Wskaźnik wytrzymałości przekroju belki na zginanie (W z, W) oblicza się w przypadku ogólnym jako: W z I y z maks (a) gdzie: y maks oznacza odległość najdalszego punktu przekroju poprzecznego belki od jego osi głównej centralnej z (czyli tzw. osi obojętnej osi, gdzie naprężenia są równe zeru).!! Wskaźniki nie są addytywne (dodawalne)!! Dodawać można tylko momenty bezwładności (I ), obliczone względem tej samej osi. W związku z tym, dla przekrojów złożonych z prostych figur oblicza się najpierw moment bezwładności (I ) drogą sumowania, a następnie ze wzoru (a) oblicza się wskaźnik (W). 22
Proste zginanie belek, łuków, ram Momenty bezwładności i wskaźniki wytrzymałości na zginanie typowych przekrojów belek bh W 6 2 3 3 D R D 4 d 4 R 4 r 4 W 32 4 W 32D 4R 2 bh W 24 23
Obliczenia wytrzymałościowe na zginanie W zagadnieniach zginania, w celu wyznaczenia wymaganych wymiarów (kształtu) przekroju poprzecznego belki należy zastosować następujący wzór: g M maks W k g (b) Jest to warunek wytrzymałości na zginanie. M maks oznacza największą (co do wartości bezwzględnej/modułu) wartość wewnętrznego momentu gnącego, którą odczytuje się z wykresów sił wewnętrznych. Ze wzoru (b) można też wyznaczyć dopuszczalną wartość momentu gnącego (M dop ), jeżeli dane są wymiary (kształt) przekroju belki. Ponadto, w niektórych przypadkach należy przeprowadzić obliczenia na ścinanie, ze względu na występowanie sił tnących (T). 24
Odkształcenia belki przy czystym zginaniu 25
Odkształcenia belki przy czystym zginaniu 26
Odkształcenia belki przy czystym zginaniu W przypadku czystego zginania (T=0) rozwiązanie zadania opiera się na dwu hipotezach: Hipoteza 1.: Wszystkie przekroje odkształconej belki, które były płaskie przed odkształceniem, pozostaną płaskie po odkształceniu podczas czystego zginania (jest to tzw. hipoteza płaskich przekrojów). Hipoteza 2.: W pręcie poddanym czystemu zginaniu poszczególne warstwy równoległe do (zakrzywionej) osi pręta, a prostopadłe do płaszczyzny zginania, znajdują się w jednokierunkowym stanie naprężenia, tzn. są wyłącznie rozciągane, bądź ściskane i nie wywierają na siebie nawzajem żadnych nacisków poprzecznych (wzdłuż promienia krzywizny ()). 27
Odkształcenia belki przy czystym zginaniu Włókno materialne jest to linia równoległa do osi belki przed odkształceniem, łącząca ciągle te same punkty materialne wzdłuż osi belki, nawet po odkształceniu. Warstwą obojętną nazywa się warstwę włókien, które podczas zginania nie ulegają ani wydłużeniu, ani skróceniu, a naprężenia w tej warstwie są równe zeru; jest to więc powierzchnia prostopadła do płaszczyzny zginania, zawierająca (zakrzywioną) oś belki; powierzchnia ta przed odkształceniem była płaszczyzną xz. Osią obojętną (oś belki) nazywa się ślad warstwy obojętnej na płaszczyźnie przekroju poprzecznego zginanej belki; jest nią oś z. 28
Analiza naprężeń w belce przy czystym zginaniu Rozpatrzmy równowagę lewej części pręta odciętej przekrojem ABKL... Promień krzywizny warstwy obojętnej KK 1 oznaczmy przez. Wtedy. KK 1 Włókno QQ 1, położone w odległości y od warstwy obojętnej, ma przed odkształceniem długość taką samą jak KK 1 :. QQ KK 1 1 29
Analiza naprężeń w belce przy czystym zginaniu Po odkształceniu QQ1 y. Wydłużenie względne (skrócenie, gdy y<0) tego włókna oblicza się jako: QQ 1 KK1 y y KK 1 Naprężenie we włóknie QQ 1 wynosi więc: y y E E (c) Uwaga! maks = min tylko wtedy, gdy warstwa obojętna jest powierzchnią środkową. 30
Analiza naprężeń w belce przy czystym zginaniu Promień krzywizny warstwy obojętnej =const w całym przekroju poprzecznym belki, a przy czystym zginaniu belki pryzmatycznej (o stałym przekroju) w całej belce. Stąd wnioskuje się, biorąc pod uwagę wzór (c), że naprężenie ( y =(y)) zmienia się liniowo z odległością (y) od warstwy obojętnej. Naprężenia te muszą zapewniać równowagę rozpatrywanej części pręta. Elementarna siła dp na nieskończenie małym polu da, po uwzględnieniu wzoru (c) wynosi: y dp EdA 31
Analiza naprężeń w belce przy czystym zginaniu Z warunków równowagi wynika, że suma (całka) sił elementarnych dp, zebranych na całym polu przekroju poprzecznego pręta musi równać się zeru: y E dp EdA yda A A A Całka w powyższym wzorze (moment statyczny przekroju) jest równa zeru względem każdej osi przechodzącej przez środek geometryczny wniosek: warstwa obojętna przechodzi przez środki geometryczne przekrojów poprzecznych pręta. Odkształcenia przy zginaniu są bardzo małe wniosek: oś obojętna jest prostą przechodzącą przez środek geometryczny przekroju (punkt C); warstwa obojętna jest powierzchnią walcową (przy czystym zginaniu) 0 32
Analiza naprężeń w belce przy czystym zginaniu Moment siły elementarnej dp względem osi obojętnej wynosi: dm=dpy. Suma (całka) tych momentów zebrana po całym przekroju A musi zrównoważyć moment sił zewnętrznych M g. Wynika stąd drugie równanie równowagi: 2 M g dp y EdA y y da A A A Całka w powyższym wzorze to moment bezwładności przekroju poprzecznego pręta względem osi obojętnej (z): y E I z A 2 y da 33
Analiza naprężeń w belce przy czystym zginaniu Wynika stąd zależność: M Uwzględniając wzór (c) można zapisać: g E I z Jeżeli warstwa obojętna jest powierzchnią środkową belki, to naprężenia gnące maksymalne i minimalne są sobie równe ( maks = min = g ) i wynoszą: gdzie y maks jest największą odległością włókien od warstwy obojętnej z lub y M M g g y lub y y I Iz g M y g I z maks k 1 M EI g z 34
Analiza naprężeń w belce przy czystym zginaniu Zauważmy, że: I y z maks W z W Warunek wytrzymałości na zginanie zapisuje się więc następująco: g M W gdzie k g oznacza naprężenia dopuszczalne na zginanie; na ogół (dla stali, stopów miedzi lub aluminium) k g =k r. g z k g 35
Analiza naprężeń w belce przy czystym zginaniu W przypadku materiałów kruchych (żeliwo, beton) k c >k r. Wówczas sprawdza się dwa warunki wytrzymałościowe: 1.dla włókien rozciąganych: 2.dla włókien ściskanych: M y g 1 g1 Iz M y g 2 g2 Iz gdzie y 1, y 2 są odpowiednio odległościami od warstwy obojętnej najdalszego włókna rozciąganego, bądź ściskanego k r k c 36